Một số dạng toán về m phẳng trong không gian euclide n chiều

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Formatted: Font: ItalicFormatted: Border: Bottom: Double solid lines, Auto, 0.5 pt Line width Formatted: Font: 14 pt, Bold, Italic Formatted: Font: Italic

Trang 1

Style Definition: TOC 1: Font: 14 pt, Bold, Tab stops:

6.1", Right,Leader: …

Formatted: Top: 1.42"

Trang 2

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Formatted: Font: Italic

Formatted: Border: Bottom: (Double solid lines, Auto, 0.5

pt Line width)

Formatted: Font: 14 pt, Bold, Italic Formatted: Font: Italic Formatted: Font: 14 pt, Bold, Italic Formatted: Font: Italic Formatted: Font: 14 pt, Bold, Italic

Formatted: Font: 5 pt Formatted: Right: -0.02", Border: Top: (Double solid lines,

Auto, 0.5 pt Line width)

Formatted: Font: 14 pt, Bold, Italic Formatted: Font: Italic Formatted: Font: 14 pt, Bold, Italic Formatted: Font: Italic Formatted: Font: Italic Formatted: Font: 14 pt, Bold, Italic Formatted: Font: Italic Formatted: Font: 14 pt Formatted: Font: 14 pt, Bold

Đề tài: MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN VỀ m- PHẲNG TRONG KHÔNG

GIAN EUCLIDE n CHIỀU Tôi xin chân thành cảm ơn cô giáo Đinh Thị Văn đã nhiệt

tình hướng dẫn, chỉ bảo, truyền đạt kinh nghiệm và gợi mở

những ý tưởng giúp tôi hoàn thành khóa luận này

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo khoa toán

Trường Đai Học Sư Phạm đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ,

đóng góp ý kiến quý báu giúp tôi hoàn thành tốt khóa luận tốt

nghiệp của mình

Tôi xin cảm ơn phòng thư viện Trường Đại Học Sư Phạm

Đà Nẵng đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi có được nguồn tài liệu

làm khóa luận

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè những

người luôn ủng hộ tôi, cung cấp cho tôi những thông tin cần

thiết, những lời động viên, khích lệ chân thành cùng các ý kiến

quí báu trong thời gian tôi làm khóa luận

Đà Nẵng, tháng 05 năm 2012

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Hoài Thương

LỜI CẢM ƠN

Formatted: Space Before: 0 pt, After: 0 pt Formatted: Heading 1, Left, Line spacing: single Formatted: Font: 24 pt, Bold, Italic

Formatted: Centered

Trang 3

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Formatted: Font: 10 pt Formatted: Font: Italic

pt Line width)

I ) Lý do chọn đề tài:

Toán học có vai trò quan trọng trong đời sống và khoa học kỹ thuật Toán

học là nền tảng cho tất cả các nghành khoa học tự nhiên khác Có thể nói rằng

không có toán học sẽ không có ngành khoa học nào cả Toán học giúp chúng

ta rèn luyện phương pháp suy luận, giải quyết vấn đề, trí thông minh sáng tạo

Đồng thời rèn luyện đức tính cần cù, nhẫn nại, tự lực cánh sinh Nói đến toán

học là nói đến sự gọn gàng và logic

Ở phổ thông, môn toán là một môn khá là quan trọng, khá hay hay, đòi

hỏi nhiều tư duy, kĩ năng Đặc biệt đây là môn học hình học, đây là môn học

khá trừu tượng khiến học sinh hơi vất vả

Hình học là môn học xuất hiện rất sớm Hàng trăm năm trước công

nguyên, con người đã đo đạc các thửa ruộng, đong thóc gạo khi thu hoạch,

xây dựng những kim tự tháp khổng lồ Môn hình học lúc đầu ra đời với ý

nghĩa là môn khoa học về đo đạ ct Nhưng rồi con người không chỉ cần đo đất,

mà cần nghiên cứu nhiều điều phức tạp hơn Tuy nhiên hình học chỉ trở thành

môn khoa học thực sự khi con người nên lên các tính chất hình học bằng con

đường suy diễn chặt chẽ, chứ không phải từ đo đạc trực tiếp

Hình học là một nghành học nghiên cứu các mô hình trong không gian

Hệ tiên đề hình học đầu tiên lấy mô hình từ không gian vật lý theo nhận thức

là khái niệm điểm, đường thẳng, mặt phẳng Từ ba khái niệm này Euclide đã

xây dựng thành nội dung toàn bộ môn hình học ở phổ thông hiện nay Sau này

gọi là hình học Euclide.

Hình học Euclide được giới thiệu ở trung học với việc khảo sát các hình

đa giác, hình tròn, hình cầu, hình đa diện, hình nón…Hơn hai nghìn năm qua

Formatted: Font: (Default) Times New Roman Formatted: Heading 1, Line spacing: single Formatted: Font: (Default) Times New Roman, 16 pt Formatted: Font: (Default) Times New Roman Formatted: Font: (Default) Times New Roman, Not Italic Formatted: Font: (Default) Times New Roman, Not Italic Formatted: Justified, Space Before: 0 pt, After: 0 pt

Formatted: Justified, Space Before: 0 pt, After: 0 pt, Tab

stops: 0.38", Left

Trang 4

pt Line width)

Formatted: Font: 14 pt, Bold, Italic Formatted: Font: Italic Formatted: Font: 14 pt, Bold, Italic Formatted: Font: Italic

Formatted: Font: 14 pt, Bold, Italic

hình học Euclide đã có tác dụng lớn đối với nền văn minh nhân loại, từ việc

đo đạc ruộng đất đến vẽ đồ án, xây dựng nhà cửa, chế tạo các vật dụng và

máy móc, từ việc mô tả quỹ đạo của các hành tinh trong hệ mặt trời đến cấu

trúc của nguyên tử

Hình học Euclide là môn học khá hay, quan trọng đối với học sinh

Trong môn này chúng ta sẽ biết được cách xác định cách lập phương trình và

xét vị trí tương đối của các phẳng như là khoảng cách giữa các phẳng và ứng

dụng vào giải 1 số bài toán hình học Vì vậy chúng tôi xây dựng đề tài này

nhằm nghiên cứu vấn đề xây quanh một số dạng bài toán về m- phẳng trong

không gian Euclide n - chiều như là: Viết phương trình tham số, phương trình

tổng quát, tìm vị trí tương đối của các phẳng và khoảng cách giữa các phẳng

Với mỗi dạng bài toán tôi đưa ra lời giảphương pháp giải , các ví dụ và bài tập minh họa có

lời giải để học sinh nắm vững, vận dụng được vào quá trình giải toán hình

học

Formatted: Justified, Space Before: 0 pt, After: 0 pt

Trang 5

pt Line width)

