Giáo trình môn học Toán kinh tế (Nghề: Kế toán doanh nghiệp): Phần 1

Giáo trình môn học Toán kinh tế nhằm cung cấp cho người học những kiến thức để vận dụng toán học trong phân tích các mô hình kinh tế để từ đó hiểu rõ hơn các nguyên tắc và các quy luật kinh tế của nền kinh tế thị trường. Cấu trúc của giáo trình được tổ chức thành 4 chương, mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm nội dung chi tiết.

BỘ GIAO THÔNG VẬN TẢI TRƯỜNG CAO ĐẲNG GIAO THÔNG VẬN TẢI TRUNG ƯƠNG I

GIÁO TRÌNH MÔN HỌC

TOÁN KINH TẾ

TRÌNH ĐỘ CAO ĐẲNG

NGHỀ: KẾ TOÁN DOANH NGHIỆP

Ban hành theo Quyết định số 1661/QĐ-CĐGTVTTWI ngày 31/10/2017

của Hiệu trưởng Trường Cao đẳng GTVT Trung ương I

BỘ GIAO THÔNG VẬN TẢI

TRƯỜNG CAO ĐẲNG GIAO THÔNG VẬN TẢI TRUNG ƯƠNG I

MỤC LỤC

Lời nói đầu……… 4

Chương 1: Đại số tuyến tính 7

1 Vectơ n chiều và các phép tính 7

1.1 Định nghĩa 7

1.2 Các phép toán vectơ 7

1.3 Độc lập và phụ thuộc tuyến tính 7

2 Ma trận 7

2.1 Các khái niệm cơ bản 8

2.2 Các phép tính ma trận 9

2.3 Các phép biến đổi ma trận 11

3 Định thức 11

3.1 Cách xác định giá trị định thức 11

3.2 Tính chất của định thức 13

4 Ma trận nghịch đảo 14

4.1 Định nghĩa 14

4.2 Cách tìm ma trận nghịch đảo 14

5 Hệ phương trình tuyến tính 15

5.1 Khái niệm 15

5.2 Phương pháp giải 16

6 Bài tập 19

Chương 2: Phương pháp đơn hình và Bài toán đối ngẫu 19

1 Các khái niệm, tính chất chung của bài toán quy hoạch tuyến tính 21

1.1 Một số ví dụ thực tế dẫn đến bài toán quy hoạch tuyến tính 21

1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính và các dạng đặc biệt 25

1.3 Phương án cực biên 30

1.4 Các tính chất chung của bài toán quy hoạch tuyến tính 31

2 Phương pháp đơn hình 31

2.1 Nội dung và cơ sở của phương pháp 31

2.2 Thuật toán của phương pháp đơn hình 33

2.3 Thuật toán mở rộng 38

3 Bài toán đối ngẫu 40

3.1 Định nghĩa 40

3.2 Sơ đồ viết bài toán đối ngẫu 41

4.Bài tập 45

Chương 3: Toán xác suất 50

1 Giải tích tổ hợp 50

1.1 Tính giai thừa, hoán vị 50

1.2 Tổ hợp, chỉnh hợp 51

2 Phép thử, các loại biến cố và xác suất của biến cố 53

2.1 Phép thử, biến cố 53

2.2 Các loại biến cố 53

2.3 Xác suất của biến cố 54

3 Định lý cộng xác suất 55

4 Định lý nhân xác suất 55

5 Công thức Bernoull 56

5.1 Định nghĩa 56

5.2.Công thức Bernoulli 57

6 Công thức xác suất đầy đủ và Bayes 59

7 Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất 61

7.1 Định nghĩa biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất 61

7.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc và bảng phân phối xác suất 61

