Bài toán truyền nhiệt và phương pháp ứng dụng phần mềm mathematic giải bài toán truyền nhiệt trong không gian một chiều

Lời cảm ơnSau một thời gian nghiên cứu nghiêm túc khóa luận tốt nghiệp "Bàitoán truyền nhiệt và phương pháp ứng dụng phần mềm Mathe-matica giải bài toán truyền nhiệt trong không gian một

Lời cảm ơn

Sau một thời gian nghiên cứu nghiêm túc khóa luận tốt nghiệp "Bàitoán truyền nhiệt và phương pháp ứng dụng phần mềm Mathe-matica giải bài toán truyền nhiệt trong không gian một chiều"

đã được hoàn thành

Tác giả xin thể hiện lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dấn - TS

Lê Hải Trung - đã có nhiều ý kiến đóng góp quý báu và định hướng trongsuốt quá trình thực hiện đề tài Đồng thời tác giả cũng xin gửi lời cảm ơnsâu sắc đến các thầy cô giáo trong khoa Toán, trường Đại học Sư Phạm

- Đại học Đà Nẵng đã động viên và tạo điều kiện để luận văn được hoànthành

Em xin chân thành cảm ơn !

Đà Nẵng, tháng 05 năm 2012

Sinh viên thực hiện

Tạ Thị Kim Biển

Mục lục

1.1 Phương trình khuếch tán 51.2 Bài toán đầu cho phương trình truyền nhiệt 71.3 Giá trị max và min nghiệm của phương trình thuần nhất 71.4 Định lý duy nhất nghiệm của bài toán đầu 91.5 Nghiệm tổng quát của bài toán truyền nhiệt thuần nhất 101.6 Tích phân Fourier 121.7 Nghiệm của bài toán đầu cho phương trình truyền nhiệt 141.8 Công thức Poisson 20

2 Phần mềm Mathematica cho bài toán truyền nhiệt 262.1 Sự ra đời và phát triển 262.2 Nghiệm của phương trình truyền nhiệt trong R1 27

Lời nói đầu

Bài toán truyền nhiệt là một trong những vấn đề cơ bản và tiêu biểunhất trong " Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng", một trong nhữngmôn học khó và thú vị bậc nhất đối với sinh viên ngành Toán Ý nghĩacủa bài toán truyền nhiệt được thể hiện ở việc miêu tả sự tiêu tán nhiệt,cũng như nhiều quá trình tiêu tán khác, như là tiêu tán hạt hoặc là sựlan truyền của thế năng phản ứng trong tế bào thần kinh Nó cũng có thểđược sử dụng để mô phỏng các hiện tượng xảy ra trong tài chính, như làBlack-Scholes hay là các quá trình Ornstein - Uhlenbeck

Do độ khó cũng như tính quan trọng và hấp dẫn của bài toán nên em

đã lựa chọn bài toán truyền nhiệt để nghiên cứu trong bài khóa luận củamình Không dừng ở đây, em muốn tìm hiểu ngoài phương thức giải toánbằng tay vẫn thường làm (đối với một số ví dụ mang tính mẫu mực) thìliệu với công cụ là máy tính (đối với các ví dụ phức tạp, mà việc tínhtoán bằng tay hầu như là không thể ) thì chúng ta giải quyết như thế nào

Có rất nhiều phần mềm hỗ trợ cho việc làm toán như Maple, Mathcad,Matlap và nổi bật là ngôn ngữ Mathematica với ưu điểm vượt trội vềgiao diện thân thiện, khả năng mô tả đồ thị siêu việt và xử lý dữ liệu Do

đó em đã lựa chọn phần mềm Mathematica làm công cụ tìm kiếm lời giảicho bài toán truyền nhiệt Và đó cũng chính là lý do em chọn "Bài toántruyền nhiệt và phương pháp ứng dụng phần mềm Mathematica giải bài

toán truyền nhiệt trong không gian một chiều" làm đề tài cho khóa luậncủa mình.