III Mục đích chọn đề tài:

Đề tài ng hiênuyên cứu về các dạng bài toán m - phẳng trong không gian

Euclide n - chiều Đây là những nội dung quan trọng trong không gian

Euclide, đưa ra lờiphương pháp giải 1 số bài toán liên quan đến m - phẳng

trong không gian Euclide n - chiều nhằm giúp ích phần nào cho học sinh

THPT giải các bài toán hình học không gian được nhanh hơn, ngắn gọn hơn,

nhằm nâng cao hiệu quả học tập

Formatted: Justified, Space Before: 0 pt, After: 0 pt

Formatted: Space Before: 0 pt, After: 0 pt

Formatted: Font: 14 pt Formatted: Normal (Web), Centered

Trang 6

pt Line width)

C HƯƠNGhương I: I: CƠ SỞ LÝ LUẬN

I BỔ SUNG CÁC PHÉP TOÁN TRÊN KHÔNG GIAN VECTƠ

1 Tích vô hướng

1.1 Định nghĩa:

Cho V là không gian vectơ trên trường số thực trên đó xác định một phép

toán f sao cho với mỗi cặp vectơ có thứ tự a , b  V ta đặt tương ứng với

một số thực xác định gọi là tích vô hướng của hai vectơ a , b , Kí hiệu là

a b hay a b nếu thỏa mãn 4 tiêu đề sau đây:

1) a b = b a

2) a ( b + c ) = a b + a c với a , b , c  V

3)    a b =    a b với   R

4) a a  0, dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a = 0

CHÚ Ý: Tương ứng f nói trên là một ánh xạ f: V x V  R thỏa mãn 4 điều

kiện nêu trên Một không gian vectơ được trang bị thêm tích vô hướng đối với

mọi hai vectơ bất kì của nó sẽ trở thành một không gian vectơ Euclide Không

gian vectơ Euclide n chiều được kí hiệu là V n

E hoặc n

E Các định nghĩa liên quan đến tích vô hướng của hai vectơ

Formatted: Justified, Line spacing: 1.5 lines

Formatted: Justified, Line spacing: 1.5 lines, Tab stops:

0.35", Left

Formatted: Font: Not Bold

0.35", Left

Field Code Changed Formatted: Justified, Level 3, Line spacing: 1.5 lines

Trang 7

pt Line width)

1.2 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng của hai vectơ trong V E n

Trong không gian Euclide En với mục tiêu trực chuẩn cho trước, giả sử:

ie a

i b a

1

2

, cos( a , b ) =

b a

i i

n

i i i

b a

12

121

.

2 Tích có hướng của hai vectơ trong V 3 E

2.1 Định nghĩa:

Trong V 3 E tích có hướng của hai vectơ a và b là một vectơ c thỏa mãn

các điều kiện sau đây:

1) c  a và c  b

2) c  a b sin   a , b = dt hình bình hành dựng trên các vectơ a , b

3) Tam diện tạo bởi ba vectơ a , b , c là tam c b

diện thuận (nếu vặn nút chai theo chiều từ a đến a

b thì nút chai chuyển động theo hướng của vectơ Hình 6

c - xem hình 6)

Ta thường kí hiệu tích có hướng của hai vectơ a và b là: a  b = c

Field Code Changed

0.18", Left

Formatted: Justified, Line spacing: 1.5 lines Formatted: Justified, Line spacing: 1.5 lines, Tab stops:

0.18", Left + 0.31", Left

0.4", Left

Field Code Changed Field Code Changed Formatted: Justified, Line spacing: 1.5 lines, Tab stops:

0.2", Left + 0.32", Left

Trang 8

2.3 Biểu thức tọa độ của tích có hướng trong V E 3

Trong hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz cho hai vectơ a   a1, a2, a3 ,

 b1, b2, b3

b  Hãy tìm tọa độ của vectơ a  b  c Ta dễ dàng tính được

tọa độ của vectơ c như sau:

21

13

32

3

b b

a a b b

a a

Nếu  là góc giữa hai vectơ a   a1, a2, a3 , b   b1, b2, b3 ta có công

thức:

sin  =

b a

.



232221232221

2

21

212

13

132

32

a a a

b b

a a b b

a a

Formatted: Justified, Level 3, Line spacing: 1.5 lines

Formatted: Font: Not Bold Formatted: Justified, Line spacing: 1.5 lines, Tab stops:

0.38", Left

Formatted: Justified, Line spacing: 1.5 lines Formatted: Font: Bold

Formatted: Font: Bold

Formatted: Justified, Level 3, Line spacing: 1.5 lines Formatted: Font: Bold

Field Code Changed Formatted: Font: Not Bold Formatted: Justified, Line spacing: 1.5 lines Formatted: Font: Bold

Formatted: Font: 14 pt, Lowered by 6 pt

Formatted: Line spacing: 1.5 lines, Tab stops: 0.38", Left

Trang 9

pt Line width)

212

13

132

32

b b

a a b b

a a



3 Tích hỗn hợp của 3 vectơ trong V E 3

3.1 Định nghĩa

Tích hỗn hợp của ba vectơ a , , b c trong V E 3 là một số, bằng cách nhân có

hướng hai vectơ a, b ta được a  b rồi nhân vô hướng vectơ ấy với c

Tích hỗn hợp của ba vectơ a , , b c được kí hiệu như sau:

( a , b , c ) = ( a  b ) c g  a  b

3.2 Ý nghĩa hình học của tích hỗn hợp

Cho ba vectơ a , , b c không đồng phẳng (H.7) c

Gọi V là thể tích của hình hộp dựng

trên các vectơ a , , b c Khi đó V = S.h h

trong dó S là diện tích của hình bình b

hành dựng trên hai vectơ a và b còn a S

h là chiều cao của hình hộp Đặt g  a  b Hình 7

thì theo định nghĩa tích có hướng, ta có g  S

Formatted: Justified, Line spacing: 1.5 lines Formatted: Justified, Line spacing: 1.5 lines, Tab stops:

0.39", Left

0.38", Left

0.39", Left

0.36", Left

Field Code Changed Field Code Changed Formatted: Justified, Line spacing: 1.5 lines Field Code Changed

Field Code Changed Formatted: Font: 14 pt, Lowered by 3 pt

Field Code Changed Formatted: Font: 14 pt, Lowered by 3 pt Field Code Changed

Trang 10

pt Line width)

Vectơ g vuông góc với mặt đáy tạo nên bởi hai vectơ a và b Ba vectơ

g

b

a , , tạo thành một tam diện thuận Hai vectơ c và g có chung gốc và

nằm về một phía đối với mặt phẳng đáy và gọi   ( g , c ) s

  nghĩa là ba vectơ a , b , c tạo nên một tam diện nghịch ta có

cos  là một số âm, khi đó h = -| c |cos  và ta có

KẾT LUẬN: Tích hỗn hợp của ba vectơ a , , b c không đồng phẳng là một số,

có trị tuyệt đối bằng thể tích hình hộp dựng trên ba vectơ a , b , c tạo nên một

tam diện thuận, âm nếu ba vectơ ấy tạo nên một tam diện nghịch

3.3 Biểu thức tọa độ của tích hỗn hợp trong V E n

Trong hệ tọa độ Đề-các vuông góc, cho ba vectơ không đồng phẳng:

21213

13132

32

,

b b

a a c b b

a a c b

0.38", Left

Formatted: Font: Italic

Formatted: Justified, Level 3, Line spacing: 1.5 lines Field Code Changed

0.38", Left

Formatted: Justified, Line spacing: 1.5 lines Field Code Changed

Trang 11

pt Line width)

Formatted: Font: Italic Formatted: Font: 14 pt, Bold, Italic Formatted: Font: Italic Formatted: Font: 14 pt, Bold, Italic

Formatted: Font: 5 pt

c c c

b b b

a a a c

b

321

,

4 Mục tiêu trực chuẩn:

Mục tiêu afin  0 ; e1, e2, , en của không gian Euclide n chiều trong En

được gọi là mục tiêu trực chuẩn (hay còn gọi là hệ tọa độ đề các vuông góc)

nếu cơ sở  e 1 , e 2 , , e n  của không gian vectơ Euclide Enlà cơ sở trực chuẩn

Tọa độ của một điểm thuộc Enđối với một mục tiêu trực chuẩn gọi là tọa

độ trực chuẩn của điểm đó đối với mục tiêu đã cho (hay còn gọi là tọa độ Đề -

các vuông góc của điểm đó)

Ta biết rằng mọi không gian vectơ Euclide n chiều với n  1 đều có cơ sở

trực chuẩn, do đó ta suy ra trong không gian Euclide n chiều En

luôn luôn có thể tìm thấy những mục tiêu trực chuẩn

II KHÔNG GIAN AFIN

0.38", Left

Field Code Changed Field Code Changed Formatted: Justified, Level 1, Line spacing: 1.5 lines Formatted: Font: Bold

Trang 12

pt Line width)

Cho tập hợp A khác rỗng mà các phần tử của nó gọi là điểm, cho V là một

không gian vectơ trên trường K và cho ánh xạ f: A  A  V được kí hiệu là

f(M,N) = MN với các điểm M, N thuộc A và vectơ MN thuộc V

Bộ ba (A ,f, V) gọi là không gian afin nếu hai tiêu đề sau đây được thỏa

mãn:

i)Với mọi điểm M thuộc A và mọi vectơ u thuộc V có duy nhất điểm N

thuộc A sao cho MN = u

ii) Với mọi ba điểm M,N,P thuộc A ta luôn có MN + NP = MP

Khi đó ta nói rằng không gian afin (A, f, V) liên kết với không gian vectơ

V trên trường K và được gọi tắt là không gian afin A trên trường K Không

gian vectơ liên kết V còn được kí hiệu là A’, được gọi là nền của không gian

afin A

Nếu V là không gian vectơ thực nghĩa là K = R ta nói A là một không gian

afin thực, nếu V là không gian vectơ phức nghĩa là K = C ta nói A là một

không gian afin phức Trong giáo trình này chủ yếu ta nói về không gian afin

thực

Không gian afin A gọi là n chiều nếu dimV = n và được kí hiệu dimA = n

hay An (liên kết với không gian vectơ Vn)

2 Các ví dụ:

a) Không gian Euclide hai chiều E2 và ba chiều E3 đã học ở trường trung

học phổ thông trung học là những không gian afin theo thứ tự liên kết với các

không gian vectơ (tự do) hai chiều V2 và ba chiều V3 với định nghĩa vectơ,

phép cộng vectơ, phép nhân vectơ với một số thực đã được trình bày trong

sách giáo khoa phổ thông trung học Khi đó rõ ràng ánh xạ f thỏa mãn hai tiêu

đề i) và ii) nói trên

Field Code Changed Field Code Changed Field Code Changed Field Code Changed Field Code Changed Field Code Changed Field Code Changed Field Code Changed Field Code Changed Field Code Changed

Trang 13

pt Line width)

Formatted: Font: 5 pt

b) Cho V là một không gian vectơ Ta dùng V làm tập hợp A Khi đó các

vectơ của V được gọi là các điểm của A Với hai vectơ a , b thuộc V ta có ánh

xạ f: V  V  V cho bởi : f( a , b ) = b - a thuộc V (vectơ b - a được hoàn

toàn xác định)

Rõ ràng ánh xạ f được xác định như trên thỏa mãn hai tiêu đề i) và ii) nên

V trở thành không gian afin liên kết với V

c) Cho tập hợp Rn trong đó mỗi phần tử của nó là một bộ số thực có thứ tự

mà ta sẽ gọi là những điểm và không gian vectơ Vn mà mỗi vectơ x của nó sẽ

tương ứng với một bộ số thực (x1,x2,…,xn) với xi R Ánh xạ f được xác định

như sau: với hai điểm A = (a1,a2,…,an) và B = (b1,b2,…,bn) của Rn ta cho đặt

tương ứng với một vectơ (b1 – a1,b2 – a2,…,bn – an) của Vn thì ta dễ dàng

chứng minh được Rn là một không gian afin n – chiều

III KHÔNG GIAN EUCLIDE

1 Định nghĩa:

Không gian Euclide là không gian afin liên kết với không gian vectơ

Euclide hữu hạn chiều Không gian Euclide thường được ký hiệu là E

Không gian vectơ Euclide liên kết với nó thường được ký hiệu là VE

hoặc là E

Không gian Euclide được gọi là n chiều kí hiệu là En nếu không gian

vectơ Euclide liên kết với nó có số chiều bằng n

2 Các ví dụ:

1 Không gian Euclide ba chiều thông thường được học trong chương trình

toán ở phổ thông được ký hiệu là E3 Trong không gian này, mặt phẳng

Euclide là không gian Euclide hai chiều được ký hiệu là E2 Các không gian

Field Code Changed Field Code Changed Field Code Changed Field Code Changed Field Code Changed Field Code Changed Field Code Changed Field Code Changed Field Code Changed Field Code Changed Field Code Changed Field Code Changed

Formatted: Normal, Justified, Level 1, Line spacing: 1.5

lines

Formatted: Justified, Level 2, Space Before: 0 pt, After: 0

pt, Line spacing: 1.5 lines

0.38", Left

Formatted: Font: Bold Field Code Changed Formatted: Font: Bold Formatted: Justified, Level 2, Line spacing: 1.5 lines Formatted: Justified, Line spacing: 1.5 lines, Tab stops:

0.38", Left

Trang 14

pt Line width)

3

E và E2 là các không gian vectơ tự do ba chiều và hai chiều Tích vô hướng

trong không gian E3và E2 được định nghĩa như sau:

mô hình đó trở thành không gian vectơ Euclide n chiều khi đó không gian

afin liên kết với không gian vectơ Euclide V E n đó là không gian En

3 Nếu En là không gian Euclide liên kết với không gian vectơ Euclide n

E

thì mỗi cái phẳng  của nó cũng là 1 không gian Euclide liên kết với không

gian vectơ Euclide E mà tích vô hướng trong E được cảm sinh bởi tích vô

R n 0 là 1 không gian vectơ Euclide n-chiều

0.33", Left

Field Code Changed Field Code Changed

0.38", Left

Field Code Changed Formatted: Justified, Line spacing: 1.5 lines

0.38", Left

Trang 15

pt Line width)

n n

n y b b b z c c c R a

ia b

1

= f( y, x )

f    x y z a  b c  a b a c f     x y f x z

n

i i i n

i

i i

1 1

b a f b a b

a y

x

f

n

i i i i

i n

i i

ia a a

12

R 1 n cùng với  là một không gian Euclide n chiều

Formatted: Line spacing: 1.5 lines, No bullets or

numbering, Tab stops: 0.38", Left

Formatted: Font: Bold Field Code Changed

Formatted: Justified, Line spacing: 1.5 lines, No bullets or

numbering, Tab stops: 0.38", Left

Formatted: Font: Bold Field Code Changed Formatted: Font: 14 pt, Lowered by 14 pt Formatted: Font: Bold

Field Code Changed Formatted: Font: 14 pt, Lowered by 14 pt Formatted: Font: Bold

Formatted: Justified, Indent: Left: 0", Line spacing: 1.5

lines

0.38", Left

Field Code Changed Formatted: Justified, Line spacing: 1.5 lines Field Code Changed

0.38", Left

Trang 16

pt Line width)

(

) 0 , , , ,

( ) 0 , , , ,

( ) ( )

211

MP a

c a

c

a

c

b c b c b c a b a b a b NP MN

Tacó

n n

n n n

 cùng với  là 1 không gian afin n chiều

CHÚ Ý Theo định nghĩa, không gian Euclide cũng là 1 không gian afin nên

trong không gian Euclide vẫn có các khái niệm và các tính chất của không

gian afin Mặt khác trong không gian Euclide còn có các tính chất và khái

niệm không có trong không gian afin, như sự vuông góc của các phẳng, độ dài

các đoạn thẳng, độ lớn của góc v.v…Các khái niệm, tính chất này có liên

quan mật thiết đến khái niệm và tính chất của tích vô hướng được trang bị

thêm trong không gian vectơ Euclide liên kết với không gian afin đó

IV KHÁI NIỆM VỀ m-PHẲNG:

1 Định nghĩa :

Cho không gian Euclide E liên kết với không gian vectơ E Gọi I là một

điểm của E và  là một không gian vectơ con của E là một không gian vectơ

con của E Khi đó tập hợp

Formatted: Justified, Level 2, Space Before: 0 pt, Line

spacing: 1.5 lines

Trang 17

pt Line width)

được gọi là cái phẳng (cùng gọi tắt là “phẳng”) qua I và có phương là 

Nếu  có số chiều bằng m thì  gọi là phẳng m chiều hay còn gọi là

Trong không gian Euclide n chiều En liên kết với không gian vectơ Euclide

V n E cho m- phẳng Em xác định bởi m + 1 điểm độc lập E0,E1,…,Em cho trước

Giả sử với một mục tiêu đã cho là  E ,0 Ei các điểm E0, E1,…,Em có tọa độ là:

Với t1,t2,…,tm thuộc trường K

Nếu (x1,x2,…,xn) là tọa độ Euclide của điểm X thì phương trình (1) ở

trên có thể viết dưới dạng ma trận như sau:

  x -   e = t0 1(   e1 -   e0 ) + t2(   e2 -   e0 ) +…+ m(   em -   e0 )

Formatted: Justified, Space Before: 0 pt, Line spacing: 1.5

lines, Tab stops: 0.38", Left

Formatted: Justified, Level 2, Space Before: 0 pt, Line

spacing: 1.5 lines

lines, Tab stops: 0.38", Left

lines

Formatted: Justified, Space Before: 0 pt, After: 0 pt Formatted: Justified, Level 2, Space Before: 0 pt Formatted: Justified, Space Before: 0 pt, Tab stops: 0.38",

Left

Formatted: Justified, Space Before: 0 pt Formatted: Justified, Space Before: 0 pt, Tab stops: 0.38",

Left

Formatted: Justified, Tab stops: 0.38", Left

Formatted: Justified

Formatted: Justified Formatted: Justified, Tab stops: 0.38", Left

Trang 18

pt Line width)

n n

m m

e e e t e

e t e e

t

x

e e e t e

e t e e

t

x

e e e t e

e t e e

t

x

000

2201

1

0202202

2220212

1

2

0101101

21201111

.

Hệ phương trình (3) gồm có n phương trình được gọi là phương trình tham

số của m- phẳng đã cho và các số t1,t2,…,tm gọi là các tham số, với một bộ m

số (t1,t2,…,tm) ta có bộ n số (x1,x2,…,xn) là tọa độ của một điểm X nào đó

n n n

m m

e e e

e e

e

e e e

e e

e

e e e

e e

e

00

201

02202

220212

01101

210111

có hạng m thì đối với mục tiêu đã cho  E ,0 Ei của An, hệ phương trình (4) là

phương trình của một m -– phẳng hoàn toàn xác định.

Formatted: Justified Field Code Changed Field Code Changed Field Code Changed Field Code Changed Field Code Changed Field Code Changed Field Code Changed Field Code Changed Field Code Changed Field Code Changed Formatted: Justified, Tab stops: 0.38", Left Field Code Changed

Field Code Changed Formatted: Justified, Space Before: 0 pt, Tab stops: 0.39",

Trang 19

pt Line width)

Ta hãy xét m+1 điểm B0, B1, B2,…,Bm có tọa độ như sau:

B0 = ( b01,b02,…,bon)

B1 = ( b11 + b01,b12+b02,…,b1n+b0n)

… … … … …

Bm = (bm1+b01,bm2+b02,…,bmn+b0n)

Ta dễ dàng nhận thấy rẳng khi đó hệ m vectơ B0B1, B0B2,…, BOBm

Từ đó ta suy ra hệ m+1 điểm B0,B1,B2,…,Bm độc lập Nếu ta viết phương

trình tham số của m- phẳng xác định bởi m + 1 điểm B0,B1,B2,…,Bm đó thì rõ

ràng ta được hệ phương trình (4) Vậy hệ phương trình (4) là phương trình

tham số của một m - phẳng Euclide của không gian Euclide En

Ta hãy xem hệ (4) là hệ phương trinh với các ẩn là t1,t2,…,tm Theo giả

thiết ma trận hệ số của các ẩn là B có hạng m nên ta có thể chọn trong n

phương trình của (4) m phương trình độc lập Không làm mất tình tổng quát

ta có thể giả thiết m hàng đầu là độc lập Khi đó chúng ta lập thành một1 hệ

phương trình tuyến tính với m ẩn là t1,t2,…,tm có định thức hệ số  khác 0, do

đó nó có nghiệm duy nhất Ta tìm được giá trị của các ẩn t1,t2,…,tm biểu thị

bậc nhất đối với x1,x2, …,xm và thay thế các giá trị đó vào n - m phương trình

còn lại của phương trình (4) ta được hệ phương trình có dạng bậc nhất đối với

Field Code Changed Formatted: Centered

Trang 20

pt Line width)

Hạng của ma trận   c ji   Cij bằng n - m vì trong hệ (5) các hệ số cCij ứng với biến

xm+1 ở hàng đầu bằng 1, với biến xm+2 ở hàng thứ 2 bằng 1,…, với biến xn ở

0

1

0

0 0

0 1

0

0 0

1

= 1  0

Ngược lại người ta chứng minh được rằng: Mỗi hệ phương trình tuyến

tính với các biến x1,x2,…,xn và có hạng n- m đều biểu thị một m -– phẳng

hoàn toàn xác định của En.

4.32 Các ví dụ:

4.2.1 Ví dụ 1:

Trong không gian Euclide E4 với mục tiêu trực chuẩn cho trước Viết

phương trình tham số, phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm

A(1,1,-3,-2) và B(-2,0,0,0)

Giải:

Formatted: Justified Field Code Changed Field Code Changed

Formatted: Justified, Level 2 Formatted: Font: Italic Formatted: Font: Bold, Not Italic Formatted: Font: Bold

Trang 21

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Formatted Formatted

3 3 1

1 3

2 3 1 3

2 3 1 1

4321

4

3

21

t x

t x t

x

Từ phương trình tham số của đường thẳng d ta suy ra phương trình tổng

quát của đường thẳng d là:

2

2 3

3 1

1 3

Trong không gian Euclide E4 với mục tiêu trực chuẩn cho trước Viết

phương trình mặt phẳng  đi qua 3 điểm không thẳng hàng A(1,1,-3,-2),

) 3 ( 3 3 3

) 2 ( 1

1 1

3

1 3 1 0

2 3 1 3

2 3 1 1

214

213

212

112

14

3

2

1

t t x

t x t

t x

x

Trang 22

pt Line width)

2 3 3

1

0 3

4 3 3

2

431

321

x x x

a) Các phẳng  và  gọi là cắt nhau nếu chúng có điểm chung

b) Cái phẳng   gọi là song song với  nếu  là không gian con của 

c) Các phẳng   và  gọi là chéo nhau nếu chúng không cắt nhau và không

song song với nhau

d) Giao     hiểu theo nghĩa thông thường của lý thuyết tập hợp và gọi

là giao của hai cái phẳng   và 

e) Tổng    là giao của tất cả các phẳng chứa  và  ,    gọi là tổng

của hai cái phẳng  và 

5 2 Định lý ::

Giao hai cái phẳng   và  hoặc là rỗng, hoặc là một cái phẳng có

phương là   

Chứng minh:

Formatted: Font: 14 pt, Lowered by 28 pt Field Code Changed

Formatted: Justified, Level 2 Formatted: Font: Bold Formatted: Justified, Level 2, Tab stops: 0.37", Left

Formatted: Font: Italic Formatted: Justified

Trang 23

Nếu      , thì chúng có ít nhất một điểm chung I Gọi  là cái phẳng

qua điểm I và có phương  = a  b Một điểm M     khi và chỉ khi

Thật vậy nếu  song song với  thì    Nếu chúng có điểm chung thì

theo định lý (ở phần VI mục 2)2 , giao    là cái phẳng có phương là

Thật vậy gọi ’ là m- phẳng đi qua điểm I và có phương  của  khi đó

’ song song với  thì rõ ràng ’ và ’’cũng song song với nhau và vì chúng

có điểm chung và  '   nên chúng trùng nhau.

5 3 Định lý ::

Trang 24

pt Line width)

Ngược lại nếu IJ     thì IJ  u  v , trong đó u   , v   Trong

 đó  ta lấy điểm M sao cho IM  u ; trong  ta lấy điểm N sao cho

v

JN   Khi đó IJ  IM  JN tức IJ  JN  IM hay IN  IM Từ đó suy ra

hai điểm M và N trùng nhau và là điểm chung của  và 

5 4 Định lý về số chiều của giao và tổng của hai cái phẳng

5 4.1 Định lý ::

Trong không gian Euclideafin EAn cho cái p - phẳng  và q -phẳng  có

phương lần lượt là  và 

Nếu  và  cắt nhau thì :

dim(  +  ) = dim  + dim  - dim(    )

Nếu  và  không cắt nhau thì :

dim(  +  ) = dim  + dim  - dim(   +  ) + 1

Chứng minh:

Nếu  và  cắt nhau thì giao    là cái phẳng có phương là   

Ta lấy I     là cái phẳng là  +  Ta lấy I     và gọi  là cái

phẳng qua I và có phương là  =  +  Rõ ràng  chứa  và  Ngoài ra

nếu có một phẳng ’chứa  và  thì nó phải chứa điểm I và phương của nó

Formatted: Justified, Level 2, Tab stops: 0.32", Left

Field Code Changed Formatted: Justified Formatted: Justified, Tab stops: 0.38", Left

Field Code Changed Formatted: Justified, Line spacing: 1.5 lines

Formatted: Justified, Level 2 Formatted: Justified, Level 3 Formatted: Justified, Level 3, Tab stops: 0.37", Left

Formatted: Justified, Tab stops: 0.35", Left Formatted: Font: Bold

Trang 25

pt Line width)

phải chứa  và  , tức chứa  +  Nói cách khác ’ phải chứa  Từ đó

suy ra

 =  +  Vậy

dim(  +  ) = dim(  +  ) = dim  +dim  - dim(    )

= dim  + dim  - dim(    )

Bây giờ nếu  và  không cắt nhau Theo định lý (ở phần VI mục 3 ) có

điểm I   , có điểm J   sao cho IJ   +  Gọi  là không gian vectơ

một chiều sinh bởi vectơ IJ Ta lấy một điểm E nào đó của phẳng  và gọi 

là cái phẳng qua điểm E có phương là  = (  +  )   Phẳng  dĩ nhiên

chứa  , chứa  và chứa đường thẳng qua I và J Giả sử ’ là cái phẳng

chứa  ,  thì ’ qua điểm E và phương của nó phải chứa  ,  và ,  Từ

đó suy ra ’ chứa  và do đó  =  +  Vậy:

dim(  +  ) ) = dim (  +  )   ) = dim(  +  ) + dim  = dim  +dim  - dim(    ) + 1

= dim  + dim  - dim(   +  )+1

Định lý đã được chứng minh

5 5 Định lý ::

Một siêu phẳng  và m –- phẳng  trong không gian Euclideafin EAn thì

hoặc  song song với  hoặc cắt  theo một (m-1) phẳng: (1  m  n-1)

Chứng minh:

Nếu  và  cắt nhau thì có thể xảy ra hai trường hợp.

1    , khi đó  và  song song với nhau

Field Code Changed Formatted: Justified, Level 2 Formatted: Justified, Level 2, Tab stops: 0.37", Left

Formatted: Font: Italic Formatted: Justified

Trang 26

pt Line width)

2 Nếu    thì  +  = EAn và áp dụng công thức của định lý (ở mục 4 1)s , ta

có:

n = m + n - 1- dim(    ) Suy ra dim(    ) = m – 1

Vậy  và  cắt nhau theo một (m-1) -– phẳng

Nếu  và  không cắt nhau thì cũng áp dụng công thức của định lý (ở mục

4.1) ta có:

n = m + n – 1 + 1 – dim(    ).

Với Trong đó  và  lần lượt là phương của  và  , ta suy ra

dim(    ) = m ,

tức là    Như vậy  và  phải song song Định lý đã được chứng minh

Ngoài những vị trí tương đối: cắt nhau, song song và chéo nhau Thì đối

với cái phẳng trong không gian Euclide còn có thêm quan hệ vuông góc.Nếu

trong hình học affine, giữa hai cái phẳng chỉ có thể nói đến các vị trí tương

đối: cắt nhau, song song và chéo nhau Thì nay trong hình học Euclide một vị

trí tương đối quan trọng là vị trí vuông góc được xét đến Cần chú ý rằng khái

niệm vuông góc ở đây có chổ khác biệt so với khái niệm vuông góc trong

hình học ở PTTH Chúng ta sẽ phân tích sự khác biệt này:

5 6 Định nghĩa :

Trong không gian Euclic En cho phẳng  có phương  và phẳng  có

phương 

Hai phẳng  và  gọi là vuông góc với nhau, kí hiệu    nếu hai2

không gian vectơ  và  trực giao với nhau ( mọi vectơ thuộc  đều trực

giao với mọi vectơ thuộc  ) Ta cũng kí hiệu   

Formatted: Justified, Level 2

Field Code Changed Formatted: Justified, Space Before: 0 pt

Trang 27

pt Line width)

Hai phẳng  và  gọi là bù vuông góc với nhau nếu  và  bù trực giao

với nhau trong n

E nghĩa là:    = n

E ( dim  + dim  = n )

5 7 Định lý :.

Hai phẳng vuông góc với nhau có không quá một1 điểm chung Hai phẳng

bù vuông góc có một1 điểm chung duy nhất

Chứng minh:

Trong En giả sử ta có hai2 cái phẳng vuông góc với nhau là    Nếu có

hai2 đd iểm M,N thuộc giao    thì vectơ MN     nghĩa là MN 

 và MN   Vì    nên MN MN = 0 Theo tính chất của tích vô

dim (  +  ) = n+1  n là điều vô lý Vậy  và  phải có điểm chung và

theo phần trên của định lí thì điểm chung đó là duy nhất

5 7.1 Hệ quả 1 :

Nếu  và  bù vuông góc với nhau thì tổng của chúng là En

Chứng minh:

Giả sử nếu  và  bù vuông góc với nhau thì    = E n

(dim  + dim  = n) theo định lý thì  và  có 1 điểm chung duy nhất, giả

sử đó là M

Formatted: Justified, Level 2, Space Before: 0 pt

Formatted: Space Before: 0 pt

Formatted: Justified, Space Before: 0 pt

Trang 28

Trong En qua một1 điểm đã cho có một1 và chỉ một1 phẳng bù vuông góc với

phẳng đã cho (nghĩa là phương trình của phẳng này hoàn toàn được xác định).

Chứng minh:

Giả sử qua một1 điểm đã cho có hai2 phẳng  ,  cùng bù vuông góc với

phẳng  đã cho     = En (dim  +dim  = n) và    = (dim  + dim 

= n)  dim  + dim  = dim  + dim   dim  = dim 

Mặt khác:    = M,    = N AM   ; AN    MN     =   0 

M  N     = M và    = M, mà  ,  đi qua A nên   

5 8 Định lí :

Trong En cho một1 điểm A và một1 phẳng  không chứa A Khi đó trong

 có một1 điểm A’ duy nhất sao cho:

d (A,A’)  d ( A,M) với M  

Số d ( A,A’) gọi là khoảng cách từ điểm A tới phẳng  và được kí hiệu là

d( A,  ).

Chứng minh:

Qua điểm A ta có một phẳng  duy nhất bù vuông góc với  A

Khi đó  và  có một giao điểm duy nhất là A’ Với A

Với mọi điểm M   ta có M A'   và AA '   (H.9)

Formatted: Left, Space Before: 0 pt

Formatted: Justified, Space Before: 0 pt Field Code Changed

Field Code Changed Formatted: Font: Not Italic

Formatted: Space Before: 0 pt

Trang 29

pt Line width)

M A AA

AM   Từ đó suy ra (d(A,M))2 = (d(A,A’))2 + (d(A’,M))2 hay d(A,A’)  d(A,M)

Dấu “ = ” xảy ra khi A 'M2 = 0 tức là M  A’ Vậy điểm A’ là điểm duy nhất

Gọi  ,  ,  lần lượt là phương của các phẳng  ,  ,  Vì  vuông góc

với  còn  là phần bù trực giao của  trong n

E nên ta suy ra    Vậy  cùng phương với 

vuông góc với cái phẳng  , 2 phẳng  bù vuông góc  Vậy  là phần bù trực

giao của  trong En     = n

Field Code Changed Field Code Changed Formatted: Justified, Space Before: 0 pt

Formatted: Left

Trang 30

pt Line width)

Mặt khác ta có: dim  +dim  = dim  + dim   dim  = dim 

  song song với  và dim  = dim  Vậy hệ quả được chứng minh

CHÚ Ý Khái niệm vuông góc của hai mặt phẳng trong E3 dùng ở trường phổ

thông không thỏa mãn định nghĩa nói về sự vuông góc của hai cái phẳng đã

nêu ở phần trên vì đó là sự vuông góc không hoàn toàn

5 10 các ví dụ ::

Ví dụ 1 ::

Trong E4 xét vị trí tương đối của hai cái phẳng  và  cho bởi phương trình

của chúng sau đây:

0 7 2 2 5 3

:

4321

x x x x

0 14 7 3 9 4

:

4321

x x x x

4 7 4

0 7 2 2 5 3

:

4 3 2 1

x x x x

6

2

0 14 7 3

9

4

:

0 10 4 4 7

4

0 7 2 2

5

3

:

432

1

432

1

432

1

432

1

x x x

x

x x x

x

x x x

x

x x x

x

      

Formatted: Justified, Space Before: 0 pt Field Code Changed

Formatted: Font: Bold, Not Italic

Formatted: Tab stops: 0.22", Left

Trang 31

C HÚ Ýhú ý: :- Trong không gian EA4 hai mặt phẳng có thể chỉ có điểm chung

duy nhất Điều này không xảy ra đối với không gian EA3 vì trong EA32 nếu

hai mặt phẳng đã có 1 điểm chung thì chúng sẽ có 1 đường thẳng chung qua

điểm chung ấy

Ví dụ 2 ::

Trong E4 với mục tiêu trực chuẩn đã cho, xét vị trí tương đối của 2 cái

phẳng  và  lần lượt cho bởi phương trình tổng quát của chúng như sau:

3 4

3 :

42

1

32

1

21

x x

x

x x

Gọi  ,  lần lượt là phương của  và 

Từ phương trình tổng quát của (  ) ta có hệ vectơ :

Trang 32

pt Line width)

n c = 1.2 + (-1).1 + 3.0 +1.(-1) = 0  n  c

Vậy các vectơ a , b , c đều vuông góc với vect ơo pháp tuyến n của siêu

phẳng  nên a , b , c   với dim  = 3 Do đó  bù vuông góc với  Như

vậy  và  là 2 cái phẳng bù vuông góc với nhau nên chúng có 1 điểm chung

duy nhất Ta hãy tìm tọa độ điểm chung M đó bằng cách giải hệ phương trình

) 3 ( 0 2

) 2 ( 3 4

) 1 ( 3

4321

42

1

321

2

1

x x x

x

x x

x

x x

4 13

Vậy (  )  (  ) = M(

4

1 , 4

11 , 4

3 , 4

13 ).

VII KHOẢNG CÁCH GIỮA CÁC PHẲNG

6 1 Khoảng cách giữa hai điểm

6.1.1 khoảng cách giữa hai điểm:

Như vậy dựa vào tích vô hướng, ta định nghĩa được khái niệm khoảng cách

giữa hai điểm và độ dài của một đoạn thẳng hay môđun của một vectơ Do đó:

d(M,N) = | MN | = MN2=

Field Code Changed Field Code Changed Field Code Changed

Formatted: Justified, Level 2, Space Before: 0 pt Formatted: Justified, Space Before: 0 pt

Trang 33

pt Line width)

b) a) d(M,N) = d(N,M)

b) b) d(M,N)  0 và d(M,N) = 0  M  N

c) c) d(M,N) + d(N,P)  d(M,P) với mọi ba điểm bất kì M,N,P

d) d) Nếu M,N,P là ba điểm phân biệt thì điểm N thuộc đoạn thẳng MP khi và

chỉ khi d(M,N) + d(N,P) = d(M,P)

e) e) Nếu trong En với một mục tiêu trực chuẩn cho trước, cho biết tọa độ trực

chuẩn của các điểm M = (x1,x2,…,xn ) và điểm N = (y1,y2,…,yn) thì

1

2

) (

6.2.Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 siêu phẳng

2.2 Đường vuông góc chung của hai cái phẳng

Đường thẳng  gọi là đường vuông góc chung của 2 cái phẳng  và  nếu 

vuông góc với cả  và  , đồng thời  cắt cả  và 

1

2

) (

d(  ,  ) = inf d(M,N) với M   và N  

Formatted: Bullets and Numbering

Formatted: Justified, No bullets or numbering

Formatted: Justified, Indent: Left: 0"

Field Code Changed Formatted: Justified, Line spacing: 1.5 lines Formatted: Justified, Level 2, Line spacing: 1.5 lines Formatted: Justified

Formatted: Line spacing: 1.5 lines

Formatted: Left

Trang 34

pt Line width)

I

Thí dụ trong E3 ta có đường vuông góc chung  duy nhất của hai đường

thẳng chéo nhau  và  , hoặc vô số đường vuông góc chung của đường thẳng

 song song với mặt phẳng 

2.3 Định lí:

Gọi  là đường vuông góc chung của hai cái phẳng  và  Nếu  cắt  và 

lần lượt tại I và J thì d(  ,  ) = d(I,J)

JN MI IJ IJ JN MI

Vì IJ MI  0 và IJ JN  0 nên: 

222

IJ JN

MI

22

IJ

MN  Vậy d(M,N)  d(I,J) hay d(  ,  ) = d(I,J)

2.4 Định lí:

Nếu hai cái phẳng  và  chéo nhau (nghĩa là không có điểm chung và

không có phương chung) thì chúng có đường vuông góc chung duy nhất

Chứng minh:

Theo giả thiết ta có    =  và      0

(H.11) Xét tổng    và gọi  là không gian

con bù trực giao với tổng    trong En

M

N J

 I u

x

P

y

Formatted: Justified, Line spacing: 1.5 lines Field Code Changed

Formatted: Font: Not Bold Formatted: Justified, Level 3, Line spacing: 1.5 lines

Formatted: Font: Italic

Formatted: Font: Not Italic

Formatted: Lowered by 3 pt Formatted: Lowered by 5 pt Formatted: Lowered by 3 pt

Trang 35

pt Line width)

Lấy P   và Q   thì vectơ PQ được phân

tích một cách duy nhất dưới dạng:

PQ = u  v với u     và v   Hình 11 Giả sử u  x  y với x   và y   Lấy các điểm I và J lần lượt trên 

và  sao cho PI  x và JQ  y thì I   và J  

Vì IJ  IP  PQ  QJ   x  PQ  y hay PQ  IJ  x  y

Do đó IJ  v   nghĩa là IJ   và IJ   Vì  và  không có điểm

chung nên I không trùng với J Vậy đường thẳng đường  đi qua I và J là

đường vuông góc chung của hai cái phẳng  và 

Nếu ngoài  còn có ’ là đường vuông góc chung của  và  lần lượt cắt 

và  tại I’ và J’ thì: IJ  II' I'J' J'J  I'J'  II' J'J 

Do đó

2''2''2

J J II J I

Nếu điểm I không thuộc phẳng  thì qua I có đường thẳng duy nhất vuông

góc với  và cắt  tại J Giao điểm J đó gọi là hình chiếu vuông góc của điểm

I trên phẳng  Khi đó ta có d(I,  ) = d(I,J)

Chứng minh:

 J y

Q

Formatted: Justified, Level 4, Line spacing: 1.5 lines Field Code Changed

Formatted: Font: Not Italic Formatted: Lowered by 5 pt Formatted: Lowered by 3 pt

Trang 36

pt Line width)

Giả sử hai phẳng  và  chéo nhau thì theo định lí ở mục 7.2.4 thì chúng

có đường vuông góc chung  duy nhất Giả sử I   thì  I   , nếu qua I có

1đường thẳng vuông góc với  và cắt  tại J thì đường thẳng IJ sẽ trùng với

đường vuông góc chung  và d(I,  ) = d(I,J) Vậy hệ quả được chứng minh

2.4.2 Hệ quả:

Nếu  song song với  nghĩa là    =  và    thì với I   đường

thẳng đi qua điểm I và vuông góc với  sẽ là đường vuông góc chung của 

và  Ta có d(  ,  ) = d(I,  ) với bất kì I   Trong trường hợp này qua mỗi

điểm I   có một đường vuông góc chung và như vậy ta sẽ có vô số đường

vuông góc chung của  và 

Chứng minh:

Giả sử  song song với  nghĩa là    =  và    thì với I   đường

thẳng đi qua điểm I và vuông góc với  tại J thì IJ   và IJ   nên  IJ

là đường vuông góc chung của  và  , ta có d(  ,  ) = inf d(I,J) = d(I,  ) Do



  nên qua mỗi điểm I   có 1 đường vuông góc chung và như vậy ta sẽ

có vô số đường vuông góc chung của  và  Vậy hệ quả được chứng minh

3 Khoảng cách từ một điểm đến một m-phẳng

3.1 Định thức Gram:

Trong không gian vectơ Euclide n

E cho m vectơ u1, u2, , um, Kí hiệu

Formatted: Font: Not Italic Formatted: Justified, Space Before: 0 pt, Line spacing: 1.5

lines

Formatted: Font: Not Bold Formatted: Justified, Level 2, Space Before: 0 pt, Line

Trang 37

pt Line width)

Gr( u1, u2, , um) =

m m m

m

m m

u u u u u u

u u u

.

21

22

212

12

111

Và gọi là định thức Gram của hệ vectơ  u1, u2, , um

Bổ đề : Định thức Gram của hệ m vectơ luôn luôn không âm, và bằng

không khi và chỉ khi hệ vectơ đó phụ thuộc tuyến tính

Chứng minh:

Gọi V là không gian vectơ Euclide con m chiều của Enchứa ( u1, u2,…, um)

và gọi    e1, e2, , em là một cơ sở trực chuẩn của V Giả sử vectơ uicó tọa

độ (a1i,a2i,…,ami) đối với cơ sở  và A là ma trận (aki), k,i = 1,2,…,m Khi đó

Vậy định thức Gram Gr( u1, u2, , um) luôn luôn không âm

Hệ vectơ  u1, u2, , um phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi detA = 0, hay

(detA)2 = 0, tức Gr( u1, u2, , um) = 0 Bổ đề đã được chứng minh

Từ bổ đề trên dễ dàng suy ra: hệ vectơ  u1, u2, , um độc lập tuyến tính

khi và chỉ khi Gr( u1, u2, , um)  0

3.2 Khoảng cách từ một điểm đến một m-phẳng

Cho một điểm I và m- phẳng  qua điểm S và có phương  =( u1, u2,…,

m

u ) Gọi J là hình chiếu vuông góc của I xuống  thì d(I,  ) = d(I,J) Xét

lines

Formatted: Space Before: 0 pt, Line spacing: 1.5 lines

lines

Formatted: Font: Not Bold Formatted: Justified, Level 3, Space Before: 0 pt, Line

spacing: 1.5 lines

Formatted: Space Before: 0 pt, Line spacing: 1.5 lines

Trang 38

pt Line width)

JI Gr( u1, u2, , um)( vì JI trực giao với các vectơ u1, u2, , um ) Vậy

4 Khoảng cách từ một điểm đến một siêu phẳng

4.1 Vectơ pháp tuyến của siêu phẳng

Trong En giả sử đối với mục tiêu trực chuẩn cho trước siêu phẳng  có

phương trình a1x1 + a2x2 +…+ anxn + a0 = 0

Gọi  là phương của siêu phẳng  Ta xét vectơ n = (a1,a2,…,an) và nhận

thấy rằng vectơ n trực giao với  Thực vậy với một điểm bất kì P thuộc siêu

phẳng  và giả sử P có tọa độ (p1,p2,…,pn) ta có: 



n

i i

ip a

i i

SI u u u Gr

, , ,

) , , , , (21

21



P M



Field Code Changed Formatted: Centered

Trang 39

pt Line width)

Bây giờ cho điểm I(x0,x0,…,x0) không thuộc siêu phẳng  Gọi J là hình

chiếu vuông góc của I trên  Khi đó khoảng cách từ I đến  bằng độ dài

vect ơo IJ Do IJ   nên IJ = t n với t  R

t a

n

i i i

a

a x a

12

01

|

Formatted: Font: Not Bold Formatted: Justified

Trang 40

pt Line width)

Từ biểu thức trên ta suy ra nếu I   thì d(I,  ) = 0 khi n = 2 hoặc n = 3 ta

tìm lại được các công thức tính khoảng cách từ 1 một điểm đến một1 đường

thẳng hoặc từ một1 điểm đến 1 một mặt phẳng đã học ở trường phổ thông

Khi n = 2  | IJ | = d(I,  ) =

2221

0022011

a a

a x a x a

0033022011

a a a

a x a x a x a

.Ví dụ 1: Trong không gian E2 với một mục tiêu trực chuẩn cho trước, hãy

tìm khoảng cách từ M(1,2) đến đường thẳng d có phương trình: y + x +2 =0

Trong không gian Euclide E3 với một mục tieu trực chuẩn cho trước, hãy

tìm khoảng cách từ điểm M(1,-2,3) đến đường thẳng  đi qua hai điểm

đường thẳng  là đường cao của hình bình hành

dựng trên các vectơ AB và AM Gọi S là diện tích

Formatted: Justified, Level 2 Formatted: Justified

Định dạng
Số trang	81
Dung lượng	1,88 MB