Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu đề tài này tôi nhằm tìm hiểu những vấn đề:
-Tìm hiểu một số vấn đề lí luận chung về đặc điểm tâm lí lứa tuổi học sinh tiểu học
- Tìm hiểu nội dung và phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 4, 5 chuyên đề về số và chữ số.
Nhiệm vụ nghiên cứu
Để đạt được mục đích nghiên cứu, đề tài phải thực hiện các nhiệm vụ sau:
- Nghiên cứu một số vấn đề lí luận: đặc điểm tâm sinh lí của học sinh tiểu học, một số vấn đề dạy học toán ở tiểu học…
- Tìm hiểu nội dung và phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi toán chuyên đề “số và chữ số”
Trong bài viết này, chúng ta sẽ phân dạng các bài toán học sinh giỏi liên quan đến chuyên đề số và chữ số, từ đó áp dụng vào việc thiết kế bài giảng nhằm bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp Việc hiểu rõ các dạng bài toán sẽ giúp giáo viên xây dựng chương trình giảng dạy hiệu quả hơn, nâng cao khả năng tư duy và giải quyết vấn đề cho học sinh.
4 theo hướng đổi mới theo hướng nâng cao chất lượng dạy học toán ở tiểu học
- Đề xuất một số biện pháp góp phần nâng cao chất lượng dạy và học giải toán nâng cao chuyên đề số và chữ số cho học sinh lớp 4, 5.
Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận:
+ Nghiên cứu tài liệu tâm lí lứa tuổi học sinh tiểu học
Nghiên cứu sách giáo khoa và sách giáo viên Toán lớp 4, 5 tập trung vào chủ đề số và chữ số, đồng thời xem xét các lý luận về cơ sở toán học liên quan đến chuyên đề này Bên cạnh đó, việc tìm hiểu một số tài liệu liên quan cũng được thực hiện để làm phong phú thêm kiến thức về số và chữ số.
Phương pháp quan sát và điều tra thực nghiệm được áp dụng để đánh giá khả năng giải toán về số và chữ số của học sinh lớp 4 và 5 thông qua hình thức vấn đáp hoặc kiểm tra giấy.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu
- Phương pháp phân tích, tổng hợp.
Cấu trúc đề tài
Đề tài gồm có 3 phần chính:
Chương 1: Cơ sở lí luận
Chương 2: Nội dung và phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề số và chữ số lớp 4, 5
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm
CƠ SỞ LÍ LUẬN
Đặc điểm tâm lí học sinh tiểu học
1.1.1 Tri giác Đặc điểm tri giác của học sinh tiểu học là tri giác trực tiếp, mang tính cảm xúc, cụ thể, ít đi sâu vào bản chất của sự vật, hiện tượng Ở các lớp đầu cấp, tri giác của các em thường gắn với hành động, sử dụng các giác quan để tri giác Ở các lớp cuối cấp, tri giác của các em thường mang tính mục đích và rõ ràng hơn Lúc này, tri giác trở thành hoạt động có phân tích, có phân hoá, mang tính chất của sự quan sát có tổ chức Trong sự phát triển tri giác, vai trò của người giáo viên là rất quan trọng Giáo viên hàng ngày không chỉ dạy các khái niệm mà còn dạy cho học sinh các kĩ năng hoạt động, phối hợp các giác quan, liên hệ những gì đã học được để ngày càng nâng cao khả năng hiểu biết, các kĩ năng hoạt động một cách thành thạo
Chú ý của trẻ em thường thiên về chú ý không chủ định, tập trung vào những điều mới lạ và hấp dẫn Trong giai đoạn lớp 4 và lớp 5, khả năng chú ý có chủ định bắt đầu hình thành và ngày càng hoàn thiện, giúp trẻ phát triển khả năng tập trung và bền vững Quá trình học tập yêu cầu trẻ rèn luyện chú ý có chủ định và ý chí, điều này được thúc đẩy bởi động cơ học tập xã hội và sự trưởng thành về ý thức trách nhiệm đối với kết quả học tập.
Trí nhớ của học sinh tiểu học thường liên kết với các biểu tượng cụ thể, với trí nhớ máy móc phát triển mạnh mẽ hơn trí nhớ từ ngữ logic Hình ảnh trực quan giúp các em dễ dàng ghi nhớ hơn so với ngôn ngữ trừu tượng khó hiểu Việc sử dụng hình ảnh trong dạy học không chỉ giúp các em ghi nhớ sâu sắc mà còn nắm bắt tốt hơn các sự vật và hiện tượng.
Cuối cấp học, trí nhớ của học sinh chuyển từ các biểu tượng cụ thể sang khái niệm trừu tượng Ở các lớp dưới, các em đã được trang bị đầy đủ nội dung và cách thể hiện các khái niệm này.
Sự phát triển chức năng sinh lý của não bộ dẫn đến việc hình thành các khái niệm, từ đó tạo ra kỹ năng và kỹ xảo trong hoạt động.
Trí tưởng tượng của học sinh phong phú nhưng phụ thuộc vào kinh nghiệm sống, mẫu vật đã biết và cảm hứng cá nhân Ban đầu, tưởng tượng thường đơn giản và ít tổ chức, nhưng ở các lớp cuối cấp, nó trở nên gần gũi với thực tế hơn, phản ánh đúng đắn hơn về môn học Học sinh có khả năng gọt dũa và sáng tạo các biểu tượng mới từ những biểu tượng cũ, nhờ vào việc sử dụng ngôn ngữ để xây dựng hình ảnh khái quát và trừu tượng hơn Từ đó, biểu tượng của tưởng tượng trở nên hiện thực hơn và tạo thành một hệ thống đồng nhất, góp phần vào việc hình thành các mức độ kĩ năng của học sinh dựa trên những kĩ năng đơn giản đã có.
Học sinh cuối cấp bắt đầu phát triển tư duy độc lập, thoát khỏi những ấn tượng trực tiếp, đồng thời chuyển mình từ tư duy ngôn ngữ sang việc hiểu và sử dụng các ký hiệu, tín hiệu một cách hiệu quả hơn.
Tư duy của học sinh tiểu học đầu cấp là tư duy cụ thể, dựa vào những đặc điểm trực quan của đối tượng và hiện tượng Trong quá trình học tập, học sinh dần chuyển từ nhận thức bên ngoài sang nhận thức các thuộc tính bên trong của sự vật, tạo ra những so sánh và thao tác phân tích, tổng hợp Học sinh đầu cấp thường cần hành động phân tích trực quan, trong khi học sinh cuối cấp có thể phân tích mà không cần tương tác trực tiếp Vào cuối cấp, học sinh có khả năng phân biệt các khía cạnh của đối tượng qua ngôn ngữ Việc học Tiếng Việt và Số học hỗ trợ học sinh trong việc phân tích và tổng hợp, đặc biệt trong Số học, nơi mà sự phân tích gắn liền với khả năng trừu tượng hóa con số và áp dụng các quy tắc, công thức để giải quyết bài tập.
Trong giai đoạn đầu của bậc tiểu học, nhu cầu nhận thức của học sinh phát triển mạnh mẽ Ở lớp 1 và 2, học sinh tập trung vào việc tìm hiểu các sự vật và hiện tượng riêng lẻ Đến lớp 3, 4 và đặc biệt là lớp 5, nhu cầu này chuyển sang việc khám phá nguyên nhân, quy luật và mối liên hệ giữa các sự kiện Học sinh đầu cấp thường đặt ra câu hỏi "Cái đó là cái gì?", trong khi học sinh cuối cấp lại tìm kiếm câu trả lời cho "Tại sao?" và "Như thế nào?".
Nhu cầu nhận thức đóng vai trò quan trọng trong sự phát triển trí tuệ của trẻ em Nếu không có nhu cầu này, trẻ sẽ thiếu tính tích cực trí tuệ, điều cần thiết cho việc hình thành và rèn luyện kỹ năng Học chỉ để đối phó sẽ dẫn đến việc trẻ không thực sự rèn luyện kỹ năng, khiến chúng dần mai một theo thời gian.
Khi trẻ có nhu cầu nhận thức, chúng sẽ sử dụng toàn bộ kiến thức và kĩ năng hiện có để giải quyết vấn đề Nếu nhu cầu này không được đáp ứng, trẻ sẽ cảm thấy bứt rứt và khó chịu Khi nhu cầu nhận thức được thỏa mãn, trẻ sẽ tìm kiếm những thách thức mới phức tạp hơn, yêu cầu sự sáng tạo cao hơn, từ đó thúc đẩy sự phát triển trí tuệ không ngừng của học sinh.
Cơ sở toán học
1.2.1 Một số vấn đề dạy học toán ở tiểu học
1.2.1.1 Đặc điểm tư duy toán học của học sinh tiểu học
Lứa tuổi tiểu học (6-12 tuổi) đánh dấu giai đoạn phát triển tư duy cụ thể, nơi hành động với sự vật bên ngoài là nền tảng cho tư duy Trong giai đoạn này, học sinh bắt đầu nhận thức về cái bất biến và hình thành khái niệm bảo toàn, cùng với sự phân biệt giữa định tính và đại lượng, tạo điều kiện cho việc hình thành khái niệm “số” Ví dụ, học sinh lớp một đã nhận thức được sự tương ứng 1-1 không thay đổi khi thay đổi cách sắp xếp các phần tử, từ đó hình thành khái niệm bảo toàn “số lượng” trong các tập hợp và hiểu rõ phép cộng cùng phép toán ngược trong số tự nhiên.
Học sinh cuối cấp đã có những tiến bộ đáng kể trong nhận thức không gian, bao gồm khả năng phối hợp cách nhìn một hình hộp từ nhiều góc độ khác nhau Họ cũng đã nhận thức rõ hơn về các mối quan hệ giữa các hình học, không chỉ trong nội bộ của một hình mà còn giữa các hình với nhau.
Học sinh tiểu học bắt đầu phát triển khả năng phân tích, tổng hợp và suy luận, nhưng quá trình này không đồng đều Việc tổng hợp thông tin có thể không chính xác hoặc không đầy đủ, dẫn đến khái niệm sai lệch Khi giải toán, học sinh thường bị ảnh hưởng bởi các từ như "thêm", "bớt", "nhiều", "gấp", và nếu không tách biệt chúng khỏi điều kiện chung, học sinh dễ mắc sai lầm trong việc lựa chọn phép tính phù hợp.
Các khái niệm hình học được hình thành thông qua hình tượng hoá và khái quát hoá, không chỉ dựa vào tri giác mà còn là kết quả của các thao tác tư duy đặc thù Có hai dạng trừu tượng hoá: từ các đồ vật, hiện tượng cảm tính và từ các hành động Việc trừu tượng hoá nhằm rút ra các dấu hiệu bản chất, chẳng hạn như loại bỏ định tính màu sắc, kích thước từ các đồ vật để hình thành lớp các tập tương đương, từ đó chỉ tập trung vào cái chung giữa các tập hợp tương đương, dẫn đến khái niệm “số”.
Học sinh tiểu học, đặc biệt là ở các lớp đầu cấp, thường dựa vào cảm nhận cá nhân để đưa ra phán đoán, dẫn đến suy luận mang tính tuyệt đối Trong môn toán, các em gặp khó khăn trong việc nhận thức về mối quan hệ kéo theo trong suy diễn.
Khi nói rằng “12 = 3 x 4 nên 12 : 3 = 4”, nhiều người coi đây là hai mệnh đề không liên quan Điều này khiến cho các em khó chấp nhận các giả thiết hoàn toàn giả định, bởi suy luận thường gắn liền với thực tế Khi nghe một mệnh đề toán học, các em chưa thể phân tích rõ ràng các thuật ngữ và cấu trúc câu, mà chỉ hiểu một cách tổng quát.
1.2.1.2 Một số điểm cần chú ý trong dạy học toán ở tiểu học
Trong dạy học tiểu học, quan điểm "thống trị" thể hiện vai trò tâm lý học, nhưng trong dạy toán, cần nhấn mạnh tầm quan trọng của logic và toán học Logic học hình thức được coi là nền tảng thiết yếu, giúp tăng cường khả năng tư duy logic trong quá trình nhận thức của học sinh tiểu học, phù hợp với đặc điểm lứa tuổi của các em.
Để dạy toán hiệu quả, cần nắm vững các đặc thù và kiến thức cơ bản của môn học này Lịch sử cho thấy toán học phát triển từ nhu cầu thực tiễn và nhu cầu nội tại của chính nó Đối tượng nghiên cứu của toán học chủ yếu là các khái niệm trừu tượng, với sự trừu tượng hóa diễn ra liên tục qua nhiều cấp độ Quá trình này luôn đi đôi với sự khái quát hóa và lý tưởng hóa Đặc biệt, toán học sử dụng phương pháp suy diễn, điều này tạo nên sự khác biệt giữa toán học và các môn khoa học khác.
Học sinh tiểu học đang ở giai đoạn “tư duy cụ thể”, nên việc tiếp thu các khái niệm toán học trừu tượng là thách thức lớn Do đó, giáo viên cần hiểu rõ sự phát triển tư duy của học sinh và đánh giá đúng khả năng hiện tại cũng như tiềm năng của các em Từ đó, cần áp dụng những phương pháp giảng dạy phù hợp với trình độ phát triển tâm lý và khả năng nhận thức toán học của học sinh tiểu học.
Trong dạy toán ở tiểu học, việc chú trọng đến ba loại ngôn ngữ có ảnh hưởng đến nhận thức của học sinh là rất quan trọng Ba loại ngôn ngữ này bao gồm ngôn ngữ với các thuật ngữ công cụ, ngôn ngữ ký hiệu và ngôn ngữ tự nhiên Sự kết hợp và hiểu biết về những ngôn ngữ này sẽ giúp học sinh phát triển khả năng tư duy toán học hiệu quả hơn.
1.2.2.1 Khái niệm số tự nhiên a Tập hợp cùng lực lượng
Ta nói tập hợp A tương đương (hay cùng lực lượng) với tập hợp B, và viết A~B, nếu có một song ánh f từ A lên B
Quan hệ ~ xác định như trên có tính chất sau:
- Tính chất phản xạ: Với mọi tập hợp A ta luôn có: A~A
- Tính chất đối xứng: Với mọi tập A và B, nếu A~B thì B~A
- Tính chất bắc cầu: Với mọi tập hợp A, B, C nếu A~B và B~C thì A~C
Chúng ta nhận thấy rằng quan hệ lực lượng giữa các tập hợp có ba tính chất chính của một quan hệ tương đương: phản xạ, đối xứng và bắc cầu Điều này cho phép chúng ta phân lớp các tập hợp, trong đó các tập hợp có cùng một lực lượng sẽ thuộc về cùng một lớp Do đó, mỗi lớp có thể được sử dụng để xác định thuộc tính đặc trưng về lực lượng của một tập hợp Định lý 2.1: Định lý Căng-to.
Hai tập hợp bất kì A và B luôn luôn xảy ra một trong hai trường hợp sau:
A cùng lực lượng với một bộ phận B’ của B
B cùng lực lượng với một bộ phận A’ của A
Nếu xảy ra đồng thời cả hai trường hợp trên thì A cùng lực lượng với B b Tập hợp hữu hạn và tập hợp vô hạn
Tập hợp không cùng lực lượng với một bộ phận thực sự nào của nó gọi là một tập hợp hữu hạn
Tập hợp không hữu hạn, gọi là tập vô hạn Hay tập vô hạn là tập hợp cùng lực lượng với một bộ phận thực sự của nó
* Tính chất của tập hợp hữu hạn
- Tập hợp cùng lực lượng với một tập hợp hữu hạn là hữu hạn
- Tập hợp con của một tập hữu hạn là tập hữu hạn
- Hợp của hai tập hợp hữu hạn là một tập hợp hữu hạn
- Tích Đêcac của hai tập hợp hữu hạn là một tập hợp hữu hạn
1.2.2.2 Tập hợp số tự nhiên a Bản số và số tự nhiên
Bản số là khái niệm thể hiện “số lượng” của các tập hợp có cùng lực lượng Mỗi tập hợp A đều có một bản số, được ký hiệu là cardA.
- Số tự nhiên: bản số của một tập hợp hữu hạn gọi là một số tự nhiên
Tập hợp số tự nhiên được kí hiệu là N
Như vậy nếu x là một số tự nhiên thì tồn tại một tập hợp hữu hạn X sao cho cardX= x b Quan hệ thứ tự trên tập hợp số tự nhiên
Trên tập hợp số tự nhiên xác định một quan hệ như sau:
Trong toán học, nếu a và b là các số tự nhiên (a, b ∈ N), ta nói rằng a nhỏ hơn hoặc bằng b (a ≤ b) khi tập hợp A tương đương với một phần của tập hợp B Nếu a ≤ b và a khác b (a ≠ b), ta ghi là a < b, nghĩa là a nhỏ hơn b.
+ Định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn các tập hợp A, B mà a cardA, b = cardB
Theo định nghĩa, nếu a b thì A tương đương với một tập hợp con A1 thuộc B Khi đó, ta cũng có a = card A1 Do đó, định nghĩa về quan hệ có thể được phát biểu lại như sau:
Với a, b N, a b khi và chỉ khi tồn tại các tập hợp hữu hạn A, B sao cho
Quan hệ ≤ được định nghĩa là một quan hệ thứ tự toàn phần trong tập hợp số tự nhiên N.
- Tính phản xạ: Giả sử a = cardA Vì với mọi tập A luôn có AA nên aa
- Tính phản đối xứng: Giả sử a = cardA và b = cardB Nếu ta có đồng thời ab và ba thì điều này có nghĩa là A tương đương với một bộ phận của B và
B tương đương với một bộ phận của A Theo định lí Căngto, A tương đương với B do đó a = b
- Tính bắc cầu: Giả sử a = cardA, b = cardB và c = cardC mà a b c Ta có: +) a b tức là A tương đương với một bộ phận của B hay có một đơn ánh f:
+) b c tức là có một đơn ánh g: BC
Khi đó ánh xạ tích g 0 f : ABC cũng là một đơn ánh, đơn ánh này chứng tỏ A tương đương với một bộ phận của C hay a c
- Tính so sánh được: Giả sử a, b N và a = cardA, b = cardB
NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP BỒI DƯỠNG HỌC
Một số kiến thức cơ bản thường được vận dụng trong giải toán về chuyên đề số và chữ số
2.1.1 Một số kiến thức về dãy số tự nhiên
- Các số 0; 1; 2; 3…………là các số tự nhiên
- Số 0 là số tự nhiên nhỏ nhất
- Không có số tự nhiên lớn nhất
- Các số tự nhiên sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn tạo thành dãy số tự nhiên:
- Là dãy số bắt đầu từ số 0, không có số cuối cùng
- Hai số tự nhiên liên tiếp đứng gần nhau hơn kém nhau 1 đơn vị
+ Bớt 1 ở bất kì số tự nhiên nào khác 0 ta được số tự nhiên liền trước nó (Số 0 không có số liền trước)
Khi ta cộng 1 vào một số tự nhiên, ta nhận được số tự nhiên liền kề tiếp theo Điều này cho thấy rằng không tồn tại số tự nhiên lớn nhất, và dãy số tự nhiên sẽ tiếp tục kéo dài vô hạn.
+ Giữa hai số tự nhiên liên tiếp không có số tự nhiên nào cả
- Hai số chẵn (hoặc lẻ) liên tiếp nhau hơn kém nhau 2 đơn vị
- Trong hệ thập phân mỗi lớp gồm 3 hàng:
+ Lớp đơn vị: hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm
+ Lớp nghìn: hàng nghìn, hàng chục nghìn, hàng trăm nghìn
+ Lớp triệu: hàng triệu hàng chục triệu, hàng trăm triệu
+ Lớp tỷ: hàng tỷ, hàng chục tỷ, hàng trăm tỷ
Mỗi đơn vị của hàng liền trước có giá trị gấp 10 lần đơn vị ở hàng liền sau
- Dãy số lẻ có chữ số tận cùng bên phải là: 1, 3, 5, 7, 9
- Dãy số chẵn có chữ số tận cùng bên phải là : 0, 2, 4, 6, 8
- Tổng hai số lẻ là một số chẵn
- Một tổng các số hạng là số lẻ và số các số hạng là số lẻ thì tổng là số lẻ: (a, b, c, x, y là số lẻ)
(a + b + c +…+ x + y) = A; A là số lẻ nếu n lẻ n
- Một tổng các số hạng là số lẻ và số các số hạng là số chẵn thì tổng là số chẵn: (a, b, c, x, y là số lẻ)
(a + b + c +…+ x + y) = A; A là số chẵn nếu n chẵn n
- Tổng của các số chẵn bao giờ cũng là số chẵn
- Tích các số lẻ là số lẻ, tích các số chẵn là số chẵn, tích số chẵn và số lẻ là số chẵn
2.1.2 Một số tính chất của các phép tính
- Quy tắc một số trừ đi một hiệu: a – (b – c) = a – b + c
- Quy tắc một số trừ đi một tổng: a – (b + c) = a – b – c
- Quy tắc một số nhân với một hiệu : a x (b – c) = a x b – a x c
- Quy tắc một số nhân với một tổng: a x ( b + c) = a x b + a x c
- Quy tắc một số nhân với một hiệu : a x (b – c) = a x b – a x c
- Tích hai số lẻ là số lẻ
- Tích các thừa số là số chẵn thì trong tích ít nhất có một thừa số là số chẵn
* Một số tính chất khác
- Nếu A = B thì A : m = B : m (A, B chia hết cho m)
A, B, m là một số tự nhiên hoặc là một biểu thức
Phân loại các dạng toán của chuyên đề về “số và chữ số”
Chuyên đề “số và chữ số” bao gồm nhiều bài toán đa dạng, có thể phân loại theo nhiều tiêu chí như phương pháp giải và nội dung yêu cầu Mỗi bài toán có thể áp dụng nhiều phương pháp giải khác nhau Trong bài viết này, tôi sẽ phân loại các dạng bài tập của chuyên đề “số và chữ số” dựa trên nội dung yêu cầu của bài tập Các dạng bài toán sẽ được chia thành các nhóm cụ thể.
Dạng 1: Viết số tự nhiên từ những chữ số cho trước
Dạng 2: Các bài toán giải bằng phân tích cấu tạo số
Trong dạng 2, các bài tập được chia thành 5 loại nhỏ:
- Loại 1: Viết thêm một số chữ số vào bên trái, bên phải hoặc xen giữa các chữ số của một số tự nhiên
- Loại 2: Xóa đi một số chữ số của một số tự nhiên
- Loại 3: Các bài toán về số tự nhiên và tổng các chữ số của nó
- Loại 4: Các bài toán về số tự nhiên và hiệu các chữ số của nó
- Loại 5: Các bài toán về số tự nhiên và tích các chữ số của nó
Dạng 3: Tìm số theo điều kiện cho trước về chữ số
Dạng 4: Các bài toán về xét chữ số tận cùng của số
Các dạng toán của chuyên đề về “số và chữ số”
2.3.1 Dạng 1: Viết số tự nhiên từ những chữ số cho trước
Ví dụ 1: Cho bốn chữ số 0; 3; 8; 9 a Viết được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau từ các số đã cho b Tìm số lớn nhất, số bé nhất
Bài giải a Chọn chữ số 3 làm chữ số hàng nghìn ta có 6 số thoả mãn đầu bài: 3089; 3098; 3809; 3890; 3908; 3980
Nhìn sơ đồ trên ta thấy: cứ 1 chữ số đã cho ta viết được 6 số có chữ số hàng nghìn thỏa mãn điều kiện của đầu bài
Chữ số 0 không thể đứng ở vị trí hàng nghìn nên trong 4 số 0; 3; 8; 9 chỉ có ba số đứng vị trí hàng nghìn (3; 8; 9)
- Chọn chữ số hàng nghìn là 8 ta viết được 6 số
- Chọn chữ số hàng nghìn là 9 ta viết được 6 số
Vậy có tất cả các số thỏa mãn đầu bài là: 6 x 3 = 18 (số)
Cách 2: Lần lượt chọn các chữ số hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị như sau:
Có 3 cách chọn chữ số hàng nghìn của số thoả mãn điều kiện đề bài (vì số 0 không thể đứng ở vị trí hàng nghìn)
Có 3 cách chọn chữ số hàng trăm (đó là 3 chữ số còn lại khác chữ số hàng nghìn)
Có 2 cách chọn chữ số hàng chục (đó là 2 chữ số còn lại khác chữ số hàng nghìn và hàng trăm)
Có 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị ( đó là chữ số còn lại khác hàng nghìn, hàng trăm và hàng chục)
Vậy, số các số viết được là:
Để tìm số lớn nhất có 4 chữ số khác nhau từ 4 chữ số đã cho, chữ số hàng nghìn phải là chữ số lớn nhất trong số đó Vì vậy, chữ số hàng nghìn của số cần tìm phải là 9.
Chữ số hàng trăm phải là chữ số lớn nhất trong 3 chữ số còn lại Vậy chữ số hàng trăm bằng 8
Chữ số hàng chục là chữ số lớn nhất trong 2 chữ số còn lại Vậy chữ số hàng chục bằng 3
Tương tự, ta nhận được số bé nhất thoả mãn điều kiện của đề bài là 3089
Ví dụ 2: Có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số Biết rằng số đó chia hết cho 2; 5; 9
Số để chia hết cho 2 và 5 phải có chữ số tận cùng bằng 0
Để tìm số chia hết cho 9, tổng các chữ số ở hàng trăm và hàng chục cũng phải chia hết cho 9 Chữ số 0 không thể đứng ở vị trí hàng trăm, do đó các chữ số hợp lệ cho hàng trăm và hàng chục chỉ có thể là: 9 – 0; 1 – 8; 8 – 1; 2 – 7; 7 – 2; 3 – 6; 6 – 3; 5 – 4; 4 – 5.
Vậy có 9 số thỏa mãn đầu bài là: 900; 180; 810; 270; 720; 360; 630; 450; 540
Ví dụ 3: Viết liên tiếp 15 số lẻ đầu tiên để được một số tự nhiên Hãy xóa đi
15 chữ số của số tự nhiên vừa nhận được mà vẫn giữ nguyên thứ tự của các chữ số còn lại để được: a Số lớn nhất b Số bé nhất
Bài giải a Viết 15 số lẻ liên tiếp ta được số tự nhiên:
Để xóa đi 15 chữ số và nhận được số lớn nhất, chữ số giữ lại đầu tiên từ bên phải là chữ số 9 Do đó, ta cần xóa 4 chữ số đầu tiên là 1, 3, 5 và 7 từ dãy số 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 Số còn lại sau khi xóa là: 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29.
Để tạo ra số lớn nhất sau khi xóa 11 chữ số từ dãy số ban đầu, chữ số thứ hai từ bên trái cần giữ lại là chữ số 9 Quy trình xóa sẽ diễn ra như sau: 9 1 1 1 3 1 5 1 7 1 9 21 23 25 27.
Để tạo ra số lớn nhất sau khi xóa hai chữ số, ta cần xóa hai chữ số 1 và 2 Số còn lại sẽ là 992, với chữ số thứ ba từ bên trái là 2.
Vậy số lớn nhất cần tìm là 9 923 252 729 b Lập luận tương tự câu a ta được số cần tìm là 1 111 111 122
Ví dụ 3 : từ các chữ số 1; 2; 3 có thể lập được bao nhiêu số chia hết cho 11?
Các số chia hết cho 11 lập được từ ba số trên có thể là số có ba chữ số hoặc là số có hai chữ số
Các số có hai chữ số chia hết cho 11 là 11; 22; 33
Các số có ba chữ số chia hết cho 11 là 121; 132; 231
Vậy số các số cần phải tìm là: 3 + 3 = 6 (số)
2.3.2 Dạng 2: Các bài toán cấu tạo số
Loại 1: Viết thêm một số chữ số vào bên trái, bên phải hoặc xen giữa các chữ số của một số tự nhiên
- Khi ta thêm chữ số vào bên trái của một số tự nhiên thì số đó tăng thêm một số đơn vị là:
Số mới – số ban đầu
Khi thêm chữ số a (hoặc ab, abc…) vào bên phải của một số tự nhiên, ta tạo ra một số mới Số mới này gấp 10 lần (hoặc 100, 1000… lần) số ban đầu và cộng thêm a (hoặc ab, abc…) đơn vị.
- Khi ta thêm chữ số vào giữa các chữ số của một số tự nhiên thì số đó tăng thêm một số đơn vị là:
Số mới – số ban đầu
Khi thêm số 12 vào bên trái một số tự nhiên có hai chữ số, số đó sẽ tăng lên 26 lần Hãy tìm ra số tự nhiên có hai chữ số này.
Gọi số cần tìm là ab Viết thêm 12 vào bên trái ta được số 12ab
Cách 1: Theo đề bài ta có:
1200 + ab = ab x 26 ab x 26 – ab = 1200 abx (26 – 1) = 1200 ab x 25 = 1200 ab = 1200 : 25 ab = 48
Vậy số cần tìm là 48
Cách 2: Theo đề bài ta có:
Ta có sơ đồ sau: ab
Dựa vào sơ đồ ta có số cần tìm là: 1200 : (26 – 1 ) = 48
Khi thêm chữ số 2 vào bên phải một số tự nhiên có ba chữ số, số đó sẽ tăng lên 4106 đơn vị Vậy, cần tìm số tự nhiên có ba chữ số đó.
Cách 1: Gọi số cần tìm là abc
Khi viết thêm chữ số 2 vào bên phải ta được số abc2
Theo đề bài ta có: abc2=abc + 4106 abc x 10 + 2 = abc + 4106 abc x 10 – abc= 4106 – 2 abcx ( 10 – 1) = 4104 abc x 9 = 4104 abc = 4104 : 9 abc = 456
Vậy số cần tìm là 456
Cách 2: Khi viết thêm chữ số 2 vào bên phải một số tự nhiên thì số đó gấp lên 10 lần và 2 đơn vị Ta có dơ đồ sau:
Dựa vào sơ đồ ta có số cần tìm là
Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng khi thêm chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị, số đó sẽ tăng gấp 10 lần Hơn nữa, nếu thêm chữ số 1 vào bên trái số vừa nhận được, giá trị của nó sẽ tăng gấp 3 lần.
Gọi số cần tìm là ab
Khi viết thêm chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta được số 0a b Theo đề bài ta có: abx 10 = 0a b
Vì ab x 10 có tận cùng là 0, nên b = 0, dẫn đến số cần tìm có dạng 0a Khi thêm chữ số 1 vào bên trái số a00, ta nhận được số 1 00a.
Vậy số phải tìm là 50
Loại 2: Xóa đi một chữ số của một số tự nhiên
- Khi ta bớt chữ số ở bên trái của một số tự nhiên thì số đó giảm đi một số đơn vị là:
Số ban đầu – số mới
Khi loại bỏ chữ số a (hoặc ab, abc…) ở bên phải một số tự nhiên, ta nhận được một số mới Số mới này sẽ bằng số ban đầu trừ đi a (hoặc ab, abc…) đơn vị, sau đó giảm thêm 10 lần (hoặc 100, 1000… lần).
- Khi bớt chữ số của một số tự nhiên ở bất kỳ hàng nào thì số đó giảm đi một số đơn vị là:
Số ban đầu – số mới
Khi xóa đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị của một số tự nhiên có bốn chữ số, số đó giảm đi 4455 đơn vị Nhiệm vụ là tìm ra số có bốn chữ số này.
Gọi số cần tìm là abcd
Xóa đi chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị ta được số ab
Cách 1: theo đề bài ta có abcd – ab = 4455 ab x 100 + cd – ab = 4455 cd + ab x 100 – ab = 4455 cd + ab x (100 – 1 ) = 4455 cd + ab x 99 = 4455 cd = 45 x 99 – ab x 99 cd = (45 – ab ) x 99
Ta nhận xét: Tích của 99 và một số tự nhiên là một số tự nhiên bé hơn 100 nên (45 – ab) phải bằng 0 hay bằng 1
Nếu 45 – ab = 0 thì ab = 45 và cd = 00
Nếu 45 – ab = 1 thì ab = 44 và cd = 99
Số cần tìm là 4500 và 4499
Cách 2: Theo đề bài ta có: abcd – ab = 4455
Ta viết lại phép tính như sau:
- Nếu phép cộng ở hàng chục không nhớ thì ab = 44 và abcd = 4455 +
- Nếu phép cộng ở hàng chục có nhớ thì ab = 45 và abcd = 4455 + 45 4500
Khi xóa chữ số hàng trăm của một số tự nhiên ba chữ số, số đó giảm đi 7 lần Tìm số tự nhiên ba chữ số này.
Gọi số cần tìm là abc Xóa đi chữ số hàng trăm ta được số bc
Cách 1: Theo đề bài ta có: abc = 7 x bc
00 a + bc = 7 x bc a00 = 7 x bc – bc a00 = (7 – 1) x bc a00 = 6 x bc
Vì 6 chia hết hco 3 nên a00 chia hết cho 3 Do đó a chia hết cho 3
Mặt khác vì bc < 100 nên 6 x bc < 600 Từ đó suy ra a < 6
Vậy a = 3 (a 0) Thay vào ta tính được bc = 50
Vậy số cần tìm là 350
Cách 2: Ta có abc = bc x 7
- Nếu c = 0 thay vào ta có: ab0 = b0x 7 ab = b x 7
Từ đó suy ra b = 0 hoặc b = 5, nhưng b không thể bằng 0
- Nếu c = 5 thay vào ta có:
Nếu b chẵn thì số trái là số lẻ, mà vế phải là số lẻ Vậy trường hợp c = 5 không xảy ra
Vậy số cần tìm là 350
Loại 3: Các bài toán về số tự nhiên và tổng các chữ số của nó
Ví dụ 9 :Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tổng các chữ số của nó
Cách 1: Gọi số cần tìm là ab Theo đề bài ta có: ab = 5 x (a + b)
Từ đây ta suy ra b chia hết cho 5 Vậy b = 0 hoặc 5
Vậy số cần tìm là 45
Cách 2: Gọi số cần tìm là ab Theo đề bài ta có: ab = 5 x (a + b)
Vì 5 x (a + b) có tận cùng bằng 0 hoặc 5 nên b = 0 hoặc b = 5
- Nếu b = 0 thay vào ta có:
- Nếu b = 5, thay vào ta có:
Vậy số cần tìm là 45
Loại 4: Các bài toán về số tự nhiên và hiệu các chữ số của nó
Ví dụ 10 : Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó chia cho hiệu các chữ số của nó được thương bằng 28 và dư 1
Gọi số phải tìm là ab và hiệu các chữ số của nó là c
Theo đề bài ta có: ab = c x 28 + 1
Vậy số cần tìm là 57 hoặc 85
Loại 5: Các bài toán về só tự nhiên và tích các chữ số của nó
Ví dụ 11 : Tìm một số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tích các chữ số của nó
Bài giải Cách 1: Gọi số cần tìm là abc
Theo đề bài ta có: abc = 5 x a x b x c
Vì 5 x a x b x c chia hết cho 5 nên abc chia hết cho 5 Vậy c = 0 hoặc 5
Nhưng c không thể bằng 0 , vậy c = 5 Số cần tìm có dạng ab 5 Thay vào ta có: abc = 5 x a x b x 5 a x 100 + b x 10 + 5 = 25 x a x b a x 20 + b x 2 + 1 = 5 x a x b
Vì 5 x a x b chia hết cho 5 nên a x 20 + b x 2 + 1 chia hết cho 5 Do đó bx2+1 chia hết cho 5 Suy ra b x 2 có tận cùng bằng 4 hoặc 9
Vì b x 2 là một số chẵn nên nó có tận cùng bằng 4
- Nếu b = 2 thì a25 = 5 x a x 2 x 5 Vế trái là số lẻ, mà vế phải là số chẵn Vậy trường hợp b = 2 không xảy ra
Vậy số cần tìm là 175
2.3.3 Dạng 3: Tìm số theo điều kiện cho trước về chữ số
- Dựa vào một số điều kiện nào đó của bài toán, ta thống kê tất cả các trường hợp có thể xảy ra với một đối tượng nào đó
- Dựa vào các điều kiện còn lại của bài toán, ta kiểm tra các trường hợp được thống kê Chọn ra các trường hợp phù hợp với đề bài
Tìm số tự nhiên lẻ có hai chữ số với tổng các chữ số bằng 9 và tích các chữ số tạo thành số tròn chục hai chữ số.
Các số lẻ có hai chữ số, có tổng các chữ số bằng 9 là: 81, 27, 63 và 45
Ta có bảng sau: ab a x b Kết luận
vậy số phải tìm là: 45
+ Các số lẻ có hai chữ số và tích các số của nó là số tròn chục là: 25, 45, 65 và
+ Ta có bảng sau: ab a + b Kết luận
Vậy số cần tìm là 45
Số lẻ có hai chữ số có hiệu giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị bằng 3 Khi thêm 3 vào số này, ta được một số có hai chữ số giống nhau Tìm số lẻ đó.
Bài giải Cách 1: Gọi số cần tìm là ab
Những số lẻ có hai chữ số mà hiệu giữa các chữ số của nó bằng 3 là: 41, 25,
Ta có bảng sau: ab ab + 3 Kết luận
Vậy số cần tìm là 41; 63 hoặc 85
Những số có hai chữ số giống nhau là 11; 22; 33; 44; 55; 66; 77; 88; 99
Bớt mỗi số đi 3 đơn vị ta được các số : 8; 19; 30; 42; 52; 63; 74; 85; 96
Vì theo đề bài, số cần tìm là số lẻ và hiệu giữa hai số của số đó bằng 3 nên ta tìm được 3 số: 41, 63, 85
Các phương pháp thường dùng khi giải toán chuyên đề về số và chữ số 43 1 Phương pháp thử chọn
Phương pháp thử chọn dùng để giải các bài toán về tìm một số khi số đó đồng thời thỏa mãn một số điều kiện cho trước
Phương pháp thử chọn là một công cụ hữu ích để giải quyết các bài toán liên quan đến cấu tạo số tự nhiên, số thập phân, phân số, cũng như các bài toán hình học có lời văn.
Khi giải bài toán bằng phương pháp thử chọn ta thường tiến hành theo
Để giải bài toán hiệu quả, trước tiên cần xác định các số đáp ứng một trong những điều kiện đã cho, tạm thời bỏ qua các điều kiện khác Việc lựa chọn điều kiện để liệt kê số cần được cân nhắc kỹ lưỡng nhằm giảm thiểu số lượng số được liệt kê, từ đó giúp lời giải trở nên ngắn gọn và chặt chẽ hơn.
Bước 2: Kiểm tra và kết luận
Kiểm tra từng số trong danh sách đã liệt kê ở bước 1 để xác định số nào thỏa mãn các điều kiện còn lại Những số đáp ứng tiêu chí sẽ được giữ lại, trong khi những số không thỏa mãn sẽ bị loại bỏ Quá trình kiểm tra này thường được thực hiện trong một bảng để dễ dàng theo dõi kết quả.
2.4.1.2 Ứng dụng phương pháp thử chọn để giải toán chuyên đề về số và chữ số
Tìm số tự nhiên lẻ có hai chữ số với tổng các chữ số bằng 9 và tích các chữ số tạo thành số tròn chục hai chữ số.
Số cần phải tìm thỏa mãn các điều kiện:
+ Là số lẻ có hai chữ số
+Có tổng các chữ số bằng 9
+ Có tích các chữ số là số tròn chục có hai chữ số
Trong bước đầu tiên, chúng ta có thể liệt kê các số đáp ứng điều kiện thứ nhất và thứ hai, hoặc liệt kê các số thỏa mãn điều kiện thứ nhất và thứ ba.
Nếu chọn cách 1 ta có các số: 81, 27, 63, 45
Nếu chọn cách 2 ta có các số: 25, 45, 65, 85
Trong bước thứ hai ta lần lượt kiểm tra từng số vừa liệt kê với điều kiện còn lại rồi rút ra kết luận
Để tìm các số lẻ có hai chữ số và có tổng các chữ số bằng 9, chúng ta cần liệt kê các bước thoả mãn điều kiện này Các số phù hợp có thể là 27 và 81.
+ Bước 2: Ta kẻ bảng các số vừa liệt kê và kết luận ab a x b Kết luận
vậy số phải tìm là: 45
+ Bước 1: Các số lẻ có hai chữ số và tích các số của nó là số tròn chục là: 25,
+ Bước 2: Ta có bảng sau: ab a + b Kết luận
vậy số cần tìm là 45
Một số tự nhiên có ba chữ số khác nhau, trong đó chữ số hàng chục gấp hai lần chữ số hàng đơn vị Khi lấy tích của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị chia cho chữ số hàng trăm, ta thu được thương là 8 Hãy tìm số đó.
Gọi số cần tìm là abc
Vì chữ số hàng chục gấp hai lần chữ số hàng đơn vị nên số abc chỉ có thể là:
Ta có bảng sau: abc (b x c) : 8 Kết luận
Vậy số cần tìm là 142
Ví dụ 3: Tìm số chẵn có hai chữ số biết rằng tổng hai chữ số đó bằng 11 và tích các chữ số của nó là số tròn chục
Gọi số cần tìm là ab (a 0; a < 10; b < 10; b chẵn )
Vì ab là số chẵn hai chữ số với tổng các chữ số bằng 11, ab có thể là các số 92, 74, 56 và 38 Hơn nữa, tích các chữ số của nó phải là số tròn chục, do đó ta có bảng sau: ab, a x b Kết luận.
38 24 loại vậy số cần tìm là 56
Một số chẵn có ba chữ số, với các chữ số hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị là ba số liên tiếp, có tổng các chữ số bằng 9 Hãy tìm số đó.
Bài giải Gọi số cần tìm là abc
Vì abc là một số chẵn có ba chữ số theo thứ tự là ba số tự nhiên liên tiếp nên số abc chỉ có thể là: 234; 456; 678
Ta có bảng sau: abc a + b + c Kết luận
Vậy số cần tìm là 234
Bài 1: Các chữ số hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị của một số có ba chữ số theo thứ tự là ba số lẻ liên tiếp Khi bớt số đó đi 24 đơn vị ta được số có ba chữ số giống nhau và chia hết cho 5 Tìm số đó
Bài 2: Tìm một số có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của nó bằng 11 và bớt số đó đi 3 thì được số có hai chữ số giống nhau
Bài 3: Tìm số có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục gấp hai lần chữ số hàng đơn vị và tổng các chữ số của nó là số có hai chữ số
Bài 4: Tìm số lẻ có hai chữ số biết rằng hiệu giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị của số đó bằng 3 và tích các chữ số của nó là số có một chữ số Bài 5: Tìm số có bốn chữ số, biết tổng các chữ số của nó bằng 30, chữ số hàng nghìn và hàng chục của số đó là hai số chẵn liên tiếp và nếu đổi chỗ chữ số hàng trăm và hàng đơn vị thì số đó không thay đổi
Giải toán bằng đại số là quá trình sử dụng chữ hoặc từ để biểu thị một số trong bài toán, không nhất thiết phải là số cần tìm Bài toán được diễn đạt dưới dạng biểu thức chứa chữ hoặc từ, dựa vào các mối quan hệ và điều kiện đã cho Để tìm giá trị của chữ hoặc từ, cần tuân thủ các quy tắc về thứ tự thực hiện phép tính và mối quan hệ giữa các thành phần Các bước thực hiện giải toán bằng phương pháp đại số bao gồm việc thiết lập biểu thức, áp dụng quy tắc và tìm ra giá trị cần thiết.
- Bước 1: Dùng chữ thay cho số phải tìm và đặt điều kiện cho các chữ
- Bước 2: Viết biểu thức thiết lập mối quan hệ giữa số mới với số cần tìm
Bước 3: Tính giá trị của chữ, chúng ta phân tích số và áp dụng kiến thức cơ bản để đơn giản hóa biểu thức Quy trình này bao gồm các dạng phương trình như a + x = b, a – x = b, a x x = b, và a : x = b, trong đó x là số cần tìm, còn a và b là các số đã biết.