7.3 Hàm phân bố xác suất 61

7.4 Hàm mật độ xác suất 62

8 Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 63

8.1 Vọng toán (kỳ vọng toán) 63

8.2 Phương sai 63

8.3 Độ lệch chuẩn 64

9 Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng 65

9.1 Quy luật không - một 65

9.2 Quy luật nhị thức- B(n,p) 65

9.3 Quy luật phân phối đều – U(a,b) 67

9.4 Quy luật phân phối chuẩn- N(µ,∂2) 68

9.5 Quy luật khi bình phương 70

9.6 Quy luật Student Tn 70

10 Các định lý giới hạn 71

10.1 Bất đẳng thức Trêbưsep 71

10.2 Định lý Trêbưsep 71

11 Bài tập 71

Chương 4: Thống kê toán 75

1.Tổng thể nghiên cứu 75

1.1 Khái niệm 75

1.2 Các phương pháp mô tả tổng thể 75

1.3 Các tham số đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên 76

2 Quy luật phân phối xác suất của một số thống kê đặc trưng mẫu 77

2.1 Biến ngẫu nhiên X phân phối theo quy luật chuẩn 77

2.2 Biến ngẫu nhiên X phân phối theo quy luật không - một 78

3 Ước lượng tham số 78

3.1 Ước lượng điểm cho kỳ vọng, phương sai và xác suất 78

3.2 Ước lượng khoảng tin cậy cho tham số P của biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật 0 - 1 81

3.3 Ước lượng kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn 81

3.4 Ước lượng phương sai của biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn 82 4 Kiểm định giả thuyết thống kê 84

4.1 Khái niệm 84

4.2 Kiểm định về tham số P của biến ngẫu nhiên phân phối không - một 85

4.3 Kiểm định giả thuyết về kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn 87

4.4 Kiểm định giả thuyết về phương sai của biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn 90

Tài liệu tham khảo……….93

có thể vận dụng vào việc ra các quyết định sản xuất

Toán kinh tế (tiếng Anh là Mathematical Economics) là một lĩnh vực của Kinh tế,

sử dụng các công cụ và phương pháp toán học để phân tích, đánh giá các vấn đề kinh tế, kinh doanh Công cụ toán học cho phép các nhà kinh tế phân tích suy luận định lượng và xây dựng các mô hình đánh giá, dự báo về kinh tế, kinh doanh trong tương lai

Ngành Toán kinh tế là ngành đào tạo cao đẳng, cử nhân đại học ngành Toán

kinh tế có phẩm chất chính trị, đạo đức và sức khỏe tốt; có kiến thức cơ bản về kinh tế - xã hội, quản lý và quản trị kinh doanh; có kiến thức chuyên sâu về Toán ứng dụng trong kinh tế, quản lý và quản trị kinh doanh; có tư duy nghiên cứu độc lập; có năng lực tự học tập bổ sung kiến thức, nâng cao trình độ chuyên môn thích nghi với sự thay đổi của môi trường làm việc

- Nếu sắp xếp theo chiều ngang gọi là véc tơ hàng (ví dụ X1, X2)

- Nếu sắp xếp theo chiều dọc gọi là véc tơ cột (ví dụ X3)

Chú ý: x1, x2, …, xn gọi là các thành phần của véc tơ X

Các xi gọi là các thành phần thứ i của véc tơ X

Nếu X = Y tức là véc tơ X = véc tơ Y

1.2 Các phép toán véc tơ

a Phép nhân véc tơ với một số

Cho véc tơ X = [x1, x2, …, xn ] và một số k (k R) vậy tích của k X là

b Tổng hiệu hai vec tơ

Cho véc tơ X = [x1, x2, …, xn ] có n chiều, véc tơ Y= [y1, y2, …, yn ] có n chiều điều kiện để hai véc tơ có thể cộng hoặc trừ cho nhau là chúng phải cùng chiều (hay cùng hướng)

X  Y = = [x1  y1, x2 y2, …, xn  yn]

- Hệ có duy nhất một véc tơ và vec tơ đó   thì độc lập tuyến tính

- Mọi hệ con của hệ độc lập tuyến tính thì độc lập tuyến tính

- Hệ vec tơ chứa hệ con phụ thuộc tuyến tính thì phụ thuộc tuyến tính

- Hệ vec tơ chứa một véc tơ là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ còn lại thì phụ thuộc tuyến tính

2 Ma trận

2.1 Các khái niệm cơ bản

- Khái niệm ma trận: Người ta gọi một bảng gồm m x n số thực được sắp xếp thành m hàng và n cột gọi là ma trận cấp m x n

a

a a

a

a a

a

mn m

m

n n

2 22

21

1 12

9

Ma trận trên có thể viết dưới dạng tổng quát là: A = (ai j) m x n

- Khái niệm ma trận vuông: Ma trận vuông là ma trận có số hàng bằng số cột ( m

= n)

