SKKN sử dụng phương pháp tỉ số thể tích để tính thể tích của các khối đa diện

MỘT SỐ DẠNG TOÁN SỬ DỤNG CÔNG THỨC TỈ SỐ THỂ TÍCH...5 Dạng toán 1: Sử dụng công thức tỉ số thể tích giải bài toán tính tỉ số thể tích 5 của các khối đa diện.. Dạng toán 2: Sử dụng công t

MỤC LỤC

Trang

1 Lời giới thiệu……… 2

2.Tên sáng kiến……… 3

3.Tác giả sáng kiến……… 3

4.Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến……… 4

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến……… 4

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu……… 4

7 Mô tả bản chất của sáng kiến ……… 4

NỘI DUNG 5 A CÔNG THỨC TỈ SỐ THỂ TÍCH ……… ……… 5

Bài toán 5

B MỘT SỐ DẠNG TOÁN SỬ DỤNG CÔNG THỨC TỈ SỐ THỂ TÍCH 5

Dạng toán 1: Sử dụng công thức tỉ số thể tích giải bài toán tính tỉ số thể tích 5 của các khối đa diện Dạng toán 2: Sử dụng công thức tỉ số thể tích giải bài toán tính thể tích của 11 các khối đa diện Dạng toán 3: Sử dụng công thức tỉ số thể tích trong các bài toán Min, Max 18 trong hình học không gian C MỘT SỐ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN……… 24

8 Những thông tin cần được bảo mật……… 29

9 Những điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến……… 29

10 Đánh giá lợi ích thu được……… 29

11 Danh sách những tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng thử……… 29

1

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu

Toán học là một môn học đòi hỏi tư duy lôgic rất chặt chẽ Học sinh thườnghọc môn Toán nói chung khá vất vả và thấy rất khó, đặc biệt là môn Hình học khônggian lại càng khó khăn hơn Tuy nhiên từ năm học 2016 – 2017 đến nay Bộ GiáoDục và Đào Tạo đã thực hiện đổi mới trong thi cử, trong đó môn Toán cùng với các

bộ môn khác chuyển từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm Họcsinh không phải trình bày bài toán theo kiểu tự luận mà chỉ cần làm sao cho đáp ánđược chính xác nhất, nhanh nhất Nhưng phần lớn học sinh gặp câu “Hình” trongtrắc nghiệm là khoanh bừa đáp án, mà ta lại thấy trong đề thi thì câu Hình học khônggian lại xuất hiện khá nhiều Nếu cứ khoanh bừa đáp án theo kiểu “Hên-xui” thì họcsinh thường không yên tâm và có phần nhiều rất lo lắng Trong đề thi minh họa của

Bộ Giáo Dục và Đào Tạo và trong các đề thi chính thức của Bộ Giáo Dục luôn cónhững bài toán “Dễ, trung bình, khá và khó” về tính tỉ số thể tích, tính thể tích củakhối chóp, khối lăng trụ hoặc những khối đa diện và đặc biệt khó nếu những bài toán

đó lại liên quan đến các bài toán Min-Max trong hình học không gian Những bàitoán đó thường gây ra cho học sinh lúng túng và nhiều khi các em học sinh thường

bỏ qua những bài toán “Hình” đó Đây là một vấn đề rất thực tế nhưng để học tốt nóvốn không đơn giản đối với các học sinh có tư duy hình học yếu, đặc biệt là tư duy

cụ thể hoá, trừu tượng hoá Việc dạy và học các vấn đề này ở chương trình toán lớpdưới vốn đã gặp rất nhiều khó khăn bởi nhiều nguyên nhân, trong đó có nguyên nhân

về tâm lý gặp hình là thấy khó và hơn nữa trong các sách giáo khoa đang còn thiếunhiều bài tập về phần trắc nghiệm để rèn luyện phần này Do đó khi học về vấn đềtính tỉ số thể tích, tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ hoặc những khối đa diện

ở chương 1 hình học 12 học sinh gặp rất nhiều khó khăn Đa số các em học sinhthường có cảm giác nhìn vào bài toán là đã không muốn đọc rồi bởi vì nó dài và cònkhó

