Bài 14/ Trong mặ phẳng có 6 đường thẳng song song với nhau và 8 đường thẳng khác cũng song song với nhau đồng thời cắt 6 đường thẳng đã cho. Hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận đượ[r]
Trang 1cos(- ) = cos sin(- ) = -sin
tan(- ) = -tan cot(- ) = -
sin( )= sin cos( )= -cos
tan( )= -tan cot( )= -cot
sin( )= - sin cos( )= -cos
tan( )= tan cot( )= cot
2
( = cot cot )
2 ( = tan
cos(a –b) = cosa cosb + sina sinbcos(a +b) = cosa cosb – sina sinbsin(a – b) = sina cosb – sinb cosasin(a + b) = sina cosb + sinb cosatan(a – b) = 1tantanaatantanb b tan(a + b) = 1tan tanaatantanb b
sin2a = 2sina cosa cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2atan2a =
cosa cosb = cos( ) cos( )
2
1
b a b
Trang 2sina sinb = cos( ) cos( )
2
1
b a b
cosu + cosv = 2cos
2
v
u
cos2
Tuần hoàn với chu kì 2
Hàm số y = sinx nhận các giá trị đặc biệt:
+ sinx = 0 x = k , k Z
+ sinx = 1 x = 2
2 k , k Z+ sinx = -1 x = - 2
2 k , k Z
3 Hàm số côsin
Hàm số y = cosx có tập xác định là R và -1 cosx 1, x R
Là hàm số chẵn
Tuần hoàn với chu kì 2
Hàm số y = cosx nhận các giá trị đặc biệt:
+ cosx = 0 x = k
2 , k Z+ cosx = 1 x = k2 , k Z
Tuần hoàn với chu kì
Hàm số y = tanx nhận các giá trị đặc biệt:
+ tanx = 0 x = k , k Z
+ tanx = 1 x = k
4 , k Z+ tanx = -1 x = - k
Là hàm số lẻ
Tuần hoàn với chu kì
Hàm số y = cotx nhận các giá trị đặc biệt:
Trang 2
Trang 3+ cotx = 0 x = k
2 , k Z+ cotx = 1 x = k
4 , k Z+ cotx = -1 x = - k
D x thì D x
D x thì D x
BÀI TẬP
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a y = sin x b y = 1 sincosx x c y = 3tancosx x
1 sin
x x
g y =
1 sin
3 cos
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a y = 5 2 cosx b y = 1- 2sin22x c y = 4 - 3 cosx
k y = 2cos x 1 l y = 3 sinx + 1 m y = 2- 3cosx
Bài 3: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a y = sin2x b y = -2 +3cosx c y = cosx – sinx
d y = tanx.sinx e y = cos2x + sin x f y = cotx sinx
§2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
A Kiến thức cần nhớ
1 Phương trình sinx = a (1)
Trang 4 Nếu a >1 thì phương trình (1) vô nghiệm.
