Bài giảng Toán rời rạc (Phần I: Lý thuyết tổ hợp): Chương 2 - Nguyễn Đức Nghĩa

Chương 2 - Bài toán tồn tại. Nội dung chính được trình bày trong chương này gồm có: Giới thiệu bài toán, các kỹ thuật chứng minh cơ bản, nguyên lý Dirichlet, định lý Ramsey. Mời các bạn cùng tham khảo.

Nội dung

Chương 0 Mở đầu

Chương 1 Bài toán đếm

Chương 2 Bài toán tồn tại

Chương 3 Bài toán liệt kê tổ hợp

Chương 4 Bài toán tối ưu tổ hợp

Chương 2 BÀI TOÁN TỒN TẠI

1. Giới thiệu bài toán

3. Nguyên lý Dirichlet

4. Định lý Ramsey

1 Giới thiệu bài toỏn

 Trong ch ơng tr ớc, ta đã tập trung chú ý vào việc đếm số các cấu hình

tổ hợp Trong những bài toán đó sự tồn tại của các cấu hình là hiển nhiên và công việc chính là đếm số phần tử thoả mãn tính chất đặt ra

 Tuy nhiên, trong rất nhiều bài toán tổ hợp, việc chỉ ra sự tồn tại của một cấu hình thoả mãn các tính chất cho tr ớc là hết sức khó khăn

• Chẳng hạn, khi một kỳ thủ cần phải tính toán các n ớc đi của mình để giải đáp xem liệu có khả năng thắng hay không,

• Một ng ời giải mật mã cần tìm kiếm chìa khoá giải cho một bức mật mã mà anh ta không biết liệu đây có đúng là bức điện thật đ ợc mã hoá của đối ph ơng hay không, hay chỉ là bức mật mã giả của đối ph ơng tung ra nhằm đảm bảo an toàn cho bức điện thật

 Trong tổ hợp xuất hiện một vấn đề thứ hai rất quan trọng là: xét sự tồn tại của các cấu hình tổ hợp với các tính chất cho tr ớc - bài toán tồn tại

tổ hợp.

 Nhiều bài toán tồn tại tổ hợp đã từng thách thức trí tuệ nhân loại và đã

là động lực thúc đẩy sự phát triển của tổ hợp nói riêng và toán học nói chung.

Bài toỏn về 36 sĩ quan

nh sau:

“Có một lần ng ời ta triệu tập từ 6 trung đoàn mỗi trung

đoàn 6 sĩ quan thuộc 6 cấp bậc khác nhau: thiếu úy, trung

uý, th ợng uý, đại uý, thiếu tá, trung tá về tham gia duyệt binh ở s đoàn bộ Hỏi rằng có thể xếp 36 sĩ quan này thành một đội ngũ hình vuông sao cho trong mỗi một hàng ngang cũng nh mỗi một hàng dọc đều có đại diện của cả

6 trung đoàn và của cả 6 cấp bậc sĩ quan.”

Bài toỏn về 36 sĩ quan

 Sử dụng:

• A, B, C, D, E, F để chỉ các phiên hiệu trung đoàn,

• a, b, c, d, e, f để chỉ các cấp bậc sĩ quan

 Bài toán này có thể tổng quát hoá nếu thay con số 6 bởi n

 Trong tr ờng hợp n = 4, một lời giải của bài toán 16 sỹ quan là

Bài toỏn về 36 sĩ quan

 Do lời giải của bài toán có thể biểu diễn bởi 2 hình vuông với các chữ cái la tinh hoa và th ờng chồng cạnh nhau nên bài toán

tổng quát đặt ra còn đ ợc biết d ới tên gọi bài toán về hình vuông

la tinh trực giao

 Euler đã mất rất nhiều công sức để tìm lời giải cho bài toán 36

sĩ quan thế nh ng ông đã không thành công Từ đó ông đã đề ra một giả thuyết tổng quát là: Không tồn tại hình vuông la tinh

trực giao cấp n = 4k + 2

 Tarri, năm 1901 chứng minh giả thuyết đúng với n = 6, bằng

cách duyệt tất cả mọi khả năng xếp.

 Năm 1960 ba nhà toán học Mỹ là Boce, Parker, Srikanda chỉ ra

đ ợc một lời giải với n = 10 và sau đó chỉ ra ph ơng pháp xây dựng hình vuông la tinh trực giao cho mọi n = 4k+2, với k > 1.

Bài toỏn về 36 sĩ quan

 T ởng chừng bài toán đặt ra chỉ có ý nghĩa thuần tuý của một bài toán đố hóc búa thử trí tuệ con ng ời Thế nh ng gần đây ng ời ta đã phát hiện những ứng dụng quan trọng của vấn đề trên vào:

• Quy hoạch thực nghiệm (Experimental Design),

• Sắp xếp các lịch thi đấu trong các giải cờ quốc tế,

• Hình học xạ ảnh (Projective Geometry),

•

Bài toán 4 màu

 Có những bài toán mà nội dung của nó có thể giải thích cho bất kỳ ai, tuy nhiên lời giải của nó thì ai cũng có thể thử tìm, nh ng mà khó có thể tìm đ ợc Ngoài định lý Fermat thì bài toán 4 màu là một bài toán nh vậy

 Bài toán có thể phát biểu trực quan nh sau: Chứng minh rằng mọi bản đồ trên mặt phẳng đều có thể tô bằng 4 màu sao cho không có hai n ớc láng giềng nào lại bị tô bởi cùng một màu

 Chú ý rằng, ta xem nh mỗi n ớc là một vùng liên thông và hai n ớc đ ợc gọi là láng giềng nếu chúng có chung biên giới là một đ ờng liên tục

Bài toỏn 4 màu

 Con số 4 không phải là ngẫu nhiên Ng ời ta đã chứng minh đ ợc rằng mọi bản đồ đều đ ợc tô với

số mầu lớn hơn 4, còn với số mầu ít hơn 4 thì không tô đ ợc Chẳng hạn bản đồ gồm 4 n ớc ở hình d ới không thể tô đ ợc với số mầu ít hơn 4.

B

C

D

A

Bài toán 4 màu

 Vấn đề này được đề cập trong bức thư của Augustus De

Morgan gửi W R Hamilton năm 1852 (De Morgan biết

sự kiện này từ Frederick Guthrie, còn Guthrie từ người anh trai của mình )

 Trong 110 năm rất nhiều chứng minh được công bố

nhưng đều có lỗi

 Năm 1976, Appel và Haken đã đưa ra chứng minh bằng

máy tính điện tử!

K Appel and W Hankin, "Every planar map is

4-colorable," Bulletin of the AMS, Volume 82 (1976),

711-712

Bài toán 4 màu

 Trong ngôn ngữ toán học, bài toán 4 màu được phát biểu dưới dạng bài toán tô màu đồ thị phẳng

 Việc giải quyết Bài toán 4 màu đóng góp phần quan trọng vào việc phát triển lý thuyết đồ thị

 Bài toán tô màu đồ thị có nhiều ứng dụng thực tế quan trọng

Hỡnh lục giỏc thần bớ

 Năm 1910 Clifford Adams đề ra bài toán hình lục giác thần

bí sau: trên 19 ô lục giác (xem hình vẽ ở d ới) hãy điền vào các số từ 1 đến 19 sao cho tổng theo 6 h ớng của lục giác là bằng nhau (và đều bằng 38).

Giả thuyết 3x + 1

• Giả sử hàm f(x) trả lại x/2 nếu x là số chẵn và 3x+1 nếu x là số

lẻ Với mọi số nguyên dương x, luôn tồn tại n sao cho

f f f f f f f f

Giả thuyết 3x + 1

 Giả thuyết 3x+1: Đoạn chương trình sau đây luôn kết

thúc với mọi số nguyên dương x:

repeat

if x mod 2 = 0 then x:= x div 2

else x:= 3*x +1

until x=1;

 Paul Erdös commented concerning the intractability of

the 3x+1 problem: ``Mathematics is not yet ready for such problems.''

 Đã chứng minh với mọi x  5.6*1013

Một số vấn đề mở Open problems

 Goldbach’s Conjecture

• Mỗi số nguyên n >2 đều là tổng của 2 số nguyên tố

• Đã chỉ ra là đúng với mọi n đến tận 4*1014

• Nhiều người cho rằng giả thuyết là đúng

 Cặp số nguyên tố sinh đôi (Twin prime conjecture)

• Có vô số cặp số nguyên tố sinh đôi (nghĩa là chỉ chênh lệch nhau 2)

ẢO GIÁC

Fractals

A bit of humor: Computer terminology

Chương 2 BÀI TOÁN TỒN TẠI

1. Giới thiệu bài toán

3. Nguyên lý Dirichlet

4. Hệ đại diện phân biệt

5. Định lý Ramsey

2.0 Mở đầu

 Chứng minh là trái tim của toán học

 Trong suốt quá trình học từ thuở nhỏ đến trưởng thành bạn đã và sẽ còn phải làm việc với chứng minh – phải đọc, hiểu và thực hiện chứng minh

 Có bí quyết gì không? Có phép màu gì giúp được không? Câu trả lời là: Không có bí quyết, không có phép màu Vấn đề quan trọng là cần biết tư duy, hiểu biết một số sự kiện và nắm vững một số kỹ thuật cơ bản

Cấu trúc của chứng minh

 Cấu trúc cơ bản của chứng minh rất đơn giản: Nó là dãy các mệnh đề, mỗi một trong số chúng sẽ

• hoặc là giả thiết, hoặc là

• kết luận được suy trực tiếp từ giả thiết hoặc suy ra từ các kết quả đã chứng minh trước đó

 Ngoài ra có thể có những giải thích – cần cho người đọc

và không có ảnh hưởng đến cấu trúc của chứng minh

 Một chứng minh trình bày tốt sẽ rất dễ theo dõi: Mỗi bước trong chứng minh đều rõ ràng hoặc ít ra là được giải thích

rõ ràng, người đọc được dẫn dắt đến kết luận mà không gặp những vướng mắc do những tình tiết không rõ ràng gây ra

Ví dụ: Chứng minh là số vô tỷ 2

 Trước hết ta nhắc lại khái niệm số vô tỷ và một kết quả của số học:

 Một số thực được gọi là số hữu tỷ nếu nó có thể biểu diễn

dưới dạng p/q, với p và q là các số nguyên Một số thực

không là số hữu tỷ được gọi là số vô tỷ

 Định lý cơ bản của số học: Mọi số nguyên dương đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng tích của các số nguyên tố mà ta sẽ gọi là phân tích ra thừa số nguyên tố (sẽ viết tắt là PTNT) của số đó

trong đó p và q là hai số nguyên Bằng cách chia cho ước

chung nếu cần, ta có thể giả thiết là p và q không có ước

chung nào ngoài 1

 Thay biểu diễn này vào phương trình đầu tiên, sau khi biến đổi một chút, ta thu được phương trình

p2 = 2 q2

Ví dụ: Chứng minh là số vô tỷ 2

 Thế nhưng, theo định lý cơ bản của số học, 2 là thừa số

trong PTNT của p2 Do 2 là số nguyên tố, nên nó cũng là

thừa số trong PTNT của p Từ đó suy ra, 22 cũng xuất hiện

trong PTNT của p2, và vì thế trong cả PTNT của 2q2 Bằng cách chia hai vế cho 2, ta suy ra 2 là thừa số trong PTNT

của q2

 Tương tự như trên (như đối với p2) ta có thể kết luận 2 là

thừa số nguyên tố của q Như vậy, ta thấy p và q có chung thừa số 2 Điều đó là mâu thuẫn với giả thiết p và q không

có ước chung nào ngoài 1

 Khẳng định được chứng minh

2.1 Chứng minh trực tiếp

(Direct proofs)

 Chúng ta bắt đầu bằng ví dụ chứng minh tính bắc cầu của tính chất chia hết.

 Định lý Nếu a chia hết b và b chia hết c thì a chia hết c

 Proof Theo giả thiết, và định nghĩa tính chia hết, ta suy ra

tồn tại các số nguyên k1 và k2 sao cho

b = a k1 và c = b k2

 Suy ra

c = b k2 = a k1 k2

 Đặt k = k1 k2 Ta có k là số nguyên và c = a k, do đó theo định nghĩa về tính chia hết, a chia hết c

2.1 Chứng minh trực tiếp

(Direct proofs)

Nếu P, thì Q (If P, Then Q)

 Phần lớn các định lý (các bài tập hay bài kiểm tra) mà bạn cần chứng minh hoặc ẩn hoặc hiện có dạng “Nếu P, Thì Q"

 Trong ví dụ vừa nêu, "P" là “Nếu a chia hết b và b chia hết c " còn "Q" là "a chia hết c"

 Đây là dạng phát biểu chuẩn của rất nhiều định lý

 Chứng minh trực tiếp có thể hình dung như là một dãy các suy diễn bắt đầu từ “P” và kết thúc bởi "Q"

P   Q

 Phần lớn các chứng minh là chứng minh trực tiếp Khi phải chứng minh, bạn nên thử bắt đầu từ chứng minh trực tiếp, ngoại trừ tình huống bạn có lý do xác đáng để không làm như vậy

Ví dụ

 Ví dụ 1 Mỗi số nguyên lẻ đều là hiệu của hai số chính phương

 CM Giả sử 2a+1 là số nguyên lẻ, khi đó

 Chứng minh căn bậc hai của 2 là số vô tỷ trong ví dụ mở đầu là một ví dụ chứng minh như vậy.

2.2 Chứng minh bằng phản chứng

 Ví dụ 1 Cho 7 đoạn thẳng có độ dài lớn hơn 10 và nhỏ hơn

100 Chứng minh rằng luôn tìm đ ợc 3 đoạn để có thể ghép thành một tam giác.

 Giải:

 Chú ý rằng, cần và đủ để 3 đoạn có thể ghép thành một tam giác

là tổng độ dài của 2 đoạn nhỏ phải lớn hơn độ dài của đoạn lớn

 Sắp các đoạn đã cho theo thứ tự tăng dần của độ dài, ta có:

2.2 Chứng minh bằng phản chứng

nguyên 0, 1, , 9 một cách tuỳ ý Chứng minh rằng luôn tìm đ

ợc ba đỉnh liên tiếp có tổng các số là lớn hơn 13.

 Giải: Gọi x1, x2, , x10 là các số gán cho các đỉnh của 1, 2, ,

10 của thập giác Giả sử ng ợc lại là không tìm đ ợc ba đỉnh nào thoả mãn khẳng định của ví dụ Khi đó ta có

2.2 Chứng minh bằng phản chứng

 Ví dụ 3 Chứng minh rằng không thể nối 31 máy vi tính

thành một mạng sao cho mỗi máy được nối với đúng 5 máy khác

 Giải: Giả sử ngược lại là tìm được cách nối 31 máy sao

cho mỗi máy được nối với đúng 5 máy khác Khi đó số

lượng kênh nối là

531/2 = 75,5 ?!

 Điều phi lý thu được đã chứng minh khẳng định trong ví

dụ là đúng

2.3 Chứng minh bằng phản đề

(Proof by Contrapositive)

 Chứng minh bằng phản đề sử dụng sự tương đương của hai mệnh đề "P kéo theo Q" và “Phủ định Q kéo theo phủ định P"

(P  Q) (¬Q Q  ¬Q P)

 Ví dụ, khẳng định “Nếu đó là xe của tôi thì nó có màu mận" là tương đương với “Nếu xe đó không có màu mận thì nó không phải của tôi"

 Do đó, để chứng minh “Nếu P, Thì Q" bằng phương pháp phản đề, ta chứng minh “Nếu phủ định Q thì có phủ định P” ("If Not Q, Then Not P“)

2.3 Chứng minh bằng phản đề

 Ví dụ 1 Nếu x và y là hai số nguyên sao cho x+y là số

chẵn, thì x và y có cùng tính chẵn lẻ

 CM Mệnh đề phản đề của khẳng định đã cho là “Nếu x và

y là hai số nguyên không cùng chẵn lẻ, thì tổng của chúng

là số lẻ."

 Vì thế ta giả sử rằng x và y không cùng chẵn lẻ Không giảm tổng quát, giả sử rằng x là chẵn còn y là lẻ Khi đó ta tìm được các số nguyên k và m sao cho x = 2k và y = 2m+1 Bây giờ ta tính tổng x+y = 2k + 2m + 1 = 2(k+m) + 1, mà

rõ ràng là số lẻ

 Từ đó suy ra khẳng định cuả ví dụ là đúng

2.3 Chứng minh bằng phản đề

 Ví dụ 2 Nếu n là số nguyên dương sao cho n mod 4 là bằng 2 hoặc 3,

thế thì n không là số chính phương

 CM Ta sẽ chứng minh mệnh đề phản đề: “Nếu n là số chính phương

thì n mod 4 phải bằng 0 hoặc 1."