2

nữa Có chăng nếu em nào đó mà học khá hơn một chút thì khi học vấn đề này nhìnchung các em thường vận dụng công thức một cách máy móc chưa có sự phân tích,thiếu tư duy lôgic và trực quan nên các em hay bị nhầm lẫn, hoặc không giải được,đặc biệt là những bài toán cần phải có hình vẽ để “chia nhỏ” thể tích mới tính được.Càng khó khăn hơn cho những học sinh có kỹ năng tính toán các bài hình còn yếu và

kỹ năng “Nhìn hình vẽ trong không gian” còn hạn chế, mơ hồ Trong sách giáo khoabài tập về vấn đề đó còn ít, hoặc lượng bài tập rất hạn chế còn sơ sài Trên các diễnđàn thì tài liệu nhiều vô kể nhưng cũng gây hoang mang cho học sinh vì không biếtnên tham khảo tài liệu nào hay bỏ tài liệu nào, chưa kể các tài liệu viết rất lan man,nhiều bài toán thậm chí còn đánh đố học sinh Nhận thức được vấn đề đó nên tôi viết

đề tài “SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỈ

SỐ THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN” nhằm

giúp cho các em học sinh lớp 12 có một tài liệu tham khảo cô đọng nhất Trong

đề tài này thì lượng bài tập được xếp theo thứ tự từ dễ đến khó và đầy đủ cácdạng mà trong đề thi THPT QG thường đề cập tới Từ đó giúp học sinh phát huytốt kiến thức, kỹ năng tính tỉ số thể tích, tính thể tích hoặc làm các bài toán min,max liên quan đến khối đa diện Học sinh thấy được việc sử dụng phương pháp tỉ

số thể tích vào làm toán trắc nghiệm trong một số bài sẽ rất nhanh và chính xác,khi đó học sinh sẽ cảm thấy hứng thú, thiết thực và học tốt về hình học khônggian, các em sẽ không còn cảm giác không làm được nữa, mà sẽ giải quyết đượcbài toán đó rất nhanh gọn

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến

- Họ và tên: Tô Ngọc Dũng

- Nghiên cứu giảng dạy môn Toán lớp 12 trong trường THPT

Từ tháng 09 năm 2019 đến tháng 02 năm 2020

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

- Để giúp các em học sinh tính toán được nhanh các bài tập trắc nghiệm hình học

về tính tỉ số thể tích của các khối đa diện, tính thể tích của các khối đa diện vànhững em học sinh khá giỏi có thể làm được một số bài toán min-max về khối đadiện trong hình không gian

4

NỘI DUNG

A CÔNG THỨC TỈ SỐ THỂ TÍCH

Bài toán: Cho hình chóp tam giác S ABC Trên ba đường thẳng SA, SB , SC lần

lượt lấy ba điểm A, B, C khác với S Gọi V và V  lần lượt là thể tích của các

V SA SB SC khối chóp S ABC và S ABC Khi đó ta luôn có: 

B MỘT SỐ DẠNG TOÁN SỬ DỤNG CÔNG THỨC TỈ SỐ THỂ TÍCH Dạng toán 1: Sử dụng công thức tỉ số thể tích giải bài toán tính tỉ số thể tích của các khối đa diện.

Phương pháp:

- Sử dụng công thức tính tỉ số thể tích của 2 khối chóp tam giác

- Sử dụng các định lí, tính chất hình học đã biết

Ví dụ 1.1 Cho hình chóp S ABC Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm SA, SB

và SC Khi đó tỉ số thể tích giữa khối chóp S MNP và khối chóp S ABC bằng

4

Lời giải Chọn B

Ví dụ 1.3 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam

giác vuông cân tại C cạnh bên SA vuông góc với

mặt phẳng (ABC) có SA=AB Mặt phẳng () qua

A và vuông góc với SB cắt SB tại B’ cắt SC tại C’

song (ABC) cắt SA, SB, SC tại A’, B’, C’, chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ

số thể tích hai phần đó

Lời giải:

6

S

G B'

Ví dụ 1.5 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi B’, D’

lần lượt là trung điểm của SB và SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’ Tính

tỉ số thể tích

Gọi O là giao điểm của AC và BD và I là giao

điểm của SO và B’D’ Khi đó AI cắt SC tại C’

Ví dụ 1.6 Cho khối chóp tứ giác đều SABCD, mặt phẳng (  ) qua A, B và trung

điểm M của SC Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt

phẳng đó

Lời giải:

S

N M

Kéo dài MN cắt AB tại I, kẻ MD song song SC (DAC); E =DICB Khi đó tứ

giác MNED là thiết diện khối chóp cắt bởi (α)

8

Ví dụ 1.8 Cho khối tứ diện có thể tích V Gọi V ' là thể tích của khối đa diện có

các đỉnh là các trung điểm của các cạnh tứ diện đã cho Tính tỷ số V '

Giả sử khối tứ diện là ABCD Gọi E , F , G , H , I , J lần lượt là trung điểm của

Do đó V  V  V AEFG  VBEHJ

Ví dụ 1.9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a; SA  SB 

SC  2a Gọi M là trung điểm của cạnh SA; N là giao điểm của đường thẳng SD

và mặt phẳng (MBC) Gọi V, V1 lần lượt là thể tích của các khối chóp

S.ABCD và S.BCNM Tính tỷ số V1

V

Lời giải:

Do (MBC) chứa BC//(SAD) nên N là giao điểm của

đường thẳng qua M song song với AD Suy ra N là

8 V 8

Ví dụ 1.10 Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh là a Gọi K là trung

điểm BC, I là tâm mặt bên CC’D’D Tính thể tích các khối đa diện do mặt phẳng (AKI) chia hình lập phương.

C'

10

Dạng toán 2: Sử dụng công thức tỉ số thể tích giải bài toán tính thể tích của các khối đa diện.

Phương pháp:

- Nhiều khi tính trực tiếp thể tích của khối đa diện cần tính rất khó, tuynhiên ta có thể sử dụng công thức tính tỉ số thể tích của 2 khối chóp tam giác đểđưa bài toán về tính thể tích của khối đa diện đơn giản hơn, từ đó ta sẽ tính đượcthể tích của khối đa diện cần tính

- Sử dụng các công thức, định lí, tính chất hình học đã biết

vuông góc với đáy Góc giữa hai mặt phẳng SBD  và  ABCDlà 60 Gọi M;

N là trung điểm của SB;SC Tính thể tích khối S ADMN ?

Lời giải Chọn A

S ADMN

11

Ví dụ 2.2 Cho hình chóp S ABCD Gọi I , J ,K , H lần lượt là trung điểm của

các cạnh SA, SA, SC,SD Tính thể tích khối chóp S ABCD biết thể tích của khối chóp S IJKH là 1

A 16.

K J

C B

SIJK

V

SABC

Suy ra V SABC  8VSIJK và V SACD  8VSIKH

Do đó V SABCD  VSABC  VSACD  8 V SIJK  VSIKH  8VSIJKH  8 Chọn B

Ví dụ 2.3 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân ở B Gọi G là

trọng tâm tam giác SBC, ( ) qua AG song song BC cắt SB, SC tại M, N Tính thể tích của khối chóp S.AMN?

Ví dụ 2.4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy

ABCD là hình thang, BAD  ABC  90

Ví dụ 2.5 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có thể tích bằng 2 Gọi M,N lần lượt là

hai điểm nằm trên hai cạnh AA' và BB' sao cho M là trung điểm của AA' và

BN  2 BB ' Đường thẳng CM cắt đường thẳng C ' A' tại P và đường thẳng CN

cắt đường thẳng C ' B' tại Q Thể tích khối đa diện A'MPB'NQ bằng

Lời giải Chọn D

13

Suy ra: V

Vậy: V

Ví dụ 2.6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là

hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N,

P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD

Tính thể tích khối tứ diện CMNP theo a

Ta có:

M

A a B H

N

D P C

14

Nhân theo vế (1) với (2)

Gọi H là trung điểm của AD ta có SH  AD mà (SAD)  (ABCD) nên SH (ABCD)

Do đó: V

S.BCD

Ví dụ 2.7 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông mặt bên SAB là một

tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy và có diện tích bằng

27 3

Một mặt phảng đi qua trọng tâm SAB và song song với mặt đáy( ABCD)

và chia khối chóp thành hai phần Tính thể tích V của phần chứa điểm S

Lời giải Chọn C

S

A'

B'

Giả sử SAB đều có cạnh bằng a suy ra S SAB

Gọi H là trung điểm của AB thì SH  ( ABCD ); SH  3

 V

S ABCD

Mặt phẳng đi qua trọng tâm SAB và song song với mặt đáy(ABCD)cắt các cạnh

SA, SB , SC lần lượt tại A' , B ' , C ' , D' Khi đó thể tích V của phần chứa điểm S là:

15

Ví dụ 2.8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a; SA = a 3 và SAvuông góc với đáy, mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SC và cắt SB, SC, SD lầnlượt tại B’, C’, D’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a

B'

O a

trung điểm của cạnh AB Mặt phẳng MB ' D ' chia khối hộp ABCD A ' B ' C ' D' thành hai khối đa diện Tính thể tích của phần khối đa diện chứa đỉnh A.

Lời giải Chọn D

16

(ABCD) / /(A'B'C'D') 

(MB'D') (A'B'C'D')  B'D'

- Trong mp (AA'B 'B) gọi S  B ' M  AA'

Do đó B ' M , D ' N , AA' là giao tuyến của 3 mặt phẳng đôi một cắt nhau nên chúng đồng quy tại S.

Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = b

Gọi M là trung điểm SD, N là trung điểm AD

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua BM và cắt mặt

phẳng (SAC) theo một đường thẳng vuông góc

17

Từ (1) và (2) ta có: AC  (BMN)

Giả sử (P) cắt (SAC) theo giao tuyến (d)  BM Mà do (d) và AC đồng phẳng

 (d) // (AC) Gọi: O = (AC)(BD)

Trong mặt phẳng (SBD): SO cắt BM tại I

Qua I kẻ đường thẳng (d) // (AC) cắt SA, SC lần lượt tại H, K  Mặt phẳng(MHBK) là mặt phẳng (P) cần dựng Lại vì I là trọng tâm SDC và HK//AC nên:SH

Nội dung phương pháp: Trong toán học nói chung, chúng ta thấy: Việc tìm giá

trị nhỏ nhất và lớn nhất của một đại lượng biến thiên là không hề dễ dàng Bởi vậy việc tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của một đại lượng biến thiên đối với hình học không gian lại càng khó khăn hơn Tuy nhiên nếu biết cách sử dụng công thức tỉ số thể tích vào giải toán min, max một số bài toán hình không gian

sẽ cho chúng ta lời giải ngắn gọn và rất hay.

Ví dụ 3.1 Cho tứ diện S ABC có G là trọng tâm tứ diện, mặt phẳng quay quanh

AG cắt các cạnh SB , SC lần lượt tại M , N Giá trị nhỏ nhất của tỉ số VS. AMN

là

9

Lời giải Chọn A

18

Gọi E ,F ,G lần lượt là trung điểm BC ,SA, EF suy ra G là trọng tâm tứ diện S ABC Điểm I là giao điểm của AG và SE Qua I dựng đường thẳng cắt các cạnh

SB,SC lần lượt tại M,N Suy ra  AMN  là mặt phẳng quay quanh AG

thỏa mãn yêu cầu bài toán

Kẻ GK // SE , K  SA suy ra K là trung điểm FS  KG  AK  3

Ví dụ 3.2 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật, ABa,AD2a.

Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA  3a Điểm P là trung điểm của SC Một

mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SB và SD lần lượt tại M và N Gọi V1 là thể

tích của khối chóp S AMPN Giá trị nhỏ nhất của V1

A.

Lời giải Chọn A

19

Ví dụ 3.3 Cho hình chóp đều S.ABC có SA = a Gọi G là trọng tâm tam giác

SBC, mặt phẳng (P) đi qua AG cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại M, N Gọi V1, Vlần lượt là thể tích khối chóp S.AMN và S.ABC Tìm giá trị lớn nhất của V

V

1 20

Mà V S ACB  VS ACD (do hai hình chóp S ACB , S ACD có chung chiều cao

h  dS , ABCD  và hai tam giác ACB, ACD có diện tích bằng nhau)

1

Do đó V S ACB  VS ACD  2V S ABCD Cộng (1) và (2) theo vế ta được:

Từ giả thiết, ta có k

* Tương tự:

22

Suy ra k 

k 

Vậy mink 

qua trung điểm I của đoạn thẳng AG và cắt các cạnh AB, AC, AD tại các điểm

(khác A) Gọi hA, hB, hC, hD lần lượt là khoảng cách từ các điểm A, B, C, D đếnmặt phẳng () Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức: P

C'

Gọi B’, C’, D’ lần lượt giao điểm của mặt phẳng

 AB'.AC'.AD'  AI.AB'.AC'  AI.AC'.AD' 

AI.AD'.AB' AB.AC.AD 3.AG.AB.AC 3.AG.AC.AD

h 2  h 2  h 2B C

D3.

23

C MỘT SỐ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN

Câu 1 Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V và điểm E trên cạnh AB sao cho

AE  3EB Tính thể tích khối tứ diện EBCD theo V

Câu 3 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi và có thể tích bằng 2

Gọi M , N lần lượt là các điểm trên cạnh SB và SD sao cho

Tìm giá trị của k để thể tích khối chóp S AMN bằng

A k 

Câu 4 Cho hình chóp S ABCD , gọi I , J , K , H lần lượt là trung điểm các cạnh SA

, SB , SC , SD Tính thể tích khối chóp S ABCD biết thể tích khối chóp S IJKH

bằng 1

A 16.

Câu 5 Cho hình chóp S ABC có thể tích là V biết M,N,P lần lượt thuộc các cạnh

SA, SB, SC sao cho SM  MA, SN 2 NB, SC 3SP Gọi V  là thể tích của

A V

Câu 6 Cho khối chóp S .ABC có thể tích bằng

lấy các điểm M và N sao cho SM 3MB , Tính

thể tích V của khối chóp A.MNCB

24

Câu 8 Cho hình chóp S.ABC, trên các cạnh bên SA, SB,SC theo thứ tự lấy các

Câu 10 Cho khối tứ diện có thể tích V Gọi V ' là thể tích của khối đa diện có

các đỉnh là các trung điểm của các cạnh tứ diện đã cho Tính tỷ số V '

Câu 14 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có thể tích bằng 2 Gọi M, N lần lượt là

hai điểm nằm trên hai cạnh AA' và BB' sao cho M là trung điểm của AA' và

BN  2 BB ' Đường thẳng CM cắt đường thẳng C ' A' tại P và đường thẳng CN

3

cắt đường thẳng C ' B' tại Q Thể tích khối đa diện A'MPB'NQ bằng

25

A. 5

9

Câu 15 Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 1, chiều cao bằng 2 Xét

đa diện lồi H có các đỉnh là trung điểm tất cả các cạnh của hình chóp đó (tham

khảo hình vẽ) Tính thể tích của H

2

Câu 16 Một viên đá có dạng khối chóp tứ giác đều với tất cả các cạnh bằng nhau

và bằng a Người ta cưa viên đá đó theo mặt phẳng song song với mặt đáy của

khối chóp để chia viên đá thành hai phần có thể tích bằng nhau Tính diện tích

thiết diện viên đá bị cưa bởi mặt phẳng nói trên

a2

A.

Câu 17 Cho hình chóp S ABC có thể tích V Gọi P, Q lần lượt là trung điểm

của SB, SC và G là trọng tâm tam giác

với đáy góc 60 Gọi M là điểm đối xứng của C qua D , N là trung điểm của SC

Mặt phẳng BMN  chia khối chóp S ABCD thành hai phần có thể tích là V1

, V2, trong đó V1là thể tích của phần chứa đỉnh A Tính tỉ số V2

V

1

5

lượt là trung điểm các cạnh SB, SC Tính thể tích khối chóp S AMND biết rằng

khối chóp S ABCD có thể tích bằng a3