Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: Chương 5 – Trần Minh Thái (2017)

Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Chương 5: Cây nhị phân tìm kiếm cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm, đặc điểm, định nghĩa cấu trúc dữ liệu, các lưu ý khi cài đặt, các thao tác xử lý. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chương 5 Cây nhị phân

Nội dung

1 Khái niệm

2 Đặc điểm

3 Định nghĩa cấu trúc dữ liệu

4 Các lưu ý khi cài đặt

5 Các thao tác xử lý

2

Khái niệm

 Bậc của một nút: là số cây con của nút đó

 Bậc của cây: là bậc lớn nhất của các nút trong cây Cây có bậc n thì gọi là cây n-phân

 Nút gốc: là nút không có nút cha

11

0

0

0

0

kể từ gốc đến x

 Chiều cao h của cây: Mức lớn nhất của các nút lá

4

x

Đặc điểm của cây nhị phân

Biểu diễn cây nhị phân

 Cây nhị phân là một cấu trúc bao gồm các phần tử (node) được kết nối với nhau theo quan hệ “cha-con” với mỗi cha có tối đa 2 con

 Mỗi nút gồm các thông tin:

 Dữ liệu lưu trữ: data

 Liên kết tới cây con trái của nút: pLeft

 Liên kết tới cây con phải của nút: pRight

6

Định nghĩa kiểu dữ liệu dùng C

Ví dụ khai báo node chứa giá trị nguyên

typedef struct TNode

Cây nhị phân tìm kiếm

 Là 1 cây nhị phân

 Giá trị của một node luôn lớn hơn giá trị của các node nhánh trái và nhỏ hơn giá trị các node

nhánh phải

Nút có giá trị nhỏ nhất nằm ở nút trái nhất của cây

Nút có giá trị lớn nhất nằm ở nút phải nhất của cây 9

7

23 4

Các lưu ý khi cài đặt

Bước 1: Khai báo kiểu dữ liệu biểu diễn cây

Bước 2: Xây dựng hàm đưa dữ liệu (nhập) vào cây

Bước 3: Xây dựng các thao tác duyệt, tìm kiếm, huỷ, …

10

Cấu trúc chương trình

11

Khai báo cấu trúc cây Khởi tạo cây rỗng Xây dựng cây Các thao tác Hủy cây

nhỏ hơn node đang xét thì thêm về bên trái

 Ngược lại thì thêm về

bên phải

Hàm thêm một phần tử vào cây

Bài tập

1 Viết hàm tạo cây nhị phân số nguyên từ các

giá trị nhập vào từ bàn phím Quá trình nhập cho đến khi gặp giá trị trùng hoặc hết

bộ nhớ

2 Viết hàm tạo cây nhị phân số nguyên từ

dãy số nguyên cho trước

15

Bước Kết quả duyệt theo thứ tự NLR

 Duyệt cây con bên

phải của t theo thứ tự

NLR

18

void NLR (Tree t) {

if(t!=NULL) {

cout<<t->Key<<“\t”; NLR(t->pLeft);

NLR(t->pRight);

} }

19

Bước Kết quả duyệt theo thứ tự LNR

 Duyệt cây con bên

phải của t theo thứ tự

LNR

21

void LNR (Tree t) {

if(t!=NULL) {

LNR(t->pLeft);

cout<<t->Key<<“ “; LNR(t->pRight);

} }

if(t!=NULL) {

LRN(t->pLeft);

LRN(t->pRight);

cout<<t->Key<<“ “; }

}

Bài tập

 Vẽ cây nhị phân tìm kiếm theo thứ tự nhập:

27, 19, 10, 21, 3, 15, 41, 50, 30, 7

Hãy duyệt cây trên theo thứ tự giữa

 Vẽ cây nhị phân tìm kiếm theo thứ tự nhập:

H, B, C, A, E, D, T, M, X, O

Hãy duyệt cây trên theo thứ tự sau

24

Kiểm tra kết quả duyệt bằng cách xây dựng lại cây nhị phân từ kết quả duyệt

Tạo cây từ kết quả duyệt NLR

 Chọn giá trị đầu tiên làm node gốc

 Lần lượt đưa các giá trị còn lại từ trái sang phải vào cây theo nguyên tắc tạo cây

Tạo cây từ kết quả duyệt LRN

 Chọn giá trị cuối cùng làm node gốc

 Lần lượt đưa các giá trị còn lại từ phải sang trái vào cây theo nguyên tắc tạo cây

25

Bài tập

Vẽ cây nhị phân tìm kiếm T biết rằng khi duyệt cây T theo thứ tự NLR thì được dãy sau: 9, 4, 1, 3, 8, 6, 5, 7, 10, 14, 12, 13, 16, 19

 Hãy duyệt cây T trên theo thứ tự LRN

 Liệt kê các nút lá của cây Liệt kê các nút nhánh của cây

26

Vẽ cây nhị phân tìm kiếm T biết rằng khi duyệt cây T theo thứ tự LRN thì được dãy sau: 1, 4, 7, 5, 3, 16, 18, 15, 29, 25, 30, 20, 8

 Hãy duyệt cây T trên theo thứ tự NLR

 Cây T có chiều cao là bao nhiêu? Tìm các đường đi từ gốc có độ dài là 4 trên cây

27

Bài tập

Bài tập

Cho cây nhị phân tìm kiếm, mỗi node có giá trị nguyên, hãy định nghĩa các hàm sau:

1 In ra các node có giá trị chẵn

2 In ra các node có giá trị lớn hơn x

3 Đếm số node của cây

4 Tính độ cao của cây

31

Bài tập

5 Đếm số node lá (node bậc 0)

6 Đếm số node có 1 cây con (node bậc 1)

7 Đếm số node chỉ có 1 cây con phải

8 Đếm số node có 1 cây con trái

9 Đếm số node 2 cây con (node bậc 2)

10 In các node trên từng mức của cây

11 Cho biết độ dài đường đi từ gốc đến node x

32

Xóa node trên cây

1 Node lá

2 Node có 1 cây con

3 Node có 2 cây con

Xóa node lá

Xóa 1 Xóa 23

Xóa node 1 cây con

Node cha

của 6

Xóa node 1 cây con

6

Xóa node có 2 cây con

nhất của cây con trái

Bước 2: Thay giá trị của

node thế mạng vào node cần xóa

Bước 3: Xóa node thế mạng

Xóa node 2 cây con

16

Node thế mạng

Xóa node 2 cây con

Xóa 36

Bước 2: Thay giá trị node thế

mạng cho node cần xóa

16

Cập nhật giá trị

Node thế mạng

Xóa node 2 cây con

16

Xóa

Xóa node 2 cây con

Cho dãy số theo thứ tự nhập từ trái sang phải: 20, 15, 35, 30,

11, 13, 17, 36, 47, 16, 38, 28, 14

 Vẽ cây nhị phân tìm kiếm cho dãy số trên

 Trình bày từng bước và vẽ lại cây sau khi lần lượt xoá các

nút: 11 và 35

42

Bài tập

 Viết hàm xóa node có giá trị x trong cây nhị phân số nguyên

43

void Remove( Tree & t , int x )

}

 Trường hợp xấu nhất, cây có thể bị suy biến thành 1 DSLK Lúc đó các thao tác trên sẽ có độ phức tạp O(n)

 Vì vậy cần có cải tiến cấu trúc của CNPTK để đạt được chi phí cho các thao tác là log2(n)

46

Cây nhị phân tìm kiếm cân bằng

 Phát minh: Nhà toán học Nga G M Adel’Son-Vel’Skil

và E M Landis (1962)

 Cấu trúc cây giúp tối ưu thời gian tìm kiếm

 Cây nhị phân tìm kiếm cân bằng: cây AVL

 Chi phí tìm kiếm, thêm mới, xoá trong cây n nút là O(log n)

47

Định nghĩa

 Cây AVL là một cây nhị phân tìm kiếm

 Chiều cao cây con trái và phải của nút gốc hơn kém nhau không quá 1

 Cả hai cây con trái và phải cũng phải là cây AVL

48

Chỉ số cân bằng (Balance factor)

Chỉ số cân bằng (bF – balance Factor) của một nút:

bF = hR – hL

 hL: chiều cao cây con trái

 hR: chiều cao cây con phải

Có 3 trường hợp:

 bF = 0: hL = hR (Ký hiệu EH: Equal Height)

 bF > 0: hL < hR (Ký hiệu RH: Right Higher)

 bF < 0: hL > hR (Ký hiệu LH: Left Higher)

49

Khai báo cấu trúc cây AVL

typedef struct AVLNode

Trường hợp 1: Lệch trái

51

Trường hợp 2: Lệch phải

52

Trường hợp 1.1: T1 lệch trái

53

Quay đơn Left - Left

Trường hợp 1.2: T1 không lệch

54

Quay đơn Left - Left

void RotateLL ( AVLTree &T)

{

AVLNode * T1 = T-> pLeft ; T->pLeft = T1->pRight ;

T1-> pRight = T;

switch (T1-> bF)

{

case LH: T-> bF = EH; T1-> bF = EH; break ;

case EH: T-> bF = LH; T1-> bF = RH; break ;

}

T = T1;

}

Trường hợp 1.3: T1 lệch phải

56

Quay kép Left - Right

void RotateLR(AVLTree &T)

{

AVLNode * T1 = T-> pLeft ; AVLNode * T2 = T1-> pRight ; T-> pLeft = T2-> pRight ; T2-> pRight = T;

case EH: T-> bF = EH; T1-> bF = EH; break ;

case RH: T-> bF = EH; T1-> bF = LH; break ;

}

T2-> bF = EH;

T = T2;

}

Thêm 1 node vào cây AVL

 Tương tự như trên cây NPTK

 Sau khi thêm xong, nếu chiều cao của cây thay đổi Nếu

có mất cân bằng  cân bằng lại ở nút này

int InsertNode(AVLTree &T, int X)

case EH: T->bF = LH; return 2;

case LH: BalanceLeft(T); return 1;

}

}

T->pLeft = T->pRight = NULL;

return 2; //Thêm thành công và chiều cao tăng

}

int BalanceLeft(AVLTree &T)

return 0;

}

Hủy 1 node trên cây

 Tương tự như trên cây NPTK

 Sau khi hủy, nếu mất cân bằng  cân bằng lại

 Hàm deleteNode trả về giá trị

 1: hủy thành công

 0: không có X trong cây

 2: hủy thành công và chiều cao của cây giảm

65

int DeleteNode(AVLTree &T, int X)

case EH: T-> bF = RH;

return 1;

case BalanceRight (T); }

}