Song hành với ý nghĩa lý thuyết, đề tài còn phát triển được tính ứngdụng của phần mềm Mathematica trong môi trường học tập của sinh viên

Và việc hoàn thiện của đề tài hướng tới việc đáp ứng nhu cầu ngày càngcao trong học tập - thực nghiệm và ứng dụng phần mềm đối với môn Toánnói chung và Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng nói riêng

Bố cục của khóa luận bao gồm 2 chương và một phụ lục:

• Chương 1: Bài toán truyền nhiệt

• Chương 2: Ứng dụng phần mềm Mathematica giải bài toán truyềnnhiệt trong không gian một chiều và mô tả đồ thị của các nghiệm nhậnđược của các ví dụ bằng các lệnh thực hiện trong Mathematica

Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn chếnên khi làm khóa luận không tránh khỏi những hạn chế và sai sót về nộidung lẫn hình thức Em rất mong nhận được sự góp ý và những ý kiếnphản biện của quý thầy cô và bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn!

Đà Nẵng, tháng 05 năm 2012

Sinh viên thực hiện

Tạ Thị Kim Biển

và hệ số dẫn nhiệt tại điểm x F (x, t) là cường độ của nguồn nhiệt tại điểm

x vào thời điểm t Ta coi lượng nhiệt là cân bằng trong một thể tích V bất

kỳ sau khoảng thời gian (t, t + ∆t) Kí hiệu S là biên của V và n là hướngtruyền nhiệt đối với S Theo định luật Furier qua mặt S vào V sẽ có lượng

nhiệt truyền vào:

Khi đó nhiệt độ trong V sau khoảng thời gian (t, t + ∆t) là:

u(x, t + ∆t) − u(x, t) ' ∂u

Khi đó phương trình (1.7) được gọi làphương trình truyền nhiệt

1.2 Bài toán đầu cho phương trình truyền

nhiệt

Bài toán đầu (hay còn gọi là bài toán Cauchy) cho phương trình truyềnnhiệt nằm ở việc xác định hàm u(x, t) ∈ C2((−∞, +∞) ⊗ (0, ∞)), thỏamãn phương trình:

trong miền Gl,T = (−l, l) ⊗ (0, T ) và liên tục trong Gl,T = [−l, l] ⊗ [0, T ], thì

nó nhận giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên phần biên Sl,T, được cấu thành

từ đoạn [−l, l] trên trục Ox và đoạn {x = −l, 0 ≤ t ≤ T } ∪ {x = l, 0 ≤

t ≤ T }

Chứng minh Kí hiệu M là giá trị lớn nhất của u(x, t) trên Gl,T và m

là giá trị lớn nhất của u(x, t) trên Sl,T (các giá trị này hoàn toàn tồn tạikhi mà u(x, t) liên tục trên Gl,T) Nếu như bất đẳng thức M > m xảy ra,

thì khi đó tồn tại điểm (x0, t0) sao cho u(x0, t0) = M với x0 ∈ (−l, l) và

Điểm (x1, t1) với t1 < T là điểm cực đại địa phương của hàm v(x, t) vànhư vậy:

và như vậy phương trình (1.10) tại điểm (x1, t1) không thỏa mãn Điều phi

lý chứng tỏ rằng M = m Tương tự như thế ta cũng chứng minh được giátrị nhỏ nhất của hàm u(x, t) cũng nhận trên Sl,T

1.4 Định lý duy nhất nghiệm của bài toán

đầu

Định lý 1.4.1 Nghiệm của bài toán đầu trong lớp hàm hữu hạn với −∞ <

x < ∞ và t > 0 là duy nhất

Chứng minh Ta giả sử điều ngược lại: giả sử u1(x, t) và u2(x, t)

là hai nghiệm hữu hạn khác nhau của bài toán (1.23) - (1.24) Khi đó

ở đây l > 0 và T > 0 Trong Gl,T ta đưa vào hàm:

Áp dụng định lý về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất cho hiệu của các hàmv(x, t) và ±u(x, t) trong miền Gl,T, ta nhận được:

