Nghiệm đa thức của bài toán chuyển động dưới sự tác dụng của lực trọng trường

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG————— BÁO CÁO LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP NGHIỆM ĐA THỨC CỦA BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG DƯỚI SỰ TÁC DỤNG CỦA LỰC TRỌNG TRƯỜNG Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Thanh

Mục lục

1.1 Các phép toán trên ma trận 7

1.1.1 Phép cộng 7

1.1.2 Phép nhân số thực với ma trận 7

1.1.3 Phép nhân hai ma trận 7

1.2 Định thức 8

1.3 Các tính chất của định thức 8

1.3.1 Tính chất 1 8

1.3.2 Tính chất 2 8

1.4 Định thức Vandermonde 9

1.5 Định thức Wronxki 9

1.6 Hệ Cramer 9

1.7 Định lý Cramer 9

1.8 Sử dụng phần mềm Mathematica 4.2 để tính giá trị của định thức, vẽ đồ thị của các hàm số 10

2 Nghiệm đa thức của bài toán chuyển động dưới sự tác dụng của lực trọng trường 11 2.1 Đặt bài toán 11

2.2 Xác định hàm điều khiển u(t) của (2.4) dưới dạng một đa thức 12

2.3 Xác định hàm điều khiển u(t) của (2.4) với điều kiện có k

điểm kiểm tra 14

2.4 Kết luận 16

2.5 Áp dụng 17

2.5.1 Với 0 điểm kiểm tra: 17

2.5.2 Với 1 điểm kiểm tra: 18

2.5.3 Với 2 điểm kiểm tra: 19

2.5.4 Bài toán (2.4) với 3 điểm kiểm tra: 21

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

—————

BÁO CÁO LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

NGHIỆM ĐA THỨC CỦA BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG

DƯỚI SỰ TÁC DỤNG CỦA LỰC TRỌNG TRƯỜNG

Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Thanh Thảo Giáo viên hướng dẫn: T.S Lê Hải Trung

Đà Nẵng, 06/2013

Em xin bày tỏ sự biết ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu trường Đại Học

Sư Phạm-Đại Học Đà Nẵng, Ban Chủ nhiệm khoa Toán đã tạo cơ hội cho

em được làm khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn tớicác thầy cô giáo trong Khoa Toán, Trường Đại Học Sư Phạm-Đại Học ĐàNẵng đã nhiệt tình giảng dạy em trong suốt các năm học Đại học vừa qua.Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng khóa luận cũng không tránh khỏi sai xót

Em mong được những ý kiến đóng góp của thầy cô giáo và các bạn để khóaluận được hoàn thiện hơn

Đà Nẵng, ngày 30 tháng 05 năm 2013

Sinh viênNguyễn Thị Thanh Thảo

Mở đầu

1 Lý do lựa chọn đề tài

Cùng với sự phát triển của khoa học kỹ thuật, lý thuyết điều khiển làmột trong những lính vực đang nhận được sự quan tâm trong toán học hiệnđại, trong đó các bài toán vật lý, hóa học, sinh học,kinh tế đang đượcchuyển về các mô hình toán học và được xem xét mô tả bằng các phươngtrình vi phân tuyến tính, phi tuyến hoặc hệ phương trình vi phân Một số

ít bài toán được giải bằng phương pháp đại số và giải tích nhưng đại đa sốchúng được xem xét dưới hệ phương trình nhiều ẩn mà việc tính được đượcnghiệm chính xác của nó rất phức tạp hầu như không giải được bằng nhữngphép biến đổi cơ bản cũng như việc vẽ đồ thị của các hàm điều khiển Bằngcách ứng dụng các phần mềm Toán học như mathematica 4.2, Sketpad 5.0chúng ta có thể tìm được nghiệm của hệ phương trình một cách dễ dàng bằngcách đưa chúng về hệ phương trình Cramer và áp dụng định lí Cramer đểtính nghiệm, vẽ độ thị một cách chính xác nhất Mô hình của bài toán điềukhiển dưới dạng hệ dừng tuyến tính đã được xem xét, nghiên cứu bởi các tácgiả như: A Ailon, L Baratchar, G Grimm G, Langholz, Achim IIichman,Volker Mehrman, Andrayev Y, Kraxopxki N, Zubova S, Raeskaya E, vànghiệm tìm được biểu diễn dưới dạng hàm mũ ma trận