Nếu a 1: gọi là cung thoả mãn sin = a Khi đó
2
2
Z k k x
k x
2 arcsin
Z k k a x
k a x
360
0 0
0
0 0
Z k k
x
k x
Nếu a >1 thì phương trình (2) vô nghiệm
Nếu a 1: gọi là cung thoả mãn cos = a Khi đó
2
2
Z k k x
k x
2 cos
Z k k a arc x
k a arc x
0 0
Z k k
x
k x
Gọi là cung thoả mãn tan = a Khi đó tanx = a tan x tan x k , (kZ)
Nếu thoả mãn điều kiện -2 < <2 và tan = a thì ta viết = arctana Lúc đó nghiệm của phương trình (3) là: x = arctana + k , (k Z)
Phương trình tanx = tan 0 x 0 k180 0 (kZ)
4 Phương trình cotx = a (4)
Điều kiện xk , kZ
Gọi là cung thoả mãn cot = a Khi đó
cotx = a cot x cot x k , (kZ)Nếu thoả mãn điều kiện 0< < và cot = a thì ta viết = arccota Lúc đó nghiệm của phương trình (4) là: x = arccota + k , (k Z)
Phương trình cotx = cot 0 0 180 0 ( )
Z k k
d (1+ 2sinx)(3- cosx)= 0 e tan2x = tan
6
5
f tan(3x -300) = -
3 3
g cot(4x -6 )= 3 h sin(3x- 450) = 12 i sin(2x +100)= sinx
Trang 4
Trang 5k (cot 3x -1)(cot2x +1)= 0 l cos2x.cotx = 0 m cot(23x 5
r cos2x cot(x -
4
)= 0 s cos3x =
4
8 tan ) 4 2
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a sin(2x -1) = sin(x+3) b sin3x= cos2x c sin4x + cos5x = 0
d 2sinx + 2sin2x = 0 e sin22x + cos23x = 1 f sin3x + sin5x = 0
g sin(2x +500) = cos(x +1200) h cos3x – sin4x = 0 i tan(x - 5 ) + cotx = 0
§3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
A Kiến thức cần nhớ
1 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
Các phương trình dạng at + b = 0 (a 0), với t là một trong các hàm số lượng giác, là những
phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
Sử dụng các phép biến đổi lượng giác, có thể đưa nhiều phương trình lượng giác về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
2 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
Các phương trình dạng at 2 + bt + c = 0 (a 0), với t là một trong các hàm số lượng giác, là những phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Có nhiều phương trình lượng giác có thể đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giácbằng các phép biến đổi lượng giác
3 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Phương trình có dạng asinx + bcosx = c (1)
Cách giải
Chia hai vế phương trình (1) cho a 2 b2 ta được 2 2 sin 2 2 cos 2 2
b a
c x
b a
b x b a
a
a
)Đặt cos 2 2
b a
Chú ý:
Trang 6 Pt (1) có nghiệm pt(3) có nghiệm 1
2
b a
c
a2 + b2 c2
Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi a 2 + b 2 c 2
sinx cosx = 2sin(x
4
)
4 Phương trình asin 2 x + bsinx cosx + ccos 2 x = d
Cách giải
Cách 1: (áp dụng công thức hạ bậc)
asin2x + bsinx cosx + ccos2x = d
a.1 cos2 2x + b.sin x22 + c.1cos2 2x= d
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
a 4sinx – 3 = 0 b 3cotx + 3= 0 c 1 - 3tan(5x + 200) =0
3
g (2cosx + 2 )(tan(x +100) - 3) = 0 h sin2x.cos3x.(tan4x +1)= 0
i 8sinx.cosx.cos2x = 3 j sin2x +2cox = 0 k tan(x +1) – 2008=0
l 3tan2x + 3tanx = 0 m 4sin2x – sin22x = 0 n 3- 2sin3x = 0
p cot(x + 4 ) = 1 q cos2(x – 300) = 43 r 8cos3x – 1 = 0
Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
a tan3x tanx = 1 b cot2x cot(x + 4 ) = -1 c 0
2 cos 1
2 sin
x
Bài tập 3: Giải các phương trình sau:
a 3cos2x - 5cosx + 2 = 0 b 4sin2x – 4sinx – 3 = 0
c cot2x – 4cotx + 3 = 0 d tan2x + (1 - 3)tanx - 3 = 0
e 5cos2x + 7sinx – 7 = 0 f tan4x – 4tan2x + 3 = 0
g sin3x + 3sin2x + 2sinx = 0 h cos2x + 9cosx + 5 = 0
i sin22x – 2cos2x +
4
3 = 0 j 4cos42x – 7cos22x + 3 = 0
Bài tập 4: Giải các phương trình sau:
a sinx + 3cosx = 2 b 2sinx – 5cosx = 5 c 2cosx – sinx = 2
d sin5x + cos5x = -1 e 3sinx – 4cosx = 1 f 2sin2x + 3sin2x = 3
g sin5x + cos5x = 2cos13x h sinx = 2sin3x – cosx
Bài tập 5: Giải các phương trình sau:
a 2sin2x – sinx cosx – cos2x = 2 b 4sin2x – 4sinx cosx + 3cos2x = 1
c 2cos2x -3sin2x + sin2x = 1 d 2sin2x + sinx cosx – cos2x = 3
Trang 6
Trang 7e 4sin2x + 3 3sin2x – 2cos2x = 4 f sin3x + 2sin2x cosx – 3cos3x = 0
g 3sinx.cosx – sin2x =
2
1
2 i 3cos2x + 2sin2x – 5sinx.cosx = 0
Bài tập 6: Giải các phương trình sau:
a cos3x – cos4x + cos5x = 0 b sin7x – sin3x = cos5x c cos5x.cosx = cos4x
d sinx + 2sin3x = - sin5x e 2tanx – 3cotx – 2 = 0 f sin2x – cos2x = cos4x
g 2tanx + 3cotx = 4 h cosx.tan3x = sin5x
i 2sin2x + (3 + 3)sinx cosx + ( 3- 1)cos2x = -1 j tanx.tan5x = 1
Chú ý: +) Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau, thì:
n(A B) = n(A) + n(B)
+) Qui tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động
2 Qui tắc nhân:
Trang 8Một hành động được hoàn thành bởi 2 hành động liên tiếp Nếu có m cách thực hiện hành động thứnhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.