- Ma trận có tất cả các phần tử bằng 0 gọi là ma trận không, ký hiệu là 0

đối của ma trận A

la At (aj i) m x n ( nghĩa là ta đổi hàng thành cột hoặc cột thành hàng thì ta được ma trận chuyển vị At

5 3 1

1 2

4 1

10

Cho ma trận A = (ai j) m x n và k  R ; tích k.A là một ma trận cấp m x n xác định bởi:

5 3 1

4

2 5 2 3 2 1

10 6 2

Ci j = ai1 b1j + ai2 b2j + +aip bpj

Như vậy muốn tìm phần tử ở dòng i, cột j của ma trận tích, ta nhân các phần tử ở dòng i của ma trận đứng trước với các phần tử tương ứng ở cột j của ma trận đứng sau rồi cộng các tích lại với nhau

3 2 1

2 1

1 1

hãy tính tích của A.B

2 1 3

0 3 2 2 1 1 3 3 ) 1 (

2 1 1

5 8

Chú ý: - Phép nhân ma trận A, B chỉ thực hiện được khi số cột của ma trận A

bằng số dòng của ma trận B do vậy khi A.B thực hiện được thì B.A chưa chắc đã thực hiện được Trong trường hợp A, B là hai ma trận vuông cùng cấp, hoặc A là

ma trận cấp m x n, B là ma trận cấp n x m thì A.B và B.A cũng thực hiện được nhưng nói chung A.B B.A

- A.B = 0 A = 0 hoặc B = 0

* Tính chất

1, A(B+C) = AB + ÂC

2, (B + C)A = BA + CA

3 1

2 1

2 3 ) 1 ( 1

5 0

- Đổi chỗ hai dòng hoặc cột

- Nhân tất cả các phần tử của một dòng (hoặc cột) với cùng một số khác không

- Cộng vào các phần tử của một dòng (cột) các phần tử tương ứng của một dòng (cột) khác sau khi đã nhân với cùng một số nào đó

Mỗi ma trận cấp m x n có thể được xem là một hệ gồm m vec tơ dòng hoặc n vec

tơ cột, do đó các phép biến đổi sơ cấp đối với ma trận thực chất là các phép biến đổi sơ cấp đối với hệ vec tơ dòng và hệ vec tơ cột của ma trận đó

a

a a

a

a a

a

nn n

n

n n

2 22

21

1 12

11

Nếu ta bỏ đi dòng và cột chứa phần tử ai j, tức là bỏ dòng i và cột j của ma trận A thì ta thu được ma trận vuông cấp n -1 ký hiệu là Mi j gọi là ma trận con tương ứng với ai j

a a a

a a a

33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a

33 32

23 22

a a

33 32

a a

22 22

a a

22 21

a

a a

a

a a

a

33 32 31

23 22 21

13 12 11

= a11a22a33+a12a23a31+a21a32a13- a13 a22 a31 - a21 a12 a33 - a23 a32 a11

- Các số hạng mang dấu cộng được tính bằng tích các phần tử nằm trên đường chéo chính tích hai phần tử nằm trên mỗi đường chéo song song với đường chéo chính với phần tử nằm ở góc đối diện

- Các số hạng mang dấu trừ được tính bằng tích các phần tử nằm trên đường chéo phụ; tích hai phần tử nằm trên mỗi đường chéo song song với đường chéo phụ với phần tử nằm ở góc đối diện

c Định thức cấp n:

* Phương pháp khai triển theo dòng, cột:

- Phần bù đại số: Cho ma trận A vuông cấp n Ứng với mỗi phần tử ai j của A ta

có ma trận con Mi j và Ai j = (-1) i+j det(Mi j) gọi là phần bù đại số của ai j

1 2 3

3 2 1

1 3

A12 = (-1)1+2 det(M12)

=

3 2

1 3

= 7 = -7

13

Chú ý: Đối với tổng số mũ là chẵn thì kết quả để nguyên dấu, ngƣợc lại tổng số

mũ là lẻ thì kết quả đổi dấu

- Định thức của A đƣợc tính theo một trong hai công thức sau:

