Điều kiện tối ưu cấp 2 cho bài toán tối ưu vectơ với các hàm lớp c1

Li [2] đãthiết lập các điều kiện tối ưu cấp 2 dạng nguyên thủy và dạng đối ngẫucho bài toán tối ưu vectơ với các hàm khả vi Fréchet.. Hơn nữa, điều kiện đủ cấp 2 cho nghiệm Pareto địa ph

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THỊ XUÂN SINH

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP 2 CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2021

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THỊ XUÂN SINH

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP 2 CHO BÀI TOÁN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số : 8 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TS Đỗ Văn Lưu

THÁI NGUYÊN - 2021

Mục lục

Mở đầu

Các điều kiện tối ưu Karush-Kuhn-Tucker (KKT) đóng một vai tròquan trọng trong lý thuyết tối ưu phi tuyến Các điều kiện KKT cấp 2cho phép ta có thể tìm được các nghiệm tối ưu trong tập các điểm dừng.Các điều kiện tối ưu Karush-Kuhn-Tucker cấp 2 đã được nghiên cứu bởinhiều tác giả trong nước và quốc tế Gần đây, M Feng và S Li [2] đãthiết lập các điều kiện tối ưu cấp 2 dạng nguyên thủy và dạng đối ngẫucho bài toán tối ưu vectơ với các hàm khả vi Fréchet Với điều kiện chínhquy kiểu Abadie, M Feng và S Li [2] thiết lập các điều kiện cần tối ưuKarush-Kuhn-Tucker cấp 2 cho bài toán tối ưu vectơ Hơn nữa, điều kiện

đủ cấp 2 cho nghiệm Pareto địa phương chặt của bài toán tối ưu vectơcũng đã được nghiên cứu trong [2]

1.2 Mục đích của đề tài luận văn

Luận văn trình bày các kết quả của Feng và Li [2] đăng trên tạp chíOptimization năm 2018 về các điều kiện cần và đủ tối ưu dạng nguyênthủy và dạng đối ngẫu cho bài toán tối ưu vectơ có ràng buộc đẳng thức

và bất đẳng thức với các hàm khả vi liên tục Fréchet

2 Nội dung của đề tài luận văn và những vấn đề cần giải quyếtLuận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mụccác tài liệu tham khảo

Chương 1 với tiêu đề "Kiến thức chuẩn bị"trình bày các khái niệm tậptiếp tuyến cấp 2, các loại đạo hàm theo phương cấp 2 và các điều kiệnchính quy cấp 2.

Chương 2 với tiêu đề "Điều kiện cần và đủ tối ưu cấp 2" trình bày cácđiều kiện cần và đủ tối ưu cấp 2 dạng nguyên thủy và dạng đối ngẫu Sửdụng định lý luân phiên Motzkin, từ điều kiện cần tối ưu dạng nguyênthủy để chứng minh điều kiện cần tối ưu dạng đối ngẫu

Luận văn “Điều kiện tối ưu cấp 2 cho bài toán tối ưu vectơ với các hàm

Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.TS Đỗ Văn Lưu Tácgiả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới Thầy, người đãdành nhiều thời gian, tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tác giả trong suốtquá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy giáo,

cô giáo trong khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học TháiNguyên đã giảng dạy và giúp đỡ cho tác giả trong suốt thời gian học tậptại Trường

Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và đồngnghiệp đã động viên, khích lệ và tạo điều kiện thuận lợi nhất cho tôi trongthời gian học tập và trong quá trình hoàn thành luận văn

Thái Nguyên, ngày 25 tháng 10 năm 2020

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Xuân Sinh

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương 1 trình bày một số khái niệm cần thiết cho các chương sau baogồm: các khái niệm tập tiếp tuyến cấp 2, các loại đạo hàm theo phươngcấp 2 và các điều kiện chính quy cấp 2 Các kiến thức trình bày trongChương 1 được tham khảo trong [2]

1.1 Phát biểu bài toán

1.2 Một số khái niệm và định nghĩa

ư., nghiệm Pareto địa phương yếu của VOP) nếu tồn tại δ > 0 sao cho

bán kính δ

nón của A được ký hiệu bởi bdA, clA, intA và coneA Chúng tôi nhắc lạimột vài khái niệm về nón tiếp tuyến, tập tiếp tuyến bậc hai và đạo hàmtheo phương

(a) Tập tiếp tuyến bậc hai của S tại x0 theo phương v là

trong bài của Cambini và cộng sự [7] và đã được sử dụng rộng rãi trong

biểu điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu khả vi

Nếu S là lồi thì T00(S, x0, v) và bT2(S, x0, v) cũng lồi, còn T2(S, x0, v) có

b

T2(S, x0, v) := cone+(T2(S, x0, v) × {1}) ∪ (T00(S, x0, v) × {0}), (1.1)

t>0tA cho một tập con A của Rp+1

(i) T2(S, x0, 0) = T00(S, x0, 0) = T (S, x0) và bT2(S, x0, 0) = T (S, x0)×R+.(ii) Nếu v /∈ T (S, x0) thì T2(S, x0, v) = T00(S, x0, v) = ∅ và bT2(S, x0, v) =

∅

b

T2(S, x0, v) + (T (T (S, x0), v) × {0}) ⊆ bT2(S, x0, v)

Định nghĩa 1.4 ([5]) Giả sử f : Rn → Rl là khả vi Fréchet tại x0 ∈ Rp.

v được xác định bởi công thức

d2cf (x0, v) := lim

(t,u)→(0 + ,v)2t−2f (x0 + tu) − f (x0) − t∇f (x0)Tu

theo phương w được xác định bởi công thức

theo phương w được xác định bởi công thức

kéo theo f là ổn định tại mỗi điểm x ∈ U Như vậy nếu f là C1 trên lân

Trong kết quả chính, ta sẽ sử dụng bổ đề sau

Bởi vì ∇f liên tục tại x0, ta có supx∈[x0+tnv,xn]k∇f (x) − ∇f (x0)k → 0 khi

,

ta có

lim

n→∞zn = sf00(x0, v),khi f00(x0, v) tồn tại Như vậy

lim

n→∞(yn+ zn) = ∇f (x0)Tw + sf00(x0, v),

(i) Nếu f khả vi Fréchet tại x0 thì f00(x0, v) = vT∇2f (x0)v ∀v ∈ Rp

theo phương v ∈ Rp thì d2pf (x0, v, w) = ∇f (x0)Tw + f00(x0, v) và

d00f (x0, v, w) = ∇f (x0)Tw ∀w ∈ Rp

theo phương v ∈ Rp thì d2cf (x0, v) tồn tại và d2cf (x0, v) = f00(x0, v).Chứng minh Phần (i) thì đã biết trong [9], Mệnh đề 2.4 (ii)] Phần (ii)được suy ra từ Bổ đề 1.1 trong trường hợp khi s = 1 và s = 0 Phần (iii)

1.3 Điều kiện chính quy cấp 2

Trong phần này, điều kiện chính quy Abadie cấp hai nó được sử dụngbởi Hachimi và Aghezzaf [3] cho bài toán tối ưu đa mục tiêu được mởrộng để xét cho bài toán VOP Ta cũng xét quan hệ điều kiện chính quysuy rộng với các điều kiện chính quy đã biết Trước hết nhắc lại khái niệmnón tuyến tính hóa

công thức

C(X, ¯x) := {v ∈ Rp : ∇gi(¯x)Tv ≤ 0, i ∈ A(¯x), ∇hj(¯x)Tv = 0, j ∈ J }

Trong phần này ta luôn giả sử rằng gi00(¯x, v), i ∈ I(¯x, v) và h00(¯x, v) tồn

Mệnh đề 1.3 Giả sử ¯x ∈ X và v ∈ T (X, ¯x) Khi đó, bT2(X, ¯x, v) ⊆

b

C2(X, ¯x, v)

Chứng minh Khẳng định này dễ suy ra khi dùng Bổ đề 1.1 do Mệnh

b

T2(X, ¯x, 0) tương đương với C(X, ¯x) ⊆ T (X, ¯x) vì bT2(X, ¯x, 0) = T (X, ¯x)×

là điều kiện chính quy Abadie (ACQ) đó là điều kiện thường được sửdụng để đảm bảo sự tồn tại của các nhân tử KKT (cả biểu thức vô hướng

và bài toán véctơ) Nhưng riêng điều kiện ACQ không đủ để dẫn điềukiện cần KKT cấp 2 Vì vậy ta cần mở rộng ACQ cho trường hợp cấp 2(SOACQ) như dưới đây

Định nghĩa 1.10 (Xem [13]) Ta nói rằng một cận sai số địa phương

trong đó dist(x, X) := infz∈Xkx − zk ký hiệu khoảng cách từ điểm x đếntập X.

zn := ¯x + tnv +1

2s

−1

lớn thì

Thật vậy, nếu i /∈ A(¯x) thì gi(¯x) < 0 và như vậy với n đủ lớn gi(zn) < 0

dist(zn, X) ≤ α max{0, |hj(zn)|, j ∈ J, gi(zn), i ∈ I(¯x, v)} (1.8)

= lim

n→∞

2gi(zn)

s−1n t2 n

Gần đây, Ivanov [5] đã chứng minh điều kiện cần KKT cấp 2 cho tối

ưu Pareto yếu địa phương của bài toán tối ưu véctơ chỉ bao gồm ràngbuộc bất đẳng thức miễn là ACQ cùng với điều kiện chính quy cấp 2 dạng

Chứng minh Nếu v = 0, thì bao hàm thức là tầm thường Vì vậy ta giả

¯

Chương 2

Điều kiện cần và đủ tối ưu cấp 2

Chương 2 trình bày các điều kiện cần và đủ tối ưu cấp 2 dạng nguyênthủy và dạng đối ngẫu Khi sử dụng định lý luân phiên Motzkin, từ điềukiện cần tối ưu dạng nguyên thủy chúng tôi chứng minh điều kiện cần tối

ưu dạng đối ngẫu Các kiến thức trình bày trong Chương 2 được thamkhảo trong [2]

2.1 Điều kiện cần tối ưu cấp 2 dạng nguyên thủy

Trong phần này, ta trình bày điều kiện cần KKT cấp 2 cho bài toánVOP với SOACQ

Giả sử x ∈ X Nón các phương giảm tại x được xác định bởi

Ta định nghĩa tập

b

C02(f, x, v) := {(w, s) ∈ Rp×R+ : ∇fk(x)Tw+sfk00(x, v) < 0 ∀k ∈ K(x, v)}

phương cấp 2 fk00(¯x, v), k ∈ K, gi00(¯x, v), i ∈ A(¯x) và h00j(¯x, v), j ∈ J tồn tại

với bất kỳ k ∈ K \ K(x∗, v), tồn tại số nguyên dương n0 đủ lớn sao cho1

n0 ∇fk(x∗)Tw + sfk00(x∗, v) ∈ [∇fk(x∗)Tv, |∇fk(x∗)Tv|] ∀k ∈ K \ K(x∗, v)

(2.3)Đặt

n0 + 1∇fk(x∗)Tw + sfk00(x∗, v) − ∇fk(x∗)Tv với k ∈ K,thì từ (2.2) và (2.3) ta thấy η = (η1, , ηl)T ∈ intRl

int(Rl+ + ∇f (x∗)T)v Như vậy

∇f (x∗)Tw + sf00(x∗, v) = −(n0 + 1)(η + ∇f (x∗)Tv)

∈ −int cone(Rl+ + ∇f (x∗)Tv)

Bây giờ ta phát biểu điều kiện cần tối ưu cấp 2 KKT cho bài toánVOP

Định lý 2.1 (Điều kiện cần nguyên thủy) Xét bài toán VOP Giả sử

Định lý 2.1 tổng quát hóa và bổ sung Định lý 2.1 trong [5], trong đó

hệ bất đẳng thức là trường hợp đặc biệt với s = 1 và h không được xét

2.2 Điều kiện cần tối ưu cấp 2 dạng đối ngẫu

Chứng minh Giả sử x∗ là nghiệm tối ưu Pareto yếu địa phương Đặt

Chú ý rằng trong Định lý 2.2 chúng ta tập trung vào trường hợp v 6= 0.Thật vậy, nếu chọn v = 0 thì điều kiện Định lý 2.2 sẽ trở lại điều kiệncần tối ưu KKT cấp một với điều kiện ACQ

Ví dụ 2.1 Xét bài toán VOP với các dữ liệu sau:

b

T2(X, x∗, v) = bC2(X, x∗, v) = {(w, s) ∈ R2 × R : w1 = 2s, s ≥ 0}

(1, 0, 2, 1) ∈ M (x∗, v) thì

θ1f100(x∗, v) + θ2f200(x∗, v) + λg00(x∗, v) + µh00(x∗, v) = 2(b − 1) > 0

Ví dụ trên đồng thời minh họa SOACQ không kéo theo ACQ hoặcSOZCQ

Ví dụ 2.2 (SOACQ không kéo theo ACQ) Xét Ví dụ 2.1 Rõ ràng

C(X, x∗) = {(0, v2) : v2 ∈ R}

Ví dụ 2.3 (SOACQ không kéo theo SOZCQ) Xét Ví dụ 2.1 và thaythế ràng buộc đẳng thức h(x) = 0 bằng ràng buộc bất đẳng thức h(x) ≤ 0

và −h(x) ≤ 0 Khi đó tồn tại (x∗, v), SOACQ đúng như đã chỉ ra trong

và SOZCQ đều không đúng, cho nên Định lý 2.2 áp dụng được, nhưngĐịnh lý 4.2 trong [5] không áp dụng được

2.3 Điều kiện đủ tối ưu cấp 2

Phần trước đã dẫn các điều kiện cần cho nghiệm tối ưu Pareto yếuđịa phương Phần này sẽ trình bày các điều kiện đủ cho nghiệm tối ưuPareto

ρ > 0 sao cho

(f (x) + Rl+) ∩ B(f (x∗), ρkx − x∗k2) = ∅ ∀x ∈ X ∩ B(x∗, δ) \ {x∗}

Rõ ràng là mỗi điều kiện Pareto chặt cấp 2 phải là nghiệm Pareto địaphương (cô lập)

ổn định tại ¯x

Định lý 2.3 (Điều kiện đủ đối ngẫu) Xét bài toán VOP và điểm chấp

hệ điều này với (2.5) và (2.6) cho ta

ψ(xn) − ψ(x∗) − tn∇ψ(x∗)Tvn ≤ kθk

2

Bởi vì (C0) đúng tại x∗, từ Mệnh đề 1.2 (iii) suy ra đạo hàm theo phương

Định lý 2.4 (Điều kiện đủ nguyên thủy) Xét bài toán VOP và điểm

Bằng cách đặt λi = 0, i ∈ I \ A(x∗), liên hệ với (2.13), ta suy ra (2.5)-(2.6)đúng Từ (2.14) ta đi đến (2.9) Do đó, theo Định lý 2.3, ta suy ra điều

Do đó đẳng thức (2.9) thỏa mãn với ∀v ∈ C(x∗) \ {(0, 0, 0)} nếu b > −1

nghiệm tối ưu Pareto chặt cấp 2 Tuy nhiên ví dụ này không thể được

sử dụng để phát triển định lý trong [6], bởi vì giả thiết (chính xác hơn

là (H) trong ([6], Mục 4) không đúng Thật vậy, nếu ta lấy một phương

- Các khái niệm đạo hàm theo phương cấp 2, tập tiếp tuyến cấp 2, điềukiện chính quy Abadie cấp 2;

- Các điều kiện cần tối ưu cấp 2 dạng nguyên thủy và dạng đối ngẫu;

- Các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 dạng nguyên thủy và dạng đối ngẫu;

- Các ví dụ minh họa các điều kiện tối ưu đã trình bày

Điều kiện cần và đủ tối ưu dạng nguyên thủy và đối ngẫu cho bài toántối ưu vectơ trơn và không trơn là đề tài đã và đang được nhiều tác giảquan tâm nghiên cứu

Tài liệu tham khảo

con-[3] Hachimi M, Aghezzaf B (2007), “New results on second-order mality conditions in vector optimization problems”, J Optim TheoryAppl, 135, pp 117-133

opti-[4] Bigi G, Castellani M (2000), “Second order optimality conditions fordifferentiable multiobjective problems”, RAIRO Oper Res, 34, pp.411-426

[5] Ivanov V.I (2015), “Second-order optimality conditions for vectorproblems with continuously Fréchet differentiable data and second-order constraint qualifications”, J Optim Theory Appl, 166, pp.777–790

[6] Gutiérrez C, Jiménez B, Novo V (2010), “On second-order FritzJohn type optimality conditions in nonsmooth multiobjective pro-gramming”, Math Program, 123(1), pp 199-223

[7] Cambini A, Martein L, Vlach M (1999), “Second-order tangent setsand optimality conditions”, Math Japon, 49, pp 451-461.

[8] Jiménez B, Novo V (2004), “Optimality conditions in differentiablevector optimization via second-order tangent sets”, Appl Math Optim,49(2), pp 123–144

[9] Jiménez B, Novo V (2003), “Optimality conditions in directionallydifferentiable Pareto problems with a set constrained via tangentcones”, Numer Funct Anal Optim, 24, pp 557–574

[10] Penot J.P (1999), “Second-order conditions for optimization lems with constraints”, SIAM J Control Optim, 37, pp 303-318.[11] Gutiérrez C, Jiménez B, Novo V (2009), “New second-order direc-tional derivative and optimality conditions in scalar and vector opti-mization”, J Optim Theory Appl, 142, pp 85-106

prob-[12] Jiménez B, Novo V (2004), “First and second order sufficient tions for strict minimality in nonsmooth vector optimization”, J MathAnal Appl, 284(2), pp 496-510

condi-[13] Minchenko L, Stakhovski S (2011), “On relaxed constant rank ularity condition in mathematical programming”, Optimization, 60,

reg-pp 429-440

[14] Jiménez B (2002), “Strict efficiency in vector optimization”, J MathAnal Appl, 265(2), pp 264-284