Trang 9Công thức (1) được gọi là công thức nhị thức Niu - tơn
II Tam giác Pa- xcan:
b) Một đôi song ca nam - nữ
Bài 2/ Giữa hai thành phố A và B có 5 con đường đi Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến B rồi trở về A mà
không có con đường nào được đi 2 lần?
Bài 3/ Từ các số 1, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên :
a) Có 4 chữ số ( không nhất thiết khác nhau)
b) Có 4 chữ số khác nhau
Bài 4/ Có bao nhiêu số tự nhiên có tính chất:
a) Là số chẵn và có hai chữ số ( không nhất thiết khác nhau)?
b) Là số lẻ và có 2 chữ số ( không nhất thiết khác nhau)?
c) Là số lẻ và có 2 chữ số khác nhau?
d) Là số chẵn và có 2 chữ số khác nhau?
Bài 5/ Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà 2 chữ số của nó đều chẵn?
Bài 6/ Một lớp có 45 học sinh, dăng kí chơi ít nhất một trong hai môn thể thao: bóng đá và cầu lông Có 30
em đăng kí môn bóng đá, 25 em đăng kí môn cầu lông Hỏi có bao nhiêu em đăng kí cả 2 môn thể thao?
Bài 7/ Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ.
a) Nhà trường cần chọn một học sinh khối 11 đi dự dạ hội của học sinh thành phố Hỏi nhà trường có baonhiêu cách chọn?
b) Nhà trường cần chọn 2 học sinh trong đó có một học sinh nam và một học sinh nữ đi dự trại hè của họcsinh thành phố Hỏi nhà trường có bao nhiêu ccáh chọn?
Bài 8/ từ các số 1, 3, 5, 6, 7, 8, lập các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau Hỏi:
a) Có tất cả bao nhiêu số?
b) Có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ?
Bài 9/ Một cái khay tròn đựng bánh kẹo ngày tết có 6 ngăn hình quạt màu khác nhau Hỏi có bao nhiêu
cách bày 6 loại bánh kẹo vào 6 ngăn đó?
Bài 10/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và chia hết cho 5?
Bài 11/ Trong một Ban chấp hành đoàn gồm 7 người, cần chọn 3 người vào ban thường vụ.
a) Nếu không có sự phân biệt về chức vụ của 3 người trong ban thường vụ thì có bao nhiêu cách chọn? b) Nếu cần chọn 3 người vào ban thường vụ với các chức vụ: Bí thư, Phó bí thư, Uỷ ban thường vụ thì cóbao nhiêu cách chọn?
Trang 10Bài 12/ có bao nhiêu tam giác được lập từ 6 điểm khác nhau không thẳng hàng?
Bài 13/ Một đoàn đại biểu gồm 4 học sinh được chọn từ một tổ gômf 5 nam và 4 nữ Hỏi có bao nhiêu cách
chọn sao cho trong đó có ít nhất một nam và ít nhất 1 nữ?
Bài 14/ Trong mặ phẳng có 6 đường thẳng song song với nhau và 8 đường thẳng khác cũng song song với
nhau đồng thời cắt 6 đường thẳng đã cho Hỏi có bao nhiêu hình bình hành được tạo nên bởi 14 đườngthẳng đã cho?
Bài 15/ Có bao nhiêu cách xếp chổ cho 4 bạn nữ và 6 bạnk nam ngồi vào 10 ghế mà không có hai bạn nữ
nào ngồi cạnh nhau, nếu:
a) Ghế sắp thành hàng ngang?
b) Ghế sắp quanh một bàn tròn?
Bài 16/ Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu - tơn:
a) ( 2a + b)5 b) ( x - y)6 c) ( x - 1x )11
Bài 17/ Tìm hệ số của x7 trong khai triển (1 + x)11
Bài 18/ Tìm hệ số của x9 trong khai triển ( 2 - x)19
Bài 19/ Biết hệ số của x2 trong khai triển của (1+ 3x)n là 90 Hãy tìm n
Bài 20/ Từ khai triển biểu thức ( 2x - 3 )15 thành đa thức Hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được
Bài 21/ Biết rằng hệ số của xn-2 trong khai triển (x - 41 )n bằng 31 Tìm n
Bài 22/ Chứng minh rằng:
11 C n m, ( 1 m n);
n
m m
n
III Trắc nghiệm:
Câu 1 Giả sử một công việc được thực hiện theo một trong hai phương án Phương án A có thể thực hiện
theo n cách, phương án B có thể thực hiện theo m cách Khi đó:
A Công việc được thực hiện bằng m.n cách
B Công việc được thuẹc hiện bằng 21 m.n cách
C công việc được thực hiện bởi m + n cách
D Các câu trên đều sai
Câu 2 Giả sửmột công việc được thực hiện theo hai công đoạn A và B Công đoạn A có thể thực hiệnbằng n ccáh, công đoạn B có thể thực hiện bằng m cách Khi đó:
A Công việc được thực hiện bằng m.n ccáh
B Công việc được thuẹc hiện bằng 21 m.n cách
C công việc được thực hiện bởi m + n cách
D Các câu trên đều sai
Câu 3 Cho 6 chữ số: 2, 3, 4, 5, 6,, 7 Hỏi có bao nhiêu số gồm 3 chữ số được thành lập từ 6 chữ số đó:
Câu 6 Bạn muốn mua một cây bút mực và một cây bút chì Các cây bút mực có 8 màu khác nhau, các cây
bút chì cũng có 8 màu khác nhau Như thế, bạn có số cách lựa chọn là:
Trang 10
Trang 11C Cả 2 câu đều đúng D Một kết quả khác
Câu 11 Cho tập A có n phần tử và số nguyên k thoả mãn 1 k n Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là:
A Một chỉnh hợp chập k của n phần tử
B một tổ hợp chập k của n phần tử
C Một hoán vị của n phần tử
D Một kết luận khác
Câu 12 Trong 1 bình đựng 4 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên ra 2 viên bi Có bao nhiêu cách
lấy được 2 viên cùng màu?
Câu 15 Có 5 têm thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thư và 3 bì thư
và dán 3 tem thư đó lên 3 bì thư khác nhau, mỗi bì thư chỉ dán 1 tem thư Hỏi có bao nhiêu cách như vậy?