3

2 0 1

0

1 2 3

4

4 3 2

1

= 0.A31 + 1.A32 + 0.A33 + 2.A34 = A32 + 2.A34

= (-1)3+2

1 4 3

1 2 4

4 3 1

+ (-1)3+4

4 2 3

2 3 4

3 2 1

a a

a a

a

nn n

n n

1 12

1

4 1 3

2

1 2 1

1

1 0 2

1

=

0 2 2 0

2 0 1 0

0 2 1 0

1 0 2 1

2 0 1 0

2 0 1 0

1 0 2 1



 = -

0 2 0 0

2 2 0 0

0 2 1 0

1 0 2 1

1 1 0 0

0 2 1 0

1 0 2 1



= 4

1 0 0 0

1 1 0 0

0 2 1 0

1 0 2 1

14

Tính chất 4: Một định thức có các phần tử nằm cùng một dòng (cột) = 0 thì định

thức = 0

Tính chất 5: Khi nhân các phần tử một dòng (cột) với cùng một số k thì đƣợc

định thức mới gấp k lần định thức ban đầu

Tính chất 6: Một định thức có 2 dòng (cột) tỉ lệ thì = 0

Tính chất 7: Khi tất cả các phần tử của một dòng (cột) có dạng tổng của hai số

hạng thì định thức có thể phân tích thành tổng của hai định thức

Tính chất 8: Nếu định thức có chứa một dòng (cột) là tổ hợp tuyến tính của các

+ A -1 = A .Ct

) det(

3 5 2

3 2 1

3 5 2

3 2 1

= -10   A-1

Ta có: A11 = (-1)1+1

8 0

3 5

9

2 5

16

5 13

3 5 13

9 16 40

3 5 13

9 16 40

15

=































1 2 5

3 5 13

9 16 40

Cách 2: Dựa vào các phép biến đổi về dòng của ma trận A

- Nhân các phần tử của 1 dòng với một số 0

- Đổi chỗ hai dòng

- Cộng bội k của một dòng vào dòng khác

5 Hệ phương trình tuyến tính

5.1 Khái niệm

Hệ phương trình tuyến tính là hệ có dạng







































b x a x

a x

a

b x a x

a x

a

b x a x

a x

a

m n mn m

m

n n

n n

2 2 1 1 2 2 2 22 2 21 1 1 2 12 1 11 (1)

Trong đó: x1, x2, , xn là các ẩn số ai j và bi ( i = 1 ,m; j 1 ,n) là các hệ số Hệ phương trình tuyến tính có thể viết gọn như sau:          m i n j i j ijx b a , 1 1 Từ hệ phương trình tuyến tính (1) ta có thể lập được các ma trận sau đây A =               a a a a a a a a a nn n n n n

2 1 2 22 21 1 12 11 ; B =               b b b m

2 1 ; X =               x x x n

2 1 ; A =               b b b a a a a a a a a a m nn n n n n

2 1

2 1

2 22

21

1 12

11

Trong đó:

A là ma trận hệ số

B là ma trận hệ số tự do

X là ma trận ẩn

A là ma trận hệ số mở rộng

 hệ (1) có thể viết dưới dạng phương trình: A X = B

16

5.2 Phương pháp giải

5.2.1 Các dạng hệ phương trình tuyến tính

a Hệ thuần nhất:

Là hệ phương trình tuyến tính có các hệ số tự do b1 = b2 = …= bm=0

Dễ thấy rằng hệ thuần nhất luôn có ít nhất một nghiệm

x1 = x2 = …= xm=0

b Hệ tam giác là hệ phương trình có dạng































b x a

b x a x

a

b x a x

a x

a

n n nn

n n

n n

2 2 2 22 1 1 2 12 1 11 Trong đó ai j 0 i 1 ,n Dễ dàng tìm nghiệm của hệ tam giác bằng cách xác định lần lượt xn, xn-1, ,xi theo thứ tự từ phương trình dưới cùng trở lên Hệ tam giác có nghiệm duy nhất Ví dụ: Giải hệ phương trình:                ) 3 ( 6 6 ) 2 ( 1 ) 1 ( 5 2 3 3 2 3 2 1 x x x x x x Từ phương trình (3) ta có: x3 = -1 Thay vào (2): -x2 – 3(-1) = 1 Thay x3, x2 vào (1): 2x1 + 2 – (-1) = 5 Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1, 2, -1) c Hệ hình thang Là hệ phương trình tuyến tính có dạng:                       b x a x a b x a x a x a b x a x a x a x a s n nn n n n n s s s ss s s

2

2 2

2 22

1 1

1 2

12 1 11

(Trong đó s < n và ai j 0 i 1 ,s)

