Áp dụng phương pháp xác suất để giải toán sơ cấp

Các dạng toán về phương trình hàm rất phong phú và đa dạng, bao gồm cácloại phương trình tuyến tính và phi tuyến tính, phương trình hàm với một biến số và phương trình hàm với hai hoặc n

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Lời đầu tiên em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn, TS PhạmQúy Mười, đã dành thời gian hướng dẫn, chỉ bảo, tận tình giúp đỡ em trong suốtquá trình thực hiện luận văn.

Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất cả các thầy cô giáo đã tận tìnhdạy bảo em trong suốt thời gian học cao học tại Trường Đại học Sư phạm - Đạihọc Đà Nẵng Đồng thời, em cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị trong lớpPPTSCK36 đã nhiệt tình giúp đỡ trong quá trình học tập

Tác giả

Phan Thị Hồng Thắm

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN 3 1.1 Hàm số một biến 3

1.2 Hàm số chẵn, hàm số lẻ và hàm số tuần hoàn 3

1.3 Hàm số đồng biến và hàm số nghịch biến 4

1.4 Hàm số liên tục 4

1.5 Hàm số khả vi 5

1.6 Dãy số, giới hạn của dãy số 6

1.7 Đặc trưng hàm của một số hàm sơ cấp 6

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN 8

2.1 Phương trình hàm và giải phương trình hàm 8

2.2 Một số phương pháp giải phương trình hàm 8

2.2.1 Phương pháp thế biến 8

2.2.2 Phương pháp dùng hàm phụ 13

2.2.3 Phương pháp hệ số bất định 17

2.2.4 Phương pháp tìm nghiệm riêng 22

2.2.5 Phương pháp giải bằng cách lập phương trình 26

CHƯƠNG 3 MỘT SỐ DẠNG ĐẶC BIỆT CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN 31

3.1 Một số họ phương trình hàm cơ bản 31

3.2 Phương trình Abel 32

3.3 Phương trình Schroder 36

3.4 Phương trình Bottcher 41

3.5 Phương trình giao hoán 43

KẾT LUẬN 49

TÀI LIỆU THAM KHẢO 50

∀, ∃ : Các ký hiệu của logic ( Với mọi, tồn tại)

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Phương trình hàm là phương trình mà ẩn là các hàm số Giải phương trìnhhàm tức là đi tìm các hàm số chưa biết thỏa mãn phương trình hàm và các điềukiện khác (nếu có)

Lý thuyết phương trình hàm là một trong những lĩnh vực nghiên cứu quantrọng của chuyên ngành Đại số và Giải tích Toán học cũng như toán học phổthông Các dạng toán về phương trình hàm rất phong phú và đa dạng, bao gồm cácloại phương trình tuyến tính và phi tuyến tính, phương trình hàm với một biến số

và phương trình hàm với hai hoặc nhiều biến số,

Phương trình hàm một biến là một chuyên đề quan trọng trong bồi dưỡng họcsinh khá giỏi ở bậc trung học phổ thông Những năm gần đây, các dạng bài toán

về phương trình hàm một biến xuất hiện ngày một nhiều hơn trong các kỳ thi họcsinh giỏi toán quốc gia, Olympic toán khu vực và quốc tế Tuy nhiên, việc giảngdạy và học tập về phương trình hàm một biến tại các trường chuyên nói riêng vàcác trường trung học phổ thông nói chung còn ít và chưa được quan tâm, đầu tưđúng mực, làm cho học sinh và giáo viên rất khó tiếp cận về lĩnh vực này, thậmchí còn lúng túng trong việc giải phương trình hàm, đôi khi còn không biết địnhhướng khi tiếp cận phương trình hàm một biến

Hiện nay, các tài liệu liên quan đến phương trình hàm bằng tiếng việt cũng đã

có, mặc dù không nhiều Các tài liệu hiện có thường trình bày lí thuyết chung hoặctập trung vào một số dạng phương trình đặc biệt Vì thế, sinh viên và giáo viêngặp nhiều khó khăn trong việc nắm bắt, hiểu và vận dụng Do đó, để có thể giúp

học sinh dễ dàng tiếp cận về phương trình hàm một biến, tôi chọn đề tài: “Phương

trình hàm một biến” Nội dung của luận văn nhằm trình bày cơ sở lí thuyết, một

số dạng toán và phương pháp giải cơ bản về phương trình hàm một biến

2 Mục tiêu nghiên cứu

Luận văn tập trung nghiên cứu lí thuyết chung về phương trình hàm một biến,một số phương trình hàm một biến đặc biệt và phương pháp giải

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận văn là phương trình hàm một biến

3.2 Phạm vi nghiên cứu

Một số phương trình hàm một biến cơ bản và các phương pháp giải

4 Phương pháp nghiên cứu

Với đề tài: “Phương trình hàm một biến” tôi đã sử dụng các phương pháp

nghiên cứu sau:

+ Nghiên cứu, sưu tầm các tài liệu tham khảo về phương trình hàm một biến.+ Chọn lọc, phân loại, nêu phương pháp giải và đề xuất một số bài toán

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Luận văn sẽ là tài liệu tham khảo về lý thuyết phương trình hàm một biến

Có thể sử dụng luận văn như là tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành toán

và các đối tượng quan tâm đến các bài toán về phương trình hàm một biến

6 Cấu trúc luận văn

Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo luận văn gồm 3 chương

Chương 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN

Trong chương này luận văn nhắc lại một số khái niệm, tính chất cơ bản vềhàm một biến và các kiến thức liên quan Đây là những khái niệm, tính chất cầnthiết, được sử dụng trong các chương sau của luận văn

Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN

Trong chương này luận văn trình bày tổng quan về phương trình hàm, phươngtrình hàm một biến và một số phương pháp giải phương trình hàm cơ bản: Phươngpháp thế biến, phương pháp hệ số bất định, phương pháp dùng hàm phụ, phươngpháp tìm nghiệm riêng, phương pháp giải bằng cách lập phương trình

Chương 3: MỘT SỐ DẠNG CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT

BIẾN

Trong chương này luận văn trình bày một số dạng phương trình hàm mộtbiến cơ bản, phương pháp cũng như các ví dụ minh họa cho các phương pháp nhưphương trình Abel, phương trình Schroder, phương trình Bottcher, phương trìnhgiao hoán

CHƯƠNG1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN

Trong chương này luận văn trình bày các khái niệm cơ bản về hàm số mộtbiến như: Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn, hàm số đồng biến, hàm sốnghịch biến, hàm số liên tục, hàm số khả vi, dãy số và giới hạn của dãy số Cáckhái niệm cơ bản này được tham khảo từ các tài liệu [1, 2, 5]

1.1 Hàm số một biến

Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một tập con khác rỗng của R Ta gọi ánh xạ

f : X → R, x 7→ y = f (x), là hàm số một biến số trên tập hợp X Khi đó, x là biến

số độc lập, y là đại lượng phụ thuộc hay hàm số của x

Tập hợp X gọi là miền xác định của hàm số f Tập hợp f (X ) = {y ∈ R, y =

f(x) : x ∈ X } gọi là miền giá trị của f

Nếu hàm số một biến số cho dưới dạng biểu thức: y = f (x) mà không nói gìthêm thì ta hiểu miền xác định của hàm số là tập hợp những giá trị thực của biến

số x làm cho biểu thức có nghĩa

M ⊂ D( f ), nếu

∀x ∈ M ⇒ x ± a ∈ M,

f(x + a) = f (x), ∀x ∈ M

Cho f (x) là một hàm số tuần hoàn trên M Khi đó, T (T > 0) được gọi là chu

kỳ cơ sở của f (x) nếu f (x) tuần hoàn với chu kỳ T mà không là hàm tuần hoànvới bất cứ chu kỳ nào bé hơn T

Định lý 1.3.1 Giả sử tập K là một trong các khoảng (a, b), (a, b] , [a, b),

[a, b] và f là một hàm số xác định, có đạo hàm trên K

* Nếu f0(x) > 0, ∀x ∈ K, thì hàm số y = f (x) đồng biến trên K.

* Nếu f0(x) < 0, ∀x ∈ K, thì hàm số y = f (x) nghịch biến trên K.

* Hàm số f được gọi là liên tục tại x0 nếu lim

x→x f(x) = f (x0)

* Hàm số f được gọi là liên tục phải tại x0 nếu lim

x→x 0+

f(x) = f (x0)

* Hàm số f được gọi là liên tục trái tại x0 nếu lim

x→x 0 − f(x) = f (x0)

Định nghĩa 1.4.2 (Hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn).

* Hàm số f được gọi là liên tục trên khoảng (a, b) nếu nó liên tục tại mọi điểm

x0∈ (a, b)

* Hàm số f được gọi là liên tục trên đoạn [a, b] nếu f liên tục trên khoảng

(a, b) , liên tục phải tại a và liên tục trái tại b

f0(x0) = A

* Hàm số f được gọi là có đạo hàm (khả vi) phải tại điểm x0 nếu

B= lim

x→x + 0

f(x) − f (x0)

x− x0tồn tại hữu hạn và giới hạn đó được gọi là đạo hàm phải của f tại x0, kí hiệu

f0(x−0) = C

Định nghĩa 1.5.2 (Tính khả vi trên một khoảng, đoạn).

* Một hàm số được gọi là khả vi trong khoảng (a, b) nếu hàm số đó có đạo

hàm tại mọi điểm điểm thuộc khoảng (a, b)

* Một hàm số được gọi là khả vi trong khoảng [a, b] nếu hàm số đó có đạo hàm

tại mọi điểm điểm thuộc khoảng (a, b), có đạo hàm phải tại a và có đạo hàmtrái tại b

1.6 Dãy số, giới hạn của dãy số

Định nghĩa 1.6.1. Dãy số là hàm số từ N∗ vào một tập hợp số (N, R, Q)hay một tập con nào đó của các tập hợp trên Các số hạng của dãy thường được

kí hiệu un, vn, xn, yn thay vì u(n), v(n), x(n), y(n) Bản thân dãy số được kí hiệu là{xn}

Định nghĩa 1.6.2 (Giới hạn hữu hạn).

* Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cùng, nếu |un| cóthể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi

Định nghĩa 1.6.3 (Dãy tuần hoàn).

Dãy xn được gọi là dãy tuần hoàn nếu tồn tại một số nguyên dương k sao cho

Số nguyên dương k nhỏ nhất để dãy xn thỏa mãn (1.1) được gọi là chu kì cơ

sở (còn gọi tắt là chu kì) của dãy

1.7 Đặc trưng hàm của một số hàm sơ cấp

Để mô tả bức tranh mang tính định hướng, gợi ý và dự đoán công thức nghiệmcủa các bài toán liên quan đến phương trình hàm, chúng ta xét một vài tính chấthàm tiêu biểu của một số dạng hàm số quen thuộc sau:

1) Hàm tuyến tính: f (x) = ax, (a 6= 0) có tính chất:

f(x + y) = f (x) + f (y) với mọi x, y ∈ R

2) Hàm bậc nhất: f (x) = ax + b, (a 6= 0, b 6= 0) có tính chất:

f x + y2



= f(x) + f (y)

2 , ∀x, y ∈ R

CHƯƠNG2 PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN

Trong chương này, luận văn tập trung nghiên cứu phương trình hàm một biến

và một số phương pháp cơ bản để giải phương trình hàm một biến Ở đây luận văntập trung vào các phương pháp giải cụ thể như sau: phương pháp thế biến, dùnghàm phụ, hệ số bất định, tìm nghiệm riêng, giải bằng cách lập phương trình Luậnvăn tham khảo các tài liệu [1, 2, 3, 4, 5, 6]

2.1 Phương trình hàm và giải phương trình hàm

Phương trình hàmlà phương trình mà ẩn là một hoặc nhiều hàm số

Giải phương trình hàmlà tìm các hàm số thỏa mãn phương trình đó

Cấu trúc cơ bản của một phương trình hàm gồm ba phần chính:

* Miền xác định và miền giá trị;

* Phương trình hoặc hệ phương trình hàm;

* Một số điều kiện bổ sung (tính tăng, giảm, bị chặn, liên tục, khả vi, củahàm số)

Người ta thường phân loại phương trình hàm theo hai yếu tố chính: Miền giá trị và

số biến tự do Trong luận văn này, chúng ta phân loại phương trình hàm dựa vào

số biến tự do có mặt trong phương trình hàm đó và chỉ giới hạn nghiên cứu cácphương trình hàm một biến

2.2 Một số phương pháp giải phương trình hàm

2.2.1 Phương pháp thế biến

Ý tưởng của phương pháp: Đối với phương trình dạng f (A) = B với A, B là

các biểu thức chứa x, trong đó A có hàm ngược, ta thường sử dụng cách đặt: Đặt

A= t, suy ra biểu thức x theo t Tiếp theo, thay các giá trị này vào các biểu thức

A, B

Đối với phương trình dạng hàm hợp f (g(x)) = h(x), nếu g(x) có hàm ngược,người ta thường đặt ẩn phụ g(x) = t, để xác định hàm số f (t).

Bài toán 2.2.1. Tìm hàm số f(x) biết

Thử lại thấy đúng Vậy f (x) = (x−2)3x2−32, x 6= 2

Bài toán 2.2.4. Tìm hàm số f (x) biết rằng với mọi x 6= 0, ta đều có

f(1

Giải.

Đặt 1x = t ta có x = 1t Thay vào (2.3), suy ra

1− √ 1+x 2

7t2− 8t + 12t2+ 2t + 5.

Do đó

f(x) = 7x

2− 8x + 12x2+ 2x + 5.Đảo lại, ta thấy hàm số này thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài toán 2.2.6. Tìm hàm số f (x) thỏa mãn các điều kiện sau

Suy ra, f (t) = 1−t4t2−12t.

Kiểm tra lại, ta thấy hàm số thỏa mãn đề bài

Nhận xét 2.2.7. Phương pháp thế biến có lẽ là phương pháp được sử dụngnhiều nhất khi giải phương trình hàm Từ các ví dụ trên, ta thấy rằng phương phápthế biến có thể thực hiện như sau:

* Thay thế biến, hoặc các bộ phận chứa biến đó trong phương trình hàm đã chobởi các chữ mới hoặc các biểu thức mới

* Hoặc thế biến bằng các biểu thức để làm xuất hiện các hằng số hoặc các biểuthức cần thiết

Từ đó, f (a) = c và f(b) = 2a − a4− a2c, với c ∈ R tùy ý Như vậy

Trong đó a, b là hai nghiệm của phương trình x2− x − 1 = 0

Ngược lại, với lưu ý a, b là hai nghiệm của phương trình x2− x − 1 = 0 và sử dụng(2.10), dễ dàng kiểm tra thấy f (x) được xác định bởi (2.11) thỏa mãn bài toán.Vậy các hàm số xác định bởi (2.11) là tất cả các hàm số cần tìm

Bài toán 2.2.9. Tìm tất cả các hàm số f (x) nếu biết với ∀x ∈ R\{0, 1}, tacó

f(x) =x− 1

x Kiểm tra lại, ta thấy hàm số này thỏa mãn bài toán

Cách 2:Ta có thể giải phương trình hàm (2.12), bằng cách đưa về hệ phương trình.Với x 6= 1, xét dãy x1 = x; xn+1= g(xn) trong đó g(x) = 1−x1

Ta có:

x1 = x; x2 = 1−x1 ; x3 = 1

1+x−11 = x−1x ; x4 = 1

1−x−1x Suy ra dãy xn tuần hoàn với chu kì 3

Bằng phép thế thay x lần lượt bằng x1, x2, x3 ta được

Ý tưởng của phương pháp: Đối với phương trình dạng f (A) + f (B) = CB

với A, B,C là các biểu thức chứa x, ta thường sử giả sử miền xác định của hàm sốcần tìm là Df, với mỗi x ∈ Df ta xét dãy xác định bởi biểu thức

x1= x; xn+1= g(xn), n ∈ N∗.Nếu dãy xn được xác định như trên tuần hoàn với chu kì k, ta sẽ đưa xn+k =

xn, ∀n ∈ N∗ về hệ k phương trình với k là ẩn hàm Giải hệ này ta tìm được f (x)

Bài toán 2.2.11. (Philippine 2010) Tìm tất cả các hàm số f : R\{1} → Rthỏa mãn

x+ f (x) + 2 f (x+ 2009

x− 1 ) = 2010.

Giải.

Với x 6= 1, xét dãy x1 = x; xn+1= g(n), trong đó g(x) = x+2009x−1

Ta có x1= x; x2= x+2009x−1 ; x3 = x Bằng phép thay thế x lần lượt bằng x1, x2 ta được

x1+ f (x1) + 2 f (x2) = 2010,

x2+ f (x2) + 2 f (x1) = 2010

Giải hệ trên, với ẩn f (x1), ta được f (x1) = x21 +2007x1−6028

3(x 1 −1) , với x1 6= 1Vậy f (x) = x2+2007x−60283(x−1) , ∀x ∈ R\{1}

Bài toán 2.2.12. (Croatia 1996) Cho t ∈ (0; 1) Tìm tất cả các hàm số

f : R → R liên tục thỏa mãn điều kiện

f(x) − f (tx) + f (t2x) = x2, ∀x ∈ R

Giải.

Giả sử tồn tại hàm số f (x) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đặt g(x) := f (x) − f (tx) Dễ thấy g(x) liên tục tại x = 0 và g(0) = 0 Ngoài ra, với

∀x ∈ R, ta có g(x) − g(tx) = x2 Như vậy, ta có

g(x) − g(tx) = x2,g(tx) − g(t2x) = t2x2,

∀x ∈ R : g(x) − g(0) = x21 − 0

1 − t2 ⇒ g(x) = x

2

1 − t2.Nhưng g(x) = f (x) − f (tx), nên làm tương tự trên ta được

Suy ra, dãy xn tuần hoàn với chu kỳ 4.

Bằng phép thay thế x lần lượt bằng x1, x2, x3, x4, ta đưa (2.18) về hệ sau:

1

1 − 2a nếu x = 1; a là một hằng số cho trước

Thử lại, ta thấy hàm số vừa tìm được thỏa mãn điều kiện bài toán

Bài toán 2.2.14. Tìm tất cả các hàm số f (x) Nếu biết với ∀x 6= {0; 1} Tacó:

Suy ra, dãy {xn} tuần hoàn chu kỳ 3

Thay thế x lần lượt bằng x1, x2, x3 vào phương trình (2.19) ta được:

Giải hệ phương trình trên, với ẩn f (x1), ta được:

Bài toán 2.2.15. Tìm tất cả các hàm số f : R\{0; 1} → R Thỏa mãn điềukiện Ta có:

2 f (x1) = 2x1+ 2x3− 2x2⇔ f (x1) = x1+ x3− x2.Suy ra:

Ý tưởng của phương pháp: Đối với phương trình dạng f (A f (B))) + f (C) =

Dvới A, B,C, D là các biểu thức chứa x, ta thường dựa vào điều kiện bài toán, dựđoán dạng của f (x), thường là f (x) = ax + b hoặc f (x) = ax2+ bx + c

Chọn y = a,

x∈ R ta được: f (x f (a) + x) = xa + f (x)

⇒ xa + f (x) = f (0)Đặt f (0) = b ⇒ f (x) = −ax + b Thế vào (2.21) và đồng nhất hệ số ta được:

Bài toán 2.2.17. Tìm f : R → R thỏa mãn:

Vậy có duy nhất hàm số f (x) = 0 thỏa mãn bài toán

Bài toán 2.2.18. Tìm f , g : R → R thỏa mãn:

Bài toán 2.2.19. Cho đa thức f (x) xác định với ∀x ∈ R và thỏa mãn điềukiện:

Thử lại ta thấy hiển nhiên f (x) thỏa mãn điều kiện bài toán

Ta phải chứng minh mọi hàm số khác f (x) sẽ không thỏa mãn điều kiện bài toán.Thật vậy giả sử còn hàm số g(x) khác f (x) thỏa mãn điều kiện bài toán

Do f (x) không trùng với g(x) nên ∃x0 ∈ R : g(x0) 6= f (x0)

Do g(x) thỏa mãn điều kiện bài toán nên: 2g(x) + g(1 − x) = x2, ∀x ∈ R

Thay x bởi x0 ta được: 2g(x0) + g(1 − x) = x20

Thay x bởi 1 − x0 ta được: 2g(1 − x0) + g(x0) = (1 − x0)2

Từ hai hệ thức này ta được: g(x0) = 13(x20+ 2x0− 1) = f (x0)

