Rèn luyện phương pháp giải các bài toán về tổ hợp và xác suất trong chương trình trung học phổ thông

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN ------ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài RÈN LUYỆN PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG.. M

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

- -

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Đề tài RÈN LUYỆN PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG

HỌC PHỔ THÔNG

Giáo viên hướng dẫn : TS LÊ VĂN DŨNG

Họ và tên sinh viên : LÊ THỊ MINH LINH

Năm học 2017-2018

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, chúng tôi xin chân thành cảm

ơn sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong khoa Toán đặc biệt là thầy giáo – T.S Lê Văn Dũng đã tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong quá trình làm khóa luận

Trong quá trình hoàn thành khóa luận, do thời gian và kinh nghiệm hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên ở khóa luận được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Đà Năng, ngày , tháng , năm 2018

Sinh viên

Lê Thị Minh Linh

DANH MỤC KÍ HIỆU CHỮ VIẾT TẮT

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

I Lý do chọn đề tài: 1

II Mục đích nghiên cứu 2

1 Mục đích nghiên cứu: 2

2 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

III Phương pháp nghiên cứu: 2

IV Cấu trúc đề tài 2

Chương I 3

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 3

1 Vị trí chức năng của bài tập toán học 3

2 Nội dung chính của chương tổ hợp xác suất ở THPT (lớp 11) 3

2.1 Một số kiến thức cần nhớ về tổ hợp: 4

2.1.1 Quy tắc đếm a) Quy tắc cộng Nếu mô ̣t công viê ̣c nào nó có thể thực hiê ̣n theo n phương án kha ́ c nhau, trong đó: Phương án thứ 1 có m1 ca ́ ch thực hiê ̣n 4

2.1.2 Hoán vị - chỉnh hợp – tổ hợp 6

2.1.3 Công thức nhị thức newton: 7

2.2 Kiến thức cần nhớ về xác suất 7

2.2.1 Biến cố và phép thử 7

2.2.2 Phép toán trên biến cố 8

2.2.3 Định nghĩa cổ điển của xác suất 8

2.2.4 Tính chất của xác suất 8

Chương II 10

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT 10

1 Một số dạng bài tập tổ hợp trong chương trình THPT 10

1.1 Dạng1: Đếm số phần tử của tập hợp 10

1.2 Dạng 2: Bài toán xếp cách phần tử và bài toán chọn các phần tử 12

1.3 Dạng 3: Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình 18

1.4 Chứng minh một đẳng thức và bất đẳng thức 21

1.5 Dạng 5: Các bài toán về hệ số trong khai triển nhị thức Newton 22

1.6 Dạng 6: Các bài toán chứng minh hệ thức tổ hợp hoặc tính tổng bằng cách

sử dụng nhị thức Newton 25

2 Một số dạng bài tập xác suất 26

2.1 Dạng 1: Các bài toán tính xác suất đơn giản 26

2.2 Dạng 2: Biến cố đối 31

2.3 Dạng 3: Các bài toán sử sụng quy tắc cộng, quy tắc nhân 33

KẾT LUẬN 41

TÀI LIỆU THAM KHẢO 42

MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài:

Đất nước ta đang bước vào giai đoạn CNH - HĐH với mục tiêu đến năm 2020 Việt Nam sẽ từ một đất nước nông nghiệp về cơ bản chuyển thành nước công nghiệp, hội nhập với cộng đồng quốc tế Nhân tố quyết định của công cuộc CNH - HĐH và hội nhập quốc tế là con người, là nguồn lực người Việt Nam được phát triển về số lượng

và chất lượng trên cơ sở mặt bằng dân trí được nâng cao

“Giải tích tổ hợp xác suất” là một phần của “đại số và giải tích” lớp 11 và có trong

cấu trúc các đề thi toán và CĐ và ĐH, là một mảng toán khó Bài toán về giải tích tổ hợp xác suất rất đa dạng và phong phú và cũng là nội dung rất phức tạp trong chương trình toán THPT Mặc dù tôi đã đưa ra các phương pháp giải tổng quát cho một số dạng toán cụ thể song còn nhiều bài toán giải tích tổ hợp xác xuất chúng ta chưa có cách giải cụ thể

