Phân loại các nhóm p nhóm cấp p3 bằng cách ứng dụng lý thuyết mở rộng nhóm của otto schreier

Để xây dựng một nhóm trừu tượng bậc hữu hạn nhất định từ hai nhóm bất kỳ A và B, ta xây dựng thông qua một số phương trình giữa các phần tử bất biến của A , dạng phương trình phụ thuộc h

LỜI MỞ ĐẦU

Bài toán tìm và phân loại tất cả các nhóm có cấp cho trước là một bài toán khó

và đến nay vẫn còn là một bài toán mở Để xây dựng một nhóm trừu tượng bậc hữu hạn nhất định từ hai nhóm bất kỳ A và B, ta xây dựng thông qua một số phương trình giữa các phần tử bất biến của A , dạng phương trình phụ thuộc hoàn toàn vào nhóm

B Như một ứng dụng lý thuyết mở rộng nhóm của Otto Schreier, luận văn “ Phân loại các p-nhóm cấp p bằng cách ứng dụng lý thuyết mở rộng nhóm của Otto Schreier” 3

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành 2 chương, trong đó nội dung chính của luận văn được trình bày ở chương 2

Phần đầu của chương 1, trình bày lại một số định nghĩa, khái niệm liên quan phục vụ cho nội dung chính, phần còn lại là xây dựng một số định lý mở rộng nhóm của Otto Schreier làm cơ sở cho các phần sau

Bài 1 chương II nêu một số định nghĩa về modulo M ma trận cột, modulo M

ma trận, modulo M ma trận chính quy,…đồng thời áp dụng phần 1và sử dụng tính chất của modulo M ma trận để trình bày nội dung định lý I (định lý Schreier) và định

lý II Bài 2 nêu ra cách phân loại tổng quát các nhóm A từ loại  p , B A từ loại

Cuối cùng, cho phép em được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo -Thạc sĩ Nguyễn Viết Đức, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em hoàn thành khoá luận này Nhân đây, xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, các giảng viên Khoa Toán trường Đại học Sư Phạm-Đại học Đà Nẵng đã tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành khóa học và giúp

đỡ em trong quá trình học tập và thực hiện khoá luận

Mặc dù bản thân đã rất cố gắng và được sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo hướng dẫn, nhưng do năng lực và thời gian còn hạn chế nên khoá luận khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý tận tình của quý thầy cô và các bạn để khoá luận được hoàn thiện hơn

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN

§1 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA 1.1.1 Nhóm

Cho G là tập không rỗng cùng với phép toán hai ngôi “.” (G,.) được gọi là

nhóm nếu chúng thoả 3 tính chất sau:

(i) Với mọi x,y,z thuộc G thì  xy zx yz 

(ii) Tồn tại e thuộc G sao cho ex xe  x, x G.

(iii) Với mọi x thuộc G thì tồn tại y thuộc G sao cho xy yxe Ta kí hiệu y là x 1

Để cho gọn ta có thể kí hiệu nhóm (G,.) là G Nếu phép toán hai ngôi trong nhóm G có tính giao hoán thì G được gọi là nhóm Abel

1.1.2 Nhóm con

Cho G là nhóm, H là tập con khác rỗng của G Nếu H cùng với phép toán cảm

sinh của phép toán trong G lập thành một nhóm thì H được gọi là nhóm con của nhóm

1.1.3 Cấp của nhóm

Cho G là nhóm Khi đó cấp của nhóm G chính là lực lượng của G, kí hiệu là

G Nếu G hữu hạn thì G được gọi là nhóm hữu hạn Ngược lại G được gọi là nhóm

vô hạn

1.1.4 Nhóm con chuẩn tắc

Cho G là nhóm và H là nhóm con của G

Ta kí hiệu H G

Định lý 1:

Nếu A là một nhóm con chuẩn tắc của một nhóm X, thì:

(i) Quy tắc cho tương ứng với cặp (xA,yA) lớp trái xyA là một ánh xạ từ

(ii) Nếu H là nhóm con của G và H là p-nhóm thì H được gọi là p-nhóm con của G

(iii) Nếu G là nhóm cấp m.p và n m, p1 và H là nhóm con cấp p của G thì H n

được gọi là p-nhóm con Sylow của G

Tính chất cơ bản của một p-nhóm:

iii) G là một nhóm có cấp là p rr,  1 thì G có một nhóm con chuẩn tắc có cấp là

1

r

1.1.6 Nhóm Xyclic

Cho nhóm G=<S> thì tập S được gọi là tập sinh của G Nếu G có tập sinh hữu

hạn {x1,x2,…,xn} thì G được gọi là nhóm hữu hạn sinh và ta kí hiệu là <x1,x2,…,xn>