Với hi vọng đem lại cách giải quyết bài toán một cách đơn giản và nhanhgọn hơn tôi đã lựa chọn đề tài "Nghiệm đa thức của bài toán chuyển độngdưới sự tác dụng của lực trọng trường" cho luận văn tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Xác định hàm điều khiển u(t) thông qua việc tìm nghiệm của bài toánđiều khiển dưới dạng đa thức bậc 2k + 3 trong điều kiện có k điểm kiểm trabằng việc giải hệ phương trình Cramer bởi phầm mềm Mathematica 4.2 và

vẽ đồ thị của chúng.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

– Đọc và nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài: Hệ phương trình viphân tuyến tính, định thức Vandermonde, định thức Wronxki,

– Làm quen và ứng dụng được phần mềm Mathematica cho nội dung của

đề tài

4 Phương pháp nghiên cứu

–Trong phạm vi của đề tài có sử dụng kiến thức thuộc các lĩnh vực: Lýthuyết Phương trình vi phân, Đại số tuyến tính, Giải tích

5 Cấu trúc của đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo thì nội dung của luậnvăn được chia làm hai chương, trong đó:

–Chương 1: Tác giả hệ thống lại các kiến thức cơ sở: Ma trận và các phéptoán của ma trận, định thức của ma trận, tính chất của định thức, Định thứcVandermonde, Định thức Wronxki, Hệ Cramer và Định lí Cramer nhằm mụcđích phục vụ cho Chương 2

–Chương 2: Là nội dung cơ bản của luận văn, được phát triển trên cơ sởcủa bài báo [1] Và dưới cách nhìn nhận của bản thân, tác giả đã tiến hànhchứng minh chi tiết hơn các kết quả của bài báo và tiến hành xem xét cáctrường hợp riêng để tiến hành khảo sát và xây dựng đồ thị của các hàm trạngthái và hàm điều khiển

Luận văn được soạn thảo trên phần mềm VieTex với dung lượng 50trang, các kết quả tính toán trong luận văn được thực hiện trong phần mềmMathematica 4.2, máy tính Sony Vaio Vpc - Eb33FM/BJ, hệ điều hànhWindows 7 Ultimate, 2.67 Hz, Ram 4.0GB

trong đó AT là ma trận chuyển vị của A

Nhận xét: nếu một tính chất nào đó của định thức được phát biểu đúngvới hàng thì tính chất đó cũng đúng với cột

1.3.2 Tính chất 2

Nếu ta nhân một hàng của ma trận cho một số k 6= 0 thì định thức đượcnhân lên k lần

1.4 Định thức Vandermonde

V =

1 f1 f12 f1n−1

1 f2 f22 f2n−1

1 fn fn2 fnn−1

1≤i<j≤n

×(fj − fi) 6= 0

Cho hệ {fi(x)}ni=1 - độc lập tuyến tính, khả vi (n − 1) lần trên khoảng (a, b)

nào đó, x ∈ (a, b) Khi đó định thức

W =

f1 f2 fn

f10 fn0 fn0

f1(n−1) f2(n−1) fn(n−1)

được gọi là định thức Wronxki, và kí hiệu là W (x) 6= 0, ∀x ∈ (a, b)

Chương 2

Nghiệm đa thức của bài toán chuyển động dưới sự tác dụng của lực trọng

ở đây x = x(t) ∈ Rn, B ∈ L(Rn,Rn), D ∈ L(Rn,Rm) Điều kiện x(0) = x0

được gọi là điều kiện đầu của hệ, x(T ) = xT được gọi là điều kiện cuối của

hệ Mục đích là đi tìm hàm u(t) dịch chuyển được hệ (2.1) từ điều kiện đầu

về điệu kiện cuối

Tiến hành xem xét hệ động lực học tuyến tính dạng (2.1) được mô tả bởimối quan hệ sau:

Đặc biệt nghiệm x(t) của bài toán (2.5) tìm được dưới dạng đa thức bậc

5và hàm điều khiển u(t) có dạng đa thức bậc 3 (khi có một điểm kiểm tra)

Ta sẽ chứng tỏ nghiệm u(t) của bài toán (2.4)- (2.2)- (2.3) có thể tìm đượcdưới dạng đa thức bậc 2k + 3 trong điều kiện có k điểm kiểm tra

Ta tiến hành khảo sát vấn đề (2.4) với điều kiện:

x(t) = A0 + A1 × t + A2 × t2 + A3 × t3 (2.8)trong đó,

⇔ 



a2 × T2 + a3 × T3 = α1 − x01 − x02 × T2a2 × T + 3a3 × T2 = α2 − x0

T2 T32T 3T2

= T4 6= 0

vì vậy hệ (2.12) có nghiệm duy nhất, như thế ta chứng tỏ được nghiệm củabài toán (2.4)- (2.6)- (2.7) dưới dạng đa thức bậc 3 Định lí 2.1 đã đượcchứng minh Như thế bài toán (2.4) với điều kiện 0 điểm kiểm tra cho tanghiệm x(t) dưới dạng đa thức bậc 3 Không khó để chứng tỏ nghiệm củabài toán (2.4) - (2.2) - (2.3) với một điểm kiểm tra dưới dạng một đa thứcbậc 5 Trong phần sau, ta tiến hành xem xét bài toán (2.4) khi có k điểmkiểm tra

với điều kiện có k điểm kiểm tra.

Tiến hành xem xét bài toán (2.4) với điều kiện có k điểm kiểm tra:

j = 1, k, 0 < tj < T

Đây là hệ Cramer’s, với định thức của ma trận hệ số là:

∆ =

T2 T3 T4 T2k+2 T2k+32T 3T2 4T3 (2k + 2)T2k+1 (2k + 3)T2k+2

t21 t31 t41 t2k+21 t2k+312t1 3t21 4t31 (2k + 2)t2k+11 (2k + 3)t2k+21

t2k t3k t4k t2k+2k t2k+3k2tk 3t2k 4t3k (2k + 2)t2k+1k (2k + 3)t2k+2k

trong đó 0 < tj < T Đặt ti = λiT, i = 1, k, ta được:

Như thế, nghiệm của bài toán (2.4)- (2.20) nhận được là:

−6837.1219628.42

2.5.4 Bài toán (2.4) với 3 điểm kiểm tra:

Hình 2.4: Đồ thị của hàm τ = {u1, u2}

Tài liệu tham khảo

[1] Lê Hải Trung, Đặng Hữu Hiền (2011), Về nghiệm đa thức của bài toánchuyển động trong điều kiện có k điểm kiểm tra Tạp chí khoa học vàcông nghệ (05.2011), tr 133- 138

[2] Đề tài cấp ĐHĐN: Xây dựng nghiệm đa thức của hệ dừng động học tuyếntính với các điểm kiểm tra và giới hạn lên hàm hiệu chỉnh Chủ nhiệm:

TS Lê Hải Trung Thành viên: ThS Lê Văn Dũng Mã số: Đ2012-03-30.Năm: 2012 (23/12/2012)

[3] Bài báo: Về hàm điều khiển đa thức của bài toán chuyển động Tác giả:

Lê Hải Trung, Phan Thị Tố Loan Tạp chí Khoa học và Công nghệ Số:7(56) Trang: 81-84 Năm 2012 (21/10/2012)

[4] Về hàm trạng thái đa thức cho hệ dừng động học tuyến tính Tác giả:

Lê Hải Trung Tạp chí Khoa học và Công Nghệ Đại học Đà Nẵng Số:11[60] Trang: 53 - 57 Năm 2012 (23/01/2013)

[5] Bài báo: Về nghiệm đa thức của bài toán điều khiển trong điều kiện cóđiểm kiểm tra Tác giả: Lê HảiTrung, Đặng Hữu Hiền Tạp chí Khoa học

và Công nghệ - Đại học Đà Nẵng Số: 5[40] Trang: 178-183 Năm 2010.(30/12/2010)

[6] Nguyễn Viết Đức, Đặng Ngọc Dục (2004),Đại số tuyến tính

[7] Ailon A., Langholz G More on the controllability of linear time – ant system Int J Contr 1986 44 N0 4 P 1161 - 1176

invari-[8] Ailon A., Langholz G., Grimm J., Baratchant L On Polynomial controllwith Polynomial state for linear constant system " IEEE Trans AutomContr" 1986, 31, N0 2 P 155 - 156.

[9] Achim IL Chmann., Volker Mehrman A beharioral aproach to time varying linear system SIAMJ Control and optimization Vol 44, N0 5.November 2005 P 1725 - 1765

[2] Đề tài cấp ĐHĐN: Xây dựng nghiệm đa thức hệ dừng động học tuyếntính... biệt nghiệm x(t) tốn (2.5) tìm dạng đa thức bậc

5và hàm điều khiển u(t) có dạng đa thức bậc (khi có điểm kiểm tra)

Ta chứng tỏ nghiệm u(t) toán (2.4)- (2.2)- (2.3) tìm đượcdưới