Ứng dụng của hàng điểm điều hòa trong giải một số bài toán hình học sơ cấp

Thích thú trước các ứng dụng hay, bổ ích của việc dùng hàng điểm điều hòa trong một số bài toán chứng minh về các điểm thẳng hàng, chứng minh các đường thẳng đồng quy, chứng minh các đườ

-1-

SVTH: Nguyễn Thị Thương

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

- -

NGUYỄN THỊ THƯƠNG

ỨNG DỤNG CỦA HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA

TRONG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN

HÌNH HỌC SƠ CẤP

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

MỤC LỤC

-2-

SVTH: Nguyễn Thị Thương

Mục lục……….1

Mở đầu……… 2

Lời cảm ơn……… 4

Chương I: Kiến thức nền tảng……… 5

1 Tỉ số kép và các tính chất của tỉ số kép……… 5

2 Định lý Ceva và định lý Menelauyt……… 5

3 Tứ giác toàn phần………6

4 Hàng điểm điều hòa………7

5 Chùm điều hòa………9

6 Đường tròn trực giao……….13

7 Tứ giác điều hòa………13

8 Cực và đối cực……… 16

Chương II: Ứng dụng của hàng điểm điều hòa trong giải một số bài toán hình học sơ cấp………22

Chương III: Khám phá ứng dụng của cực và đối cực……….43

1 Bài toán về quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng……… 43

2 Bài toán chứng minh tính thẳng hàng và đồng quy……… 46

3 Bài toán chứng minh đường thẳng đi qua một điểm cố định………… 49

4 Một số bài toán khác……….…51

Kết luận……… 54

Tài liệu tham khảo ……… …55

MỞ ĐẦU

Một trong những mục tiêu giáo dục của nhà trường Trung học phổ thông là không những truyền thụ cho học sinh kiến thức, rèn luyện nhân cách mà còn dạy cho các em biết cách học Nghĩa là dạy cho các em biết cách khai thác kiến thức sao cho hiệu quả và có được một số phương pháp giải cho từng loại bài toán Thích thú trước các ứng dụng hay, bổ ích của việc dùng hàng điểm điều hòa trong một số bài toán chứng minh về các điểm thẳng hàng, chứng minh các đường thẳng đồng quy, chứng minh các đường thẳng vuông góc, song song, hai góc bằng nhau…và với mong muốn có thể nghiên cứu sâu hơn về một mảng kiến thức ứng dụng vào giải toán nhanh và gọn hơn để tích lũy kinh nghiệm cho công tác giảng dạy của mình sau này, đồng thời cũng mong muốn được góp thêm một chút tài liệu cho các bạn sinh viên hoặc học sinh quan tâm đến Hình học phổ thông, tôi chọn đề tài nghiên cứu: “ Ứng dụng của hàng điểm điều hòa trong giải một số bài toán hình học sơ cấp”

II Đối tượng, phạm vi nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu là sự ứng dụng của hàng điểm điều hòa trong một số bài toán về chứng minh các điểm thẳng hàng, chứng minh các đường thẳng đồng quy, các đường thẳng vuông góc, đường phân giác của một góc…Từ đó đưa ra một số bài toán để thấy được việc dùng hàng điểm điều hòa trong giải toán hình học

Phạm vi nghiên cứu là chương trình toán phổ thông, toán nâng cao phổ

thông

Phương pháp nghiên cứu là tìm đọc tài liệu về hàng điểm điều hòa và các tính chất, các bài toán về chứng minh tính thẳng hàng, đồng quy, vuông góc,

-5-

SVTH: Nguyễn Thị Thương

Việc thực hiện đề tài luận văn này đánh dấu một bước ngoặt to lớn trong đời tôi: rời giảng đường Đại học Sư phạm để thực sự bước vào đời Bước ngoặt đó khiến cho tôi cảm nhận được niềm hân hoan chào đón một tương lai mới mẻ phía trước, vừa khiến cho tôi lo lắng, hồi hộp cùng biết bao luyến tiếc

Trước tiên, tôi muốn dành lời cảm ơn cho các thầy cô đã trực tiếp giảng dạy

và dìu dắt tôi suốt 4 năm đại học Tôi biết ơn các thầy cô đã truyền thụ cho tôi kiến thức và giáo dục tôi đạo làm người Cầu chúc cho các thầy cô cùng gia đình sức khỏe, hạnh phúc

Tôi cũng xin cảm ơn thầy Tần Bình đã nhiệt tình hướng dẫn và sữa chữa những sai sót của tôi trong quá trình thực hiện đề tài luận văn này Nhờ sự giúp

đỡ tận tình và những lời động viên khích lệ kịp thời của thầy mà tôi có thể hoàn thành tốt hơn luận văn tốt nghiệp của mình

Sau nữa, tôi muốn cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô cùng các nhân viên trong trường đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong quá trình học tập tại trường

Tôi cũng xin cảm ơn gia đình tôi, các bạn bè tôi đã cho tôi mượn tài liệu, giúp đỡ và động viên tôi suốt thời gian học tập và làm đề tài luận văn này

-6-

SVTH: Nguyễn Thị Thương

1 Tỉ số kép và các tính chất của tỉ số kép

Định nghĩa: Cho một tập hợp có thứ tự gồm 4 điểm A, B, C, D phân biệt

cùng nằm trên một đường thẳng đã được định hướng Ta gọi tỉ số CA DA:

Định nghĩa: Tứ giác toàn phần là

một hình được tạo nên bởi 4 đường

thẳng, từng đôi một cắt nhau nhưng

không có 3 đường nào đồng quy

Định lý: Trong một tứ giác toàn

phần, 3 trung điểm của 3 đường chéo

4 Hàng điểm điều hòa:

Định nghĩa: Với 4 điểm thẳng hàng A, B, C, D Nếu ABCD 1 thì ta

bảo chúng là một hàng điểm điều hòa ( hoặc A, B chia điều hòa CD hoặc A, B liên hợp điều hòa với nhau đối với CD)



-Mở rộng: Người ta cũng coi một tập hợp các đường thẳng song song là một

chùm đường thẳng có tâm ở vô tận

Qua điểm B ta dựng đường thẳng MBN

song song với đường thẳng a cắt c và d tại

M B



 B là trung điểm của đoạn thẳng MN

""Giả sử B là trung điểm của đoạn MN, d’ đi qua B và song song với đường thẳng a, d’ cắt đường thẳng c, d tại M, N

Vẽ đường thẳng  song song với d, cắt a, b, c lần lượt tại A, B, C

Vì abcd 1 nên C là trung điểm của AB (theo định lý chùm điều hòa)

Vì Pd c,    d c hay

OAB

  là tam giác cân tại O nên

OC là phân giác trong của góc AOB

d là phân giác ngoài của góc AOB

+ Gọi OC, OD lần lượt là phân giác trong và ngoài của góc aOb

Từ một điểm C trên tia OC vẽ một cát tuyến  song song với Od cắt lần lượt Oa, Ob tại A, B

Ta có  Oc tại C

Tam giác AOB cân tại O nên ta có CA CB và C là trung điểm của đoạn AB Theo định lý chùm điều hòa ta có a, b, c, d là một chùm điều hòa

 Cách dựng đường liên hợp điều hòa

thứ tư (d) của (c) đối với (a) và (b):

- Vẽ P a cắt (b) và (c) ở B và C

- Trên  lấy D sao cho BD BC (B là

trung điểm CD)

- (OD) là đường thẳng (d) cần dựng

-14-

SVTH: Nguyễn Thị Thương

6 Đường tròn trực giao:

Định nghĩa:

Hai đường tròn gọi là trực giao với nhau tại một điểm chung A của chúng

nếu 2 tiếp tuyến ở A của 2 đường tròn đó vuông góc nhau

Tứ giác ABCD nội tiếp và thỏa AB CB

AD CD được gọi là tứ giác điều hòa Định lý về tứ giác điều hòa:

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài (O) Từ A ta kẻ 2 tiếp tuyến

AB, AC và kẻ một cát tuyến AMN bất kì Khi đó, BMCN là 1 tứ giác điều hòa

Chứng minh:

Ta có: ·BNM ·ABM , ·CNM ·ACM

Suy ra BMCN là tứ giác điều hòa

Các tính chất của tứ giác điều hòa:

Tính chất 1:

Cho tứ giác điều hòa ABCD nội tiếp (O) có AB DA k

BC  DC  thì (O) trực giao với đường tròn Apolloius tỉ số k dựng trên AC

trên đường tròn đường kính EF với

E, F là chân đường phân giác trong

và ngoài của góc B

-16-

SVTH: Nguyễn Thị Thương

Gọi I là trung điểm của EF

 ,

Ta cần chứng minh (O) và (I) trực giao ta chứng minh IB là tiếp tuyến của (O)

Ta có ACEF 1, I là trung điểm của EF IE2 IA IC

Mà tam giác IEB cân tại I IE IB

MCD MAD

ICB IBA

Hai điểm M và N gọi là liên hợp với nhau đối với hai đường thẳng đồng quy

Ox, Oy nếu đường thẳng MN cắt hai đường thẳng đó tại hai điểm A, B sao cho

MNAB 1

chung mọi điểm của đường thẳng Oz đều liên hợp với điểm M đối với hai đường thẳng đồng quy Ox, Oy Riêng đối với hai điểm P và Q thuộc Oz mà MP POx,

MQ OyP ta phải loại ra vì lúc đó các đường thẳng MP và MQ đều không cắt cả hai đường thẳng Ox và Oy

+ Ngược lại, nếu N là một điểm 1không thuộc đường thẳng Oz nói trên thì không liên hợp với M vì khi

đó nếu đường thẳng MN cắt Ox, 1

Oy, Oz lần lượt tại A’, B’, N’ thì ta

có:

MN A B' ' ' 1 còn

MN A B1 ' '  MN A B' ' ' nên

MN A B1 ' ' 1 Do đó N không 1liên hợp với M đối với hai đường thẳng Ox, Oy

Vậy tập hợp các điểm N liên hợp với điểm M đối với hai đường thẳng Ox,

Oy là đường thẳng Oz loại trừ hai điểm P, Q nói trên

8.2 Đường đối cực của một điểm đối với một đường tròn

8.2.1 Định nghĩa 3:

Hai điểm M và N gọi là liên hợp với nhau đối với đường tròn (O), nếu đường tròn đường kính MN trực giao với đường tròn (O)

8.2.2 Hệ quả:

Nếu đường thẳng MN cắt đường tròn (O) tại 2 điểm A và B thì cần và đủ để

M và N liên hợp với nhau đối với đường tròn (O) là MNAB 1

Nhận xét:

Hai điểm M, N có thể liên hợp với nhau đối với đường tròn (O) mà đường thẳng MN không cắt đường tròn này

8.2.3 Bài toán 2:

Cho đường tròn (O) và một điểm M không trùng với tâm O của đường tròn

đó Hãy tìm tập hợp những điểm N liên hợp của M đối với đường tròn (O) đã cho

Giải:

-20-

SVTH: Nguyễn Thị Thương

Nếu N là điểm liên hợp của M đối với đường tròn (O) thì theo định nghĩa, đường tròn đường kính MN trực giao với đường tròn (O) Khi đó đường kính AB

đi qua M của đường tròn (O) bị đường tròn đường kính MN chia điều hòa Gọi H

là giao điểm thứ hai của đường tròn đường kính MN với đường thẳng AB Ta có

ABMH 1

Trong hàng điểm điều hòa A, B,

M , H, điểm H hoàn toàn được xác

định vì ba điểm A, B, M đã được xác

định Mặt khác do MN là đường kính

nên MH HN Nói cách khác,

điểm N nằm trên đường thẳng m

vuông góc với đường thẳng MO tại

H

Ngược lại nếu N’ là một điểm

bất kì của đường thẳng m thì đường tròn đường kính MN’ đi qua H và do

ABMH 1 nên đường tròn đường kính MN’ trực giao với đường tròn

(O).Vậy điểm N’ liên hợp với điểm M đối với đường tròn (O)

Vậy tập hợp những điểm N liên hợp với điểm M đối với một đường tròn (O) cho trước là một đường thẳng m vuông góc với đường thẳng MO tại H với

MHAB 1, trong đó A, B là giao điểm của đường thẳng MO với đường tròn tâm O

8.2.4 Định nghĩa 4:

Đường thẳng m trong bài toán 2 nói trên gọi là đường đối cực của điểm M đối với đường tròn (O) Còn điểm M gọi là cực của đường thẳng m đối với

đường tròn (O) nói trên

Như vậy mỗi điểm M không trùng với điểm O của đường tròn tâm O có một

đường đối cực xác định và ngược lại ta cũng thấy rằng mỗi đường thẳng không

đi qua O có một điểm cực xác định đối với một đường tròn tâm O cho trước 8.2.5 Nhận xét: Vì ABMH 1 nên đường đối cực m của điểm M đối với đường tròn (O) sẽ cắt, không cắt hay tiếp xúc với đường tròn (O) tùy theo M ở ngoài, ở trong hay ở trên đường tròn tâm O

+ Nếu điểm M nằm trong đường tròn thì ta vẽ đường thẳng vuông góc

với MO tại M Đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểm R và S Các tiếp tuyến của đường tròn tại R và S cắt nhau tại H Đường thẳng m vuông góc với đường thẳng MO tại H

là đường đối cực của điểm M cho trước

+ Nếu điểm M nằm trên đường tròn thì tiếp tuyến tại M của đường tròn chính là đường đối cực của điểm M cho trước

Nếu điểm B nằm trên đường đối cực a của điểm A thì A và B là hai điểm liên

hợp đối với đường tròn cho trước Mặt khác tập hợp các điểm liên hợp của điểm

B là đường đối cực b của điểm B đó Vậy điểm A phải nằm trên đường đối cực b của điểm B

Định lý trên có thể tóm tắt như sau: B  a A b

Theo định lý 1, giả sử các điểm A 1, A 2,…, A n nằm trên đường thẳng b nghĩa là

các điểm A ib với i = 1, 2, …, n thì điểm B thuộc các đường thẳng a i (i = 1, 2,

…, n) trong đó điểm B là cực của đường thẳng b và a i là các đường đối cực của

các điểm A i Vậy các đường đối cực của các điểm A i đều đồng quy tại điểm B

Tương tự ta chứng minh được các cực của các đường thẳng đồng quy thì thẳng hàng

Giả sử a a a1, , , ,2 3 a đồng quy tại điểm B, và các điểm n A A A1, 2, 3, ,A lần n

lượt là cực của các đường thẳng a a a1, , , ,2 3 a n

Gọi B là đường đối cực của điểm B

uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur

Cho một chùm điều hòa abcd 1 Chứng minh nếu từ một điểm nào đó

ta dựng các đường thẳng a’, b’, c’, d’ theo thứ tự vuông góc với a, b, c, d thì

a b c d' ' ' ' 1

Từ đó suy ra nếu 2 chùm điều hòa, mỗi chùm có 3 đường thẳng tương ứng vuông góc nhau thì 2 đường thẳng còn lại của mỗi chùm cũng vuông góc nhau Giải:

-25-

SVTH: Nguyễn Thị Thương

Bài toán 4:

Cho 2 đường thẳng a và a’ cắt nhau tại A và giả sử trên a ta có 4 điểm A, B,

C, D sao cho ABCD 1 và trên a’ ta có 4 điểm A, B’, C’,D’ sao cho

AB C D' ' ' 1 Chứng minh rằng 3 đường thẳng BB’, CC’, DD’ hoặc đồng

quy hoặc song song nhau

Từ A và D ta vẽ các đường thẳng song song với CC’ và BB’

Đường thẳng song song đi qua D cắt AB’ tại D’’ và ta chứng minh D’’ trùng với D’.Vậy các đường thẳng BB’, CC’, DD’ song song với nhau

Bài toán 5:

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) M, N là trung điểm của AB, CD Đường tròn ngoại tiếp tam giác ANB giao với CD tại Q, đường tròn ngoại tiếp tam giác DMC giao với AB tại P Chứng minh rằng AC, BD, PQ đồng quy

Cho tam giác ABC Lấy E trên BC, F trên AC, K trên AB sao cho AE, BF,

CK đồng quy tại một điểm Khi đó, nếu T là giao điểm của FK với BC thì

TEBC 1

Giải:

Trong tam giác ABC:

- Áp dụng định lý Ceva đối với 3 đường đồng quy AE, BF, CK ta có:

EB FC KA 1

EC FA KB   (1)

Cho tứ giác ABCD E ABCD F, ADBC G,  ACBD Đường

thẳng EG cắt AD, AB tại M và N Chứng minh rằng EGMN 1

-29-

SVTH: Nguyễn Thị Thương

Bài toán 6.4 :

Cho tam giác ABC Lấy T, E, F lần lượt thuộc các đoạn BC, CA, AB sao cho

3 đường thẳng AT, BE, CF đồng quy tại điểm I Kẻ đường thẳng qua I song song với TE, cắt TF, TB lần lượt tại M và L Chứng minh rằng M là trung điểm của LI

Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp (O) M, N, P, Q lần lượt là các tiếp điểm của

AB, BC, CD, DA với đường tròn Chứng minh MP, NQ, AC, BD đồng quy tại

Vậy AC, MP, NQ đồng quy tại một điểm (1)

Tương tự ta chứng minh được BD, MP, NQ đồng quy tại một điểm (2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

Bổ đề 2:

Cho đường tròn (O) Lấy một điểm A nằm ngoài (O).Từ A kẻ 2 tiếp tuyến

AK, AN và một cát tuyến ACD đến (O) Hai tiếp tuyến qua C và D cắt nhau tại

M Chứng minh rằng K, M, N thẳng hàng

Giải:

-Dựa vào tính chất của tứ giác điều hòa ta suy ra điều cần chứng minh

-32-

SVTH: Nguyễn Thị Thương

Giải:

Gọi E’, F’ là 2 giao điểm của AC với (O)

Qua E’, F’ kẻ 2 tiếp tuyến với (O), 2 tiếp tuyến đó cắt nhau tại K’

Áp dụng bổ đề 2 với 2 tiếp tuyến K’E’, K’F’ và cát tuyến CF’E’ suy ra K’,

cần chứng minh HK là phân giác của góc AHC

Lại có ACIL 1 (theo bổ đề 5)

Xét tam giác DKL có 3 đường đồng quy LA, KC, DE’, theo bài toán 6 thì

TAKD 1 C TAKD   1 E IBD'  1 (theo định lý chùm điều hòa)

Giải:

Qua M, N, P, Q ta kẻ 4 tiếp tuyến

với (O), chúng cắt nhau tại A, B, C, D

-36-

SVTH: Nguyễn Thị Thương

Bài toán 6.8:

Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm O Đặt K DA CB  ,

LABDC Gọi M, N, P, Q lần lượt là tiếp điểm của AB, BC, CD, DA với (O), FPQMN E QM,  PN Chứng minh FEKL 1

Trong mặt phẳng cho 2 đường tròn  O và 1  O cắt nhau tại A và B Một 2

tiếp tuyến chung của 2 đường tròn tiếp xúc với  O ở P và 1  O ở T Các tiếp 2

tuyến tại P và T của đường tròn ngoại tiếp tam giác APT cắt nhau tại S Gọi H là điểm đối xứng của B qua PT, I là giao điểm của AH và PT Chứng minh S, I, H,

A lập thành hàng điểm điều hòa

Giải:

Ta cần chứng minh HPAT là tứ

giác điều hòa

+ Chứng minh HPAT nội tiếp

Vì PT là tiếp tuyến chung của 2

đường tròn  O và 1  O nên 2

Suy ra ·BPT ·PTBPAT·

TA  TH  HPAT là tứ giác điều hòa

Mà PS, TS là 2 tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác APT kẻ từ P

và T, theo tính chất của tứ giác điều hòa suy ra H, A, S thẳng hàng

Mà I PTAH  I, H, A, S thẳng hàng

SIHA 1

   (theo tính chất của tứ giác điều hòa)

Bài toán 9:

Giả sử ABCD là 1 tứ giác nội tiếp Gọi P, Q, R là chân các đường vuông góc

hạ từ D lần lượt trên các đường thẳng BC, CA, AB Chứng tỏ rằng PQ=QR khi

và chỉ khi phân giác của góc ABC và góc ADC cắt nhau trên AC