Ngược lại G được gọi là nhóm vô hạn sinh Nhóm G được gọi là nhóm xyclic nếu tồn

tại một phần tử a thuộc G sao cho G = <a>

1.1.7 Nhóm con giao hoán tử

Cho G là một nhóm Với x y G,  , thì x y xy1 1

được gọi là hoán tử của x và y

sinh bởi tập tất cả các hoán tử của G được gọi là nhóm con giao hoán tử ( hay nhóm con dẫn xuất) của G và được kí hiệu là G' Ta có G' G G, 

Tính chất:

- G Là nhóm con chuẩn tắc của G '

gọi là một đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu

1.1.9 Đồng dƣ

đồng dư với b modulo m , ký hiệu a b mod m

§2 MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ MỞ RỘNG NHÓM CỦA OTTO SCHREIER

Bây giờ giả sử tồn tại nhóm B , câu hỏi đặt ra là các phần tử A , A B B',B'' phải thoả

ABBA và B' B'' B' B''A B' B'' cùng các quan

B' B''

B'AB'' AB' B'' A' A'' B' B''A A' A'' 

B',B''

B', A' B'', A''  B' B'', A A' A''

Đầu tiên chúng ta xác định các điều kiện để các cặp  B, A là một nhóm

A', A'', A''',B',B'',B'''

B', A' B'', A''  B' B'', A A' A'' là một nhóm với đơn vị E,E thì điều kiện cần và đủ là các phần tử A , A B B ,B  thoả mãn các công thức từ  3 đến  8

Bây giờ giả sử các công thức từ  3 đến  8 đã được thoả và

B,EE, A   B, A tức là một nhóm của các cặp  B, A có thể được tạo ra từ các

phần tử B,E và  E, A Trong đó  B là một nhóm của B, A là một nhóm của A .

ở trên

Chúng ta bắt đầu từ tích trực tiếp 2 nhân tử Nhân tử của A trong nhóm B đẳng cấu với tích trực tiếp B = B B1 2

1

B là phần tử bất kì của B1 và B là phần tử bất kì của 2 B (tương tự 2 ' ''

1 1

B B ) Tương ứng với B trong nhóm A là 1 B , 1 B là 2 B Phần tử 2 BB B1 2 tương ứng trong

' ''

2 1 '' 2 ' '' ' ''

1 1 2 1 ' '' ''

2 2 2 ' '' ' '' ' ''

1 1 2 2 2 1 ' '' ''

2 2 2 ' '' ' '' ' ''

1 1 2 2 2 1

' '' ' ' '' '' ' '' ' ''

1 2 1 2 1 1 2 , 2 ' '' ' ''

1 1 , 2 2 ,' '' ' ''

1 1 2 2 , , ,' ''

B B B

2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2

1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 , B, B B B, , B , (( B B, ) ) (B B B, ) ((B B, ) )B B

cùng với các quan hệ trong A xác định một và chỉ một mở rộng của A theo B B1 2,

Vậy chỉ còn yêu cầu (1), (2), (3)

Đã tìm được những điều kiện mà các phần tử phải thỏa mãn Để rõ ràng hơn ta

không xuất hiện định nghĩa này sẽ dẫn đến những nhầm lẫn

Phương trình (1) có thể được viết lại như sau:

trong A tồn tại những quan hệ sau:

Trên đây là điều kiện cần, nó dẫn đến mỗi một mở rộng của A theo B các phần

tử B B B tạo ra sự mở rộng của A theo i, j, k B B B i, j, k (i j k, , ) Chứng minh các điều kiện đủ thông qua phép quy nạp với một số hữu hạn các nhân tử Giả sử

Ta phải chứng minh: các điều kiện ( )a ( )f đúng đối với , ,i j k1, 2, ,s ,

(i j j; k k; i cũng như vậy với , ,) i j k0, 2, ,s2 (i j j; k k; i) Từ

( )a ( )e hiển nhiên đúng với s3 Cần chứng minh điều kiện ( )f trong trường hợp một trong bộ ba ( , , )i j k bằng 0 Vì ( )f có tính đối xứng nên ta có thể giả định 0

Trường hợp số nhân tử được thực hiện bởi nhận xét: lấy bất kì một phần tử của

Như vậy định lý 2 được chứng minh

Xét trường hợp đặc biệt, các nhân tử B của i B là các nhóm xyclic, n là cấp của i

i

B , nếu nó là hữu hạn

Đến bây giờ ta xem B như một phần tử bất kì, mà chính xác là một phần tử i

i

B vào vị trí của B i, khi đó các phần tử siêu việt x

i

B liên kết

trong nhóm con chúng ta kí hiệu bằng B Ta đặt i x B i x B r x i i , ở quan hệ này r x là số i 

dư không âm nhỏ nhất của x mod n , hoặc bằng x, với i n i 0.

