TỪ PHƯƠNG TRÌNH ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐẠI SỐ ĐẾN BÀI TOÁN QUỸ TÍCH HÌNH HỌC PHẲNG

Như vậy, với phương trình đường Fx; y = 0 như trên thì tồn tại ít nhất một bài toán quỹ tích hình học phẳng mà kết quả là đường có phương trình Fx; y = 0.. Từ đó, tôi nảy ra một ý tưởng

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THỪA THIÊN-HUẾ

TRƯỜNG THPT PHAN ĐĂNG LƯU



ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP NGÀNH

TỪ PHƯƠNG TRÌNH ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐẠI SỐ ĐẾN BÀI TOÁN QUỸ TÍCH HÌNH HỌC PHẲNG

Chủ nhiêm đề tài: TÔN THẤT HIỆP Giáo viên Toán trường THPT Phan Đăng Lưu

kỳ III: Một số xu hướng đổi mới trong dạy học toán ở trường Trung học Phổ thông

(TS.Trần Vui (chủ biên), Nhà xuất bản Giáo dục năm 2005) nhấn mạnh: “Đổi mới

phương pháp dạy học môn Toán hiện nay ở trường THPT là tổ chức cho học sinh

được học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực chủ động và sáng

tạo”

Việc tạo ra những bài toán mới cũng là một trong những hoạt động tự giác tích cực

chủ động sáng tạo của học sinh THPT có khả năng về toán học Tạo ra những bài

toán mới đối với giáo viên dạy toán ở bậc THPT cũng như sinh viên đại học ngành

Toán là việc nên làm trong quá trình dạy và học

Vì vậy, dạy cho học sinh về tư duy sáng tạo ra một bài toán là phần nào đó chúng

ta rèn luyện cho học sinh tính sáng tạo toán học một cách sinh động và cụ thể

Xuất phát từ những vấn đề trên, chúng tôi tiến hành đề tài nghiên cứu khoa học

“TỪ PHƯƠNG TRÌNH ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐẠI SỐ ĐẾN BÀI TOÁN QUỸ

hình học phẳng từ phương trình của đồ thị hàm số Trong đề tài này, tôi còn xây

dựng các bài toán quỹ tích đại số tổng quát mà kết quả của bài toán quỹ tích là các

đồ thị của các dạng hàm số y = k1.f1(x) + k2.f2(x)) (k1, k2 là hai số thực khác không),

Để thuận tiện cho việc thẩm định của Hội đồng Khoa học, tôi xin giới thiệu cấu

trúc của đề tài này như sau:

A TỔNG QUAN

Trình bày mục tiêu của đề tài, tên đề tài, lịch sử của đề tài, năm bắt đầu nghiên cứu

và năm kết thúc đề tài, phương pháp nghiên cứu và những kiến thức liên quan

B NỘI DUNG

số đại số

Trình bày cách áp dụng quy trình tạo ra bài toán quỹ tích hình học phẳng ở mục I,

để tạo ra các bài toán quỹ tích hình học phẳng từ các hàm số đại số đơn giản

y = ax, y = a/x, y = ax2, y = a/x2, y = ax3, y = ax4,y = a x ( a 3 0)

Đề xuất và chứng minh 4 bài toán quỹ hình học phẳng được tổng quát từ một số

bài toán quỹ tích hình học ở mục II mà kết quả là đồ thị hàm số đa thức bậc n

dx+e (d  0, a2 + b2 + c2 ≠0, tử và mẫu không có nghiệm chung ), đồ thị hàm số y = an/xn + an–1/xn-1 + … + a1/x + a0

( an  0, n N*)

IV Các bài toán quỹ tích tổng quát mà kết quả là đồ thị hàm số

Đề xuất và chứng minh các bài toán quỹ tích mà kết quả là những đồ thị hàm số có

Tổng kết lại những kết quả đã đạt được trong quá trình nghiên cứu

D Ý NGHĨA CỦA KẾT QUẢ

Nêu lên một số ý nghĩa và ứng dụng của đề tài đã thực hiện

E HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI

Nêu hai hướng phát triển của đề tài

G CÁC KẾT QUẢ KHẢO SÁT, THỰC NGHIỆM

Phân tích số liệu thông kê các phiếu khảo sát và đánh giá buổi ngoại khóa

H KẾT LUẬN

PHỤ LỤC

A.TỔNG QUAN

I Mục tiêu của đề tài:

Với tầm quan trọng của việc giáo dục cho học sinh tư duy sáng tạo toán học, tôi tiến hành nghiên cứu đề tài “ TỪ PHƯƠNG TRÌNH ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐẠI SỐ ĐẾN

1 Rèn luyện tư duy sáng tạo toán học cho học sinh THPT thông qua cách tạo ra bài toán quỹ tích hình học phẳng từ phương trình đồ thị hàm số

2 Làm phong phú thêm số lượng các bài toán quỹ tích hình học phẳng Bổ sung những bài toán quỹ tích hình học phẳng hoàn toàn mới mà quỹ tích của bài toán là đồ thị hàm số đại số

Học sinh khá giỏi bậc THPT, sinh viên khoa Toán của các trường đại học, giáo viên dạy toán bậc THPT trên toàn quốc và thế giới

III Lịch sử vấn đề:

Trước đây, khi môn hình học giải tích chưa ra đời thì bài toán quỹ tích hình học được phát biểu, được diễn tả bằng ngôn ngữ hình học tổng hợp và kết quả bài toán quỹ tích là một trong những đường hình học cơ bản: đường thẳng, đường tròn, đoạn thẳng, tia, cung tròn v,v

Cho đến khi hình học giải tích ra đời, bài toán quỹ tích hình học phẳng, nếu giải được bằng phương pháp toạ độ thì kết quả của bài toán quỹ tích là một tập hợp điểm

có toạ độ (x; y) thoả mãn phương trình hai ẩn F(x; y) = 0

Như vậy, với phương trình đường F(x; y) = 0 như trên thì tồn tại ít nhất một bài toán quỹ tích hình học phẳng mà kết quả là đường có phương trình F(x; y) = 0 Từ

đó, tôi nảy ra một ý tưởng là đi tìm cách tạo ra bài toán quỹ tích hình học phẳng

từ phương trình của đồ thị hàm số đại số.

Giải quyết vấn đề này thì sẽ mở ra một cách mới, để có thể tạo ra nhiều bài toán

quỹ tích hình học phẳng từ phương trình đồ thị hàm số

Năm 1999, tôi đã thành công khi tìm bài toán quỹ tích hình học phẳng (bài toán 5 trong đề tài) từ phương trình của Prabol ở dạng chính tắc y2 = 2px để làm nguyên lý cho dụng cụ vẽ đường Parbol liên tục

Năm 2000, tôi bắt đầu đi tìm cách tạo ra bài toán quỹ tích hình học phẳng từ

phương trình của đồ thị hàm số Sau một thời gian dài nghiên cứu, cho đến bây giờ

một véc tơ trong mặt phẳng, phương trình đường thẳng trong mặt phẳng (xem chương I sách giáo khoa Hình học lớp 12 (sách chỉnh lý hợp nhất năm 2002) do tác giả Văn Như Cương biên soạn)

2 Đường lối chung để giải một bài toán quỹ tích hình học phẳng bằng phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

3 Định nghĩa đồ thị hàm số:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên D

Đồ thị (G) của hàm số là tập hợp tất cả các điểm M(x; y) trong mặt phẳng toạ độ Oxy với x D và y = f(x)

Công thức y = f(x) được gọi là phương trình của đồ thị

(Trần văn Hạo – Cam duy Lễ, Đại số 10, nhà xuất bản Giáo dục năm 2002, trang 25)

Ở đây ta cần chú ý đến hai tính chất đặc biệt của véc tơ

Cho hai véc tơ OM = (x; y) , ON = (x ; y )  , ta có

B NỘI DUNG

I Quy trình tạo ra bài toán quỹ tích hình học phẳng:

* Từ phương trình đồ thị (G) của hàm số y = f(x) ta viết dưới dạng y – f(x) = 0 hay F(x; y) = 0 (1)

* Từ đẳng thức (1) này ta chọn được một cặp véc tơ vuông góc thỏa mãn (1) hay một cặp véc tơ cùng phương thỏa mãn (1) (ta có thể chọn được nhiều cặp véc tơ cùng phương hoặc vuông góc thỏa mãn (1))

* Sau đó, dựa vào mối liên hệ của điểm M(x; y) (G) với các quan hệ hình học cơ bản nhất từ mối quan hệ vuông góc hoặc quan hệ cùng phương của cặp véc tơ mà ta

đã chọn ở trên, cần chú ý đến các đối tượng hình học “động” và “tĩnh”, để rồi ta phát hiện ra những bài toán quỹ tích hình học phẳng (ta cần phải vẽ hình để dễ thấy được mối quan hệ hình học giữa các đối tượng một cách trực quan)

Trên cơ sở những bài toán quỹ tích hình học mới tìm ra, ta có thể sử dụng những bài toán đó một cách hợp lý để tạo ra những bài toán quỹ tích hình học khác

Có thể tóm tắt quy trình tạo ra bài toán hình học phẳng này dưới dạng lược đồ như sau:

Thực chất của việc lập luận lôgíc theo quy trình này là một trong những cách lập luận của phần đảo “mở” trong phép chứng minh một bài toán quỹ tích hình học phẳng (Phần đảo “mở” là phần lập luận lô-gíc để đưa về một hay nhiều bài toán bài toán quỹ tích hình học phẳng mà không nhất thiết là bài toán quỹ tích mà ta đang giải)

Có thể nói, quy trình tạo ra bài toán quỹ tích hình học phẳng nói trên là một cách

“sản xuất” ra nhiều bài toán quỹ tích hình học phẳng mà “nguyên vật liệu” là phương trình của một số đồ thị hàm số đại số cơ bản

Quan hệ giữa cặp véc tơ (cùng phương hoặc vuông góc)

Quan hệ hình học của

với các đối tượng hình học

“tĩnh” và “ động ”

Bài toán quỹ tích hình học phẳng

* Ta biến đổi như sau:

(1)  y.1 – a.x = 0  OM cùng phương OH  3 điểm O, M, H0 thẳng hàng 0

Với OM = (x; y) ,OH = (1, a)0 suy ra H0 là giao điểm của hai đường thẳng (d1): y = a, (d2): x = 1 và M(x; y) (G) , đồ thị (G) chính là đường thẳng OH0 (xem hình vẽ 1) Từ đó ta có bài toán 1 như sau

Bài toán 1:

Cho hai đường thẳng vuông góc (d1) và (d2) vuông góc với nhau O là một điểm không nằm trên hai đường thẳng đó, M0 là một điểm nằm trên đường thẳng (d1) Gọi H0 là hình chiếu của M0 lên đường (d2) Đường thẳng qua M0 vuông góc với (d1) cắt đường thẳng OH0 tại M1

Tìm quỹ tích các điểm M1 khi M0 chạy trên đường thẳng (d1)

Hình 1

* Ta có thể biến đổi như sau (1)  y.1 – a.x = 0  OCOD

Với OC = (x; 1), OD = (-a; y) suy ra C (d ) : y = 1 1 ,D(d ) : x = -a2 Gọi M là giao điểm của đường thẳng qua C vuông góc với (d1) và đường thẳng qua D vuông góc với (d2) thì ta có M(x; y) (G) (xem hình vẽ 2) Từ đó ta có bài toán sau

Bài toán 2:

Cho hai đường thẳng (d1) và (d2) vuông góc với nhau, O là một điểm cố định không nằm trên hai đường thẳng đó Trên đường thẳng (d1) lấy điểm C, đường thẳng qua O vuông góc với OC cắt (d2) tại D Đường thẳng qua C vuông góc với (d1) cắt đường thẳng qua D vuông góc với (d2) tại M

Tìm quỹ tích các điểm M khi C chạy trên (d1)

Hình 2

* Ta biến đổi như sau: (2)y.x + (-1).a = 0 , (x0)  OPOQ

Trong đó: OP = (x; -1),OQ = (y; a) suy raP (d : y = -1 2) ,Q (d : y = a 1) , OP OQ

Vẽ đường thẳng (d3): y = x , đường thẳng qua Q vuông góc với (d1) cắt đường thẳng (d3) tại S Gọi M là giao điểm của đường thẳng qua P vuông góc với (d1) và đường thẳng qua S cùng phương với (d1) thì ta có M(x; y) (G) (xem hình vẽ 3)

Từ đó ta có bài toán 3 như sau

Bài toán 3:

Cho ba đường thẳng (d1), (d2), (d3) trong đó (d1) song song với (d2) và (d1) hợp với (d3) một góc 450, O là một điểm cố định nằm trên (d3) và O(d )1 (d )2 Trên đường thẳng (d3) lấy điểm S, qua S vẽ đường thẳng vuông góc với (d1) tại Q Đường

Hình 3 Tìm quỹ tích các điểm M khi S chạy trên đường thẳng (d3)

Lời giải bài toán 3:

Hình 3' Phần thuận :

* Chọn hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ 3’ Giả sử (d1): y = a , (d2) : y = b, (d3) : y = x và M(x; y) thoả mãn bài toán 3 Vì P(d )2 , PM(d )2 , Q(d )1

MS  Oy, S (d ) 3 nên P(x; b) và Q(y; a) Theo giả thiết OQ  OQ, nên ta có :

OPOQx.y + b.a = 0 y = -ab ,( x 0)

x

* Ở đây x  0 vì nếu x = 0 thì M, POy nên đường thẳng qua OQ song song với (d1)

(vì OP OQ) trái với giả thiết Q (d1)

Vậy quỹ tích các điểm M là đồ thị hàm số có phương trình dạng c

y =

x( c  0)

* Một cách biến đổi khác như sau:

(2)y.x - 1.a = 0 (x 0) OP cùng phương OQ 3 điểm O, P, Q thẳng hàng Với OP = (x; 1),OQ = (a; y) suy raP(d ) : y = 11 , Q (d ) : x = a 2 Đường thẳng qua P vuông góc với (d1) cắt đường thẳng qua Q vuông góc với (d2) tại M thì ta có M(x; y) (G) (xem hình vẽ 4)

Hình 4

Từ đó ta có bài toán 4 như sau

Bài toán 4:

Cho hai đường thẳng (d1) và (d2) vuông góc với nhau.O là một điểm cố định không

nằm trên hai đường thẳng đó Trên đường thẳng (d1) ta lấy một điểm P, đường thẳng

Tìm quỹ tích các điểm M khi điểm N chạy trên đường thẳng (d1)

* Ta biến đổi như sau: 1 + 1.x

ax(3) y -  = 0 , (x 0)

Gọi M là giao điểm của đường thẳng qua P vuông góc với (d2) và đường thẳng qua

Q vuông góc với Ox thì ta có M(x; y) (G) (x0) (xem hình vẽ 6)

Kết hợp với bài toán 4, ta có bài toán 6

Bài toán 6:

Cho ba đường thẳng (d1), (d2), (d3) phân biệt trong đó (d1) vuông góc với (d2) và (d3), O là một điểm cố định không nằm trên ba đường thẳng đó Trên (d1) lấy điểm S, đường thẳng OS cắt (d3) tại R, đường thẳng (d) qua S vuông góc với (d1) cắt đường thẳng qua R vuông góc với (d3) tại Q Đường thẳng qua O vuông góc với OQ cắt đường thẳng (d2) tại P Gọi M là hình chiếu vuông góc của P lên đường thẳng (d) Tìm quỹ tích các điểm M khi S chạy trên đường thẳng (d1)

Hình 6

* Ta biến đổi như sau:

ON = ( ),OM = (x; y), suy ra M(x; y) (G) ,N (d ) : x = 2 1

a

 , đường thẳng đi qua M cùng phương với (d2) cắt đường thẳng (d1) : y = x tại M1 thì N là hình chiếu vuông góc của M1 lên (d2) (xem hình vẽ 7)

Từ đó ta có bài toán 7 như sau

Bài toán 7:

Cho hai đường thẳng (d1) và (d2) hợp với nhau một góc 450 O là điểm cố định nằm trên đường thẳng (d1) và không nằm trên đường thẳng (d2) Trên đường thẳng (d1) lấy một điểm M1, qua M1 vẽ đường thẳng vuông góc với (d2) tại N, đường thẳng ON cắt đường thẳng qua M1 cùng phương với (d2) tại M

Tìm quỹ tích các điểm M khi M1 chạy trên đường thẳng (d1)

* Ta có thể biến đổi : 1 - x.1

ax(3) y.  = 0, (x 0)

 

 

 3 điểm O, P, Q thẳng hàng

Hình 8 Kết hợp với bài toán 4 ta có bài toán 8 như sau

Bài toán 8:

Cho ba đường thẳng (d1), (d2), (d3), trong đó (d3) và (d2) vuông góc với nhau, (d3)

và (d1) hợp với nhau một góc 450 O là một điểm cố định nằm trên nằm trên (d1) và

3 2

O (d )   (d ) Trên đường thẳng (d2) lấy một điểm S, đường thẳng OS cắt đường thẳng (d3) tại R Đường thẳng (d) qua R vuông góc với (d3) cắt đường thẳng qua S

vuông góc với (d2) tại Q Đường thẳng OQ cắt đường thẳng (d3) tại P, đường thẳng

qua P vuông góc với (d3) cắt đường thẳng (d1) tại U, đường thẳng qua U vuông góc

với (d2) cắt đường thẳng (d) tại M

Tìm quỹ tích các điểm M khi điểm S chạy trên đường thẳng (d2)

* Ta có thể biến đổi:

(3)y.1 - (ax).x = 0 OM2 cùng phương OH1  3 điểm O, M2 ,H1 thẳng hàng

Với OH = (1; )1 ax , OM = (x; y)2 , suy ra M (x; y) (G)2  Gọi M1(x; ax) là một điểm

trên đồ thị (C): y = ax thì đường thẳng qua M1 vuông góc với đường thẳng (d2) : x = 1 tại H1 (xem hình 9) Hình 9

Kết hợp với bài toán 1 ta có bài toán 9 như sau

Bài toán 9:

Cho hai đường thẳng vuông góc (d1) và (d2) vuông góc với nhau, O là một điểm

không nằm trên hai đường thẳng đó Trên đường thẳng (d1) lấy điểm M0, qua M0

dựng đường thẳng (d) vuông góc với (d1) Qua M0 vẽ đường thẳng vuông góc với

(d2) tại H0, đường thẳng OH0 cắt đường thẳng (d) tại M1 Qua M1 vẽ đường thẳng

vuông góc với (d2) tại H1, đường thẳng OH1 cắt đường thẳng (d) tại M2

Tìm quỹ tích các điểm M2 khi M0 chạy trên đường thẳng (d1)

Kết hợp bài toán 4, ta có bài toán 10

Bài toán 10:

Cho hai đường thẳng (d1) và (d2) vuông góc với nhau, O là một điểm không nằm trên hai đường thẳng đó Trên đường thẳng (d2) lấy điểm P, đường thẳng OP cắt đường thẳng (d1) tại Q, đường thẳng (d) qua P vuông góc với (d2) cắt đường thẳng qua Q vuông góc với (d1) tại R Đường thẳng qua O vuông góc với OR cắt đường thẳng (d) tại M

Tìm quỹ tích các điểm M khi P chạy trên đường thẳng (d2)

* Ta có thể biến đổi 2

(4)y - (ax ).x = 0  OM3 cùng phương OH2  3 điểm O, M3 , H2 thẳng hàng

Bài toán 11:

Cho hai đường thẳng (d1) và (d2) hợp với nhau một góc 450 O là điểm cố định

nằm trên đường thẳng (d1) và không nằm trên đường thẳng (d2) Trên đường thẳng (d1) lấy một điểm M1 Qua M1 vẽ đường thẳng vuông góc với (d2) tại H1 và cũng qua M1 kẻ đường thẳng (d) cùng phương với (d1) Đường thẳng OH1 cắt đường thẳng (d) tại M2 Qua M2 vẽ đường thẳng vuông góc với (d2) tại H2, đường thẳng OH2 cắt đường thẳng (d) tại M3

Tìm quỹ tích các điểm M3 khi điểm M1 chạy trên (d1)

Bài toán 12:

Cho ba đường thẳng (d1), (d2) và (d3), trong đó (d1) vuông góc với (d2) và (d1) hợp với (d3) một góc 450 O là một điểm cố định nằm trên đường thẳng (d3) và không nằm trên hai đường thẳng (d1), (d2) Lấy điểm S trên (d1), đường thẳng OS cắt (d2) tại

R, đường thẳng (d) qua S vuông góc với (d1) và đường thẳng qua R vuông góc với (d2) cắt nhau tại N Đường thẳng (d) cắt đường thẳng (d3) tại I, đường thẳng qua I vuông góc với (d2) cắt ON tại P Gọi M là điểm đối xứng của P qua (d3)

Tìm quỹ tích các điểm M khi S chạy trên (d1)

ON= (x; - ) ,OM = (x; y) suy ra N (C) : y = - 1

ax

 và ta có M(x; y) (G) (xem hình vẽ 13)

Kết hợp với bài toán 9, ta có bài toán 14 như sau

Bài toán 14:

Cho hai đường thẳng vuông góc (d1) và (d2) vuông góc với nhau.O là một điểm không nằm trên hai đường thẳng đó Trên đường thẳng (d1) lấy điểm M0, qua M0 dựng đường thẳng (d) vuông góc với (d1) Qua M0 vẽ đường thẳng vuông góc với (d2) tại H0, đường thẳng OH0 cắt đườngthẳng (d) tại M1 Qua M1 vẽ đường thẳng vuông góc vớI (d2) tại H1, đường thẳng OH1 cắt đường thẳng (d) tại M2 Qua M2 vẽ đườngthẳng vuông góc với (d2) tại H2, đường thẳng OH2 cắt đường thẳng (d) tại M3

Tìm quỹ tích các điểm M3 khi M0 chạy trên đường thẳng (d1)

Ta biết rằng đồ thị của hai hàm số ngược nhau thì đối xứng với nhau qua đường thẳng (d3): y = x Vì vậy, trong bài toán 14, khi ta lấy điểm M đối xứng với M3 qua đường thẳng (d3) mà (d3) hợp với đường thẳng (d1) một góc 450 thì quỹ tích các

M2.Qua M2 vẽ đường thẳng vuông góc với (d2) tại H2, đường thẳng OH2 cắt đường

thẳng (d) tại M3.Gọi M là điểm đối xứng của M3 qua đường thẳng (d3)

Tìm quỹ tích các điểm M khi M0 chạy trên đường thẳng (d1) Hình 15

giao điểm của đường thẳng qua P cùng phương với (d2) và đường thẳng qua Q

vuông góc với (d2) thì ta có M(x; y) (G) (xem hình vẽ 16)

Kết hợp bài toán 4 ta có bài toán 16 như sau:

Bài toán 16:

Cho hai đường thẳng (d1) và (d2) vuông góc với nhau, trên đường thẳng (d1) lấy điểm I, đường thẳng OI cắt đường thẳng (d2) tại H Đường thẳng (d) qua I vuông góc với (d1) cắt đường thẳng qua H vuông góc với (d2) tại P Đường thẳng OP cắt (d2) tại

Q, đường thẳng qua Q vuông góc với (d2) cắt đường thẳng (d) tại M

Tìm quỹ tích các điểm M khi I chạy trên (d1)

Kết hợp với bài toán 4, ta có bài toán 17

Bài toán 17:

Cho 4 đường thẳng (d1), (d2), (d3) và (d4) phân biệt trong đó (d1) vuông góc với (d2) và (d3) đồng thời hợp với (d4) một góc 450 O là một điểm cố định nằm trên đường thẳng (d4) sao cho O không nằm trên ba đường thẳng (d1), (d2), (d3) Trên đường thẳng (d3) lấy điểm H, đường thẳng OH cắt (d1) tại R Đường thẳng (d) qua H vuông góc với (d3) cắt đường thẳng qua R vuông góc với (d1) tại P Đường thẳng qua

O vuông góc với OP cắt (d2) tại S, đường thẳng qua S vuông góc với (d2) cắt đường thẳng (d4) tại U Đường thẳng qua U vuông góc với (d1) cắt (d) tại M

không nằm trên hai đường thẳng đó Trên đường thẳng (d1) lấy điểm M0, qua M0 dựng đường thẳng (d) vuông góc với (d1) Qua M0 vẽ đường thẳng vuông góc với (d2) tại H0, đường thẳng OH0 cắt đường thẳng (d) tại M1 Qua M1 vẽ đường thẳng vuông góc với (d2) tại H1, đường thẳng OH1 cắt đường thẳng (d) tại M2 Qua M2 vẽ đường thẳng vuông góc với (d2) tại H2, đường thẳng OH2 cắt đường thẳng (d) tại M3 Qua M3 vẽ đường thẳng vuông góc với (d2) tại H3, đường thẳng OH3 cắt đường thẳng (d) tại M4

Tìm quỹ tích các điểm M4 khi M0 chạy trên đường thẳng (d1)

* Ta có thể biến đổi : (7) y.(- 12) + x.x = 0 (x 0)

Tìm quỹ tích các điểm P khi điểm S chạy trên đường thẳng (d1)

Cho ba đường thẳng (d1), (d2), (d3), trong đó (d1) vuông góc với (d2), (d3) hợp với(d1) một góc 450 O là một điểm cố định nằm trên đường thẳng (d3) và không nằm trên hai đường thẳng (d1), (d2) Trên đường thẳng (d1) lấy điểm H, đường thẳng OH cắt (d2) tại I Đường thẳng (d) qua H vuông góc với (d1) cắt đường thẳng qua I vuông góc với (d2) tại R Đường thẳng qua O vuông góc với OR cắt đường thẳng (d1) tại S, đường thẳng qua S vuông góc với (d1) cắt (d3) tại U Đường thẳng qua U vuông góc với (d2) cắt đường thẳng (d) tại Q Đưòng thẳng (d) cắt đường thẳng (d3)tại G, đường thẳng qua G vuông góc với (d2) cắt đường thẳng OQ tại P Gọi M là điểm đối xứng của P qua đường thẳng (d3)

Tìm quỹ tích các điểm M khi H chạy trên đường thẳng (d1)

Hình 20

Như vậy, sau khi áp dụng quy trình tạo ra bài toán quỹ tích hình học phẳng, tôi đã tạo ra 20 bài toán quỹ tích làm phong phú thêm về số lượng các bài toán quỹ tích hình học phẳng dành cho học sinh khá giỏi

III Bốn bài toán quỹ tích hình học phẳng tổng quát từ một số bài toán đã tìm ra:

Tổng quát hoá một số bài toán cụ thể ở phần trên, ta có những bài toán quỹ tích

hình học phẳng dưới đây mà quỹ tích của bài toán là đồ thị hàm số tương ứng, đó là

:đồ thị hàm số đa thức y = a x + an n n - 1xn - 1 + + a x + a x + a2 2 1 0, đồ thị hàm số

y = (ax2 + bx + c)/(dx +e)(d  0), đồ thị hàm số y = an/xn + an–1/xn-1 + … + a1/x + a0

(n N*) , đồ thị hàm số y = a x (xn 0, n2, a0) Các bài toán dưới đây, tác giả

chỉ trình bày chứng minh phần thuận

1 Quỹ tích của bài toán là đồ thị hàm số đa thức:

Từ các bài toán 1, 9, 14 và 18 ta đi đến bài toán tổng quát như sau

Bài toán 21:

Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng (d1) và (d2) vuông góc với nhau, và n điểm

T0, T1, …, Tn –1 (n 1) không nằm trên hai đường thẳng (d1) và (d2) Lấy điểm M0

nào đó trên (d1).Qua M0 vẽ đường thẳng vuông góc với (d2) tại H0 và cũng qua M0

vẽ đường thẳng(d) cùng phương với với (d2), đường thẳng H0T0 cắt đường thẳng (d)

tại M1 Qua M1 vẽ đường thẳng vuông góc với (d2) tại H1, đường thẳng H1T1 cắt

đường thẳng (d) tại M2 Cứ như thế…,qua Mn -1 vẽ đường thẳng vuông góc với (d2)

tại Hn –1 , đường thẳng Hn -1Tn -1 cắt đường thẳng (d) tại Mn

Tìm quỹ tích các điểm Mn khi M0 chạy trên đường thẳng (d1)

Lời giải

a) Phần thuận

Gọi O là giao điểm của hai đường thẳng (d1) và (d2) Chọn hệ trục tọa độ Oxy như

hình vẽ (xem hình 21) Giả sử phương trình hai đường thẳng (d1): y = 0, (d2): x = 0

và T0(p0; q0) T1(p1; q1),…, Tn-1(pn–1; qn–1), vớip i 0, q i 0, i = 0; n - 1 Lấy

0 1

M (x; 0) (d ) , từ các giả thiết ta có thể giả sử thêm rằng M1(x; y1), M2(x; y2),…,

Mn -1(x; yn –1), Mn(x; yn), H0(0; 0), (H0  O) suy ra H1(0; y1), H2(0; y2),…,

Hn -1(0; yn –1), Hn(0; yn) Từ giả thiết ta có:

T H =(-p ; -q ), T M =(x-p ; y -q )0 0 0 0 0 1 0 1 0 cùng phương

T H =(-p ; y -q ), T M =(x-p ; y -q )1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 cùng phương ………

Ta chứng minh dự đoán trên

+ Theo chứng minh trên thì dự đoán đúng với n = 1, n = 2

+ Giả sử điều cần chứng minh đúng đến n (n ≥ 2) Ta xét n +1 các điểm Ti(pi; qi) và các quan hệ tạo ra n + 1 điểm Mi +1(x; yi+1) i = 0;n, như bài toán 21 đã nêu thì

k - 1 n - 1 j=0 j i ,i , ,i = j+1 i i i n-(k -1)-1 j