Phân loại các nhóm p nhóm cấp p4 bằng cách ứng dụng lý thuyết mở rộng nhóm của otto schreier

SỞ LÝ LUẬN

Nhóm

Cho G là tập không rỗng cùng với phép toán hai ngôi “.” (G,.) được gọi là nhóm nếu chúng thoả 3 tính chất sau:

(i) Với mọi x,y,z thuộc G thì   xy z  x yz  

(ii) Tồn tại e thuộc G sao cho ex xe  x, x G.

Mọi phần tử x thuộc nhóm G đều tồn tại phần tử y trong G sao cho tích xy và yx đều bằng e, ký hiệu y là x⁻¹ Để đơn giản, nhóm G có thể được ký hiệu là (G, ) Nếu phép toán trong nhóm G là giao hoán, thì G được gọi là nhóm Abel.

Cho G là nhóm Khi đó cấp của nhóm G chính là lực lượng của G, kí hiệu là

G Nếu G hữu hạn thì G được gọi là nhóm hữu hạn Ngược lại G được gọi là nhóm vô hạn.

Nhóm con

Cho G là một nhóm và H là một tập con khác rỗng của G Nếu H cùng với phép toán cảm sinh của G tạo thành một nhóm, thì H được gọi là nhóm con của G, ký hiệu là H ≤ G.

Nhóm con chuẩn tắc

Cho G là nhóm và H là nhóm con của G

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Lê Thị Hòa

H được gọi là nhóm con chuẩn tắc của G nếu    x G, h H thì xhx  1 H

Nếu A là nhóm con chuẩn tắc của một nhóm X thì:

(i) Quy tắc cho tương ứng với cặp (xA yA, ) lớp trái xyA là một ánh xạ từ

(ii) X A cùng với phép toán hai ngôi /

(xA yA, )xyA là một nhóm, gọi là nhóm thương của X trên A.

Nhóm xyclic

Một nhóm G được gọi là nhóm xyclic nếu nó được sinh ra bởi một phần tử a thuộc G, và phần tử a này được gọi là phần tử sinh của G Do đó, nhóm G là xyclic nếu tất cả các phần tử của nó có thể được biểu diễn dưới dạng luỹ thừa của phần tử a.

p-nhóm

(i) Nếu G là nhóm cấp p n với n là số tự nhiên, p là số nguyên tố thì G được gọi là p-nhóm

(ii) Nếu H là nhóm con của G và H là p-nhóm thì H được gọi là p-nhóm con của G

(iii) Nếu G là nhóm cấp m.p n và  m, p   1 và H là nhóm con cấp p n của G thì H được gọi là p-nhóm con Sylow của G

(iv) Hai nhóm con H 1 và H 2 của G được gọi là liên hợp nhau nếu tồn tại x thuộc G sao cho H 1  xH x 2  1 và ta viết H 1 H 2

Nhóm con giao hoán tử

Trong lý thuyết nhóm, cho một nhóm G, với x, y ∈ G, thì x y - y x được gọi là hoán tử của x và y, hay còn gọi là hoán tử Kí hiệu [x, y] được dùng để chỉ hoán tử Một nhóm con của G được sinh ra từ tất cả các hoán tử của G được gọi là nhóm con giao hoán tử (hay nhóm con dẫn xuất) của G và được kí hiệu là G’ Ta có G' = [G, G].

(i) Glà nhóm con chuẩn tắc của G

(ii) G là một nhóm, Glà nhóm con giao hoán tử của G, khi đó /G G là một nhóm Abel

Cho , ,x y z là 3 phần tử của nhóm Khi đó các đồng nhất thức sau được thiết lập:

Đồng cấu

Cho hai nhóm ( ,.)G và ( ,.)H Một tương ứng:

 gọi là đồng cấu nếu:

1.7.2 Tính chất: f G: H là một đồng cấu nhóm thì:

Một đồng cấu nhóm với f là một đơn ánh, toàn ánh, song ánh lần lượt được gọi là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu.

Đồng dư

Cho hai số nguyên a và b, nếu a b chia hết cho m (m0) thì a được gọi là đồng dư modulo m, và kí hiệu là abmodm

Mở rộng của một nhóm theo nhóm bất kì

Cho hai nhóm A và B, tìm tất cả các nhóm B nhận A làm nhóm con chuẩn tắc sao cho B AB.Nói ngắn gọn là tìm tất cả các mở rộng B của A theo

B t B    B và t   1 B 1 B trong đó 1 B là đơn vị của B.

Ta có:ABBA (lớp kề của B theo A),

Như vậyAB và BA cùng thuộc BA và ta có ABBA ( A B B B AB  1 A), E B E với E1 B

Để xác định các mối quan hệ giữa các phần tử A, A B, B', và B'' trong nhóm B, cần phải đảm bảo rằng các điều kiện AB = BA B và B' B'' = B' B'' A B' B'' được thỏa mãn Các quan hệ của A trong B cũng phải được xác định rõ ràng.

Xem phần tử BA như cặp  B, A  với B  B ; A  A , từ    ta suy ra

 B', A'  B'', A''  B' B'', A B',B'' A' B'' A''  Đầu tiên chúng ta xác định các điều kiện để các cặp  B, A  là một nhóm

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Lê Thị Hòa Áp dụng   5 ta được  A A A     n  B  A A   B B A   n B

Thay B E nếu không A bởi A, B bởi B, B bởi B:

Từ   1 và  2 bằng cách sử dụng E B E ta được các kết quả từ   3 đến   8 , đảo lại từ   3 đến  8 có thể dễ dàng chứng minh được     1 , 2 và E B  E

Như vậy, để tập các cặp  B, A dựa vào quan hệ

 B', A'  B'', A''    B' B'', A B',B'' A' B'' A''  là một nhóm với đơn vị  E,E  thì điều kiện cần và đủ là các phần tử A , A B B ,B   thoả mãn các công thức từ   3 đến   8

Giả sử các công thức từ (3) đến (8) đã được thoả mãn, nhóm các cặp {B, A} có thể được tạo ra từ các phần tử {B, E} và {E, A}.

 E, A  Trong đó B là một nhóm của B, A là một nhóm của A.

Có thể suy ra điều ngược lại từ       IV , V , VI vì ta có mối quan hệ giữa các nhóm như sau:

Nói cách khác công thức       IV , V , VI thể hiện cách xác định quan hệ của nhóm

Bây giờ chúng ta giả thiết   E, A  A; B,E    B thì dẫn đến   IV phải là thành phần hợp thành của A và ta có: Định lý 1:

Khi các phần tử A , A B B ,B   và các điều kiện

A    A     A    A   A  A E c được thoả thì các hệ thức ABBA B và B' B'' B' B''A B' B'' cùng với các hệ thức của A luôn và chỉ luôn xác định một mở rộng của A theo B.

Bất kì sự mở rộng của A theo B có thể được định nghĩa bằng các mỗi quan hệ ở trên.

Mở rộng của một nhóm theo tích trực tiếp

Chúng ta bắt đầu từ tích trực tiếp 2 nhân tử Nhân tử của A trong nhóm B đẳng cấu với tích trực tiếp B = B B 1 2

B là phần tử bất kỳ trong tập hợp B1 và B2, trong đó B1 tương ứng với nhóm A, và B2 cũng tương ứng với A Mối quan hệ giữa B và các phần tử trong A được xác định bằng cách giả định rằng B = B1B2.

Các phần tử phải thỏa điều kiện của định lí 1 Ở đây ta có thể giả định rằng

A A B B   đáp ứng các điều kiện đã cho

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Lê Thị Hòa Áp dụng (b) cho BB B 2 , B 1 :

(b) được thỏa mãn Áp dụng (c) cho BB B 2  , B B 2  , B 1 :

(2) và (3) được thỏa mãn; sau đó ta có:

B B B B A cùng với các quan hệ trong A xác định một và chỉ một mở rộng của A theo B B 1 2 , nếu các phần tử 1

A A B B   thỏa các điều kiện của định lí 1 và

Bây giờ ta đi qua tích trực tiếp của 3 nhân tử, thiết lập B B B B 1 2 3 Để xác định quan hệ của B , ta có thể giả định:

Rõ ràng, với mỗi i: các phần tử i , , i i

A A B B   thỏa mãn các điều kiện của định lí 1

  thỏa (1), (2), (3) Để tìm điều kiện mà các phần tử i , , i i

A A B B   phải đáp ứng, ta đặt B B 2 3 B 0 và đưa tích về dạng 2 nhân tử cố định phần tử

Từ giả định đã nêu ở trên các phần tử 0

A A B B   thỏa điều kiện của định lí 1 Vậy chỉ còn yêu cầu (1), (2), (3)

Trong (1) thay chỉ số 2 bởi 0:

Do đó (1) được thỏa mãn

(4) được thỏa mãn, sau đó:

- Điều kiện (3) : Điều kiện (3) cũng thỏa mãn, vì:

  Đã tìm được những điều kiện mà các phần tử phải thỏa mãn Để rõ ràng hơn ta đưa ra một định nghĩa mới Sử dụng , 1 , i j j i

A  A  với i j Khi các phần tử

A B B   không xuất hiện định nghĩa này sẽ dẫn đến những nhầm lẫn

Phương trình (1) có thể được viết lại như sau:

Các phương trình (2) và (3) có thể tóm tắt thành:

Sau những chuẩn bị này dễ dàng đi đến trường hợp nhiều nhân tử Đó là i i

, trong đó i là bất kì và không cần phải là số nguyên

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Lê Thị Hòa Định lí 2:

B AB   A B B B B A    B B B B A với i j cùng các quan hệ trong A luôn luôn xác định một mở rộng của A theo B, nếu trong A tồn tại những quan hệ sau:

Trên đây là điều kiện cần, nó dẫn đến mỗi một mở rộng của A theo B các phần tử

B B B tạo ra sự mở rộng của A theo B B B i , j , k (i j k, , ) Chứng minh các điều kiện đủ thông qua phép quy nạp với một số hữu hạn các nhân tử Giả sử

- Với s1, 2,3, định lý đã được chứng minh

- Giả sử dúng với s1 Đặt B B s 1  s B 0 và B 0 B B s  1 s Hơn nữa theo các mối quan hệ xác định:

Ta phải chứng minh: các điều kiện ( )a ( )f đúng đối với

Để chứng minh điều kiện ( )f trong trường hợp một trong ba biến ( , , )i j k bằng 0, ta có thể giả định k = 0 do tính đối xứng của ( )f Từ đó, việc chứng minh sẽ trở nên đơn giản hơn, đặc biệt khi xét trường hợp s = 3.

Trường hợp số nhân tử được thực hiện bởi nhận xét: lấy bất kì một phần tử của B đều biểu diễn được thành tích hữu hạn các B i

Như vậy định lý 2 được chứng minh.

Mở rộng của một nhóm với nhóm Abel

Xét trường hợp đặc biệt, các nhân tử B_i của B là các nhóm xyclic với n_i là cấp của B_i nếu nó hữu hạn Ta xem B_i như một phần tử bất kỳ, cụ thể là một phần tử được sinh bởi B_i Khi thay B_i bằng x, các phần tử siêu việt B_i x liên kết trong nhóm con được ký hiệu là B_i x Ta đặt B_i x = B_r(x_i), trong đó r(x_i) là số dư không âm nhỏ nhất của x mod n_i, hoặc bằng x với n_i > 0.

Bất kì mở rộng của A theo B đều được xác định theo quan hệ

Sử dụng các điều kiện của định lý II để tìm các phần tử A , A , A B i i i , j Với mục đích này trước hết chúng ta tìm các phần tử i x x x x y i i i j

A , A , A Để rút gọn trường hợp ta xét các trường hợp n i khác nhau từ số 0 Các trường hợp n i triệt tiêu làm tương tự Đó là:

  d x ,x i   có khả năng nhận các giá trị 0,1

A B ,B ta sử dụng biểu thức

A A   A A      , trong đó thứ tự của tổng các số mũ   x x x n i i i

B  B    B Qua đó ta nhận được một cách đầy đủ qua phép quy nạp đầu tiên:

Nhờ đó chúng ta nâng lên luỹ thừa bậc r x i  :

Kiểm tra các điều kiện của định lý II để xác định các điều kiện ràng buộc của A, B, i, j Áp dụng kết quả của điều kiện (a) trong định lý II.

Tổng quát   1 :  A A    B i x  A  B i x A  B i x Điều kiện   b có thể được viết: i x i x 1 i x x x x x x i i i i

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Lê Thị Hòa Điều kiện   c :

Lúc này dễ dàng chứng minh được :

A  A E đã thoả mãn vì d x, i   0 d i   0 ,x 0) Điều kiện đặc biệt của   d : ( A B i ) B j  A i , j  1 ( A B j ) B i A i , j  i j    4

 4 thoả mãn, sau đó với gợi ý từ  1 qua phép quy nạp ta có:

Với mọi y, ta chứng minh được:

Nếu thay A bởi A B i ta nhận được:

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Lê Thị Hòa Để   d hoàn thành, ta chứng minh điều kiện:

Cho x1và với đúng mọi y, chứng minh   4  cho x   x , và với mọi y Ta có:

Vậy lập luận tổng quát đã được chứng minh

Sử dụng   4  để có đủ điều kiện hoàn thành   5 Điều kiện   e là :

Xuất phát từ phần tử đơn vị d x ,x i     0 , sau đó cho d x ,x i     1 ta có:

 6 thoả mãn, sau đó áp dụng   4  khái quát:

Một lần nữa, chúng ta xác nhận rằng biểu thức   7  thỏa mãn, và điều này cũng được chứng minh cho tất cả các bộ ba  x , y , z     với điều kiện 0   x  x; 0   y  y; 0   z  z Đặc biệt, nếu một trong các số mũ, chẳng hạn như z, có thể tăng lên 1 đơn vị, thì điều này vẫn giữ nguyên tính chính xác của biểu thức.

Bây giờ bằng cách giả định:

                         Đưa kết quả này vào phương trình cuối cùng ta được   7  cho ba biến  x, y,z  1 

Bằng cách kết hợp các kết quả trong trường hợp n i triệt tiêu, chúng ta có được: Định lý 3:

Các mối quan hệ B AB i  1 i  A ; B B i i n i  A ; B B i i j  B B A j i i , j  i  j 

Cùng các mối quan hệ của A luôn luôn xác định mở rộng của A với các nhóm Abel từ cơ sở   n i khi A thoả mãn các quan hệ:

Trong trường hợp này cả hai mối quan hệ xác định   b và   e để kiểm tra những phương trình trong đó bao gồm trường hợp n i bị triệt tiêu.

PHÂN LOẠI CÁC p-NHÓM BẬC p 4

Một số định nghĩa

Với mỗi số nguyên dương m, gọi Z m là nhóm cộng các số nguyên modulo m Cho m i với 1 i r là các số nguyên dương Đặt:

Z ,Z , ,Z ( viết theo dạng cột) được gọi là một mod

Một mod M ma trận là một ma trận i , j

   trong đó mỗi cột là một mod M cột

3 Mod M ma trận chính quy

   là chính quy nếu và chỉ nếu

Tổng hai ma trận chính quy là một ma trận chính quy

Tích hai ma trận chính quy là một ma trận chính quy

Như thế tập các mod M ma trận chính quy với phép toán cộng và nhân tạo thành một vành có đơn vị

4 Mod M ma trận đơn vị

Gọi E là một mod M ma trận đơn vị Khi đó: i , j r r

5 Ma trận thực chính quy

A là một ma trận thực chính quy nếu và chỉ nếu tồn tại một ma trận chính quy A sao cho AA   E mod M  

Một số định lý

1 Định lý 1 (Định lý Schreier):

B B 1 B 2   B n là tích trực tiếp các nhóm xyclic

Chọn ánh xạ t :BB, sao cho t   id , t B   1 B  1 B trong đó 1 B là đơn vị của B

1 n i i i i t t , t :B B với t B i   i x   t B i   i  x , 1   i n) Đặt B i  t B i   i , định nghĩa nhóm mở rộng B như sau:

  là một mod M ma trận cột i i, j i

A , , B là mod M ma trận thực chính quy

E là mod M ma trận đơn vị

B là một mở rộng của A theo B nếu và chỉ nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

Cho nhóm B là mở rộng của A theo một nhóm Abel

A là nhóm con giao hoán tử của B khi và chỉ khi A có các phần tử sinh là

J là một đẳng cấu của A có cấp là một lũy thừa của p và

Khi p ≥ f, J có cấp p n nếu và chỉ nếu tích mỗi phần tử của A với một phần tử khác có cấp không vượt quá p n, đồng thời có ít nhất một cấp đạt đến p n Điều này cho thấy rằng hai điều kiện sau là tương đương.

Vì tất cả các hệ số nhị thức xuất hiện ở đây có thể chia được đầu tiên của p n , do đó đồng dư   b suy ra trực tiếp   a

Ngược lại, nếu với điều kiện   a ta có:

Sau khi cho dãy đồng dư, bắt đầu từ phương trình cuối:

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Lê Thị Hòa và cuối cùng ta được đồng dư   b

Cho B là một p-nhóm không Abel với nhóm con giao hoán tử A Các bất biến của A là p m 1 ,p m 2 , ,p m r , các bất biến của B / Alà p n 1 ,p n 2 , ,p n s Với

Khi đó, từ các số n i tạo thành chuỗi r – đơn vị:

(i   j  và với   thì i  i  và j   j  không đồng thời xảy ra)

Cho nhóm B, có nhóm con giao hoán tử A Cyclic cấp p m (p là số nguyên tố lẻ),

B / A có các bất biến p n 1 ,p n 2 , ,p n s (s2;n 1 n 2   n s ) khi và chỉ khi n 1 m

Giả sử với n 1 m cũng có một nhóm thỏa mãn xác định bởi các quan hệ:

Theo điều kiện (a) của định lý 1:  i 0(p m n  i ) và do đó:

Theo điều kiện (b) và (d), cho mỗi cặp , (i j i j):

         , trong đó    i , i , i j , nguyên tố cùng nhau với p

Sau đó   i  i  1 m, j  j  1 m, có ít nhất một bất đẳng thức

Điều cần thiết là n i v i j , m, có nghĩa là v i j , 1, dẫn đến tất cả các giao hoán tử của nhóm lũy thừa là A p, từ đó tạo ra mâu thuẫn Qua đó, ta đã chứng minh được điều kiện cần Để chứng minh điều kiện đủ, chúng ta sẽ thực hiện hai bước.

(i) Xây dựng một p-nhóm với s2,n 1 m n, 2 1

Bằng cách xây dựng một p-nhóm mới, chúng ta có thể tạo ra các nhóm con giao hoán tử giữ nguyên các bất biến giống như nhóm cũ, trong khi các bất biến của nhóm thương tương ứng sẽ được thay thế.

(i) Đầu tiên, một nhóm như vậy được định nghĩa:

(ii) B là một p-nhóm với nhóm con giao hoán tử Abel A Các bất biến của A là

B , A có nhóm con giao hoán tử trùng với của B, trong khi đó các yếu tố bất biến tương ứng trong nhóm thương thương là p n 1  v 1 ,p n 2  v 2 , ,p n s  v s (v i 0)

Tích trực tiếp của B với nhóm Abel loại  p v s  1 , , p v s  tạo thành một nhóm nhận

A làm nhóm con giao hoán tử

Bây giờ thành phần bất biến của nhóm thương là p n 1  v 1 ,p n 2  v 2 , ,p n s  v s ,p v s  1 , p v t

Như vậy định lý 6 được chứng minh hoàn toàn

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Lê Thị Hòa §2: PHÂN LOẠI

Quá trình phân loại như sau:

- Đầu tiên thông qua định lý 1 và 2 kiểm tra các mối quan hệ của nhóm

- Sau đó thực hiện đổi cơ sở trên B / A B B 1  , 2  , ,B s  và trên A A A 1  , 2  , ,A r  , từ đó tìm ra các nhóm khác nhau

Trong quá trình này người ta tính lũy thừa p n của phần tử B 1 x 1 , B s x s ,A U , trong đó p n là cấp của B 1 x 1 , ,B s x s ,A trong B / A Điều này đưa đến: (B 1 x 1 B A s x s U ) p n B 1 p x n 1 B s p x n s A p U n 

Ta chứng minh với s2, với s2 sử dụng phương pháp quy nạp Đặt: B 2  x 2 B 1  x 1 B B 2 x 2 1 x 1  A 

Ta có: (B B A 1 x 1 2 x 2 U ) k được đưa về dạng B B 1 kx 1 2 kx 2 A U k

1 Nhóm A từ loại   p , B A từ loại  n n n  s p , p , , p : Đặt:

Xét dãy khớp ngắn: 1  A B B A1 Định nghĩa nhóm B như sau:

B là một mở rộng của A theo B A nếu và chỉ nếu B thoả các điều kiện sau:

Theo định lý 2 không phải tất cả các  i, j đều chia hết cho p, tức là tồn tại

Không mất tổng quát cho   1 2 , 0 mod p 

Có thể suy ra được:

Do  B B i 1  2, i B   1, i  B i  nên B B 1 , 2 với B B 3 , 4 , giao hoán

B B không giao hoán, vì vậy  3,4  0( )p

Như trên ta có B B 3 , 4 vàB B 5 , 6 , giao hoán và  3,4 1

Bằng cách tiếp tục quá trình này, cuối cùng ta được:

      , trong khi các  i j , khác bằng 0

Số t được xác định rõ ràng bởi các nhóm, vì số lượng các thành phần bất biến là

Do   1 , 2 , , 2 t không đồng thời 0( )p , nên tồn tại cặp   1 , 2 không đồng thời 0( )p

Chúng ta xác định x x y y 1 , 2 , 1 , 2 sao cho:  1 1 x  2 2 x 1( )p ;  1 1 y  2 y 2 1( )p ;

Do  B B 1 x 1 2 x 2  B B B 1 ; 1 y 1 2 y 2  B 2  nên  1  1,  2  0, trong đó chọn y tùy ý sao cho

Tương tự xét các cặp B 2 k  1 ,B 2 k với  2 k  1 , 2 k không đồng thời 0( )p Ta có

    , do  B B 2 4 B B B 2; 1  1 3B 3  nên  3 0, trong khi các hằng số khác không thay đổi

Bằng cách lặp đi lặp lại các bước trên ta đạt được:  1 0 hoặc 1;  2    2 t 0

Do đó ta có được 3 nhóm đặc trưng bởi giản đồ:

Trong đó hai nhóm bất kì không đẳng cấu với nhau

+ Xét:  1 1, 2 t  1 0, nhóm được định nghĩa:

Chọn t phù hợp (t1) ta có: 3

2 Nhóm A từ loại   p, p , B A từ loại  p , p n 1 n 2  ( n 1  n 2 ) Đặt: A A , A A 1 2 i p E, A , A i j 

Nhóm B được định nghĩa như sau:

Theo định lý 2,  (1)  0( )p và   1 , 2 không đồng thời 0( )p

  , do đó thông qua  B B 1  2 2   1  B 1  ta được  1  0( ) p

Do dó cần phân biệt các trường hợp:

Cho n 1 n 2 : (i) và (ii) tương đương

Cho n 1 n 2 : hai giả định tương phản với nhau tạo thành các nhóm khác nhau

Số mũ của A 2 là đa thức đại diện của , , ,x y u v mà nó đạt đến Đây là cách tạo ra cơ sở mới mà việc chuẩn hóa ban đầu vẫn còn a) n 1 n 2 :

Bằng cách lựa chọn ,x y thích hợp ta đạt được một trong các hình thức bình thường sau:

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Lê Thị Hòa v là một số cố định bậc hai không dư modp

Do đó chúng ta có được các hình thức bình thường sau:

Trường hợp (ii): Ở đây ta giả định n 1 n 2 Như trường hợp 1 chúng ta cũng có:

Tóm lại, với n 1 n 2 có 4 loại với n 1 n 2 có 8 loại

3 Phân loại các nhóm không Abel bậc p 4 :

Theo định lý 5 ta có các loại sau: a) b) c)

A = B / A Khi đó nhóm B được định nghĩa như sau:

B b) Áp dụng 1 cho s3 ta có 3 loại c) Áp dụng 2 cho trường hợp n 1 n 2 ta có 4 loại

Tiêu đề	Phân loại các p nhóm cấp p4 bằng cách ứng dụng lý thuyết mở rộng nhóm của Otto Schreier
Tác giả	Lê Thị Hòa
Người hướng dẫn	ThS. Nguyễn Viết Đức
Trường học	Đại Học Đà Nẵng
Chuyên ngành	Sư phạm Toán
Thể loại	Đề tài
Năm xuất bản	2013
Thành phố	Đà Nẵng

Định dạng
Số trang	44
Dung lượng	1,14 MB