Trang 12a) Khái niệm:
Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là (đọc là ô - mê - ga)
2 Các khái niệm:
- Biến cố là 1 tập con của không gian mãu
- Tập được gọi là biến cố không thể ( gọi tắt là biến cố không) Còn tậpđược gọi là biến cố chắc chắn
+ Ví dụ: Biến cố : “Côn xúc sắc xuất hiện mặt 7 chấm” là biến cố không thể
3 Qui ước:
- Khi nói biến cố A, B, mà không nói gì thêm thì ta hiểu chung cùng liên quan đến 1 phép thử
- Ta nói rằng biến cố A xảy ra trong 1 phép thử nào đó khi và chỉ khi kết quả của phép thử đó là một phần
tử của A ( hay thuận lợi cho A)
* Các định nghĩa:
a) Giả sử A là biến cố liên quan tới 1 phép thử
Tập \ A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A
Do A A , nên A xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra
b) giả sử A, B là 2 biến cố liên quan đến 1 phép thử
Tập A B : hợp của các biến cố A và B
Tập A B : Giao của các biến cố A và B
Nếu A B = thì ta Nói A và B xung khắc
Trang 13P( A B) = P(A) + P(B) ( công thức cộng xác suất)
b Hệ quả:
Với mọi biến cố A ta có: P( A ) = 1 - P(A)
A và B là 2 biến cố độc lập khi và chỉ khi P(A.B) = P(A).P(B)
B Bài tập:
I Bài tập mẫu:
Bài 1/ Gieo một con súc sắc cân đối, đồmh chất và quan sát số chẫmuất hiện.
a) Mô tả không gian mẫu?
b) xác định các biến cố sau:
A: “ Xuất hiện mặt chẵn chấm”
B: “ Xuất hiện mặt lẻ chấm”
C: “ Xuất hiện mặt co số chấm không nhỏ hơn 3”
c) Trong các biến cố trên, hãy tìm các biến cố xung khắc
Bài 2 Từ một hộp chứa 3 bi trắng, 2 bi đỏ, lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 bi.
a) Xây dựng không gian mẫu
Trang 14P(B) = 6 / 20 = 0,3
c) C = {3, 9, 15}, P(C) = 3/20 = 0,15
II Bài tập tự luyện:
Bài 1/ Gieo một đồng tiền 3 lần và quan sát sự xuất hiện mặt sấp (S), mặt ngửa (N).
a) Xây dựng không gian mẫu
b) Xác định các biến cố:
A: “Lần gieo đầu xuất hiện mặt sấp”
B: “Ba lần xuất hiện các mặt như nhau”
C: “ Đúng hai lần xuất hiện mặt sấp”
D: “ Ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”
Bài 2/ Gieo một con súc sắc ba lần Tính xác suất sao cho mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất 1 lần?
Bài 3/ Gieo đồng thời hai con súc sắc Tính xác suất sao cho:
a) Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt lẻ
b) Tích các số chấm trên hai con súc sắc là số lẻ
Bài 4/ một con súc sắc được gieo 3 lần Quan sát số chấm xuất hiện.
a) Xây dựng không gian mẫu
b) Xác định các biến cố sau:
A: “ Tổng số chấm trong 3 lần gieo là 6”
B: “ Số chấm trong lần gieo thứ nhất bằng tổng các số chấm của lần gieo thứ 2 và thứ 3”
Bài 5/ Một tổ có 7 nam và 3 nữ Chọn ngẫu nhiên hai người Tìm xác suất sao cho trong 2 người đó:
a) cả hai đều là nữ b) Không có nữ,
c) ít nhất một người là nữ d) Có đúng một người nữ
Bài 6/ mọt hộp chứa 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 10, 20 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 20.
Lấy ngẫu nhiên một quả Tìm xác suất sao cho quả được chọn:
a) Ghi số chẵn;
b) màu đỏ;
c) màu đỏ và ghi số chẵn;
d) màu xanh hoặc ghi số lẻ
Bài 7 Có 5 bạn nam và 5 bạn nữ xếp ngồi ngẫu nhiên quanh bàn tròn Tính xác suất sao cho nam nữ ngồi
xen kẽ nhau
Bài 8 Một họp chứa 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10, đồng thời các quả từ 1 đến ` được sơn màu
đỏ Lấy ngẫu nhiên một quả Kí hiệu A là biến cố: “Quả lất ra màu đỏ”, B là biến cố: “Quả lấy ra ghi sốchẵn” Hỏi A và B có độc lập không?