Đặt (1.13) vào (1.12) và tiến hành tách biến, ta nhận được:

T0(t)

a2T (t) =

X00(x)X(x) = const := −λ

2,

hay

T0(t) + a2λ2T (t) = 0, (1.14)

Phương trình (1.14) cho ta: T (t) = Ce−λ2a2t

Bây giờ ta xem xét phương trình (1.15):

X00(x) + λ2X(x) = 0

Phương trình đặc trưng của (1.15): µ2 + λ2 = 0 có nghiệm là µ =

±iλ Như vậy ta tìm được nghiệm X(x) dưới dạng X(x) = A(λ) cos λx +B(λ) sin λx và do đó: u(x, t) = (A(λ) cos λx + B(λ) sin λx)e−a2λ2t là nghiệmcủa phương trình (1.12) với λ tùy ý

Do tính tuyến tính và thuần nhất của phương trình truyền nhiệt (1.12)nên tổng bất kỳ và mọi biểu diễn tuyến tính P Cλuλ cũng sẽ là nghiệmcủa phương trình truyền nhiệt

Như vậy ta có thể giả sử rằng

(A(λ) cos λx + B(λ) sin λx)e−a2λ2tdλ (1.16)

Nếu như tích phân (1.16) hội tụ đều và có thể thực hiện được phéptính vi phân dưới dấu tích phân một lần theo t và hai lần theo x thì (1.16)chính là nghiệm của phương trình (1.12) Hệ thức (1.16) chuyển đến cho

ta mối quan tâm đến tích phân Fourier

1.6 Tích phân Fourier

Cho trước hàm f (x) với −∞ < x < ∞ Xét hàm đã cho trên đoạn [−l, l]

và viết nó dưới dạng chuỗi Fourier tương ứng:

f (y) cos λk(x − y)dy∆λk.

Chuyển qua giới hạn biểu thức cuối cùng khi l → ∞ Khi l → ∞ ta có

∆λk → 0, do đó tổng nhận được có thể xem xét như tích phân theo λ vàkhi đó ta viết:

f (x) = lim

l→∞(a0

2 +

1π

f (y) cos λ(x − y)dydλ

Như vậy ta đã biểu diễn được hàm f (x) dưới dạng tích phân bội Fourier:

f (y) cos λ(x − y)dydλ

Ta viết lại biểu thức cuối như sau:

[A(λ) cos λx + B(λ) sin λx]dλ.

Theo giả thiết ta có u(x, t)|t=0 = u0(x) và đặt:

Sử dụng các biểu thức nhận được đối với A(λ) và B(λ) ta viết được(1.19) dưới dạng:

e−a2λ2tcos λ(y − x)dλ}dy

Ta tiến hành đi tính tích phân trong dấu ngoặc móc Kí hiệu: a2t =

∂J

J = −

q2p∂q.

J (p, q) = r π

pe

−q24p

Trở lại với phép đặt ban đầu: p = a2t, q = x − y, ta nhận được:

t = η ⇒ dξ = 2a

√tdη (t > 0)

Ta chứng minh rằng tích phân (1.21) tồn tại Thật vậy, từ điều kiện

là nghiệm của bài toán (1.27)-(1.28) Ta có:

∂2u

∂x2 = 1

2a√πt

∂2u

∂x2 = 1

2a√πt

πtJ1 − 1

2a√

πtJ1 +

14ta√

πtJ0 = 0.Như vậy hàm u(x, t) thỏa mãn phương trình truyền nhiệt thuần nhất(1.27) Tiếp theo ta chứng tỏ hàm u(x, t) thỏa mãn điều kiện (1.28) Đểthực hiện điều này trước tiên ta xét hàm:

E(x, t) = 1

2a√

πte

− x2 4a2t,

e−η2dη

Do tính hội tụ của tích phân cuối nên ta chọn được N0 = N0(ε), saocho với N ≥ N0 ta nhận được J2 < ε2, ∀x, ∀t > 0 Cố định N và tiếnhành xem xét J3 Theo điều kiện ban đầu hàm u0(x) là liên tục, nhưvậy ∀(ε > 0)∃(δ > 0)∀(∆x : |∆x| < 0)[|u0(x + ∆x) − u0(x)| < ε/2] Lấy