Điều này mâu thuẫn với g(x0) 6= f (x0)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là : f (x) = 13(x2+ 2x − 1)

Nhận xét 2.2.20. Nếu ta chỉ dự đoán f (x) có dạng nào đó thì phải chứngminh sự duy nhất của các hàm số tìm được

Bài toán 2.2.21. Hàm số y = f (x) xác định, liên tục với ∀x ∈ R và thỏamãn điều kiện: f ( f (x)) = f (x) + x, ∀x ∈ R

Hãy tìm hai hàm số như thế

Giải.

Ta viết phương trình đã cho dưới dạng:

Vế phải của phương trình là một hàm tuyến tính vì vậy ta nên giả sử rằng hàm sốcần tìm có dạng: f (x) = ax + b.

Khi đó (2.27) trở thành: a(ax + b) + b − (ax − b) = x, ∀x ∈ R



a= 1−

√ 5 2

b= 0

⇒ f (x) = 1 ±

√5

2 x.

Hiển nhiên, hai hàm số trên thỏa mãn điều kiện bài toán

Bài toán 2.2.22. Hàm số f : Z → Z thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

b) f ( f (n + 2) + 2) = n, ∀n ∈ Z (2.29)

c) f ( f (n + 2) + 2) = n, ∀n ∈ Z (2.30)Tìm giá trị f (1995), f (−2007)

Hiển nhiên hàm số này thỏa mãn điều kiện bài toán

Ta phải chứng minh f (n) = −n + 1 là hàm duy nhất thỏa mãn điều kiên bài toán.Thật vậy, giả sử tồn tại hàm g(x) khác f (n) cũng thỏa mãn điều kiện bài toán

Từ (2.30) suy ra f (0) = g(0) = 1, f (1) = g(1) = 0

Sử dụng điều kiện (2.28) và (2.29) ta nhận được:

g(g(n)) = g(g(n + 2) + 2), ∀n ∈ Z Do đó: g(g(g(n))) = g(g(g(n + 2) + 2)), ∀n ∈ Z Hay

Chứng minh tương tự ta cũng được f (n) = g(n) với mọi n nguyên âm

Vậy f (n) = 1 − n là nghiệm duy nhất

5 Tìm tất cả các đa thức P(x) ∈ R[x] sao cho: P(x + y) = P(x) + P(y) + 3xy(x +

y), ∀x, y ∈ R.

Đáp số: P(x) = x3+ cx

2.2.4 Phương pháp tìm nghiệm riêng

Ý tưởng của phương pháp: Tìm nghiệm riêng của phương trình hàm đã

cho, nghiên cứu các tính chất của nghiệm riêng đó Hiển nhiên, nghiệm cần tìmcũng phải có những tính chất đó Từ đó, ta có được hướng giải phương trình hàm

đã cho trước hết, nên tìm nghiệm riêng trong lớp các hàm hằng, hàm số bậc nhất,hàm số đa thức Nói chung, nên tìm các nghiệm riêng trong lớp các hàm số sơcấp, bắt đầu từ các hàm đơn giản nhất Nên chú ý đến các đặc trung của của cáchàm số sơ cấp

Sau khi tìm được nghiệm riêng dạng f0(x) ta thường xét đến hàm số phụg(x) = f (x) − f0(x) và xét phương trình hàm mới thu được đối với g(x)

Khi tìm nghiệm riêng, nên chú ý đến một số nhận xét sau:

Nhận xét 2.2.23. (Điều kiện để một hàm số có đạo hàm bằng không là hàmhằng)

Cho hàm số f (x) liên tục trên [a; b], có đạo hàm f0(x) trên khoảng (a; b) Khiđó

f(x) = C, ∀x ∈ [a; b] ⇔ f0(x) = 0, ∀x ∈ (a; b) ,

trong đó C = f (x0), với x0 là một số nào đó ∈ [a; b]

Nhận xét 2.2.24. (Điều kiện để một đa thức là hàm hằng)

Cho đa thức P(x) có bậc ≤ n Khi đó,

1 Nếu P(x) có nhiều hơn n nghiệm thì P(x) = 0, ∀x ∈ R

2 Nếu ∃a ∈ R, a 6= 0 sao cho P(x + a) = P(x), ∀x ∈ R thì P(x) = C với ∀x ∈ R

Nghiệm riêng có dạng f0(x) = kx Để thỏa mãn (2.33) ta phải có:

k(x + a) = kx + b

⇔ k = b

a.Đặt f (x) := kx + g(x) Thay vào (2.33) ta được

k(x + a) + g(x + a) = kx + g(x) + b

⇔ g(x + a) = g(x), ∀x ∈ R

Suy ra, g(x) là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì |a| Dễ thấy, mọi hàm số dạng

f(x) = g(x) +bax, trong đó g(x) là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì |a|, đều thỏamãn yêu cầu của bài ra

Vậy f (x) = g(x) +bax, trong đó g(x) là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì |a|, là hàm

số cần tìm

Bài toán 2.2.26. Cho a, b, m ∈ R, m 6= 1, am 6= 0 Tìm tất cả các hàm số

f : R → R thỏa mãn điều kiện

f(x + a) = m f (x) + b, ∀x ∈ R (2.34)

Giải:

Ta sẽ tìm nghiệm riêng dưới dạng f0(x) = c

Thay vào (2.34) được C = 1−mb

Đặt f (x) = C + g(x), ta được

(2.34) ⇔ C + g(x + a) = mC + mg(x) + b,

Nhận xét rằng: Hàm g có tính chất biến đổi "tổng thành tích" nên ta chọn

nghiệm riêng dưới dạng hàm số mũ Để khử hệ số m ta sẽ tìm nghiệm riêng dướidạng g0(x) = dx Thay vào ta được

dx+a= mdx⇔ da = m ⇔ d = m1a.Đặt g(x) = mxaϕ(x) ta được

Bài toán 2.2.27. Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện

Giải.

Đặt x = −1 + t, ta có

(2.36) ⇔ f (−1 + 2t) = 3 f (−1 + t) (2.37)Đặt tiếp g(t) = f (−1 + t) ta được

Nhận xét rằng: Hàm g cần tìm có tính chất biến đổi "tích thành tích" nên

ta chọn nghiệm riêng dưới dạng lũy thừa Ta sẽ tìm nghiệm riêng của (2.38) dướidạng go(t) = tk Thay vào (2.38) ta phải có

Trong đó, ϕ(t) là hàm số tuần hoàn nhân tính chu kì 2

Thử lại, ta thấy f (x) thỏa mãn điều kiện (2.27) Vậy f (x) xác định theo (2.35) làhàm số cần tìm

Bài toán 2.2.28. Tìm tất cả các hàm số f : R\{3} → R thỏa mãn điều kiện

Với x /∈ {1; 2; 3} Đặt t = x−2x−1 Khi đó, ta có

x= 1 − 1

t− 1,2

3 − x = 1 −

12t − 1;t /∈ {0; 1;1

Vậy ω là hàm tuần hoàn với chu kì là 1 Vậy ϕ(t) = ω(log2t)

Với t < 0 Đặt t = −2u, suy ra ϕ(−2u+1) = ϕ(−2u) hay ω(u + 1) = ω(u), trong đóϕ(−2u) = ω(u)

Vậy ϕ(t) = ω(log2(−t)) với ω là hàm tuần hoàn với chu kì là 1

Tóm lại, ∀t ∈ R{0} thì ϕ(t) = ω(log2| − t|)

Kết luận

f(x) =5 với x = 2 hoặc x = 3,

g x−2x−1
với x ∈ R\{2, 3, 1}

trong đó g(t) = |t|ω(log2|t|) + 5 và ω là hàm tuần hoàn với chu kì 1

Bài toán 2.2.29. Tìm tất cả các hàm số f : R → R liên tục, thỏa mãn điềukiện

Giải.

Trước hết, ta tìm nghiệm riêng dưới dạng f0(x) = ax

Thay vào (2.42) ta có 2a(2x) = ax + x suy ra a = 13

Đặt f (x) = g(x) +13x, ta được g(x) là hàm liên tục trên R và