Các ẩn xn, xn-1, ,xi gọi là các ẩn chính, các ẩn còn lại gọi là ẩn tự do chuyển tất

cả các số hạng chứa ẩn tự do sang vế phải ta được

17





































 b a x a x

x a

x a x

a b x a x

a

x a x

a b x a x

a x a

n sn s

ss s

n n s

s s

s

n n s

s s

s

s

ss _ _ _

_

_ _

_

_ _

1 2 1 2 2 2 2 22 1 1 1 1 1 2 12 1 11 Gắn cho mỗi ẩn tự do một giá trị tùy ý xs+1 = αs+1, , xn = αn khi đó hệ trên trở thành hệ tam giác đối với các ẩn chính, giải hệ này ta được x1 = α1, x2 = α2, , xs = αs Như vậy (α1, α2, ,αs, αs+1, ,αn) là một hệ đã cho vì αs+1, , αnchọn tùy ý nên hệ hình thang có vô số nghiệm d Hệ Crame: Là hệ phương trình tuyến tính có ma trận là ma trận vuông không suy biến (ma trận có định thức 0) Hệ Crame là hệ có dạng:                    b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a m n nn n n n n n n

2 2 1 1 2 2 2 22 2 21 1 1 2 12 1 11 Có thể viết dưới dạng phương trình như sau: A.X = B Trong đó: A là ma trận hệ số X là ma trận ẩn B là ma trận hệ số tự do A =               a a a a a a a a a nn n n n n

2 1 2 22 21 1 12 11 ; B =               b b b m

2 1 ; X =               x x x n

2 1 Hệ Crame có nghiệm duy nhất 5.2.2 Phương pháp giải a Phương pháp Crame (chỉ dùng để giải hệ Crame) Cho hệ Crame là hệ có dạng:                    b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a m n nn n n n n n n

2 2 1 1

2 2

2 22 2 21

1 1

2 12 1 11

a a

a

a a

a

nn n

n

n n

2 22

21

1 12

11

=

a a

a

a a

a

a a

a

mn n

n

n n

2 22

21

1 12

a

a b a

a

a b a

a

nn n n

n

n n

2 2 22

21

1 1 12

11

=

a b a

a

a b a

a

a b a

a

m mn n

n

n n

1

2 1

2 22

21

1 12

4 3

3 2

2 3

3 2

1

3 2 1

3 2 1

x x

x

x x x

x x x

Ta có: d =

4 1 3

3 1 2

2 3 1





= 20 0; d1 =

4 1 11

3 1 6

2 3 3

3 6 2

2 3

1  

= -20; d3 =

11 1 3

6 1 2

3 3 1

20

= 1 vậy nghiệm của hệ phương trình là (2, -1, 1)

b Giải hệ bằng phương pháp Gauss:

- Lập ma trận hệ số mở rộng, dùng các phép biến đổi ma trận để đưa ma trận hệ

số mở rộng thành ma trận tam giác hoặc hình thang Khi đó ta được hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác hoặc hình thang

2 4 5

3 11 8

3

3 7 3 2 2

4 3 2 1

4 3 2

1

4 3 2 1

4 3 2 1

x x x x

x x x

x

x x x x

x x x x

2 4 5 1

3 11 8

3

3 7 3 2

1 5 2 1

Dùng phép biến đổi để đưa ma trận A về ma trận tam giác dưới bằng cách nhân 2 vào hàng 1 sau đó cộng xuống hàng 2 theo đúng vị trí

Tương tự ta lấy -3 nhân với hàng 1 và cộng xuống hàng 3

Lấy 1 nhân với hàng 1 sau đó cộng xuống hàng 4

3 1 7 0

6 4 2 0

5 3 1 0

1 5 2 1

32 20 0 0

16 10 0 0

5 3 1 0

1 5 2 1

0 0 0 0

16 10 0 0

5 3 1 0

1 5 2 1

Hệ phương trình chứa một phương trình vô nghiệm là:

0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 3 nên hệ vô nghiệm

1 0 1

3 2 1

3 4 5

3 2 6

6 3 1

0 1 0

0 0 1

1 0 2

2 1 1

3 2 6

6 3 1

0 1 0

0 0 1

1 0 2

2 1 1

Bài 2: Tính các định thức sau

5 4 3 2

3 4 1 0

4 3 2 1

c

4 1 3

3 1 2

2 3 1





d

11 1 3

6 1 2

3 3 1

1 2

4 4

2 2

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

10 4

15

5 4 9

20 8

3

3 2

1

3 2 1

3 2

1

x x

x

x x x

x x

4 3 2

1

4 3 2 1

4 3 2 1

4 3 2

1

3 2

3

2

2 2

3

3 20 2

x x x

x

x x x

x

x x x

x

x x x

6 2 7 2

4 3 2 1

4 3 2 1

4 3 2 1

4 3 2

1

3 2

3 2

2 2

3 20 2

x x x x

x x x x

x x x x

x x x

3

3 2

6

6 3

1 0 2

2 1 1

3 11 8

3

3 7 3 2

1 5 2 1

2

/

1

6 12

6 2 7 2

4 3 2

1

4 3 2

1

4 3 2

1

4 3 2

1

3 2

3 2

2 2

3 20 2

x x x

x

x x x

x

x x x

x

x x x

4 3 2 1

4 3 2 1

4 3 2 1

4 3 2

1

3 2

3 2

2 2

3

3 20 2

x x x x

x x x x

x x x x

x x x

4 3 2

1

4 3 2 1

4 3 2

1

4 3 2

1

3 2

3

2

2 2 2

3 5 2

x x x

x

x x x

x

x x x

x

x x x

2 2

8 2

4 3 2 1

4 3 2 1

4 3 2 1

4 3 2

1

3 2

3 2

2 2

3 20 2

x x x x

x x x x

x x x x

x x x

x

21

Chương 2: Phương pháp đơn hình và Bài toán đối ngẫu

1 Các khái niệm, tính chất chung của bài toán quy hoạch tuyến tính

1.1 Một số ví dụ thực tế dẫn đến bài toán quy hoạch tuyến tính

Ví dụ 1

Nhân dịp tết trung thu, 1 xí nghiệp muốn sản xuất 3 loại bánh: Đậu xanh, thập cẩm, bánh dẻo nhân đậu xanh Để sản xuất 3 loại bánh này, xí nghiệp phải có đường, đậu, bột, trứng, mứt, lạp xưởng…Gỉa sử số đường có thể chuẩn bị được là 500kg, đậu là 300kg, các nguyên liệu khác muốn có bao nhiêu cũng được Lượng đường, đậu và số tiền lãi khi bán 1 chiếc bánh mỗi loại cho trong bảng:

Cần lập kế hoạch sản xuất mỗi loại bánh bao nhiêu cái để không bị động về

đường, đậu và tổng số lãi thu được là lớn nhất (nếu sản suất ra bao nhiêu cũng bán hết)

Bài giải

Ph n tích:

Gọix1;x2;x3 lần lượt là số lượng bánh đậu xanh, thập cẩm, bánh dẻo cần làm

1 Điều kiện của ẩn: x i 0,i1,3

2 Tổng số đường:

307,0204,0106,

0 x  x  x

Tổng số đậu:

304,02,0108,

, 0 0 08

,

0

500 07

, 0 04 , 0 06

,

0

2

max 8

, 1 7 , 1 2

1

3 2

1

3 2

1

3 2 1

x

x x

x

x x x

0

07 , 0 04 , 0 06

Một véc tơ xx1;x2;x3 thỏa (2) và(3) gọi là 1 phương án của bài toán

Một phương án xx1;x2;x3 thỏa (1) gọi là 1 phương án tối ưu của bài toán

Ví dụ 2: Marketing: Lựa chọn phương tiện thông tin – quảng cáo thiếp thị có

hiệu quả

Tình huống: Một công ty kinh doanh thương mại chuẩn bị cho một đợt khuyến

mại nhằm thu hút khách hàng bằng cách tiến hành quảng cáo sản phẩm của công

ty trên hệ thống phát thanh và truyền hình Chi phí cho một phút quảng cáo trên sóng phát thanh là 80.000đ, trên sóng truyền hình là 400.000đ Đài phat thanh chỉ nhận phát các các chương trình quảng cáo dài ít nhất là 5 phút Do nhu cầu quảng cáo trên truyền hình rất lớn nên đài truyền hình chỉ nhận phát các chương trình dài tối đa là 4 phút Theo các phân tích xã hội học, cùng thời lượng 1 phút quảng cáo, trên truyền hình sẽ có hiệu quả gấp 6 lần trên sóng phát thanh Công ty dự định chi tối đa là 1.600.000đ cho quảng cáo Công ty nên đặt thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh và truyền hình như thế nào để hiệu quả nhất

Mô hình hóa: Gọi thời lượng công ty dự định đặt quảng cáo trên sóng phát thanh

là x1 (phút), trên truyền hình là x2 (phút) Chi phí cho việc này là 80.000x1 + 400.000x2 Mức chi này không được phép vượt quá mức chi tối đa, tức là 80.000x1 + 400.000x2≤ 1.600.000đ

Do các điều kiện đài phát thanh, truyền hình đưa ra, ta phải có x1 ≥ 5, x2≤ 4 Đồng thời do x1, x2 là thời lượng nên x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 Hiệu quả chung của quảng cáo là x1 + 6x2.

Như vậy chúng ta có bài toán:

Xác định x1, x2 sao cho: x1 + 6x2 Max

Với các điều kiện: 80.000x1 + 400.000x2≤ 1.600.000đ

x1 ≥ 5, x2≤ 4 và x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

bài toán có cấu trúc như trên gọi là bài toán QHTT

Ví dụ 3: Đầu tư tài chính: Lựa chọn danh mục đầu tư

Tình huống: Một công ty đầu tư dự định dùng khoản quỹ đầu tư 500.000 triệu

đồng để mua một số cổ phiếu trên thih trường chứng khoán Công ty đưa ra các

23

giới hạn trên của số tiền mua từng loại chứng khoán nhằm đa dạng hóa danh mục đầu tư để ngừa rủi ro Bảng dưới đay cho các số liệu về các giới hạn này cũng như lãi suất của các chứng khoán

Loại chứng khoán Lãi suất (Trung bình) Giới hạn mua

100.000 tr 300.000 tr 250.000 tr 320.000 tr Ngoài ra, cũng để ngăn ngừa rủi ro trong đầu tư, công ty còn quy định khoản đầu

tư vào loại cổ phiếu A và C phải chiếm ít nhất 55%, loại cổ phiếu B phải chiếm ít nhất 15% trong tổng số tiền đầu tư thực hiện Hãy xác định số tiền công ty sẽ mua từng loại cổ phiếu (một danh mục đầu tư) sao cho không vượt quá khoản dự kiến ban đầu, đảm bảo đòi hỏi về đa dạng hóa đồng thời đạt mức lãi (trung bình) cao nhất

loại chứng khoán A, B, C, D Rõ ràng là xA, xB, xC, xD  0 Từ điều kiện về đa dạng hóa và về quy mô đầu tư ta thấy:

24

xí nghiệp cũng khác nhau Gỉa sử đầu tƣ 1000 vào mỗi xí nghiệp thì cuối kỳ ta

có kết quả

Xí nghiệp 1: 35 áo 45 quần

Xí nghiệp 2: 40 áo 42 quần

Xí nghiệp 3: 43 áo 30 quần

Lƣợng vải và số giờ công cần thiết để sản xuất 1 áo hoặc 1 quần ( gọi là suất tiêu hao nguyên liệu và lao động) đƣợc cho ở bảng sau:

XN

Sản phẩm

Áo vét 3.5m 20h 4m 16h 3.8m 18h Quần 2.8m 10h 2.6m 12h 2.5m 15h Tổng số vải và giờ công lao động có thể huy động đƣợc cho cả 3 xí nghiệp là 10.000m và 52.000 giờ công

Theo hợp đồng kinh doanh thì cuối kỳ phải có tối thiểu 1500 bộ quần áo Do đặc điểm hàng hóa, nếu lẻ bộ chỉ có quần là dễ bán

Hãy lập kế hoạch đầu tƣ vào mỗi xí nghiệp bao nhiêu vốn để :

- Hoàn thành kế hoạch sản phẩm

- Không khó khăn về tiêu thụ

- Không bị động về vải và tiêu thụ

- Tổng số vốn đầu tƣ nhỏ nhất là điều nổi bật cần quan tâm

21043

4035

3042

45x1 x2  x3  x1 x2  x3  x1 x2  x3 

4)Tổng số bộ quần áo= Tổng số áo của 3 XN: 35x1 40x2 43x3,

5) Tổng số mét vải của 3 xí nghiệp ( dùng để may áo và quần ):