 Giả sử n = k 2 Có 4 tình huống có thể xảy ra

• Nếu k mod 4 = 0, thì k = 4q, với q nguyên nào đó Khi đó, n = k 2 =

2.3 Chứng minh bằng phản đề

 Chứng minh bằng phản đề khác chứng minh phản chứng ở chỗ nào? Ta xét việc áp dụng chúng vào việc chứng minh "If P, Then Q"

 Chứng minh bằng phản chứng: Giả sử có P và Not Q ta cố gắng chỉ ra điều mâu thuẫn

 Chứng minh bằng phản đề: Giả sử có Not Q và ta phải chứng minh not P

 Phương pháp chứng minh bằng phản đề có ưu điểm là bạn có mục đích rõ ràng là: Chứng minh Not P Trong phương pháp phản chứng, bạn phải cố gắng chỉ ra điều mâu thuẫn mà ngay từ đầu bạn chưa thể xác định được đó là điều gì

2.4 Chứng minh bằng qui nạp toán học

 Đây là kỹ thuật chứng minh rất hữu ích khi ta

phải chứng minh mệnh đề P(n) là đúng với

The “Domino Effect”

01

23456

Tính đúng đắn của qui nạp (The Well-Ordering Property)

 Tính đúng đắn của chứng minh qui nạp là hệ quả

của “well-ordering property”:

• Mỗi tập con khác rỗng các số nguyên không âm đều có phần tử nhỏ nhất”.

    S  N : m  S : n  S : m  n

 Từ đó suy ra tập {n|P(n)} (nếu khác rỗng) có phần tử nhỏ nhất m, thế nhưng điều đó là trái với

điều đã chứng minh: Ta có P(m−1) là đúng, suy

ra P((m−1)+1) là đúng?!

Sơ đồ chứng minh bằng qui nạp yếu

 Cơ sở qui nạp: Chứng minh P(m) là đúng.

 Giả thiết qui nạp: Giả sử P(n) là đúng

 Bước chuyển qui nạp: Chứng minh P(n+1) là đúng.

 Kết luận: Theo nguyên lý qui nạp ta có P(n) là đúng  n  m.

• Bước chuyển qui nạp sử dụng giả thiết mạnh

hơn: P(k) là đúng cho mọi số nhỏ hơn k<n+1 ,

chứ không phải chỉ riêng với k=n như trong nguyên lý qui nạp thứ nhất.

P là đúng trong mọi tình huống trước

Sơ đồ chứng minh bằng qui nạp mạnh

 Cơ sở qui nạp: Chứng minh P(0) là đúng.

 Giả thiết qui nạp: Giả sử P(k) là đúng  0  k  n.

 Bước chuyển qui nạp: Chứng minh P(n+1) là đúng.

 Kết luận: Theo nguyên lý qui nạp ta có P(n) là đúng

 n  0.

Ví dụ 1

Chứng minh rằng luôn có thể phủ kín bàn

cờ kích thước 2n  2n (n > 1) bởi các quân bài hình chữ T (T-omino).

Cơ sở qui nạp: Bảng 22 x 22

Cơ sở qui nạp: Bảng 22 x 22

Cơ sở qui nạp: Bảng 22 x 22

Cơ sở qui nạp: Bảng 22 x 22

Bước chuyển qui nạp

Giả sử ta có thể phủ kín bàn cờ kích thước 2n  2n Ta phải chứng minh có thể phủ kín bàn cờ kích thước 2n+1 

2n+1

Thực vậy, chia bàn cờ 2n+1  2n+1 ra thành 4 phần, mỗi phần kích thước 2n  2n Theo giả thiết qui nạp mỗi phần này đều có thể phủ kín bởi các quân bài chữ T Đặt chúng vào bàn cờ 2n+1  2n+1 ta thu được cách phủ cần tìm

VÍ DỤ 2

 Trên mặt phẳng vẽ n đường thẳng ở vị trí

tổng quát Hỏi ít nhất phải sử dụng bao nhiêu màu để tô các phần bị chia bởi các đường thẳng này sao cho không có hai phần có chung cạnh nào bị tô bởi cùng một màu?

 P(n): Luôn có thể tô các phần được chia bởi

n đường thẳng vẽ ở vị trí tổng quát bởi 2 màu xanh và đỏ sao cho không có hai phần

có chung cạnh nào bị tô bởi cùng một màu.