A , A , A Để rút gọn trường hợp ta xét các trường hợp n khác nhau từ số 0 Các i

trường hợp n triệt tiêu làm tương tự i

r x B B

A A

i i

A A

       

x i

Để một trong các số mũ, ví dụ như z có thể tăng lên 1 đơn vị (với điều kiện

Đưa kết quả này vào phương trình cuối cùng ta được  7 cho ba biến

x, y,z1.Bằng cách kết hợp các kết quả trong trường hợp n triệt tiêu, chúng ta có i

i i B

b

A AA A

CHƯƠNG 2: VIỆC MỞ RỘNG NHÓM VÀ PHÂN LOẠI CÁC

p-NHÓM CẤP p3

§1 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA

I Một số định nghĩa

Với mỗi số nguyên dương m, gọi Z là nhóm cộng các số nguyên modulo m m

Cho m với i 1 i r là các số nguyên dương

Đặt:

1 2

Như thế tập các mod  M ma trận chính quy với phép toán cộng và nhân tạo

i, j i

mod m nÕu i j mod m nÕu i j

x x X x

Để phân loại nhóm không Abel dạng p3 tức A từ loại  p , B A từ loại  p, p

ta tiến hành phân loại từ dạng tổng quát tức là nhóm A từ loại  p , B A từ loại

Tương tự cho  3 4, 1 và B , B với 3 4 B , B5 6,… giao hoán

Bằng cách tiếp tục quá trình này, cuối cùng ta được:

1 2, 3 4, 2t1 2, t 1 i, j 0.

        

Trong đó t được xác định duy nhất bởi các nhóm vì số lượng các phần tử bất biến là p  n 1 2t

Ta có  1, 2, ,2t không đồng thời đồng dư với 0 mod p  

Giả sử  1, 2 không đồng thời đồng dư với 0 mod p  

Suy ra    3 1, 4 0, dựa vào   

B B B ; B B B suy ra  3 0trong khi các hằng số khác không đổi

Lặp lại quá trình này ta có:  1 0 hoặc  1 1,

Do đó ta có mở rộng 3 nhóm được đặc trưng bởi sơ đồ:

Trong đó hai nhóm bất kì là không đẳng cấu

Áp dụng phần 1 cho trường hợp n1 và s2, chọn t1 ta có hai nhóm đó là + Với    1 1, 2 0 ta có:

KẾT LUẬN

Trong khoá luận này đã tìm hiểu và trình bày những vấn đề sau:

1 Trình bày những khái niệm cơ bản về nhóm

2 Mở rộng nhóm theo một nhóm bất kỳ

3 Mở rộng của một nhóm theo tích trực tiếp

4 Mở rộng của một nhóm với các nhóm abel

5 Một số định nghĩa về modulo ma trận

6 Các định lý Schreier

7 Sử dụng lý thuyết mở rộng nhóm của Otto Schreier để phân loại các p-nhóm cấp p 3

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Hữu Việt Hưng (2004), Đại số đại cương, Nhà xuất bản giáo dục

Mathematik und Physik 1926, tập 34, số 1, trang 165-180

[3] Otto Schreier, Über die Erweiterung von Gruppen II, Abhandlungen aus

dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 1925/1926, tập 4, số 1, trang 321-346

[4] Hoàng Xuân Sính (1998), Đại số đại cương, Nhà xuất bản giáo dục

MỤC LỤC

Trang

LỜI MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 3

§1 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA 3

1.1.1 Nhóm 3

1.1.2 Nhóm con 3

1.1.3 Cấp của nhóm 3

1.1.4 Nhóm con chuẩn tắc 3

1.1.5 p-nhóm 4

1.1.6 Nhóm Xyclic 5

1.1.7 Nhóm con giao hoán tử 5

1.1.8 Đồng cấu 5

1.1.9 Đồng dư 6

§2 MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ MỞ RỘNG NHÓM CỦA OTTO SCHREIER 7

I MỞ RỘNG CỦA MỘT NHÓM THEO MỘT NHÓM BẤT KÌ 7

II MỞ RỘNG CỦA MỘT NHÓM THEO TÍCH TRỰC TIẾP 11

III MỞ RỘNG MỘT NHÓM VỚI CÁC NHÓM ABEL 18

CHƯƠNG 2: VIỆC MỞ RỘNG NHÓM VÀ PHÂN LOẠI CÁC p-NHÓM CẤP p 3 26

§1 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA 26

I Một số định nghĩa 26

1 Mod M ma trận cột 26

2 Mod M ma trận 26

3 Mod M ma trận chính quy 26

4 Mod M ma trận đơn vị 27

5 Ma trận thực chính quy 27

II Một số định lý 27

1 Định lý I (định lý Schreier) 27

2 Định lý II: 29

§2 PHÂN LOẠI CÁC p –NHÓM CẤP p3 29

1 Nhóm A từ loại  p , B A từ loại  n n n s p ,p , ,p 29

2 Nhóm không Abel bậc p3 33

KẾT LUẬN 34

TÀI LIỆU THAM KHẢO 35