Ứng dụng của số phức trong việc giải các bài toán về đại số, giải tích và lượng giác

11 Chương II : CÁC PHƯƠNG PHÁP ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ, GIẢI TÍCH, LƯỢNG GIÁC .... Phương pháp ứng dụng số phức để tính giá trị của các biểu thức lượng giác tại các

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

LỜI CẢM ƠN 4

PHẦN MỞ ĐẦU 5

I Lý do chọn đề tài 5

II Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 5

III Mục đích nghiên cứu 6

IV Nhiệm vụ nghiên cứu 6

V Phương pháp nghiên cứu 6

VI Cấu trúc luận văn 6

Chương I: MỘT VÀI LÝ THUYẾT CƠ BẢN 7

I.1 Định nghĩa số phức 7

I.2 Các dạng biểu diễn của số phức và các phép toán 7

I.3 Công thức Moivre và phép khai căn một số phức 10

I.4 Một số kiến thức liên quan và kĩ năng cơ bản khi làm bài tập ứng dụng số phức 11

Chương II : CÁC PHƯƠNG PHÁP ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ, GIẢI TÍCH, LƯỢNG GIÁC 16

II.1 Phương pháp ứng dụng số phức để giải các phương trình, bất phương trình 16

II.2 Phương pháp ứng dụng số phức để giải hệ phương trình đại số 18

II.3 Phương pháp ứng dụng số phức để tính giá trị lượng giác của một góc a cho trước 21

II.4 Phương pháp ứng dụng số phức để rút gọn – chứng minh tổng các biểu thức lượng giác 25

II.5 Phương pháp ứng dụng số phức để tính giá trị của các biểu thức lượng giác tại các trị xác định 28

II.6 Phương pháp ứng dụng số phức để tìm giới hạn của dãy số lượng giác 32

II.7 Phương pháp ứng dụng số phức để chứng minh tổng hữu hạn các biểu thức tổ hợp 33

II.8 Phương pháp ứng dụng số phức để giải các bài toán phương trình hàm đa thức 36

II.9 Phương pháp ứng dụng số phức để chứng minh bất đẳng thức 38

II.10 Phương pháp ứng dụng số phức để giải các bài toán về sự chia hết 41II.11 Phương pháp ứng dụng số phức để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 43

Chương III : ÁP DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ, GIẢI TÍCH, LƯỢNG GIÁC 46

III.1 Áp dụng phương pháp ứng dụng số phức để giải các phương trình, bất

phương trình 46III.2 Áp dụng phương pháp ứng dụng số phức để giải hệ phương trình đại số 48III.3 Áp dụng phương pháp ứng dụng số phức để tính giá trị lượng giác của một góc a cho trước 52III.4 Áp dụng phương pháp ứng dụng số phức để rút gọn – chứng minh tổng các biểu thức lượng giác 54III.5 Áp dụng phương pháp ứng dụng số phức để tính giá trị của các biểu thức lượng giác tại các trị xác định 59III.6 Áp dụng phương pháp ứng dụng số phức để tìm giới hạn của dãy số lượng giác 61III.7 Áp dụng phương pháp ứng dụng số phức để chứng minh tổng hữu hạn các biểu thức tổ hợp 64III.8 Áp dụng phương pháp ứng dụng số phức để giải các bài toán phương trình hàm đa thức 68III.9 Áp dụng phương pháp ứng dụng số phức để chứng minh bất đẳng thức 70III.10 Áp dụng phương pháp ứng dụng số phức để giải các bài toán về sự chia hết 73III.11 Áp dụng phương pháp ứng dụng số phức để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 75

KẾT LUẬN 78 TÀI LIỆU THAM KHẢO 79

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành được đề tài này em đã được sự giúp đỡ của rất nhiều người Trước hết em xin gởi lời cám ơn đến cô Phan Thị Quản - người trực tiếp hướng dẫn định hướng đề tài cho em, cũng đồng cảm ơn Ban Giám hiệu nhà trường

và tất cả thầy cô giáo khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn thành đề tài

Sau đó, em cũng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên về tinh thần cũng như vật chất trong quá trình làm luận văn

Trong quá trình làm luận văn này em đã cố gắng hết sức để hoàn thành

nhưng vẫn khó tránh khỏi những sai sót, kính mong nhận được sự góp ý, chỉ bảo của các thầy cô và bạn bè sinh viên

Em xin chân thành cảm ơn!

Đà Nẵng, tháng 05/2012 Sinh viên thực hiện

Vũ Thị Tường Minh

PHẦN MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

Do nhu cầu của toán học, số phức được hình thành từ thế kỉ XVI Tuy nhiên, quá trình thừa nhận số phức như một công cụ quý giá của toán học diễn ra rất chậm chạm Có rất nhiều nỗi băn khoăn và thắc mắc rằng đơn vị ảo i   1 không có gì chung với số _ một công cụ của phép đếm Mãi đến thế kỉ XIX, Gauss mới thành công trong việc luận chứng một cách vững chắc khái niệm số phức Bản chất đại số của số phức thể hiện ở chỗ số phức là phần tử của trường mở rộng (đại số) £ của trường số thực ¡ thu được bằng phép ghép đại số cho ¡ nghiệm i của phương trình 2

x   1 0

Số phức là một chuyên đề khá mới mẻ đối với học sinh phổ thông trung học

Ở chương trình toán phổ thông, số phức chỉ được giới thiệu sơ lược và đưa vào cuối của chương trình nên chưa đi sâu vào các ứng dụng

Thực chất, ứng dụng của số phức trong việc giải toán sơ cấp là không nhỏ;

nó vốn là một công cụ đắc lực nhằm giải quyết hiệu quả nhiều bài toán trong giải tích, đại số, lượng giác

Nhiều bài toán có lời giải rất đơn giản nếu chúng ta dùng công cụ số phức Với những lí do trên, em đã nghiên cứu đề tài “Ứng dụng của số phức trong việc giải các bài toán về đại số, giải tích và lượng giác”

II Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

1./ Đối tượng nghiên cứu

- Tìm hiểu các dạng toán trong đại số, giải tích và lượng giác mà có thể ứng dụng phương pháp số phức để giải

- Đối tượng của luận văn này là các em cấp học sinh cấp 3, các học sinh đang học trường chuyên, cũng như những bạn sinh viên thích thú và có nhu cầu tìm hiểu về ứng dụng của số phức vào việc giải các bài toán đại số, giải tích và lượng giác

2./ Phạm vi nghiên cứu:

Tìm hiểu các dạng toán đại số, giải tích và lượng giác mà có thể giải được bằng phương pháp số phức

III Mục đích nghiên cứu

Nhằm hệ thống lại và đưa ra phương pháp giải các bài toán đại số, giải tích

và lượng giác bằng phương pháp số phức

IV Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm tất cả các bài tập có thể ứng dụng giải bằng phương pháp ứng dụng số phức, phân dạng và đưa ra phương pháp giải

V Phương pháp nghiên cứu

Tìm kiếm, thu thập trên sách, vở, internet các tài liệu liên quan đến số phức

VI Cấu trúc luận văn

Mở đầu

Chương 1: Một vài lý thuyết cơ bản

Chương 2: Các phương pháp ứng dụng số phức để giải các bài toán đại số, giải tích

và lượng giác

Chương 3: Áp dụng các phương pháp ứng dụng số phức để giải các bài toán đại số,

giải tích và lượng giác

Kết luận

Tài liệu tham khảo

Chương I: MỘT VÀI LÝ THUYẾT CƠ BẢN

I.1 Định nghĩa số phức

a) Định nghĩa 1:

Số phức là số có dạng z = a + ib, trong đó a, b là những số thực và i là số thỏa mãn

i2 = -1, i được gọi là đơn vị ảo

a gọi là phần thực của số phức z, kí hiệu Rez

b gọi là phần ảo của số phức z, kí hiệu Imz

Mỗi số phức z đều được biểu diễn duy nhất dưới dạng: z = a + ib với a,b ¡ và

i2 = -1 Đây là dạng đại số của số phức

)

 Các phép toán

Cho các số phức z = a + bi; z1 = a1 + b1i; z2 = a2 + b2i với a, b, a1, b1, a2, b2 R

b) Dạng lượng giác của số phức

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, mỗi số phức z = a + ib được biểu diễn bởi một và chỉ một điểm M(a, b) Và ngược lại với mỗi điểm M(a, b) biểu diễn một

 Dạng lượng giác của số phức

Cho số phức z = a + bi với a, b ¡ Với r là mô đun,  là một argumen của số phức z

Ta có : r z a2b2 với a = r cos ; b = r sin 

Do đó z = a + bi có thể viết dưới dạng z = r(cos + i sin ) với r > 0 Dạng này được gọi là dạng lượng giác của số phức

)

 Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác

Cho 2 số phức có dạng lượng giác là z1 = r1 (cos 1 + isin 1); z2 = r2(cos  2+isin 2)

- Mô đun của thương 2 số phức là thương 2 mô đun, argumen của thương 2 số phức

là hiệu của 2 argumen và bội số của 2 

c) Dạng mũ của số phức

Với n là số nguyên dương, công thức [ (cos r   i sin )]  n  rn(cos n   i sin n  )

được gọi là công thức Moivre

Công thức vẫn còn đúng đối với số nguyên âm:

[ (cos   sin )]  n  n[cos(   )  sin(   )]

b) Phép khai căn

Cho số phức z 0.Khi đó căn bậc n của z là số phức w thỏa phương trìnhwn z

Cho số phức z  r(cos i sin ) , r > 0 Căn bậc n của số phức z là một số phức biểu diễn dưới dạng lượng giác w (cos +i sin )  sao cho wn  z

Theo công thức Moivre, ta có

Lấy k = 0, 1, 2, …, n-1 ta được n giá trị khác nhau của 

Do đó có n căn bậc n khác nhau của z là :

a) Một số kiến thức liên quan :

* Định lý cơ bản của đại số : Mọi đa thức bậc lớn hơn 0 với hệ số phức có ít nhất

một nghiệm phức

Hệ quả : Mọi đa thức bậc n > 0 với hệ số phức có n nghiệm phức

* Định lý Viet : Cho phương trình a xn n an 1 xn 1   a x1 a0 0, an  0Giả sử x , x , , x1 2 nlà n nghiệm của phương trình trên

- Cho phương trình xn  1 0với x1, x2, …, xn-1, xn là n nghiệm của phương

trình này Theo định lý Viet có x1 + x2 + …+ xn-1 +xn = 0 và x1 x2… xn-1xn = (-1)n

* Nhị thức Niu tơn và các tính chất:

- Nhị thức Niu tơn:

Với mọi cặp số a, b và mọi số n nguyên dương ta có:

+ Các hệ số của khai triển lần lượt là 0 1 2 n 1 n

Thay x = 1 vào (2) ta có:C0n C1n C2n   ( 1) Cn nn 0

* Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân :

Nếu (un) là một cấp số nhân với công bội q  1thì tổng Sn được tính theo công thức :

n 1

n

u (1 q )S

Để tìm dạng lượng giác r(cos i sin)của số phức z = a + ib, a, bR khác

0 cho trước, ta phải :

* Tính lũy thừa bậc n của một số phức

Để tính lũy thừa bậc n của một số phức, ta làm như sau:

- Đưa số phức về dạng lượng giác

- Dùng công thức Moivre để tính lũy thừa bậc n

Ví dụ: Tính  15

1  i 3Giải:

Đưa số phức về dạng lượng giác:

  , thay vào phương trình thứ

nhất của hệ (*), ta được hệ phương trình:

Vậy có 2 căn bậc hai của -5 + 12i là 2 + 3i và -2 – 3i

* Tìm nghiệm của phương trình bậc 2 bất kì

Xét phương trình bậc 2 2

Az  Bz  C  0 (1), trong đó A, B, C là các số phức (A0)

Để tìm nghiệm của phương trình bậc 2, ta làm như sau:

- Lập biệt thức  B2 4A.C

- Nếu   0 thì  có 2 căn bậc 2 là  1; 2 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt là:

Ta có      4 5 1 i2

 có 2 căn bậc 2 là  i

Vậy phương trình (*) có hai nghiệm là z1   2 i ; z2   2 i

Chương II : CÁC PHƯƠNG PHÁP ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ, GIẢI TÍCH, LƯỢNG GIÁC

II.1 Phương pháp ứng dụng số phức để giải các phương trình, bất phương trình

- Bước 2: Từ bước 1 ta có 2 trường hợp:

i) Khi bài toán có xuất hiện dạng x x1 2y y1 2 tùy vào đề toán ta lựa chọn phép đặt

2   , dấu bằng xảy ra khi có số k > 0 sao cho b = k.a

ii) Khi bài toán chỉ xuất hiện dạng f (x)2g(x)2 , ta lựa chọn phép đặt

a x iy , bx iy ta dùng một trong các tính chất sau

a b    a b , dấu bằng xảy ra khi có số k > 0 sao cho b = k.a

a b    a b , dấu bằng xảy ra khi có số k > 0 sao cho b = k.a

- Bước 3:

Đối với phương trình: giải các điều kiện để dấu bằng xảy ra, tìm được nghiệm và kết luận

Đối với bất phương trình, ta kết luận tập nghiệm của bài toán bằng tập xác định

Ghi chú : Phương pháp này dựa trên những điều cơ bản sau:

 với phép đặt a x1 iy , b1 x2iy2, ta có:   1 2 1 2

1a.b a.b x x y y

Miền xác định của phương trình : D = R

Bước 1: Biến đổi phương trình

Phương trình (1) tương đương 2 2

Bước 3: Giải các điều kiện để dấu bằng xảy ra, tìm được nghiệm và kết luận

Dấu bằng xảy ra khi k 0sao cho a k.b

Miền xác định của bất phương trình là D  1; 

Bước 1: Biến đổi bất phương trình

Bất phương trình (*) tương đương 2

x 1 x 3     2(x 3)   2(x 1) 

Bước 2: Từ bước 1, ta thấy bất phương trình xuất hiện dạng x x1 2 y y1 2, ta dùng

trường hợp i)

Bước 3 : Kết luận tập nghiệm của bài toán bằng tập xác định

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S  1; 

II.2 Phương pháp ứng dụng số phức để giải hệ phương trình đại số

Trong dạng toán ứng dụng số phức để giải hệ phương trình đại số, ta thường gặp 2 dạng sau:

Dạng 1: Từ hệ phương trình ta đưa ra một phương trình mà có thể biến đổi được về

các dạng 2 2 2 2

x x , y y ,x x1 2  y y1 2: ta áp dụng mục II.1- phương pháp ứng dụng số phức để giải phương trình để tìm ra nghiệm

Dạng 2: Khi từ hệ phương trình ta không đưa ra một phương trình biến đổi được về

- Bước 3: So sánh phần thực và phần ảo của kết quả rồi kết luận nghiệm của hệ phương trình

ta sẽ được quá trình hệ phương trình đến phương trình

Đây chính là cơ sở của phương pháp ở dạng 2

x  y  x  y  2x 1   1 4y 

Bước 1: Biến đổi phương trình xuất hiện các dạng 2 2

x y

2 2 2 2 2

x  y  (x 1)   y  1 4y 

Bước 2: Từ bước 1 ta thấy chỉ có dạng 2 2

f (x)  g(x) trong phương trình (1), ta dùng trường hợp ii)

Đặt a = x + iy; b = -( x+1) +iy và có a + b = -1+2yi

y    (thỏa điều kiện)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm 1 4;

Bước 2: Cộng hoặc trừ từng vế của phương trình ở bước 1 và phương trình còn lại của hệ tạo thành một phương trình mà ta có thể lựa chọn một nghiệm phức z và giải được phương trình đó theo z Rồi giải phương trình đó

Cộng vế theo vế của 2 phương trình (1’) và (2) ta có:

1 i





    

Bước 3: So sánh phần thực và phần ảo của nghiệm phương trình rồi kết luận

nghiệm của hệ phương trình

Từ nghiệm phương trình suy ra hệ phương trình có 2 nghiệm (2; 1), (1; -1)

II.3 Phương pháp ứng dụng số phức để tính giá trị lượng giác của một góc a cho trước

Trong dạng toán ứng dụng số phức để tính giá trị lượng giác của một góc a cho trước, ta thường gặp 2 dạng sau:

Dạng 1: Góc a phân tích được thành tổng, hiệu 2 góc   , trong đó các giá trị lượng giác của   , tính được

- Bước 1: Phân tích góc a thành tổng hoặc hiệu 2 góc   , thỏa điều kiện các giá

trị lượng giác của   , tính được: Ta đưa góc a biểu diễn dưới dạng m

n

 với

m, nZ; np.q, p1, q1, p, qZ Khi đó: m x y

Để tìm  , , ta tìm x, y sao cho qx py m ; ở đây ta chọn x sao cho giá trị lượng

giác x

p



tính được, rồi từ qx py m suy ra y Từ đó tìm được   ,

- Bước 2: Xét 2 số phức z1cosisin , z 2 cosisin

- Bước 4: So sánh phần thực hoặc phần ảo và đi đến kết quả

Dạng 2: Góc a không phân tích được thành tổng hoặc hiệu của 2 góc   , thỏa điều kiện các giá trị lượng giác của   , tính được

- Bước 1: Thiết lập phương trình trong đó giá trị lượng giác a là nghiệm

- Bước 2: Giải phương trình và đi đến kết quả

Ghi chú: Trong dạng 2, ở bước 2, phương trình được thiết lập không phải là

duy nhất Ta thường dùng cách giải phương trình bậc 2, bậc 3, bậc 4 trong số phức

2 2

    , chỉ cần tính được nghiệm của phương trình này theo

đại số ta sẽ suy ra được nghiệm z của bài toán, so sánh phần thực của z sẽ ra được

Bước 3: Giải phương trình và đi đến kết quả

Vì z = 0 không phải là nghiệm của P(z) = 0, chia 2 vế của phương trình cho z2 ta được:

2 2

Trong dạng toán này, ta thường dùng công thức tổng của cấp số nhân (ví dụ như đề cho tổng của cosx, cos2x, …, cos nx, ta nghĩ đến tổng của z, z2, z3, …, zn, đây là tổng của một cấp số nhân), hoặc khai triển nhị thức Niu tơn (nếu trong bài toán có các hệ số tổ hợp) kết hợp với công thức Moivre để tính tổng các số phức theo 2 cách khác nhau

Các bài toán ví dụ:

Ví dụ 1: Với   x k2 , n là số tự nhiên lớn hơn 1 Rút gọn các tổng sau:

a) A 1 cos x cos 2x cos3x cos nx      

b) B sinx sin 2x sin 3x sin nx     

Giải:

Bước 1: Lựa chọn số phức z thích hợp

Đặt z = cosx +i.sinx

Bước 2: Đề cho tổng của 1, cosx, cos2x, …, cos nx, ta nghĩ đến tổng của 1, z, z 2 , z 3 ,

…, z n Đây là tổng của n +1 số hạng của một cấp số nhân có số hạng đầu 1, công bội q = z Do đó, dùng công thức tổng của một cấp số nhân để tính tổng các số phức theo 2 cách (có kết hợp với công thức Moivre)

Ta có 1 z z2  znlà tổng của n +1 số hạng của một cấp số nhân có số hạng đầu 1, công bội q = z, do đó:

1 z z z 1 (cos x i.s inx) (cos x i sin x) (cos x i sin x)

1 cos x i.s inx cos2x i sin 2x cos nx i sin nx

A iB

 Suy ra phần thực của 1 z z2  zn là A, phần ảo là B



1 z 1 (cos x i sin x) (1 cos(n 1)x) i sin(n 1)x

1 z 1 (cos x i sin x) (1 cos x) i sin x

2 cos i sin

sin 2

2



, B =

(n 1)x nxsin sin

xsin2

khai triển nhị thức Niu tơn ta có n 1 2 2 n n

(1 z)    1 C z C z    C z , ta tính tổng các số phức theo 2 cách, và đưa ra phần thực hoặc phần ảo

Ta có : z C z  1n 2  C z2 3n   C zn nn  z.(1 z)  n



n 2

(cos x i sin x) C (cos x i sin x) C (cos x i sin x) C (cos x i sin x)

(cos x i sin x) C (cos 2x i sin 2x) C (cos 3x i sin 3x) C cos(n 1)x i sin(n 1)x

z C z C z   z có phần thực là cos x C cos2x C cos3x cos(n 1)x 1n  2n   

Bước 3 : So sánh phần thực và phần ảo và đi đến kết luận

II.5 Phương pháp ứng dụng số phức để tính giá trị của các biểu thức

lượng giác tại các trị xác định

Phương pháp :

- Bước 1 : Thiết lập phương trình tương ứng và tính nghiệm tương ứng dưới dạng

lượng giác

- Bước 2 : Tính tổng và tích các nghiệm theo 2 cách, một cách dùng định lý Viet,

cách còn lại thế các nghiệm ở bước 1 vào

- Bước 3 : So sánh phần thực hoặc phần ảo và kết luận

Ghi chú : Ngoài phương pháp tính trực tiếp trên, có một số bài toán trong

dạng này ta có thể tính gián tiếp bằng cách rút gọn biểu thức lượng giác theo x bất

kì và sau đó thay x bằng trị xác định và dùng công thức lượng giác biến đổi đến kết

Bước 2 : Tính tổng các nghiệm theo 2 cách, một cách dùng định lý Viet, cách còn

lại thế các nghiệm ở bước 1 vào

Bước 3 : So sánh phần thực hoặc phần ảo và đi tiếp đến kết quả

So sánh phần ảo ta được sin 2 sin 4 sin 4n 0

Cách khác (Cách gián tiếp đã được đề cập ở trong phần ghi chú):Ta thấy

Theo kết quả của ví dụ 1b) phần phương pháp ứng dụng số phức để rút gọn –

chứng minh các biểu thức lượng giác ta có :

(n 1)x nxsin sin

sinx sin 2x sin 3x sin nx

xsin2

( 1) i.C cos sin ( 1) C sin

0 2n 2 2n 2 2 n 2n 2n

là n - 1 nghiệm của phương trình (1)

Bước 2 : Tính tích các nghiệm theo 2 cách, một cách dùng định lý Viet, cách còn

lại thế các nghiệm ở bước 1 vào

Hệ số của yn-1 của phương trình (1) là : ( 1)  n 1 (C12n  C32n  C2n 12n )

Áp dụng định lý Viet cho phương trình (1) ta có tích các nghiệm của phương trình (1) là

Tích các nghiệm của phương trình (1) là 2 2 2 2 3 2 (n 1)

sin sin sin sin

Theo kết quả của ví dụ 1b) phần ứng dụng số phức để rút gọn – chứng minh các biểu thức lượng giác ta có :

(n 1)x nxsin sin

sinx sin 2x sin 3x sin nx

xsin2

sin sin sin

1 22n 1 2n 1 2n 1

sin

2 2n 1

sin sin 2n 1 2n 1sin

- Bước 3 : So sánh phần thực hoặc phần ảo và đi đến kết luận

Ghi chú : Có một số bài toán mà vế trái có dạng

k k 3 k 6 k 3m

C  C   C    C  với k = 0; 1; 2 và k + 3m là số nguyên gần với n nhất hoặc bằng n, ta không áp dụng phương pháp trên được, ta áp dụng phương pháp sau :

- Bước 1 : Xét cos2 isin2

- Bước 2 : Sử dụng công thức nhị thức Niu tơn trong n

Bước 1 : Trong đề bài có lượng giác, ta chọn số phức dưới 2 dạng : đại số và

lượng giác Vì có cosn

    là các nghiệm của phương trình trên

Bước 2: Sử dụng công thức nhị thức Niu tơn trong n

(1 1)  ;

n

n 0

Bước 3 : Áp dụng định lý Viet cho phương trình 3

- Bước 3 : Tìm mối liên hệ giữa các nghiệm để tìm ra  Và căn cứ vào nghiệm của

đa thức để tìm ra đa thức cần tìm

Ghi chú :

Cở sở của phương pháp này chính là nhờ vào định lý cơ bản của đại số : Một đa thức luôn có ít nhất một nghiệm phức Ta biết rằng nghiệm của đa thức đóng vai trò quan trọng trong việc xác định một đa thức Cụ thể nếu đa thức P(x) bậc n có n nghiệm x , x , , x thì P(x) có dạng 1 2 n P(x)c.(x x ).(x x ) (x x ) 1  2  n Và nếu chỉ xét nghiệm thực thì trong nhiều trường hợp sẽ không có đủ số nghiệm Hơn nữa, trong các bài toán phương trình hàm đa thức, nếu chỉ xét các nghiệm thực thì lời giải sẽ không hoàn chỉnh

Vì P( )  0 nên 2  1 cũng là nghiệm của P(x) = 0

Bước 3 : Tìm mối liên hệ giữa các nghiệm để tìm ra  Và căn cứ vào nghiệm của

         với một hằng số dương  nào đó

Hơn nữa từ tính lớn nhất của  ta còn suy ra 2   1  2  1 

Suy ra    i và x2 +1 là thừa số của P(x)

Như vậy, ta có thể viết P(x) dưới dạng :  2 m

P(x) x 1 Q(x), trong đó Q(x) là đa thức không chia hết cho x2 +1 Thế ngược lại vào phương trình (*), ta thấy Q(x)

Q(x).Q(x 1) Q(x     x 1)

Nếu Q(x) = 0 lại có nghiệm thì chứng minh tương tự như ở trên ta suy ra nghiệm có

mô đun lớn nhất của nó là  i hay x2 +1 là thừa số của Q(x) (mâu thuẫn)

Do đó, Q(x) là hằng số, giả sử là c Thay vào phương trình của Q, ta được c = 1 Vậy lớp các đa thức thỏa mãn phương trình (*) là :

P(x) x 1 , với m là một số nguyên dương nào đó

II.9 Phương pháp ứng dụng số phức để chứng minh bất đẳng thức

Bất đẳng thức là một dạng toán khó, có nhiều dạng bài toán khác nhau với nhiều phương pháp giải khác nhau Có một số bài bất đẳng thức có dạng đặc biệt, ta

có thể ứng dụng số phức để chứng minh những bài đó

 Dạng 1 : Có những bài toán bất đẳng thức chứa tổng, hiệu các căn thức mà

các căn thức biến đổi được về dạng x 2  x , 2 y 2  y , 2 z 2  z 2 thì sử dụng

các tính chất a b  a b ; a b  a b ; a b c    a b c Phương pháp làm dạng toán này là :

- Bước 1 : Biến đổi bất đẳng thức xuất hiện dạng 2 2 2 2 2 2

2   Phương pháp làm dạng toán này

- Bước 1 : Biến đổi bất đẳng thức xuất hiện dạng x x1 2y y1 2 hoặc