∆x = −2a√

tη và chọn t > 0 đủ nhỏ, sao cho |∆x| = 2a√

t|η| ≤ 2a√

tN < δkhi mà |η| ≤ N Khi đó:

Thì khi đó nghiệm u(x,t) của bài toán (1.23) – (1.24) biểu diễn đượcdưới dạng tổng các nghiệm của (1.25) – (1.26) và (1.27) – (1.28) Thật vậy:

∞

Z

−∞

e−(y−x)24a2t u0(y)dy (1.29)

Ta tiến hành nghiên cứu bài toán (1.25) – (1.26) :

Đối với việc chứng minh cho sự tồn tại nghiệm của bài toán khôngthuần nhất với điều kiện biên thuần nhất ta tiến hành xem xét hàm sau:

Ta chứng minh hàm u1(x, t) được xác định như trên là nghiệm củaphương trình (1.25) khi t > 0 Ta có:

Từ đây và trở về sau ta luôn giả thiết rằng f (x, t) bị chặn với mọi x và

t > 0, khả vi hai lần theo x và một lần theo t ≥ 0 Việc còn lại là ta cầnchứng tỏ:

Từ điều kiện bị chặn của hàm f (x, t) : |f (x, t)| ≤ M với mọi (x, t) tacó:

Trong công thức Poisson nhận được thì số hạng thứ hai:

12a√πt

∞

Z

−∞

e−(x−y)24a2t u0(y)dy,

được gọi là thế vị nhiệt bề mặt, còn số hạng thứ nhất:

được gọi là thế vị nhiệt thể tích Các thuật ngữ trên sẽ được sử dụngthường xuyên trong chương tiếp theo

Ví dụ Tìm nghiệm của bài toán sau đây:

Thế vị nhiệt bề mặt:

I1 = 1

2√πt

∞

Z

−∞

e−8yt+(x−y)24t dy

Tiến hành biến đổi biểu thức 8yt+(x−y)4t ta nhận được:

8yt + (x − y)2

(y + 4t − x)24t + 2x − 4t.

Do đó:

I1 = e

−2x+4t

2√πt

Đặt:

ξ = y − x2p(t − τ ),

∞

Z

−∞

e−ξ2dξ = e−τ.Cuối cùng thế vị nhiệt thể tích nhận được:

khi đó công thức (1.32) trong trường hợp (không gian) một chiều viếtđược dưới dạng:

Chương 2

Phần mềm Mathematica cho bài

toán truyền nhiệt

Mathematica là ngôn ngữ tích hợp đầy đủ nhất các tính toán kỹ thuật

Là dạng ngôn ngữ dựa trên các nguyên lý xử lý các dữ liệu tương ứng Thế

hệ ngôn ngữ giải tích đầu tiên đó là: Macsyma, Ruduce, ra đời từ nhữngnăm 60 của thế kỷ XX Các ngôn ngữ này chủ yếu dùng cho các bài toán

vật lý năng lượng cao Nhược điểm chính của chúng là chủ yếu được địnhhướng chạy trên máy tính lớn.

Thế hệ tiếp theo là các ngôn ngữ: Mathematica, Maple, Matlab Cácngôn ngữ này có ưu điểm là chạy nhanh hơn, và chấp nhận bộ nhớ nhỏhơn, chạy hoàn hảo trên máy tính cá nhân Trong các ngôn ngữ tính toánloại này nổi bật là ngôn ngữ Mathematica với ưu điểm vượt trội về giaodiện thân thiện, về khả năng miêu tả đồ thị siêu việt và xử lý dữ liệu khôngthua kém các ngôn ngữ tính toán khác

Nhờ vào khả năng mô hình hóa và mô phỏng các hệ lớn kể các hệ động

mà Mathematica không chỉ được ứng dụng trong lĩnh vực vật lý kỹ thuật

và toán mà còn được mở rộng ứng dụng trong các lĩnh vực như sinh học

và các khoa học khác

Mathematica có nhiều version do luôn liên tục được cải tiến và hoànthiện: 1.2, 2.0, 2.2, 3.0, 4.0, 4.2 Phiên bản mới nhất hiện nay của Mathe-matica là 7.0 Mathematica cung cấp rất nhiều chức năng không chỉ đối vớimôn Lý thuyết Phương trình đạo hàm riêng mà còn là phần mềm hàng đầucho các môn: Lý thuyết Xác suất và thống kê, Đại số tuyến tính, Phươngtrình vi phân, giải phương trình, vẽ đồ thị

Hiện nay Mathematica là một phần mềm được sử dụng và giảng dạytại nhiều trường Cao đẳng, Đại học , Đây là công cụ hỗ trợ trong việc đổimới phương pháp giảng dạy ở nhiều môn học

2.2 Nghiệm của phương trình truyền nhiệt

trong R1

Bước 1 Trong Mathematica ta nhập hàm thực hiện G bằng cú pháp:

{ Hàm G phụ thuộc vào a, x, t Như vậy theo cách định nghĩa trên thì

a ứng với #1, x ứng với #2, và t ứng với #3}

Out[2]:= e

− x24a2t

2a √

π √ t

{ Câu trả lời cho lệnh In[2] sau khi ấn tổ hợp phím Shift + Enter}

Bước 3 Ta đưa vào các hàm sau đây:

In[3] := vo[a−, u−] := Simplify[

Integrate [G[a, x − y, t] ∗ u[y], {y, −∞, ∞}], t > 0 && x ∈ Reals]

{ Thực hiện phép tính tích phân G(a, x−y, t)u(y) = 1

2 √

π √ t

ý nghĩa tương tự}

In[4] := vi[a−, u−] := Simplify[

Integrate [G[a, y, t] ∗ u[x − y], {y, −∞, ∞}], t > 0 && x ∈ Reals]

In[5] := woo[a−, f−] := Simplify[ Integrate

[G[a, x − y, t − s] ∗ f [y, s], {y, −∞, ∞}], 0 < s < t && x ∈ Reals]

In[6] := wii[a−, f−] := Simplify[ Integrate

[G[a, y, s] ∗ f [x − y, t − s], {y, −∞, ∞}], 0 < s < t && x ∈ Reals]

In[7] := woi[a−, f−] := Simplify[ Integrate

[G[a, x − y, s] ∗ f [y, t − s], {y, −∞, ∞}], 0 < s < t && x ∈ Reals]

In[8] := wio[a−, f−] := Simplify[ Integrate

[G[a, y, t − s] ∗ f [x − y, s], {y, −∞, ∞}], 0 < s < t && x ∈ Reals]In[9] := ints[w−] := Simplify[

Integrate [w, {s, 0, t}], t > 0 && x ∈ Reals]

In[10] := uoo[a−, f−] := ints[woo[a,f]];

{Lệnh gán để tìm thế vị nhiệt thể tích: tích phân của hàm woo chạy từ

0 đến t, các lệnh tiếp theo có ý nghĩa tương tự}

In[11] := uii[a−, f−] := ints[wii[a,f]];

In[12] := uoi[a−, f−] := ints[woi[a,f]];

In[13] := uio[a−, f−] := ints[wio[a,f]];

Để tiến hành kiểm tra các hàm vừa nhận được, ta nhập:

√

2a√πIn[15] := uio[a, f ]

√

2a√πIn[16] := uoi[a, f ]

√

2a√πIn[17] := uii[a, f ]

√

2a√π

Để kiểm tra nghiệm ta có thể sử dụng hàm sau:

{l1: kiểm tra biểu thức: ∂u∂t − a2 ∂2u

∂x 2− f (x, t), nếu đáp số cho l1:=0 nghĩa

là đúng l0: kiểm tra biểu thức : lim

t→0 +u(x, t) − u0(x), nếu đáp số cho l0:=0nghĩa là đúng Cuối cùng nếu nhận được l{0,0} thì có nghĩa nghiệm tìmđược là chính xác.}

Ví dụ 2.2.1 Tìm nghiệm, kiểm tra và vẽ đồ thị nghiệm của bài toánđầu sau đây (n=1):

∂u

∂t − ∂

2u

∂x2 = 3et; u|t=0 = e−4x.Trong Mathematica cho ta:

In[19] := f221[x−, t−] := 3 ∗ Exp[t]; { nghĩa là ta có f (x, t) = 3et}In[20] := u0221[x−] := Exp[−4x]; { nghĩa là ta có u|t=0 = e−4x}In[21] := a221 = 1; { nghĩa là ta có a = 1}

In[22] := v0221[x−, t−] = vi[a221, u0221]

In[25] := l[a221, f221[x1, t], u0221[x1], u221[x1,t] ]Out[25] := {0, 0}

Để vẽ đồ thị nghiệm của hàm trên, ta thực hiện lệnh:

In[29] := a222 = 1; { nghĩa là ta có a = 1.}

In[30] := v0222[x−, t−] = vi[a222, u0222]

Out[30] := e−tCos[x]

In[31] := woo[a222, f222]

Out[31] := 3s3

In[32] := v1222[x−, t−] = uoo[a222, f222]

Out[32] := 3t4

Nghiệm của bài toán có dạng

In[33] := u222[x−, t−] = v0222[x, t] + v1222[x, t]

Out[33] := 3t44 + e−tcos[x]

Thực hiện lệnh kiểm tra:

In[34] := l[a222, f222[x1, t], u0222[x1], u222[x1,t] ]Out[34] := {0, 0}

Để vẽ đồ thị nghiệm của hàm trên, ta thực hiện lệnh:

In[37] := u0223[x−] = Exp[−2 ∗ x];

In[38] := a223 = 1;

In[39] := v0223[x−, t−] = vi[a223, u0223];

Out[39] := e4t−2x

In[44] := f224[x−, t−] = Exp[−3t] ∗ Sin[x];

In[45] := u0224[x−] = Sin[x];

In[46] := a224 = 1;

In[47] := v0224[x−, t−] = vi[a224, u0224];

Out[49] := e−tSin[x] + 12e−3t(−1 + e2t)Sin[x]

Thực hiện lệnh kiểm tra:

In[50] := l[a224, f224[x1, t], u0224[x1], u224[x1, t] ]Out[50] := {0, 0}

Để vẽ đồ thị nghiệm của hàm trên, ta thực hiện lệnh:

In[51] := Plot3D[e−tSin[x]+1

Thế vị nhiệt bề mặt của bài toán có thể tìm được bằng hàm vi hoặcvo

In[55] := v0225 → vi[ a225, u0225 ];

Out[55] := v0225 → −ie

−x(i+x) (e

t(i−2x)2 9+4t +2ix−e

t(i+2t)2 9+4t

6 √ 9+4t

In[56] := v0225 → vo[ a225,u0225 ];

Out[60] := 181 ie−s9 −ix(−1 + e2ix)(s − t)

Cũng có thể sử dụng (cho thế vị nhiệt thể tích) các hàm thực hiện uio

và uoi:

In[61] := uio[a225,f225]

Out[61] := (−9 + 9e−t9 + t)sin[x]

In[62] := uoi[a225,f225]

Out[62] := −12ie−t9 −ix(−1 + e2ix)(9 + e9t(−9 + t))

Ví dụ trên cho thấy việc tính toán hàm uio ( wio) tỏ ra thích hợp hơn

ở chỗ không phải thực hiện các phép toán bổ sung trong việc rút gọn hàmsố

In[63] := v1225[x−, t−] = uio[a225,f225]

Out[63] := (−9 + 9e−t9 + t)sin[x]

Cuối cùng nghiệm của bài toán đã cho biểu diễn được dưới dạng: