Các bài toán về góc và khoảng cách giữa các phẳng trong không gian euclide hữu hạn chiều

Trong môn học này ta sẽ biết được cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng, mặt phẳng, tính thể tích, góc và vận dụng nó vào việ

Vũ Quang Huy – 09ST

Mục lục

Trang

Lời cảm ơn 1

PHẦN I: GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI 2

I Lý do chọn đề tài 2

II Phạm vi nghiên cứu 3

III Mục đích chọn đề tài 3

IV Ứng dụng của đề tài 3

PHẦN II: NỘI DUNG 4

Chương I: Cơ sở lí luận 4

§1 Sơ lược về không gian Affine 4

1 Không gian Affine 4

1.1 Định nghĩa 4

2 Phẳng 5

2.1 Định nghĩa 5

3 Giao giữa các phẳng 6

3.1 Định lí 6

3.2 Định nghĩa 6

4 Vị trí tương đối giữa các phẳng 6

4.1 Định nghĩa 6

4.2 Một số tính chất 6

§2 Sơ lược về không gian Euclide 7

1 Tích vô hướng 7

1.1 Định nghĩa 7

1.2 Tính chất tích vô hướng 7

2 Không gian euclide 7

2.1 Các định nghĩa 7

Vũ Quang Huy – 09ST

3 Định nghĩa sự trực giao giữa các phẳng trong không gian vector Euclide 8

3.1 Định nghĩa 8

3.2 Định lí 9

4 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng 9

4.1 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng 9

4.2 Hệ quả 9

5 Một số vấn đề về ma trận và định thức Gram 9

5.1 Định lí 10

6 Khoảng cách 13

6.1 Định nghĩa 13

6.2 Đường vuông góc chung 13

6.3 Các công thức tính khoảng cách 14

7 Thể tích hình hộp m-chiều trong không gian Euclide 16

7.1 Các định nghĩa 16

7.2 Công thức tính thể tích hình hộp m-chiều 16

8 Góc 21

8.1 Góc giữa hai vector 21

8.2 Góc giữa hai đường thẳng 21

8.3 Góc giữa hai siêu phẳng 21

8.4 Góc giữa đường thẳng và siêu phẳng 21

Chương II: Các bài toán về góc và khoảng cách trong không gian n E 23

§1 Các bài tập tính khoảng cách và thể tích 23

§2 Một số bài toán xác định góc 37

§3 Một số bài tập tổng hợp 42

§4 Một số bài tập đề nghị 49

PHẦN III: KẾT LUẬN 53

TÀI LIỆU THAM KHẢO 55

Vũ Quang Huy – 09ST Trang 1

Lời Cảm Ơn

Tôi xin chân thành cảm ơn cô giáo Đinh Thị Văn đã nhiệt tình hướng dẫn, chỉ bảo, truyền đạt kinh nghiệm và gợi mở những ý tưởng giúp tôi hoàn thành khóa luận này

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Đà Nẵng đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ, đóng góp ý kiến quỹ báu giúp tôi hoàn thành tốt khóa luận tố nghiệp của mình

Tôi xin cảm ơn phòng thư viện Trường Đại Học Sư Phạm Đà Nẵng đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi có được nguồn tài liệu làm khóa luận

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè những người luôn ủng hộ tôi, cung cấp cho tôi những thông tin cần thiết, những lời động viên, khích lệ chân thành cùng các ý kiến quý báu trong thời gian tôi làm khóa luận

Đà Nẵng, tháng 5 năm 2013

Sinh viên thực hiện

Vũ Quang Huy

Vũ Quang Huy – 09ST Trang 2

PHẦN I: GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI

I Lý do chọn đề tài

Toán học có nguồn gốc trong thực tiễn, có vai trò to lớn trong đời sống và khoa học

kĩ thuật, nó giúp chúng ta rèn luyện phương pháp suy luận, giải quyết vấn đề, rèn luyện trí thông minh sáng tạo Đồng thời rèn luyện đức tính cần cù, nhẫn nại, tự lực cánh sinh nên dù học ngành nào, trong công tác nào thì kiến thức toán học cũng rất quan trọng

Ở trường phổ thông, môn toán là môn học khá quan trọng, khá hay, đòi hỏi nhiều tư duy, kĩ năng Đặc biệt là môn hình học, đây là môn học khá trừu tượng khiến học sinh tương đối vất vả

Hình học là môn học xuất hiện rất sớm Con người phải đo đạc những thửa ruộng, đong thóc gạo khi thu hoạch Lúc này môn hình học ra đời là khoa học về đo đạc nhưng con người lại nghiên cứu nhiều vấn đề phức tạp hơn Do đó hình học trở thành môn khoa học thực sự khi con người nêu lên tính chất hình học bằng con đường suy diễn chặt chẽ

Hệ tiên đề hình học đầu tiên lấy mô hình từ không gian vật lý theo nhận thức là các khái niệm điểm, đường thẳng, mặt phẳng Từ ba khái niệm này Euclide đã xây dựng thành nội dung toàn bộ môn hình học ở phổ thông hiện nay Sau này gọi là hình học Euclide

Hình học Euclide là môn học khá hay, quan trọng đối với sinh viên Trong môn học này ta sẽ biết được cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng, mặt phẳng, tính thể tích, góc và vận dụng nó vào việc giải các bài toán phổ thông được nhanh hơn, ngắn gọn hơn

Chính vì vậy tôi xây dựng đề tài này nhằm nghiên cứu những vấn đề xoay quanh việc tính khoảng cách, góc trong không gian Euclide hữu hạn chiều

Vũ Quang Huy – 09ST Trang 3

Với những lý do đó nên tôi chọn đề tài: “Các bài toán về góc và khoảng cách

giữa các phẳng trong không gian Euclide hữu hạn chiều”

II Phạm vi nghiên cứu

Đề tài tìm hiểu, nghiên cứu và đưa ra lời giải, cách giải cho một số dạng toán tính khoảng cách và góc Đồng thời mở rộng những vấn đề có liên quan đến khoảng cách và góc như thể tích Ngoài ra còn vận dụng những công thức tổng quát về góc, khoảng cách, thể tích để áp dụng vào không gian Euclide ba chiều ở trung học phổ thông

III Mục đích của đề tài

Đề tài nghiên cứu về các công thức, cách giải, trình bày lời giải một bài toán tính góc, khoảng cách, thể tích trong không gian Euclide hữu hạn chiều nhằm thấy được sự tương ứng giữa không gian Euclide ba chiều và không gian Euclide có số chiều lớn hơn ba

IV Ứng dụng của đề tài

Đề tài được sử dụng cho tất cả các sinh viên khoa Toán, giáo viên dạy Toán THPT nhằm củng cố, mở rộng một số kiến thức về không gian Affine, không gian Euclide, đại số tuyến tính

Vũ Quang Huy – 09ST Trang 4

PHẦN II: NỘI DUNG

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN

§1: SƠ LƯỢC VỀ KHÔNG GIAN AFFINE

1 KHÔNG GIAN AFFINE

1.1 Định nghĩa

Cho V là một không gian vectơ trên trường K và A là một tập hợp khác

rỗng mà các phần tử của nó gọi là điểm.Giả sử có ánh xạ

f: AA V

Thỏa mãn hai điều kiện sau

i Với mọi điểm M thuộc A và mọi vectơ v V có duy nhất một điểm

N thuộc A sau cho MNv

ii Với ba điểm M,N,P tùy ý thuộc A ta luôn có

f (M,N) + f (N,P) = f (M,P) hay MNNPMP

Khi đó ta nói A là một không gian affine, hay đầy đủ hơn A là không

gian affine trên trường K liên kết với không gian vectơ V

Không gian vectơ V liên kết với không gian affine A còn được kí hiệu

là A và được gọi là nền của không gian affine A

Khi K=R ta nói A là một không gian affine thực Khi K=C, ta nói A là

một không gian affine phức

Đôi khi ta nói A là một K-không gian affine để nhấn mạnh về trường K.(A, A,f ) là ký hiệu đầy đủ của một không gian affine Trong trường

hợp không có điều gì gây nhầm lẫn, để đơn giản ta chỉ ghi vắn tắt là A(K)

hoặc A

Khi 𝑨 ⃗⃗ là không gian vector chiều thì ta nói A là không gian affine

n-chiều và dùng ký hiệuAn để nhấn mạnh về số chiều của A Ký hiệu số chiều của A là dimA Như vậy

Vũ Quang Huy – 09ST Trang 5

dim A = dim 𝑨 ⃗⃗⃗

Nếu không nói gì thêm thì không gian affine là không gian affine n-

chiều và trường K sẽ là trường số thực R hoặc là trường số phức C Tuy vậy,

một số phần như liên quan đến siêu mặt bậc hai chỉ sẽ chú trọng đến việc trình bày trong không gian thực

Ví dụ

a) Đối với hình học giải tích ở PTTH, chúng ta cần phân biệt không gian

ba chiều thông thường, là không gian chỉ gồm các điểm (ký hiệu là E3)

và không gian các vector “tự do” (ký hiệu là V3) Xét ánh xạ

f: E3 E3 V3

Khi đó f thỏa mãn các điều kiện i) và ii) Vậy E3

là không gian affine

Tương tự như trên ta cũng có E2

cũng là không gian affine

b) Cho V là một không gian vectơ Nếu ta xem các vectơ của V là các

điểm khi đó xét ánh xạ

f: V  V  V

 a b, f  a b, =ab

Ánh xạ f xác định như trên cũng thỏa mãn hai điều kiện i) và ii) nên V

trở thành không gian affine liên kết với chính nó

Gọi là phẳng đi qua P với không gian chỉ phương 

Nếu dim = m thì ta nói  là một m- phẳng và viết dim = m

Siêu phẳng là phẳng có đối chiều 1

Nhận xét

Vũ Quang Huy – 09ST Trang 6

a) Nếu  là phẳng đi qua P thì P và M N,  , vectơ MNb) 0- phẳng là tập hợp chỉ gồm 1 điểm

c) Điểm P trong định nghĩa phẳng bình đẳng với mọi điểm khác trong phẳng

d) Giả sử  là phẳng đi qua P với phương  và  là là phẳng đi qua

gian affine A Nếu i I i {MA:PM  i Ii} khác rỗng thì i I i

Định lí 3: Trong không gian affine n chiều 𝑨 cho một siêu phẳng 

và một m-phẳng  với 1  m n 1 Khi đó  và  hoặc song song hoặc cắt nhau theo một m1 -phẳng

Vũ Quang Huy – 09ST Trang 7

§2:SƠ LƯỢC VỀ KHÔNG GIAN EUCLIDE

d) a a 0, dấu “=” xảy ra kho a0

Một không gian vector được tran bị thêm tích vô hướng đối với hai

vector bất kì của nó sẽ trở thành một không gian vector Euclide

1.2 Tính chất của tích vô hướng

Định nghĩa 1: Không gian affine thực được gọi là không gian Euclide

nếu không gian liên kết là một không gian vector Euclide

Vũ Quang Huy – 09ST Trang 8

1 2

0 1 0 1 2 0 2 0 0

, , ,

n

n n i

3 ĐỊNH NGHĨA SỰ TRỰC GIAO GIỮA CÁC PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN VECTOR EUCLIDE

Nếu trong hình học affine, giữa hai phẳng chỉ có thể nói đến các vị trí tương đối : cắt nhau, song song và chéo nhau thì trong hình học Euclide ta có một vị trí tương đối là trực giao (vuông góc)

3.1 Định nghĩa

Hai phẳng  và  trong không gian Euclide E được gọi là trực

giao (hay vuông góc) với nhau, kí hiêu   , nếu phương của chúng

là các không gian vector con trực giao trong E Nếu các phương  và

 bù trực giao trong E , ta nói  và  là bù trực giao

Chú ý: Theo định nghĩa, hai phẳng  và  trực giao khi và chỉ khi

  , nên   {0} Từ đây suy ra dim     =dimdim

Do đó

 Nếu dim  + dim   n thì  và  không trực giao (Trong không gian Euclide 3 chiều, hai mặt phẳng không thể trực giao nhau mặc

dù vẫn có định nghĩa hai mặt phẳng vuông góc ở phổ thông )

 Nếu  và  bù trực giao nhau thì dim  + dim   n Hay

nE

   

Vũ Quang Huy – 09ST Trang 9

3.2 Định lí

Trong không gian Euclide E

a Hai phẳng trực giao có không quá một điểm chung

b Hai phẳng bù trực giao có một điểm chung duy nhất

4 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

4.1 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trong không gian Euclide E n với mục tiêu trực chuẩn cho trước, giả sử

| | | |

.

n

i i i

Ma trận trên gọi là ma trận Gram của hệ vectơ u u1, 2, ,u m

Gọi a a1i, 2i, ,a ni là tọa độ của vectơ u i; i 1 m trong một cơ sở trực chuẩn nào đó của n

E

V Xét ma trận:

Vũ Quang Huy – 09ST Trang 10

Vũ Quang Huy – 09ST Trang 11

2 i1 i1 i2 i1 im

Nếu hệ vectơ u u1, 2, ,u m phụ thuộc tuyến tính tức tồn tại vectơ u i

biểu thị tuyến tính qua các vectơ còn lại:

Vũ Quang Huy – 09ST Trang 12

1 1

Nếu Gr u u 1, 2, ,u m là ma trận đường chéo tức là các u u i. j    0; i j

.Tức u u i, j đôi một trực giao với nhau Suy ra hệ vectơ u u1, 2, ,u m là hệ trực giao

Nếu Gr u u 1, 2, ,u m là ma trận đơn vị, tức

0; và 1; 1

u u   i j u u   i m

Vũ Quang Huy – 09ST Trang 13

Suy ra hệ vectơ u u1, 2, ,u m là hệ trực chuẩn

6 KHOẢNG CÁCH

6.1 Định nghĩa

a) Khoảng cách giữa hai điểm

Khoảng cách giữa hai điểm M,N trong E , kí hiệu d M N ,  là độ dài vector MN Tức là

d M N  MN  MN

b) Khoảng cách giữa hai phẳng

Khoảng cách giữa hai cái phẳng  và  trong E kí hiệu d   ,  là

ii) Chúng ta có thể định nghĩa khảng cách giữa hai hình tùy ý như

định nghĩa của hai cái phẳng 6.2 Đường vông góc chung

cả  và  Nếu d  và d  thì d được gọi là đường vuông góc chung của  và 

Định lý : Nếu đường vông góc chung d của  và  cắt  tại A và cắt

Từ đây suy ra d A B , d M N( , ) Theo định nghĩa ta có

d A B d  

Vũ Quang Huy – 09ST Trang 14

6.3 Các công thức tính khoảng cách

Trong không gian Euclide E n với một mục tiêu cho trước Khi đó

a) Khoảng cách giữa hai điểm

Giả sử điểm M có tọa độ x x x1, 2, 3, ,x n và điểm N có tọa độ

y y y1, 2, 3, ,y n đối với mục tiêu trực chuẩn { , }O e i của E n Khi đó

A và B Gọi { ,  1 2, 3, ,m} là một cơ sở bất kì của

Gr

c) Khoảng cách từ một điểm đến một siêu phẳng

Trong E n giả sử đối với mục tiêu trực chuẩn cho trước siêu phẳng

 có phương trình

1 1 2 2 n n 0

a x a x  a x a 0Gọi  là phương của siêu phẳng  Xét vector n   a a1, 2, , an là

vector pháp tuyến của siêu phẳng

Với P p p1, 2, ,p k và M m m 1, 2, ,m k bất kì thuộc  ta có

Vũ Quang Huy – 09ST Trang 15

0 1

0 1

0 0

n

i i i n

i i i



nào thuộc  và ta gọi n là vector pháp tuyến của 

Cho điểm K k k1, 2, ,k n không thuộc siêu phẳng  Gọi H là hình chiếu vuông góc của K trên  Khi đó khoảng cách từ K đến 

0

i i i n

i i i

2 1

n

i i i n i i

a k a t

Vũ Quang Huy – 09ST Trang 16

2 1

,

n

i i i n i i

1

m n

i i i i

Vũ Quang Huy – 09ST Trang 17

a) Định lí : Bình phương thể tích của m – hộp đi qua điểm I dựng theo hệ

vectơ u u1, 2, ,u m bằng định thức Gram của hệ vectơ u u1, 2, ,u m

Vũ Quang Huy – 09ST Trang 18

0

.

Vũ Quang Huy – 09ST Trang 19

1 Đây là tính chất được suy ra từ định thức Gram

Và đây cũng là phép chứng minh tổng quát cho công thức tính thể tích

của hình hộp chữ nhật trong không gian 3 chiều sơ cấp: V abc với a,

b, c lần lượt là ba kích thước của hình hộp chữ nhật

2 Theo công thức tính thể tích của m – hộp và định thức Gram, ta có:

3 Gọi ( ) :  1, 2, ,n là một cơ sở trực chuẩn trong En và gọi

a a1i, 2i, ,a ni là tọa độ của vectơ u i; i 1 n trong ( ) Xét

Vũ Quang Huy – 09ST Trang 20

Vũ Quang Huy – 09ST Trang 21

8 GÓC

8.1 Góc giữa hai vector

Trong E n cho hai vector u v, đều khác 0 Ta gọi góc giữa hai vector ,

u v là số  thỏa 0   và os .

| | | |

u v c

 

 Nếu u v, phụ thuộc tuyến tính thì vu với  nào đó thuộc R

os

| | | |

u v c

 

2 2

.

1

| | | |

u u

8.2 Góc giữa hai đường thẳng

Trong E n cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có phương là  và  Gọi a và b là các vector khác 0 lần lượt lấy trên  và 

Khi đó góc  giữa hai đường thẳng d và d’ tính bởi công thức

| | os

| | | |

u v c

8.3 Góc giữa hai siêu phẳng

Trong E n cho hai siêu phẳng  và  Gọi u v, lần lượt là hai vector pháp tuyến của hai siêu phẳng  và  Khi đó góc  giữa hai siêu phẳng tính bởi công thức

| | os

| | | |

u v c

 

8.4 Góc giữa đường thẳng và siêu phẳng

Vũ Quang Huy – 09ST Trang 22

Trong E n cho đường thẳng d có vector chỉ phương u và siêu phẳng 

có vector pháp tuyến n Khi đó góc  giữa đường thẳng và siêu phẳng tính bởi công thức

| | sin

| | | |

u n

 

Vũ Quang Huy – 09ST Trang 23

CHƯƠNG II: CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH TRONG

Vũ Quang Huy – 09ST Trang 24

Bài 2: Trong 4

E với mục tiêu trực chuẩn đã cho, cho mặt phẳng P đi

qua ba điểm : A1,1,1,1 , B2, 2, 0, 0 , C1, 2, 0,1 và đường thẳng d đi qua hai điểm D1,1,1, 2 và E1,1, 2,1

a) Chứng minh P và d chéo nhau

b) Viết phương trình đường vuông góc chung và tính độ dài đoạn vuông góc chung đó

   nên ba vector AB AC DE, , độc lập tuyến tính nên mặt phẳng P

và đường thẳng d không có phương chung Ta có phương trình tham số của mặt phẳng P là

Vũ Quang Huy – 09ST Trang 25

t t u u

x x

x x

x x x x

b) Gọi Q là siêu phẳng chứa đường thẳng d và có phương chứa phương của

phương của đường vuông góc chung IJ

Vũ Quang Huy – 09ST Trang 26

Gọi R là siêu phẳng chứa P và bù vuông góc với d Như vậy R có phương chứa phương của IJ

1 2 3 4 1

2

3 4

0 1

1 3

x x

113232

Vũ Quang Huy – 09ST Trang 27

1 4

2 3 1 2 3 4

22113232