Phân loại các nhóm p nhóm cấp p5 bằng cách ứng dụng lý thuyết mở rộng nhóm của otto schreier

MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ MỞ RỘNG NHÓM CỦA OTTO SCHREIER .... Như một ứng dụng lý thuyết mở rộng nhóm của Otto Schreier, luận văn “ phân loại các nhóm p-nhóm cấp 5 p bằng cách ứng dụng lý thuyết

PHỤ LỤC

PHỤ LỤC 1

LỜI MỞ ĐẦU 2

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 4

§1 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA 4

§2 MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ MỞ RỘNG NHÓM CỦA OTTO SCHREIER 9

2.1 Mở rộng nhóm theo một nhóm bất kỳ………9

2.2 Mở rộng nhóm theo tích trực tiếp 12

2.3 Mở rộng nhóm với các nhóm abel 19

CHƯƠNG 2: VIỆC MỞ RỘNG NHÓM VÀ PHÂN LOẠI NHÓM CÁC P-NHÓM CẤP P 27 5 §1 CỘT VÀ MA TRẬN CỘT MODULO 27

§2 ĐẲNG CẤU NHÓM CỦA MỘT NHÓM ABEL 30

2.1 Xác định thứ tự các đẳng cấu của p-nhóm abel 30

§3 CƠ SỞ ĐẶC BIỆT CỦA p-NHÓM 34

§4 PHÂN LOẠI CÁC NHÓM P-NHÓM CẤP P5 43

KẾT LUẬN 63

TÀI LIỆU THAM KHẢO 64

LỜI MỞ ĐẦU

Bài toán tìm và phân loại tất cả các nhóm có cấp cho trước là một bài toán khó

và đến nay vẫn còn là một bài toán mở Để xây dựng một nhóm trừu tượng bậc hữu hạn nhất định từ hai nhóm bất kỳ A và B, ta xây dựng thông qua một số phương trình giữa các yếu tố bất biến của A , dạng phương trình phụ thuộc hoàn toàn vào nhóm B Như một ứng dụng lý thuyết mở rộng nhóm của Otto Schreier, luận văn “ phân loại các nhóm p-nhóm cấp 5

p bằng cách ứng dụng lý thuyết mở rộng nhóm của Otto Schreier”

nhằm tìm hiểu về cách phân loại các nhóm không abel cấp p 5

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành 2 chương , trong đó nội dung chính của luận văn được trình bày ở chương 2

Trong phần đầu của chương 1, chúng tôi trình bày lại một số định nghĩa, khái niệm đặc trưng và cần thiết Phần tiếp theo là một số định lý mở rộng nhóm của Otto Schreier cần thiết làm cơ sở cho các phần sau

Trong chương 2, để đi đến cách phân loại các nhóm p-nhóm cấp 5

p , tôi đi vào

định nghĩa và một số tính chất của cột và ma trận cột modulo trong bài 1, tiếp theo sử dụng tính chất của ma trận modulo đi đến phần mở rộng ở các nhóm abel Ở bài 2, ta

áp dụng các kết quả đặc trưng về nhóm p-nhóm, xác định một số đặc tính của nhóm đẳng cấu p-nhóm Abel Sau đó xét tính lũy thừa của các giao hoán tử trong một nhóm nguyên tố và cơ sở đặc biệt của p-nhóm ở bài 3, chuẩn bị cho sự phân loại các nhóm không abel bậc p ở bài 4 5

Cuối cùng , cho phép tôi được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Thạc sĩ Nguyễn Viết Đức, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này Nhân đây, xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, các giảng viên Khoa Toán trường Đại học Sư Phạm_Đại học Đà Nẵng đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khóa học và giúp

đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn

Mặc dù bản thân đã rất cố gắng và được sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo hướng dẫn, nhưng do năng lực của bản thân và thời gian còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý tận tình của thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Đà Nẵng, ngày 25 tháng 5 năm 2013

Trương Thị Hiệp

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN

§1 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA

1.1 Nhóm

Cho G là tập không rỗng cùng với phép toán hai ngôi “.” (G,.) được gọi là

nhóm nếu chúng thoả 3 tính chất sau:

(i) Với mọi x,y,z thuộc G thì (xy)z = x(yz)

(ii) Tồn tại e thuộc G sao cho ex = xe = x,xG

(iii) Với mọi xG thì tồn tại yG sao cho xy = yx=e Ta kí hiệu y là x –1

Để cho gọn ta có thể kí hiệu nhóm (G,.) là G Nếu phép toán hai ngôi trong nhóm G có tính giao hoán thì G được gọi là nhóm Abel

1.2 Nhóm con

Cho G là nhóm, H là tập con khác rỗng của G Nếu H cùng với phép toán cảm

sinh của phép toán trong G lập thành một nhóm thì H được gọi là nhóm con của nhóm

G Ta kí hiệu H  G

1.3 Cấp của nhóm

Cho G là nhóm Khi đó cấp của nhóm G chính là lực lượng của G kí hiệu là G

hạn

1.4 Nhóm con chuẩn tắc

Cho G là nhóm và H là nhóm con của G H được gọi là nhóm con chuẩn tắc

của G nếu xG, h H thì xhx -1  H Ta kí hiệu H G

Định lý 1:

Nếu A là một nhóm con chuẩn tắc của một nhóm X, thì:

(i) Quy tắc cho tương ứng với cặp (xA,yA) lớp trái xyA là một ánh xạ từ

X A X A X A

(ii) X Acùng với phép toán hai ngôi xA yA,  xyA là một nhóm, gọi là nhóm thương của X trên A

Một nhóm G gọi là xyclic nếu và chỉ nếu G được sinh ra bởi một phần tử aG.

Phần tử a gọi là một phần tử sinh của G Như vậy một nhóm G là xyclic nếu và chỉ nếu các phần tử của nó là các luỹ thừa a ,  Z , của một phần tử  a G

(iii) Nếu G là nhóm cấp m.pnvà (m,p)=1 và H là nhóm con cấp pn của G thì H

được gọi là p_nhóm con Sylov của G

(iv) Hai nhóm con H1 ,H2 của G được gọi là liên hợp nhau nếu tồn tại x thuộc G

sao cho H1=xH2x -1 và ta viết H1~H2

Tính chất cơ bản của một p-nhóm:

i) Nếu G  1và G là một p-nhóm hữu hạn , thì  G có cấp khác 1

ii) Nếu H là nhóm con thực sự của G thì HN (H).G

Trong G ta xét phép toán sau (xi)i I (yi)i I =(xiyi)i I Khi đó G cùng với phép

toán 2 ngôi này lập thành một nhóm và được gọi là tích trực tiếp của một họ các nhóm

{Gi}i I đã cho, được kí hiệu là i

 và được gọi là tổng trực tiếp ngoài của họ các nhóm {Gi}

i I đã cho và được kí hiệu là i





1.8 Đồng cấu nhóm

Ánh xạ f từ nhóm G vào nhóm G’ được gọi là đồng cấu nhóm nếu

f(xx’) = f(x)f(x’); với mọi x, x’ thuộc G

Khi đó:

(i) f được gọi là đơn cấu nếu f là đơn ánh

(ii) f được gọi là toàn cấu nếu f là toàn ánh

(iii) f được gọi là đẳng cấu nếu f là song ánh

1.9 Định nghĩa ( tâm của một nhóm)

Tâm hoán tử của X trong G:

Một nhóm meta abel là một nhóm có nhóm hoán tử là nhóm abel, như vậy một nhóm G là meta abel khi và chỉ khi có một nhóm con A với A là nhóm abel sao cho nhóm thương G A là abel

Phân nhóm của một nhóm meta abel là meta abel

1.13 Định nghĩa đồng dư:

Cho a,b,m là các số nguyên, m 0 Nếu a b chia hết cho m thì a được gọi là

đồng dư với b modulo m , ký hiệu a mod b m

1.14 Phương trình đồng dư tuyến tính:

Phương trình dạng ax  mod b m được gọi là phương trình đồng dư tuyến tính

với a,b,m là các số đã biết

0

1.15 Định lí Sylow

Cho G là nhóm hữu hạn, số nguyên tố p là ước của cấp G Khi đó:

(i) Trong G tồn tại p_nhóm con Sylow

(ii) Số các p_nhóm con của G chia p dư 1

(iii) Mọi p_ nhóm con của G đều nằm trong một p_nhóm con Sylow nào đó của

G

§2 MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ MỞ RỘNG NHÓM CỦA OTTO

SCHREIER

2.1 Mở rộng nhóm theo một nhóm bất kỳ

Cho 2 nhóm A và B Tìm tất cả các mở rộng của A theoB , tức là tìm được

các nhóm B nhận A làm nhóm con chuẩn tắc sao cho B B

Với mọi ,A B : B A', 'B A*, *  E E,  (III) Suy ra B* B1

 1 1 1

1 ,

Các hệ thức ABBA B; ' ''B B B B A' '' B B', '' cùng với các hệ thức của A luôn xác định một và chỉ một mở rộng của A theo B, khi đó A B,A B B', '' thỏa các điều kiện:

2.2 Mở rộng của một nhóm theo tích trực tiếp

Ta bắt đầu từ tích trực tiếp của 2 nhân tử Nhân tử của A trong nhóm B là đẳng cấu với tích trực tiếp BB B Phần tử 1 2 B B , 1 1 B  B ( tương tự cho 2 2 B B …) 1', 1''Như vậy , tương ứng với B B trong A lần lượt là 1, 2 B B Tương ứng của 1, 2 BB B1 2

Nghĩa là:   2

1

B B

2 1 ' '' '' ' '' ' ''

Ta nhận được:

''' ''' ''' ''' 22

1 ' '' ''' ''' ' '' ''' '' '''

' '' ''' ' '' '''

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2,1 2 2,1 2 2 2 1

1 1

1 1

Bây giờ ta xét tích của 3 nhân tử Lập B B B B= 1 2 3, để xác định các mối quan

hệ của Bta giả định

' ''

' '' ' ''

, ,

' '' ''

3 , 1 2 , 1 3 , 1

B B B

B B

 '' 

1 ' '' ' '' ' ''

2 1 1 1 1 2 1 2 1

1 1

' '' ' ''

1 , 1 1 , 1

B B B

- Các điều kiện ( )a ( )f thỏa mãn với i j k, , 1, , (s i  j j, k k, i)

- Các điều kiện ( )a ( )f thỏa mãn với i j k, , 1,s2, (i j j, k k, i)

- Các điều kiện ( )a ( )e hiển nhiên đúng với s  3

Như vậy ta cần chứng minh  f trong trường hợp một trong ba i j k bằng 0 , , 

Vì  f có tính đối xứng nên ta có thể giả định k  , ta có: 0

Trường hợp nhiều nhân tử đã được thực hiện, như vậy bất kỳ phần tử nào của

B đều được biểu diễn thành tích hữu hạn của B i

Như vậy định lý 2 đã được chứng minh

2.3 Mở rộng nhóm với các nhóm abel

Xét trường hợp đặc biệt, các phần tử B của i B là các nhóm cyclic n là cấp i

của B , nó là hữu hạn, i B là nhóm abel

Đến bây giờ ta xem B như một phần tử bất kì, mà chính xác là một phần tử i

được sinh bởi Bi Thay B vào vị trí của i x B , khi đó các phần tử siêu việt i B liên kết i x

trong nhóm con chúng ta kí hiệu bằng B Ta đặt i x B i x B r x i i , ở quan hệ này r x là số i 

dư không âm nhỏ nhất của x mod n , hoặc bằng x, với i n i 0

Bất kì mở rộng của A theo B đều được xác định theo quan hệ:

r x B B

A A

i

x x

i i

d x x i

Từ (a) của định lý 2:

A A

x i

i j A

Sử dụng (4*), để có đủ điều kiện hoàn thành (5)

Điều kiện (e)

( ' '') 1 ( ) 1

(7*) đã được chứng minh với cả ba biến x y z , với 0', ', '  x' x, 0 y' y,

A A

CHƯƠNG 2: VIỆC MỞ RỘNG NHÓM VÀ PHÂN LOẠI CÁC

NHÓM P-NHÓM CẤP P5

§ 1: CỘT VÀ MA TRẬN CỘT MODULO

1.1 Định nghĩa:

Với mỗi số nguyên dương m, gọi Z là nhóm cộng các số nguyên modulo m m

Các phép lấy tổng và tích ma trận chính quy là ma trận chính quy

Như thế, tập hợp các mod M ma trận chính quy với phép cộng và nhân tạo  thành một vành có đơn vị

Ký hiêu: E là ma trận đơn vị mod M  

X x

1.3 Định lý 1: ( của Schreier)

§ 2: ĐẲNG CẤU NHÓM CỦA MỘT NHÓM ABEL

2.1 Xác định thứ tự của các đẳng cấu p-nhóm Abel

x  p  là một cở sở đại diện của A M  là số lượng

phần tử của A , bậc của chúng nhỏ hơn hoặc bằng p  Những phần tử này được xác định bởi , 0 m i

p có nghiệm không đồng dư

; 1, 2, , 1

    

p không phải là các phần tử đã tạo ra

Mỗi nhóm Slow tự đẳng cấu của A có cấp là một lũy thừa của p , điều này chỉ

ra được một đẳng cấu của A có cấp là một lũy thừa của p

Trên các phần tử A Xcủa A trong khoảng A BX , với B là một ma trân thực chính quy mod  m i 

P p , lựa chọn hệ số cơ sở trên A phù hợp thì các phần tử trên đường chéo chính chia hết cho p, bản thân các phần tử trên đường chéo chính 1 p 

Ma trận BEr có tất cả các phần tử chia hết cho p, như vậy thì các phần tử của ma trận  m r1

B E P và p nBE0 P tương đương với

nhau là một đẳng cấu J của A có cấp là một lũy thừa của p với p f r m , 1, ,m r

Vì các hệ số nhị thức xuất hiện ở đây phân chia đầu tiên của n

lũy thừa thứ p của các phần tử đầu ra n

§ 3: CƠ SỞ ĐẶC BIỆT CỦA p-NHÓM

Trước khi đi đến hai cở sở đặc biệt là A loại  p , B A loại p n,p n, ,p nvà

3.2 Định lý :

Cho một nhóm B, họ các hoán tử A cyclic của thứ tự p (p là số nguyên tố

n  m, nghĩa là  i j,  Bởi vậy tất cả các hoán tử của 1 A plà một sự mâu thuẫn

Chứng minh vấn đề này, ta thực hiện qua 2 bước :

1 Xây dựng một p- nhóm: cho s2,n1m n, 2  1

2 Cho thấy làm thế nào để mỗi meta abel của mỗi p-nhóm có thể xây dựng mới , trong đó các giao hoán tử cố định, trong khi các bất biến các yếu tố nhóm được thay thế một cách bất kỳ

Thật vậy:

1 Một nhóm như vậy được đưa ra bởi các mối quan hệ sau:

p  p  p   i 0, các sản phẩm trực tiếp của B với một nhóm abel loại '

p  s 1, , p  t Do đó, có được một nhóm A cũng hoán tử, bất biến, yếu tố nhóm bây giờ là n1 1, n2 2, , n s s, s1, , t

Vì vậy, định lý 6 được chứng minh

Như một hệ quả trực tiếp từ định lý 6, ta có

A không abel, A là hoán tử của A Suy ra 2

2

A

A là hoán tử của BA2, bất biến được cho bởi

2

AA

3.4 Cơ sở đặc biệt của p-nhóm

Theo định lý 2 thì không phải tất cả các  i, j đều chia hết cho p, tức là tồn tại

nhau, tuy nhiên B và 3 B không thể hoán đổi cùng nhau , vì vậy 4 3 4, 0mod p 

Tương tự cho 3 4, 1 và B , B với 3 4 B , B ,… hoán đổi 5 6

Bằng cách tiếp tục quá trình này, cuối cùng ta được:

Giả sử 2k1, 2k không đồng thời đồng dư 0 mod p  

Suy ra 3 1, 4 0, dựa vào   

khi các hằng số khác không đổi

Lặp lại quá trình này ta có: 1 0 hoặc 11, 2  2t 0

Do đó cần phân biệt các trường hợp:

Cho n1 n2: 1 và 2 tương đương

Cho n1 n2: hai giả định tương phản với nhau tạo thành các nhóm khác nhau Trường hợp 1: Do  1  2 1  1

Số mũ của A là đa thức đại diện của 2 x y u v mà nó đạt đến , , ,

Đây là cách tạo ra cơ sở mới mà việc chuẩn hóa ban đầu vẫn còn

)

2 1

 cố định, không dư lượng bậc hai mod p

Có 4 nhóm trong trường hợp này:

1 2

Trường hợp 2: Ở đây ta giả định n1 n2 Như trường hợp 1 chúng ta cũng có:

11

11

§ 4: PHÂN LOẠI CÁC NHÓM P-NHÓM CẤP P5

Theo bài 3, ta được các loại như sau:

VII Phân biệt hai trường hợp

1 A là tâm của B

2 A không là tâm của BTH1: Theo định lý 2, ma trận r1,2,r1,3,r2,3 với p là số nguyên xác định Bằng cách thay đổi cơ bản A và BA ta có các quan hệ của nhóm dưới dạng:

Cả hai khả năng này tạo ta các nhóm khác nhau

VIII Thành lập các nhóm bổ sung , bắt đầu với nhóm B

Abằng một hoặc nhiều giai đoạn, nhóm đẳng cấu của tự đẳng cấu A được tạo ra

a)Nhóm bậc p: một đẳng cấu có bậc p như trong bài 3, các phần tử ít nhất có một nhóm con bậc p của A Dựa vào đó có thể xác định thêm các phần tử khác bằng cách lựa chọn cơ bản A , ma trận tương ứng vói nó sẽ có một trong các dạng sau:

Được hoán đổi khi và chỉ khi x y21 32  x y32 21 p Trong một nhóm bậc p nhất 2

thiết phải có đẳng cấu, x21,x không đồng thời bằng 32 0 p  

Nếu chúng đồng dư và đẳng cấu p được xác định , trong số đó, đẳng cấu 2   :

Trong 6 nhóm này không có hai nhóm trong nhóm đẳng cấu A bằng nhau Ban đầu giữa 1,2,3 và 6,4,5 bản chất khac nhau Sự đa dạng của 4,5,6 theo tất cả các đẳng ccaaus của 4 cho nhóm A A là áp dụng được cho phần tử ổn định Mỗi đẳng cấu 1, 2

của 5 , tạo một nhóm phụ A 6 chứa đẳng cấu cuối cùng không chứa phân nhóm bậc  3

2

p của A được tạo ra

Dựa vào định lý 2: 1 và 1  2, 3 không đồng thời loại bỏ

1, 2, ,

4

p k

p x

Do đó, trường hợp 4 dẫn đến loại p+7 của nhóm bậc p 5

  1,1 1

Hai nhóm không abel bậc 3

p có cyclic trung tâm và do đó không thể có nhóm

giao hoán của p-nhóm

KẾT LUẬN

Trong luận văn này chúng tôi đã tìm hiểu và trình bày những vấn đề sau:

1 Trình bày những khái niệm cơ bản về nhóm

2 Mở rộng nhóm theo một nhóm bất kỳ

3 Mở rộng của một nhóm theo tích trực tiếp

4 Mở rộng của một nhóm với các nhóm abel

5 Cột và ma trận cột modulo

6 Đẳng cấu nhóm của một nhóm abel

7 Giao hoán tử trong một nhóm nguyên tố

8 Cơ sở đặc biệt của p-nhóm

9 Sử dụng lý thuyết mở rộng nhóm của Otto Schreier để phân loại các nhóm nhóm cấp p 5

p-TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Bùi Huy Hiền (1998), Bài tập Đại số đại cương, NXB Giáo dục

[2] Hoàng Xuân Sính (1972), Đại số đại cương, Nhà xuất bản Giáo dục

[3]Otto Schreier (1920), Über die Erweiterung von Gruppen I

[4]Otto Schreier (1923), Über die Erweiterung von Gruppen II

[5] Serlange (1978), Đại số phần 1(bản dịch), NXB Đại học và trung học chuyên nghiệp Hà Nội,