Bài 9 Hai hộp chứa các quả cầu Hộp thứ nhất chứa 3 quả đở và 2 quả xanh, hộp thứ 2 chứa 4 quả đỏ và 6
quả xanh Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một quả Tính xác suất sao cho:
a) cả hai quả đều đỏ;
b) Hai quả cùng màu;
c) hai quả khác màu
Bài 10/ Chọn ngẫu nhiên ba học sinh từ một tổ gồm có 6 nam và 4 nữ tính xác suất sao cho:
a) Cả 3 học sinh đều nam
b) Có ít nhất một nam
Bài 11/ Một tiểu đội 10 người được xếp ngẫu nhiên thành hàng dọc, trong đó có anh A và anh B tính xác
suất sao cho:
a) A và B đứng liền nhau
b) Trong 2 người đó có một người đứng ở vị trí số 1 và người kia đứng ở vị trí cuối cùng
Trang 14
Trang 15Bài 4/ Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ khác nhauvề màu sắc lấy ngẫu nhiên một viên bi, rồi
lấy tiếp một viên bi nữa Xác suất của biến cố: “ lấy lần thứ hai được một viên bi xanh” là:
I Phương pháp qui nạp toán hoc:
Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi n N* bằng phương pháp qui nạp toán học, ta tiến hành theo 2bước:
+ Bước 1) Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.
+ Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k 1 ( gọi là giả thiết qui nạp), chứngminh rằng nó cũng đúng với n = k + 1
Chú ý:
Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n p ( p là 1 số tự nhiên) thì:
+ Ở bước 1 , ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p
+ Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì n = k p và phải chứng minh rằng nó cũngđúng với n = k + 1
II Định nghĩa dãy số:
Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N* được gọi là 1 dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số)
Kí hiệu: u : N* R
n u(n)
Thưòng viết dưới dạng khai triển : u1, u2, , un,…
Trong đó : u1 ¨số hạng đầu, un: số hạng tổng quat
III Định nghĩa dáy số hữu hạn:
Trang 16Mỗi hàm số u xác định trên tập M = { 1, 2,3 ,…,m} với m N* được gọi là 1dãy số hữu hạn.
Dạng khai triển: u1, u2, u3,…,un Trong đó u1 là số hạng đầu, un số hạng couuí
* ví dụ: -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13 là dãy số hữu hạn có u1 = -5, u7 = 13
*Cách cho một dãy số:
1 Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát:
Dãy số (un) hoàn toàn xác định nếu biết công thức số hạng tổng quát un của nó
2 Dãy số cho bằng phương pháp mô tả:
Cho mệnh đề mô tả cách xác định số hạng liên tiếp của dãy số
3 Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi:
Các bước cho hệ thức truy hồi:
a) Cho số hạng đầu ( hay vài số hạng đầu)
b) Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng ( hoặc 1 vài số hạng ) đứng trướcnó
IV Dãy số tăng, dãy số giảm và dáy số bị chặn:
1 Dãy số tăng, dãy số giảm:
a) Định nghĩa:
+)Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu ta có un+1 > un với mọi n N*
+) Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu ta có un+1 < un với mọi n N*
*) ví dụ:
Dãy số: (un) với un = 3n n là dãy số tăng vì:
Với mọi n N* ta có hiệu:
Un+1 - un = 2(n+1) - 1 -(2n - 1) = 2
Do un+1 - un > 0 nên un+1 > un
b) Chú ý:
Không phải mọi dãy số đều tăng hoạc giảm
Chẳng hạn, dãy số : (un) với: un = (-3)n , túc là dãy:
V Định nghĩa cấp số cộng:
1 Định nghĩa:
Trang 16
Trang 17Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hoặc vô hạn ), trong đó kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng đều bằng
số hạng đứng ngay trước nó cộng với 1 số không đổi d
số d gọi là công sai của cấp số cộng
Công thức truy hồi:
VI Định nghĩa cấp số nhân:
1 Định nghĩa:
Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn hoặc vô hạn ), trong đó kể từ số hạn thứ 2, mỗi số hạn đều là tích của
số hạng đứng ngay trước nó với 1 số không đổi q
Số q gọi là công bội của cấp số nhân
* nếu (un) là cấp số nhân với công bội q, ta có: