Một số khó khăn và sai lầm học sinh thường gặp khi học hình học không gian và các biện pháp khắc phục

HHKG 11 cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản về HHKG cụ thể là về điểm, đường thẳng, mặt phẳng và các quan hệ về vị trí tương đối của chúng đồng thời dạy cho học sinh về quan hệ

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

MỘT SỐ KHÓ KHĂN VÀ SAI LẦM THƯỜNG GẶP

KHI HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ

LỜI CẢM ƠN

 

Trong suốt thời gian thực hiện đề tài, em đã nhận được nhiều sự quan tâm giúp đỡ từ quý thầy cô giáo cũng

như người thân và bạn bè để hoàn thành đề tài: “Một số

khó khăn và sai lầm học sinh thường gặp khi học Hình

học không gian và các biện pháp khắc phục”

Em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến thầy giáo

Nguyễn Hữu Chiến đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em

trong suốt thời gian thực hiện đề tài Em cũng xin gửi lời

cảm ơn đến quý thầy cô trong khoa Toán trường Đại học

Sư Phạm Đà Nẵng, quý thầy cô trong tổ Toán trường

THPT Ngũ Hành Sơn, gia đình, bạn bè đã động viên và

tạo mọi điều kiện để em hoàn thành đề tài này

Tuy nhiên, em làm khoá luận tốt nghiệp này không

thể tránh khỏi những sai sót Vì vậy em rất mong nhận

được những góp ý từ quý thầy cô cũng như các bạn để đề

tài được hoàn thiện hơn

Sinh viên thực hiện

Phan Trương Minh Hiền Lớp 08ST Khoa Toán Trường ĐHSP

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

  

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích của đề tài 1

3 Giả thiết khoa học 2

4 Đối tượng nghiên cứu 2

5 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

6 Phạm vi nghiên cứu 2

7 Phương pháp nghiên cứu 2

8 Đối tượng sử dụng đề tài 3

9 Cấu trúc luận văn 3

NỘI DUNG    Chương I: CƠ SỞ LÍ LUẬN 1 Bộ môn hình học không gian 11 4

1.1 Sơ lược về môn hình học không gian 4

1.2 Nội dung chương trình HHKG trong sách giáo khoa hình học 11 nâng cao 5

1.3 Tóm tắt lí thuyết 5

1.3.1 Chương II: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Quan hệ song song 5

1.3.2 Chương III: Vectơ trong không gian Quan hệ vuông góc 7

2 Dạy học giải toán 10

2.1.Yêu cầu đối với lời giải toán 10

2.2 Các bước của hoạt động giải toán 10

2.3 Về tiến trình giải toán 10

Chương II: MỘT SỐ KHÓ KHĂN VÀ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1 Những khó khăn học sinh thường gặp khi học hình học không gian 12

1.1 Khó khăn khách quan 12

1.1.1 Hình học không gian là một bộ môn khó 12

1.1.2 Nội dung chương trình của môn hình học không gian còn nhiều vấn đề 13

1.1.3 Bài tập hình học không gian đa dạng, phức tạp 14

1.2 Khó khăn xuất phát từ bản thân học sinh 15

1.2.1 Khó khăn từ tư tưởng học tập của các em học sinh 15

1.2.2 Khó khăn trong việc nắm vững kiến thức 15

1.2.3 Những khó khăn trong việc vẽ hình và đọc hình không gian 16

1.2.3 Những khó khăn trong việc giải toán 17

2 Những sai lầm học sinh thường mắc phải khi học HHKG 17

2.1 Sai lầm trong lời giải 18

2.1.1 Sai lầm khi vẽ hình 18

2.1.2 Sai lầm về kiến thức cơ bản 23

2.1.3 Sai lầm về suy luận 26

2.1.4 Sai lầm trong trình bày 28

2.2 Sai lầm trong lập luận 29

2.3 Lời giải chưa đầy đủ 30

Chương III: CÁC BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC KHÓ KHĂN, SAI LẦM TRONG HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1 Rèn luyện kĩ năng tư duy logic cho học sinh 32

1.1 Xây dựng và sắp xếp hệ thống các bài tập từ đơn giản đến phức tạp 32

1.2 Giải toán bằng phương pháp phân tích đi lên 35

2 Bồi dưỡng trí tưởng tượng không gian, rèn luyện kĩ năng vẽ hình không gian 36 2.1 Bồi dưỡng trí tưởng tượng không gian cho học sinh 36

2.1.1 Đồ dùng dạy học 36

2.1.2 Phần mềm dạy học 37

2.2 Nâng cao kĩ năng vẽ hình trong không gian 40

3 Một số các thao tác dạy học giúp học sinh nắm vững bộ môn HHKG 43

3.1 Chọn lọc kiến thức cơ bản “trọng tâm” 43

3.2 Chọn lọc bài tập cơ bản 46

3.3 Mở rộng các bài toán phẳng vào không gian 49

3.4 Đưa các bài toán không gian về bài toán phẳng 53

3.5 Phương pháp sử dụng bản đồ tư duy 57

3.6 Phương pháp “mô hình” 59

3.7 Phương pháp “phối hợp” giữa các hình 60

3.8 Đào tạo đội ngũ cán sự bộ môn của lớp 61

KẾT LUẬN    Các kết luận sư phạm 64

TÀI LIỆU THAM KHẢO 65

ở bộ môn Toán đã không ngừng học tập, trao dồi và đổi mới những phương pháp dạy học để tăng hiệu quả giảng dạy ở bộ môn Song trên thực tế, hiệu quả giảng dạy bộ môn Toán mang lại chưa được như mong muốn Các em học sinh, vẫn còn một bộ phận khá đông lúng túng và bộc lộ nhiều khó khăn khi học bộ môn Toán, nhất là khi học sinh chuyển qua học nội dung toán học

có những đặc trưng đòi hỏi học sinh có phương pháp tư duy mới Hiện tượng này ta bắt gặp phổ biến đối với học sinh khi đang học hình học phẳng chuyển sang học mảng Hình học không gian (HHKG)

Qua hơn một tháng thực tập tại trường Trung học phổ thông, tôi đã cảm nhận được một phần nào những áp lực và khó khăn, sai lầm mà các em đã gặp phải làm hạn chế chất lượng dạy học HHKG cũng như sự cố gắng của thầy trò

để có thể vượt qua mọi khó khăn để học được và học tốt HHKG Tôi luôn trăn trở, mong muốn góp phần tìm hiểu những khó khăn và sai lầm mà học sinh lớp 11 thường gặp phải khi học HHKG cũng như các biện pháp khắc phục để góp phần nâng cao chất lượng dạy học HHKG ở lớp 11

Xuất phát từ thực tiễn trên, tôi quyết định chọn đề tài “Một số khó khăn và sai lầm mà học sinh thường gặp khi học Hình học không gian và các biện pháp khắc phục”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu những khó khăn, những sai lầm phổ biến của học sinh lớp

11 khi học HHKG, đồng thời đề xuất các biện pháp sư phạm để hạn chế cũng như khắc phục những khó khăn, sai lầm của học sinh khi học HHKG nhằm rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh và nâng cao chất lượng dạy học bộ môn HHKG 11 trong các trường THPT

3 Giả thiết khoa học

Nếu giáo viên toán ở trường THPT nắm bắt được những khó khăn, những sai lầm phổ biến của học sinh khi học HHKG, đồng thời biết cách phân tích nguyên nhân từ đó có những biện pháp dạy học thích hợp để hạn chế khó khăn, sửa chữa những sai lầm này thì năng lực giải toán HHKG của học sinh

sẽ được nâng cao hơn và chất lượng giảng dạy bộ môn HHKG cũng tốt hơn

4 Đối tượng nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu đặc điểm, nội dung chương trình và tìm hiểu thực

tế dạy học môn HHKG lớp 11 (ban nâng cao) cùng kinh nghiệm bản thân từ

đó phát hiện những khó khăn, những sai lầm học sinh thường gặp đồng thời phân tích nguyên nhân của những khó khăn, những sai lầm đó và tìm ra biện pháp khắc phục

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài này bao gồm:

- Tìm hiểu những khó khăn thường gặp, những sai lầm phổ biến của học sinh khi học HHKG 11

- Đề xuất một số biện pháp nhằm hạn chế khó khăn và sửa chữa những sai lầm cho học sinh khi học bộ môn HHKG 11

6 Phạm vi nghiên cứu

Do một số hạn chế về vấn đề thời gian và kinh nghiệm bản thân, nên đề tài chỉ nghiên cứu những khó khăn, sai lầm học sinh thường gặp và đề xuất các biện pháp khắc phục trong phạm vi chương trình HHKG 11 nâng cao

7 Phương pháp nghiên cứu

7.1 Nghiên cứu lí luận

Nghiên cứu các lí luận về mặt phương pháp dạy học toán học, phương pháp dạy học hình học, tâm lí học để phân tích nguyên nhân của những khó khăn, sai lầm và đề ra một số biện pháp khắc phục

7.2 Nghiên cứu thực tiễn

Tiến hành tìm hiểu về những khó khăn, sai lầm học sinh thường gặp khi học sinh học HHKG 11 thông qua các giáo viên toán ở một số trường trung học phổ thông, kinh nghiệm học tập bộ môn HHKG của bản thân, các em học sinh và thông qua việc tìm hiểu các tài liệu có liên quan đến môn học HHKG

8 Đối tượng sử dụng đề tài

Đề tài này hi vọng sẽ trở thành tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên

sư phạm Toán, các giáo viên giảng dạy bộ môn Toán và học sinh THPT

9 Cấu trúc luận văn

Khoá luận gồm có ba phần:

- Phần mở đầu:

- Phần nội dung: có ba chương

+ Chương I: Cơ sở lí luận

+ Chương II: Một số khó khăn và sai lầm thường gặp khi học hình học không gian

+ Chương III: Các biện pháp khắc phục khó khăn, sai lầm khi học hình học không gian

- Phần kết luận: Rút ra các kết luận sư phạm và đưa ra một số đề xuất

B NỘI DUNG

  

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN

1 Bộ môn hình học không gian 11:

1.1 Sơ lược về môn hình học không gian:

HHKG là một mảng cơ bản trong chương trình toán học nói chung, hình học nói riêng

Đối tượng bộ môn là những hình không gian quen thuộc, gần gũi trong cuộc sống Ở cấp Trung học cơ sở, học sinh đã được học hình học không gian qua một số hình như: hình chóp, hình hộp, hình lập phương, hình nón, hình cầu và mối quan hệ giữa điểm, đường thẳng, mặt phẳng nhưng chỉ ở mức độ làm quen với hình học không gian Đến lớp 11 thì các khái niệm HHKG mới chính thức được dạy ở chương trình HHKG HHKG lớp 11 nghiên cứu về điểm, đường thẳng, mặt phẳng trong không gian Cơ sở của sự khác biệt giữa HHKG và hình học phẳng chính là việc đưa thêm vào khái niệm “mặt phẳng”

HHKG 11 cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản về HHKG cụ thể là về điểm, đường thẳng, mặt phẳng và các quan hệ về vị trí tương đối của chúng đồng thời dạy cho học sinh về quan hệ song song; quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Sách giáo khoa HHKG 11

đã trình bày nội dung của không gian Ơclic ba chiều theo phương pháp tiên

đề Bằng suy luận, giáo viên đã xây dựng các khái niệm mới và kịp cho học sinh làm quen với việc chứng minh một số định lí của HHKG và giải một số bài toán cơ bản của HHKG

Được đánh giá là một môn học có tính trừu tượng cao trong trường phổ thông nhưng HHKG cũng được coi là một bộ môn phong phú, sinh động và

có khả năng khơi dậy năng lực sáng tạo và bồi dưỡng về trí tưởng tượng không gian cho các em học sinh

1.2 Nội dung chương trình HHKG trong sách giáo khoa hình học 11 nâng cao:

Chương trình hình học lớp 11 gồm ba chương:

 Chương I: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

 Chương II: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Quan hệ song song

 Chương III: Vectơ trong không gian Quan hệ vuông góc

Như vậy, học sinh được học xong hình học phẳng và chuyển qua học HHKG từ chương II Nội dung chương trình HHKG 11 gồm:

 Chương II: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Quan hệ

song song

Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

Bài 2: Hai đường thẳng song song

Bài 3: Đường thẳng song song với mặt phẳng

Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Bài 5: Phép chiếu song song

Ôn tập chương II

 Chương III: Vectơ trong không gian Quan hệ vuông góc

Bài 1: Vectơ trong không gian Sự đồng phẳng của các vectơ Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc

Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 5: Khoảng cách

Ôn tập chương III

 Bài tập ôn cuối năm

1.3 Tóm tắt lí thuyết phần HHKG 11:

1.3.1 Chương II: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Quan hệ song song

a Các tính chất thừa nhận trong không gian:

* Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước

* Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước

* Tính chất 3: Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng

* Tính chất 4: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó

* Tính chất 5: Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng

* Định lí: Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trong mặt phẳng đó

b Hai đường thẳng song song:

Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng phân biệt: Có 3 vị trí

- Hai đường thẳng cắt nhau

- Hai đường thẳng song song

- Hai đường thẳng chéo nhau

Định nghĩa: Hai đường thẳng được gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung

c Đường thẳng song song với mặt phẳng:

Định nghĩa: Một đường thẳng và một mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung

+ Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó

- Định lý 3: Nếu a và b là hai đường thẳng chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song với b

d Hai mặt phẳng song song:

Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung

- Định lí 3 (định lí Ta – lét đảo): Giả sử trên hai đường thẳng chéo nhau

a và a’ lần lượt lấy các điểm A, B, C và A’, B’, C’ sao cho:

' ' ' ' '

CA C

B

BC B

A

Khi đó, ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là chúng cùng song song với một mặt phẳng

1.3.2 Chương III: Vectơ trong không gian Quan hệ vuông góc

a Vectơ trong không gian:

, không cùng phương Ta có: abc

,, đồng phẳng m n c m a n b







b Hai đường thẳng vuông góc:

Định nghĩa: Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc của chúng bằng 900

c Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

Định nghĩa: Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó

- Định lí 1: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau

a và b nằm trong mặt phẳng (P) thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P)

- Định lí 2: (Định lí ba đường vuông góc)

Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng

b nằm trong (P) Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiều a’ của a trên (P)

Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc giữa đường thẳng

+ Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau

- Hệ quả 1: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là một điểm nằm trong (P) thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P)

- Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba

- Hệ quả 3: Qua đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) có duy nhất một mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P)

e Khoảng cách:

Khoảng cách từ điểm đến một mặt phẳng, đến một đường thẳng:

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) (hoặc đến đường thẳng d)

là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P) (hoặc đường thẳng d)

Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song:

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (P)

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường đó

2 Dạy học giải toán:

2.1 Yêu cầu đối với lời giải bài toán:

- Lời giải không có sai lầm: Lời giải không có sai sót về về kiến thức

toán học, về suy luận và tính toán, về hình vẽ và kí hiệu, về trình bày…

- Lập luận phải có căn cứ chính xác: Các bước trong lời giải phải có cơ

sở lí luận, nghĩa là phải dựa vào các định nghĩa, định lí, tính chất, qui tắc, công thức… đã được học, các giả thiết đã cho

- Lời giải phải đầy đủ: Lời giải phải bao hàm hết tất cả các khả năng có

thể xảy ra đối với một tình huống

- Trình bày phải đủ, rõ ràng

2.2 Các bước của hoạt động giải toán:

Hoạt động giải toán thường diễn ra theo bốn bước sau:

1.Tìm hiểu bài toán

2 Tìm kiếm, lựa chọn phương hướng giải (chương trình giải)

3 Soạn thảo lời giải

4 Kiểm tra, đánh giá kết quả và lời giải; đề xuất hướng giải khác (nếu có)

2.3 Về tiến trình giải toán:

Giải toán là việc thực hiện một hệ thống hành động phức tạp, vì bài toán là sự kết hợp đa dạng nhiều khái niệm, nhiều quan hệ toán học, cần có sự chọn lọc sáng tạo các phương pháp giải quyết vấn đề Như vậy, giải bài toán

là tìm kiếm một cách có ý thức các phương tiện thích hợp để đạt được mục đích của bài tập Đó là một quá trình tìm tòi sáng tạo, huy động kiến thức, kỹ năng, thủ thuật và các phẩm chất của trí tuệ để giải quyết vấn đề đã cho

Theo Howard Gardner, G Polya, … thì tiến trình lao động của học sinh khi giải một bài toán có thể theo các hướng sau:

- Hướng tổng quát hóa: Hướng này dựa trên quan điểm tổng hợp, chuyển

từ một tập hợp đối tượng trong bài toán sang một tập hợp khác lớn hơn và chứa đựng tập hợp ban đầu

- Hướng cụ thể hóa: Hướng này dựa trên quan điểm phân tích, chuyển

bài toán ban đầu thành những bài toán thành phần có quan hệ logic với nhau Chuyển tập hợp các đối tượng trong bài toán ban đầu sang một tập hợp con của nó, rồi từ tập con đó tìm ra lời giải của bài toán hoặc một tình huống hữu ích cho việc giải bài toán đã cho

- Hướng chuyển bài toán về bài toán trung gian: Khi gặp bài toán phức

tạp, học sinh có thể đi giải các bài toán trung gian để đạt đến từng điểm một, rồi giải bài toán đã cho hoặc có thể giả định điều đối lập với bài toán đang tìm cách giải và xác định hệ quả của điều khẳng định kia hay đưa về bài toán liên quan dễ hơn, một bài toán tương tự hoặc một phần bài toán, từ đó rút ra những điều hữu ích để giải bài toán đã cho

Theo G Polya, việc giải toán xem như thực hiện một hệ thống hành động:

“Hiểu rõ bài toán, xây dựng một chương trình giải, thực hiện chương trình và khảo sát lời giải đã tìm được” Theo ông điều quan trọng trong quá trình giải

bài toán là qua đó học sinh nảy sinh lòng say mê, khát vọng giải toán, thu nhận và hình thành tri thức mới, đặc biệt là tiếp cận, phát hiện và sáng tạo

CHƯƠNG II: MỘT SỐ KHÓ KHĂN VÀ SAI LẦM

THƯỜNG GẶP KHI HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1 Những khó khăn học sinh thường gặp khi học hình học không gian:

Ở phần này, tôi xin trình bày những khó khăn chung xuyên suốt cả quá trình học tập hình học không gian của các em học sinh lớp 11

1.1 Khó khăn khách quan:

1.1.1.Hình học không gian là một bộ môn khó:

Như ta đã biết, bản thân bộ môn HHKG là một mảng khó của toán học Môn học này khó vì những lí do sau:

- Tuy đối tượng bộ môn là những hình không gian quen thuộc, gần gũi với học sinh (với bất kì hình không gian nào được học trong chương trình ta đều có thể lấy ví dụ bằng những đồ vật rất quen thuộc trong cuộc sống), song nội dung bộ môn được xây dựng theo phương pháp tiên đề Bên cạnh đó hệ tiên đề đưa ra vẫn chưa đầy đủ (do tính sư phạm), suy luận còn có phần dựa vào trực giác nhưng nhìn chung quá trình chứng minh cần đảm bảo tính chặt chẽ, các suy luận, chứng minh phải có căn cứ Đây là một điều rất khó đối với học sinh

- Nhưng điều khó hơn đối với các học sinh là phải nắm vững bộ môn Nghĩa là không chỉ phải hiểu, phải nhớ tất cả các lí thuyết đã học mà còn phải biết các phương pháp giải toán hình để vận dụng lí thuyết nhằm giải được một bài toán hình học không gian ở mức độ yêu cầu nhất định (phù hợp với mục đích yêu cầu của chương trình) Như vậy, vẫn còn một khoảng cách khá xa giữa lí thuyết và thực hành

- Mặt khác, hình học không gian là một bộ môn phong phú, sinh động, mang nhiều tính sáng tạo (với mỗi học sinh quá trình giải một bài toán có thể được xem là một quá trình sáng tạo) Học sinh cần được giúp đỡ nhiều về trí tưởng tượng không gian, óc quan sát, phán đoán và những suy luận có lí (các phương pháp tương tự đặc biệt hóa, khái quát hóa …) mà về những mặt này, học sinh còn chưa quen, còn bỡ ngỡ nhiều

1.1.2 Nội dung, chương trình của môn hình học không gian có nhiều vấn đề:

* Nội dung kiến thức:

- Cấu trúc chương trình hình học lớp 11 được chia làm ba chương, trong đó, hình học không gian chiếm hai chương (chương II và chương III)

- Nắm vững các điều kiện xác định mặt phẳng

- Nắm vững các vị trí tương đồi giữa các đường thẳng, giữa các mặt phẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, đặc biệt là quan hệ song song giữa chúng

- Nắm được cách xác định thiết diện của một hình khi cắt bởi một mặt phẳng

- Nắm được cách vẽ hình biểu diễn của một hình

- Nắm vững được định nghĩa và cách vẽ ba hình không gian: Hình chóp, hình lăng trụ, hình chóp cụt

* Phân phối thời gian dự kiến cho chương II là 16 tiết

 Chương III: Véc tơ trong không gian Quan hệ vuông góc

Chương III: Bao gồm 5 bài và một bài ôn tập chương Nội dung mà học sinh cần đạt được sau khi học xong chương này là:

- Bước đầu biết sử dụng vectơ vào việc thiết lập quan hệ vuông góc và giải một số bài toán hình học không gian

- Sử dụng được các điều kiện vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng vào việc giải toán

- Nắm được khái niệm và cách tính góc, khoảng cách giữa một số đối tượng trong hình học không gian

* Phân phối thời gian dự kiến cho chương này là 17 tiết

 Nhận xét: Như vậy, thời gian dành cho bộ môn này là khoảng 33-35

tiết, chia đều cho 24 tuần, mỗi tuần học từ 1 đến 2 tiết Nhìn vào thực tế ta có thể thấy được, nội dung của môn học thì nhiều, yêu cầu sau mỗi chương cũng

khá cao nhưng thời gian dành cho môn học lại ít, số tiết trải ra còn khá rời rạc,

do đó thời gian để rèn luyện các kĩ năng giải bài tập cũng rất hạn chế Điều

đó gây khó khăn cho việc ghi nhớ, củng cố và khắc sâu kiến thức của các em

* Cấu tạo chương trình:

- Chương trình học của ta được cấu tạo theo một đường thẳng, các kiến thức chỉ được học một lần Do đó, không có nhiều điều kiện để các em có thể củng cố và khắc sâu kiến thức Vì vậy dễ dẫn tới tình trạng học sinh học lướt, không được rèn luyện nhiều về suy nghĩ logic và kĩ năng giải bài tập

- Ta cũng có thể nhận thấy được bước chuyển khá đột ngột giữa hình học phẳng và hình học không gian Sự ngắt quãng này dễ dần tới ngộ nhận nhiều chi tiết, quan hệ không gian sang các chi tiết, quan hệ trong mặt phẳng, hay nói cách khác các em vẫn còn quá nhiều những ảnh hưởng của hình học phẳng khi học hình học không gian Điều này gây không ít khó khăn cho việc tiếp cận các kiến thức của hình học không gian và tư duy hình không gian

1.1.3.Bài tập Hình học không gian đa dạng, phức tạp:

- Bài tập hình học không gian rất đa dạng và phong phú ở nhiều mức độ khác nhau, từ đơn giản đến phức tạp Tuy nhiên, sách bài tập Hình học không gian 11 chưa đáp ứng tốt các yêu cầu của chương trình Những chương đầu còn thiếu nhiều bài tập Mỗi khi dạy thầy cô thường phải tự soạn bài tập, điều này dễ đi đến không thống nhất về mức độ và phương hướng

- Các bài tập chứng minh, hay chứng minh định lí trong hình học đều được chứng minh theo con đường lập luận logic, chứng minh suy diễn theo công thức hằng đúng sau:

tả trực quan chúng Do đó, gây nên nhiều khó khăn khi học sinh giải các bài tập HHKG

1.2 Những khó khăn xuất phát từ bản thân học sinh:

1.2.1 Khó khăn từ tư tưởng học tập của các em học sinh:

Trong thực tế, tư tưởng của học sinh thường ngại hoặc sợ học môn hình học, các em thường có suy nghĩ là hình học chỉ chiếm 1/3 thời lượng chương trình bộ môn toán, nên không ít em có chủ trưởng hi sinh môn hình, chỉ học đại số Từ tư tưởng tiêu cực đó dẫn tới khi tiếp xúc với HHKG, các em thường cảm thấy môn học này quá khó, không thể hiểu và tiếp thu kiến thức,

do đó, các em thường né tránh, bỏ bê việc học tập bộ môn HHKG ngay từ đầu, vì thế các em dễ dàng mất những kiến thức căn bản về HHKG, đây là khó khăn lớn cho những thầy cô trực tiếp giảng dạy HHKG 11

1.2.2 Khó khăn trong việc nắm vững kiến thức:

Trong chương trình môn hình học phẳng, học sinh chủ yếu được học và làm quen với hai đối tượng cơ bản là điểm và đường thẳng, tìm hiểu các mối quan hệ liên quan như: Quan hệ giữa điểm với điểm, điểm với đường thẳng và đường thẳng với đường thẳng Với những mối quan hệ đơn giản, các em đã được học trải ra trong nhiều năm, điều này là một thuận lợi lớn cho việc nắm vững hình học phẳng của học sinh

Tuy nhiên, khi tiếp xúc với HHKG, sự khác biệt cơ bản giữa HHKG và hình học phẳng chính là đưa thêm vào chương trình học khái niệm mặt phẳng

Từ đó, tạo nên nhiều mối quan hệ như:

+ Quan hệ giữa điểm với đường thẳng + Quan hệ giữa điểm với mặt phẳng

+ Quan hệ giữa đường thẳng với đường thẳng + Quan hệ giữa đường thẳng với mặt phẳng + Quan hệ giữa mặt phẳng với mặt phẳng

Điều này khiến cho môn học HHKG trở nên phức tạp, vì vậy việc nắm vững kiến thức của bộ môn này trong thời gian hạn hẹp là điều rất khó đối với học sinh

1.2.3 Những khó khăn trong việc vẽ hình và đọc hình không gian:

- Trong hình học phằng, hình biểu diễn là những hình vẽ có thể biểu diễn một cách tường minh, phản ánh trung thực hình dạng và có thể cả về kích thước Mọi quan hệ như quan hệ liên thuộc, quan hệ thứ tự, quan hệ song song, quan hệ vuông góc… giữa các đối tượng đều được biểu diễn một cách trực quan Do vậy, việc học hình học phẳng, học sinh thường dựa hoàn toàn vào trực quan để có thể phỏng đoán kết luận, hay tìm ra hướng giải cho một bài toán

- Trong HHKG, hình không gian được biểu diễn trên mặt phẳng thông qua các phép chiếu xuyên tâm, phép chiếu song song hoặc là phép chiếu vuông góc (còn gọi là các phép chiếu afin) Do vậy, hình vẽ là những hình phẳng không thể phản ánh trung thực các mối quan hệ như quan hệ vuông góc, quan hệ bằng bằng nhau… của các đối tượng Do đó, muốn vẽ hình và đọc được hình thì học sinh không thể dựa hoàn toàn vào trực quan, mà phải dựa vào hệ thống qui ước kết hợp với tư duy logic, trí tưởng tượng không gian

- Mặc khác, do thói quen khi học hình học phẳng đồng thời năng lực tưởng tượng không gian của các em học sinh còn yếu nên gây nhiều khó khăn trong việc vẽ hình, đọc hình và tìm ra những mối quan hệ dựa vào hình vẽ Ngoài ra, một số trường hợp hình vẽ chưa thể hiện được hết giả thiết của bài toán, hình vẽ sai gây nên sự bế tắc trong việc tìm lời giải

Ví dụ:

Trong hình học phẳng, cho bốn điểm A, B, C, D (với ba điểm bất kì không cùng thuộc một đường thẳng) Ta tạo được tứ giác ABCD và hai đường chéo AC và BD luôn cắt nhau tại một điểm

Trong không gian, cho bốn điểm A, B, C, D (với ba điểm bất kì không cùng thuộc một đường thẳng) Ta phải xét hai trường hợp:

+ Trường hợp 1: Nếu A, B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng, ta có được ABCD với hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại một điểm (như ở trên)

+ Trường hợp 2: Nếu A, B, C, D không cùng thuộc một mặt phẳng thì ta có được tứ diện ABCD với hai đường AC và BD chéo nhau (không cắt nhau)

Tuy nhiên, đối với học sinh, khi cho bốn điểm A, B, C, D trong không gian, thì các em luôn cho rằng chỉ xảy ra trường hợp thứ nhất

- Bên cạnh đó, một số học sinh còn chịu ảnh hưởng quá nặng nề của hình học phẳng do vậy khi vẽ hình trong HHKG lại tuân thủ một cách máy móc về độ dài, diện tích, góc… điều này cũng gây khó khăn cho việc giải toán HHKG

1.2.3 Những khó khăn trong việc giải toán:

- HHKG khá trừu tượng nên việc nắm vững các định lí là rất khó khăn

và trực giác không mang lại kết quả như trong hình học phẳng do đó nảy sinh nhiều vấn đề trong định hướng tìm thuật giải, cách giải đối với các bài toán không gian

- Trong các bài toán hình học không gian, khi đã tìm ra được hướng giải quyết của một bài toán nào đó, các em thường rơi vào bế tắc cho việc trình bày bài giải logic, chặt chẽ và hợp lí

2 Những sai lầm học sinh thường mắc phải khi học HHKG:

Những khó khăn kể trên (mục 1 trên đây) là trở ngại rất lớn trong quá trình học HHKG và nó cũng chính là nguyên nhân sinh ra những sai lầm đáng tiếc cho học sinh khi học HHKG Những sai lầm ấy thông thường sẽ thể hiện trong lời giải bài tập của học sinh Việc chỉ ra những sai lầm là điều cần thiết song điều quan trọng hơn chính là tìm ra nguyên nhân của những sai lầm đó Sau đây là một số sai lầm và phân tích nguyên nhân của những sai lầm ấy, đồng thời định hướng cách khắc phục những sai lầm ấy

2.1 Sai lầm trong lời giải:

2.1.1 Sai lầm khi vẽ hình:

Do không nắm vững về qui tắc vẽ hình không gian nên nhiều học sinh

đã mắc phải những sai lầm sau:

a Không thể hiện đúng những nét đứt và những nét liền:

Ví dụ 1: Vẽ hình chóp S.ABCD

* Một số học sinh đã vẽ như sau:

hoặc

* Sai lầm:

- Ở hình bên trái, học sinh không tưởng tượng được các đoạn thẳng

AB, AD bị khuất hoặc quên vẽ các đường AB, AD là nét đứt

- Ở hình bên phải, học sinh không nắm vững được các qui tắc vẽ hình nên không vẽ các đường AS, AB, AD là những đường khuất

- Thông thường, lỗi này các em hay mắc phải khi các em mới bắt đầu làm quen với hình không gian

* Hình vẽ đúng:

Trong không gian, SA; AB; AD là những đường bị che khuất nên được biểu diễn bằng các nét đứt

Ví dụ 2: Vẽ tứ diện ABCD, điểm M là trung điểm của BC và N là

trung điểm của AD

* Hình vẽ của một số học sinh

* Sai lầm:

Đoạn MN trong hình vẽ là đường không nhìn thấy, tuy nhiên học sinh

đã vẽ MN bằng nét liền Sai lầm này xuất phát từ suy nghĩ của một số em cho rằng điểm M và điểm N là những điểm nhìn thấy, nên đoạn MN cũng là đoạn

có thể nhìn thấy được

* Hình vẽ đúng

Đường MN là đường bị che khuất, nên ta biểu diễn đường MN bằng nét đứt

b Hình vẽ thể hiện sai một số tính chất:

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD, với các mặt của tứ diện là những tam giác

nhọn Dựng AHBC

* Một số học sinh vẽ như sau:

* Sai lầm: Các em vẫn chịu ảnh hưởng từ tư duy trực quan của hình học

phẳng, vẽ đường AHBC, tuy nhiên trong không gian tính chất vuông góc không nhất thiết phải thể hiện như hình vẽ của hình học phẳng

* Hình vẽ đúng:

Vì tam giác ABC nhọn nên với AH là đường cao thì H nằm giữa hai điểm B, C Ở đây, giáo viên cần nhấn mạnh các qui tắc của biểu diễn hình không gian như tính vuông góc không nhất thiết phải thể hiện như trong hình học phẳng

Ví dụ 2: Cho hình chóp ABCD, dựng đường trung tuyến AM của tam

* Hình vẽ đúng:

Giáo viên cần nhấn mạnh về qui tắc bảo toàn quan hệ bằng nhau trong biểu diễn hình không gian, do vậy nên khi M là trung điểm BC thì trên hình vẽ phải biểu diễn được MB = MC

c Hình vẽ không phản ánh hết giả thiết đề bài:

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là hình vuông với cạnh

2

1 2

Suy ra: H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Vì ABC vuông tại A nên H là trung điểm BC

Lại có: Trong mặt phẳng (ABC), tứ giác AIHK là hình chữ nhật

Nên I là trung điểm AB và K là trung điểm AC

Lúc này ta có hình vẽ:

Theo định lí ba đường vuông góc ta có: SI AB, SKAC

Lúc này ta có: S xq S SAB S SAC S SBC SI AB SK AC SH.BC

2

1

2

1

2

sin tan

2

cos tan

2

1

2 2

2.1.2 Sai lầm về kiến thức cơ bản:

Các sai lầm này nảy sinh do các em không nắm vững được các định nghĩa, định lí, hệ quả Ngoài ra, các em còn sử dụng các định lí, hệ quả một cách chủ quan dựa trên trực giác và những ý nghĩ của hình học phẳng Chẳng hạn học sinh thường có suy nghĩ sai lầm như:

- Một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì song song với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó

- Hai mặt phẳng cắt nhau theo một giao tuyến, đường thẳng nào nằm trong một mặt phẳng mà vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia

- Luôn dựng được một mặt phẳng đi qua 4 điểm phân biệt cho trước

- Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng trong không gian thì song song với nhau

- Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau

- Một đường thẳng a vuông góc với một đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P) thì a vuông góc với (P)…

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có ABAC và ABBD Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD Chứng minh rằng: AB và PQ là hai đường

thẳng vuông góc với nhau

* Bài làm của học sinh:

Vì P là trung điểm của AB, Q là trung điểm của DC nên PQ là đường trung bình của tứ diện ABCD

* Bài giải đúng:

Ta có:

PQPAACCQ và PQPBBDDQ

BD AC

 2

AB PQ.

Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA

vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a Gọi B’ là trung điểm của SB

Chứng minh rằng: AB’  (SBC)

* Bài làm của học sinh:

Ta có: SA = AB = a

=> Tam giác SAB cân tại A

Theo giả thiết, B’ là trung điểm của SB nên AB’ là đường cao của tam giác SAB

=> AB’  SB (1)

=> AB là hình chiếu của AB’ lên mặt phẳng (ABCD)

Mà AB  BC nên AB’  BC (định lí ba đường vuông góc) (2)

Từ (1), (2) suy ra: AB’  (SBC)

* Sai lầm:

Học sinh hiểu sai về định nghĩa hình chiếu vuông góc của một đường thẳng lên một mặt phẳng, dẫn tới các suy luận sau sai

* Bài giải đúng:

Vì SA = AB = a nên tam giác SAB là tam giác cân tại A

=> Trung tuyến AB’ của tam giác cũng chính là đường cao

=> AB’  SB (1)

Ta có: ABCD là hình vuông nên AB  BC

Lại có: SA  (ABCD) nên SA  BC

=> BC  (SAB)

Và AB’  (SAB) (vì B’  SB nên B’  (SAB))

=> BC  AB’ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: B’  (SBC) (điều phải chứng minh)

2.1.3 Sai lầm về suy luận:

Do tính trực giác, tư duy thiếu logic nên trong một vài trường hợp, các

em làm bài theo cảm tính, suy luận không chặt chẽ dẫn tới sai trong một vài trường hợp

Ví dụ: Có tồn tại hay không những hình chóp tứ giác có hai mặt đối diện

cùng vuông góc với mặt phẳng đáy?

* Có một số em giải theo cách sau:

Giả sử hình chóp SABCD có hai mặt đối diện (SAD) và (SBC) cùng vuông góc với mặt đáy

Vậy, không tồn tại hình chóp thỏa mãn đề bài

* Sai lầm:

- Suy luận đã dựa vào một mệnh đề sai “ Nếu P, Q là hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến a, thì góc giữa P và Q là góc giữa đường thẳng b nằm

trong (P) và vuông góc với a, với một đường thẳng bất kì nằm trong (Q) và đi qua giao điểm của a, b”

- Suy luận sai lầm trên dẫn tới hai mệnh đề kết luận sai:

Thật vậy: Cho hình chóp S.ABC với SA( ABC)

Ta có: (SAC)  (ABC) và (SAB)  (ABC)

Trên cạnh AC ta lấy điểm M bất kì ( M không trùng với A và C)

Trên cạnh AB ta lấy điểm N bất kì (N không trùng với A và B)

Lúc này ta có hình vẽ:

Dễ dàng thấy được: (SMC)  (MNBC)và(SNB)  (MNBC)

Như vậy, hình chóp S.MNBC là hình chóp tứ giác thỏa mãn đề bài

2.1.4 Sai lầm trong trình bày:

Khi trình bày lời giải của một bài toán, học sinh thường mắc phải những sai lầm sau:

- Nhầm lẫn hoặc thiếu sót về kí hiệu

- Sử dụng nhiều kí hiệu viết tắt, bài làm ẩu thả, không rõ ràng, mạch lạc

- Tính toán không cẩn thận, sai đáp số…

Ví dụ: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA  mp (ABCD) Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng

SB và SD.Chứng minh: MN // BD và SC  (AMN)

* Bài làm của học sinh:

- Hai   SAB và SAD bằng nhau (cạnh AB = AD = a và SA chung) có các đường cao tương ứng là AM và AN nên BM = DN

* Sai lầm:

- Học sinh viết tắt trong bài làm (  SAB và SAD)

- Học sinh sử dụng sai kí hiệu (MN  SBD)

- Học sinh không dùng kí hiệu mặt phẳng ( như mặt phẳng (SAB) được viết SAB)

- Bài làm chưa rõ ràng, chưa gọn

2.2 Sai lầm trong lập luận:

Trong một số trường hợp, học sinh đưa ra lời giải thiếu những bước quan trọng, hoặc đưa ra những kết luận thiếu cơ sở, dẫn tới bài làm chưa chặt chẽ, chưa logic đôi khi sai

Ví dụ: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Dựng thiết diện của

hình lập phương với một mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh DD’, trung

điểm N của cạnh D’C’ và đỉnh A

* Bài làm của học sinh:

Do hai mặt bên (BB’A’A) và (CC’D’D) song song với nhau nên giao tuyến của hai mặt phẳng này với mặt phẳng (AMN) cũng phải song song với nhau Do đó: (AMN)  (BB’A’A) = AB’ (AB’ // MN)

Lại có: (AMN)  (AA’D’D) = AM

(AMN) (A’B’C’D’) = MN Vậy, thiết diện cần tìm là tứ giác AB’NM

* Sai lầm:

Học sinh đã biết giao tuyến giữa mặt phẳng (AMN) và (AA’B’B) là đoạn thẳng đi qua A và song song với MN, trực giác cho thấy giao tuyến đó là

đường thẳng AB’ Tuy nhiên, điều này chưa đúng vì chưa có cơ sở chứng minh MN // AB’

* Bài giải đúng:

Ta có: (AMN)  (AA’D’D) = AM

Trong mặt phẳng (AA’D’D) dựng P = AM  A’D’

Trong mặt phẳng (A’B’C’D’) ta nhận thấy B’, N, P thẳng hàng

Thật vậy, ta có:

2

1'

'2

1'

PA

PD AA

MD

Lại có:

2

1''

' 

B A

N D

Nên, PN đi qua B’ và

2

1'

'

PB NB

(AMN)  (CC’D’D) = MN (AMN)  (AA’B’B) = AB’

Do đó, thiết diện cần tìm là hình AMNB’

2.3 Lời giải chưa đầy đủ:

Trong một số các bài toán, do không biết phân hoạch các trường hợp nên các em thường xét thiếu những trường hợp đặc biệt, dẫn đến bài làm có nhiều sai sót

Ví dụ: Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau và một điểm M bất kì

Dựng đường thẳng d qua M và cắt hai đường thẳng a, b