Để hiểu rõ lý thuyết cần phải tìm hiểu và làm nhiều bài tập, học sinh muốn nắm vững nội dung bài học thì phải dạy cho học sinh cách học, cách làm bài tập một cách hệ thống có phương pháp giải cụ thể cho từng dạng từ đó học sinh có thể tự mình làm được các bài tập Hệ thống các bài tập trong SGK, sách bài tập được chọn lọc cận thận và đóng vai trò quan trọng trong việc củng cố lý thuyết, song để đáp ứng yêu cầu nâng cao, mở rộng đào sâu kiến thức thì hệ thống bài tập đó chưa đủ và chưa phân dạng được các dạng bài tập Như vậy học sinh khó nắm bắt hệ thống bài tập, khi gặp các dạng bài tập tổ hợp – xác suất khác với các bài tập học sinh đã quen giải, học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc tìm lời giải, phân biệt khi nào dùng “tổ hợp”, “chỉnh hợp”, … Vì vậy việc nghiên cứu tìm tòi hệ thống các phương pháp giải toán tổ hợp, xác suất là cần thiết và hữu ích cho học sinh, sinh viên sư phạm toán và giáo viên các trường THPT

Với lí do trên, tôi chọn và nghiên cứu đề tài “Rèn luyện phương pháp giải các bài toán về tổ hợp và xác suất trong chương trình trung học phổ thông” nhằm cung cấp

thêm cho học sinh một số phương pháp để giải các bài toán tổ hợp, xác suất từ đó nâng cao khả năng giải toán, khả năng tư duy và hứng thứ học tập cho học sinh

II Mục đích nghiên cứu

1 Mục đích nghiên cứu:

Cung cấp hệ thống một số phương pháp bài toán về tổ hợp – xác suất từ đó giúp cho học sinh hạn chế được những khó khăn khi giải những bài toán tổ hợp – xác suất có dạng đặc biệt, đồng thời giúp các em hình thành tư duy toán học trong quá trình làm các bài toán bằng nhiều phương pháp khác nhau

2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Giới thiệu cho học sinh có cách nhìn nhận chính xác về một số bài toán tổ hợp xác suất trong chương trình toán THPT

Cung cấp cho học sinh phương pháp giải một số dạng toán tổ hợp xác suất cụ thể phức tạp hơn những dạng thông thường

III Phương pháp nghiên cứu:

Phương pháp nghiên cứu lí luận

IV Cấu trúc đề tài

- MỞ ĐẦU

Chương I: Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương II: Một số phương pháp giải toán tổ hợp và xác suất

- KẾT LUẬN

- Tài liệu tham khảo

Chương I

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Mục tiêu giáo dục đào tạo phải hướng vào việc những con người lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp qua đó góp phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của đất nước là dân giàu, nước mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh

Về phương pháp giáo dục: phải khuyến khích tự học, phải ứng dụng những phương pháp giáo dục hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh những năng lực tư duy, sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề

Định hướng chung về đổi mới PPDH là phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo, tự học, kĩ năng vận dụng vào thực tiễn, phù hợp đặc điểm của từng lớp học, môn học, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, tạo hứng thú cho học sinh, tận dụng được công nghệ mới nhất; khắc phục lối dạy truyền thụ một chiều các kiễn thức

có sẵn

1 Vị trí chức năng của bài tập toán học

Bài tập có vai trò quan trọng trong bộ môn toán và điều căn bản là mang lại hoạt động cho học sinh Thông qua việc giải bài tập học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí… Những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ Hoạt động của học sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học

Bài tập toán ở THPT giúp HS củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo; phát triển kỹ năng trí tuệ Những bài tập toán học giúp hoàn chỉnh, bổ sung những tri thức được trình bày trong phần lý thuyết Đồng thời góp phần tổ chức cho học sinh tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo

2 Nội dung chính của chương tổ hợp xác suất ở THPT (lớp 11)

Trong chương trình môn toán ở trường THPT, kiến thức tổ hợp – xác xuất được tìm hiểu ở chương trình toán lớp 11 và nội dung kiến thức bao gồm các vấn đề sau:

- Những khái niệm ban đầu về đại số tổ hợp – xác suất

- Các quy tắc đếm

- Nhị thức newtơn và các dạng toán liên quan

- Các khái niệm quan trọng ban đầu của xác suất: Phép thử, kết quả của phép thử và không gian mẫu

- Khái niệm của xác suất của biến cố và biết cách tính xác suất của biến cố

Theo Phân phối chương trình của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo phần tổ hợp và xác suất được dạy trong 5 bài cụ thể như sau:

- Bài 1: Quy tắc đếm (3 tiết)

- Bài 2: Hoán vị - chỉnh hợp – tổ hợp (5 tiết)

- Bài 3: Nhị thức Newtơn (1 tiết)

- Bài 4: Phép thử và biến cố (2 tiết)

- Bài 5: Xác suất của biến cố (2 tiết)

Một số kiến thức cần nhớ về tổ hợp xác suất 2.1 Một số kiến thức cần nhớ về tổ hợp:

Phương án thứ n có m n cách thực hiê ̣n

Khi đó, có: m1 m2   m n cách để hoàn thành công viê ̣c đã cho

Ví dụ: Trong một cuộc thi tìm hiểu về đất nước Việt Nam, ban tổ chức công bố danh

sách các đề tài bao gồm: 8 đề tài về lịch sử, 7 đề tài về thiên nhiên, 10 đề tài về con người và 6 đề tài về văn hóa Hỏi mỗi thí sinh có bao nhiêu khả năng chọn bao nhiêu

đề tài?

Phân tích: Có 4 phương án chọn đề tài

PA1 có 8 cách chọn đề tài lịch sử

PA2 có 7 cách chọn đề tài thiên nhiên,

PA3 có 10 cách chọn đề tài về con người

PA4 có 6 cách chọn đề tài văn hóa

Lời giải: Số cách chọn đề tài sẽ tuân theo quy tắc cộng là 8+7+10+6=31 cách

b) Quy tắc nhân:

Nếu mô ̣t công viê ̣c nào đó phải hoàn thành qua n giai đoa ̣n liên tiếp, trong đó:

Giai đoạn thứ 1 có m1 cách thực hiê ̣n

Giai đoạn thứ 2 có m2 cách thực hiê ̣n

………

Giai đoạn thứ n có m n cách thực hiê ̣n

Khi đó, có: m m1 2 m n cách để hoàn thành công viê ̣c đã cho

Ví dụ: An đến nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường Từ nhà An đến nhà Bình

có 4 con đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 con đường đi Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi từ nhà đến nhà Cường

Phân tích: Có 2 giai đoạn

Giai đoạn 1: Chọn đường để đi từ nhà An đến nhà Bình, có 4 cách chọn

Giai đoạn 2: Chọn đường để đi từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 cách chọn

Ta thấy 2 giai đoạn này là 2 công việc liên tiếp nhau, nên số cách chọn sẽ tuân thủ theo quy tắc nhân:

Lời giải: Số cách chọn đường đi từ nhà đến nhà Cường sẽ tuân thủ theo quy tắc nhân

4.6 =24

Nhâ ̣n xét:

Từ đi ̣nh nghĩa của quy tắc cô ̣ng và quy tắc nhân trên, ta thấy rằng:

+ Nếu bỏ 1 giai đoa ̣n nào đó mà ta không thể hoàn thành được công viê ̣c (không có

kết quả) thì lúc đó ta cần phải sử du ̣ng quy tắc nhân

+ Nếu bỏ 1 giai đoa ̣n nào đó mà ta vẫn có thể hoàn thành được công viê ̣c (có kết quả) thì lúc đó ta sử du ̣ng quy tắc cô ̣ng

Như vâ ̣y, với nhâ ̣n xét này ta thấy rõ được sự khác biê ̣t của 2 quy tắc và không thể nhầm lẫn viê ̣c dùng quy tắc cô ̣ng và quy tắc nhân được Sau đây là mô ̣t số bài tâ ̣p củng cố

+ Khi hai công việc có thể được làm đồng thời, ta không thể dùng quy tắc cộng để

tính số cách thực hiện nhiệm vụ gồm cả hai việc Để tính đúng số cách thực hiện

nhiệm vụ này ta cộng số cách làm mỗi một trong hai việc rồi trừ đi số cách làm đồng

thời cả hai việc

Bài tập củng cố

Bài 1: Một hộp đựng 12 viên bi trắng, 10 viên bi xanh và 8 viên bi đỏ Một em bé muốn chọn 1 viên bi để chơi Hỏi có bao nhiêu cách để chọn?

Bài 2: Lớp 11A có 30 học sinh Tập thể lớp muốn bầu ra một lớp trưởng, một lớp phó

và một thủ quỹ Hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 ban cán sự lớp như trên

Bài 3: Một ca sĩ có 30 cái áo và 20 cái quần, trong đó có 18 áo màu xanh và 12 áo màu đỏ, 12 cái quần xanh và 8 cái quần đỏ Có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo khác màu để người ca sĩ này đi trình diễn?

Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt (n ³ 0) Mỗi cách chọn ra k (0£ k £ n)

phần tử của X và sắp xếp theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k

của n phần tử Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là Akn Công thức:

- Số mũ của a giảm dần đồng thời số mũ của b tăng dần và tổng số mũ của a và b là n

- Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau do

- Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc

dù đã biết tập hợp các kết quả có thể có của phép thử đó

- Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu

của phép thử và kí hiệu là 

- Biến cố là một tập con của không gian mẫu

- Biến cố thường được kí hiệu bằng chữ in hoa A, B, C… và cho dưới dạng mệnh đề xác định

* Trong một phép thử luôn có hai biến cố đặc biệt:

- Tập  được gọi là biến cố chắc chắn

2.2.2 Phép toán trên biến cố

Trước hết ta giả thiết các biến cố đang xét cùng liên quan đến phép thử và kết quả của phép thử là đồng khả năng

Tập \ A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A và A xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra

- Tập AB được gọi là hợp của các biến cố A và B

- Tập AB được gọi là giao của các biến cố A và B, còn được viết là A.B (hay AB)

- Nếu A    thì ta nói A và B xung khắc B

Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra

của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia

2.2.3 Định nghĩa cổ điển của xác suất

Gi ả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện

- Nếu A và B xung khắc thì: P A( B)P A( )P B( )

- Với mọi biến cố A và B bất kì ta có: P A( B)P A( )P B( )P AB( )

c) Quy tắc nhân xác suất:

- Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi P A( B)P A P B( ) ( )

Chương II MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

1 Một số dạng bài tập tổ hợp trong chương trình THPT

1.1 Dạng1: Đếm số phần tử của tập hợp

Phương pháp: Vận dụng các quy tắc đếm cơ bản (cộng, nhân)

Bài 1: Một hộp đựng 12 viên bi trắng, 10 viên bi xanh và 8 viên bi đỏ Một em bé

muốn chọn 1 viên bi để chơi Hỏi có bao nhiêu cách để chọn?

Phân tích: Vì bi trắng, xanh, đỏ khác nhau nên mỗi lần lấy ra một viên bi bất kì là

Vậy học sinh có 12 10 8 20   cách chọn một viên bi

Bài 2: An đến nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường Từ nhà An đến nhà Bình

có 4 con đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 con đường đi Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi từ nhà An đến nhà Cường phải đi qua nhà Bình?

Phân tích: Để chọn con đường đi từ nhà An đến nhà Cường, An phải thực hiện liên

tiếp 2 hành động: Hành động 1 là chọn 1 con đường để đi từ nhà An đến nhà Binh, hành động 2 là chọn con đường từ nhà Bình đến nhà Cường, nên áp dụng quy tắc nhân ta sẽ suy ra được số cách chọn

Bài 3: Trong một hộp có 6 bi đỏ, 5 bi trắng và 4 bi vàng Có bao nhiêu cách lấy 3

viên từ hộp này sao cho chúng không đủ 3 màu?

Phân tích: Thay vì đưa ra các phương án chọn 3 viên cùng màu, chọn 3 viên có 2

màu khác nhau ta chỉ cần tìm số cách chọn 3 viên bi trừ số cách chọn 3 viên bi đủ ba màu

Lời giải:

Số cách chọn 1 viên bi là 15

Sau khi chọn 1 viên bi, chọn 1 viên bi thứ 2 có 14 cách

Sau khi chọn 2 viên bi, chọn 1 viên bi thứ 3 có 13 cách

Số cách chọn 3 viên bi không đủ ba màu là 15.14.13-6.5.4 = 2610

Bài 4: Cho tập hợp A {1, 2,3, 4,5} Từ các phần tử A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên khác nhau bắt đầu bằng chữ số 5

Phân tích: Để thành lập các số từ các số đã cho ta gọi số cần tìm là xabcde

Để thành lập một số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau ta phải thực hiện năm hành động lựa chọn liên tiếp các chữ số a, b, c, d, e từ tập A

Lời giải:

Gọi số cần tìm là abcde

Do số tự nhiên bắt đàu bằng chữ số 5 nên a có một cách chọn

Chọn c có 3 cách chọn Chọn d có 2 cách chọn Vậy theo quy tắc nhân ta có 1.4.3.2.1=24 cách

Bài tập củng cố

Bài 1: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau mà không bắt đầu bởi 12 Bài 2: Một ca sĩ có 30 cái áo và 20 cái quần, trong đó có 18 áo màu xanh và 12 áo màu đỏ, 12 cái quần xanh và 8 cái quần đỏ Có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo khác màu để người ca sĩ này đi trình diễn?

Bài 3: Lớp 11A có 30 học sinh Tập thể lớp muốn bầu ra một lớp trưởng, một lớp phó

và một thủ quỹ Hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 ban cán sự lớp như trên?

1.2 Dạng 2: Bài toán xếp cách phần tử và bài toán chọn các phần tử

Phương pháp:

- Sử dụng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

- Sử dụng, phối hợp kết hợp giữa hoán vị và chỉnh hợp, giữa tổ hợp và hoán vị

- Có thể sử dụng phương pháp bù trừ để giải bài toán này

Bài 1: Có bao nhiêu cách xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghê hàng ngang

Bài 2: Từ 20 học sinh cần chọn ra một ban đại diện lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó

và 1 thư ký Hỏi có mấy cách chọn một ban đại diện lớp?

Phân tích: Để chọn 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 thư ký có nghĩa là chọn 3 học sinh có

thứ tự trong 20 học sinh ta sử dụng chỉnh hợp chập 3 của 20 phần tử

Lời giải:

Số cách chọn một ban đại diện lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 thư ký là A cách 204

Bài 3: Một tổ có 12 học sinh Thầy giáo có ba đề kiểm tra khác nhau, cần chọn bốn

học sinh cho mỗi đề kiểm tra Hỏi có mấy cách chọn?

Phân tích:

Để chọn đề kiểm tra cho mỗi học sinh ta phải thực hiện hai hành động liên tiếp: Chọn học sinh và chọn đề:

- Việc chọn 4 học sinh trong 12 học sinh lấy ra làm đề 1 là tổ hợp chập 4 của 12

- Tương tự chọn 4 trong 8 học sinh còn lại làm đề 2 là tổ hợp chập 4 của 8

Sau đó, chọn 4 trong 8 học sinh còn lại làm đề hai có 4

Bài 4: Ông X có 11 người bạn Ông muốn mời 5 người trong số họ đi chơi xa Trong

11 người đó có 2 người không muốn gặp nhau Hỏi ông X có bao nhiêu phương án mời 5 người bạn?

Phân tích:

Để tránh nhiều phương án, ta cần chọn ra 5 người trong 11 người

Chọn 5 người trong đó có cả 2 người không muốn gặp nhau

Sau đó dùng phần bù đề tìm ra số cách mời để 5 người bạn để đi chơi xa

Lời giải

11

Chọn 5 người có 2 người không muốn gặp nhau:

Chọn 2 người không muốn gặp nhau là 1 cách

Bài 5: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 6 ghế Người ta muốn

xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau:

Tương tự có 6! cách xếp 6 học sinh trường B vào 6 chỗ ngồi

Kết luận có 2.6!.6! = 1036800 cách

Sau đó, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ nhất trường: có 6 cách chọn học sinh trường B

Học sinh thứ 2 của trường A còn 10 chỗ để chọn, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ 2 của trường A: có 5 cách chọn

* tiếp tục *

Vậy có 12.6.10.5.8.4.6.3.2.1.1=33177600 cách

Bài 6: Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu có ghi số thứ tự từ 1 đến 5 cạnh nhau

a) Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau?

b) Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẻ riêng biệt (chẳng hạn 2; 4; 1; 3; 5)?

Lời giải:

a) Xếp các phiếu số 1; 2; 3; 5 có 4! = 24 cách

Sau đó xếp phiếu số 4 vào cạnh phiếu số 2 có 2 cách

Vậy có 2.24=48 cách xếp theo yêu cầu đề bài

b) Khi nhóm chẵn ở bên trái, nhóm lẻ ở bên phải

Số cách xếp cho 2 số chẵn là 2! cách Số cách xếp có 3 số lẻ là 3! cách

Vậy có 2.6=12 cách xếp nhóm chẵn ở bên trái, nhóm lẻ ở bên phải

Tương tự cũng có 12 cách xếp mà nhóm chẵn ở bên phải, nhóm lẻ ở bên trái

* Vậy có 12+12=24 cách

Bài 7: Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lí nam Lập một đoàn

công tác 3 người cần có cả nam và nữ và nhà vật lí Hỏi có bao nhiêu cách?

1) Có bao nhiêu tập hợp con của A?

Cứ 2 đỉnh của đa giác thì lập thành một đoạn thẳng

Vì thế, số đường chéo ta lấy số đoạn thẳng tìm được trừ cho số cạnh

đỉnh là các đỉnh của đa giác đã cho Tìm n để: x – y = 3n (Đường chéo của đa giác là

đoạn thẳng nối hai đỉnh không liên tiếp)

Lời giải:

Gọi các đỉnh của đa giác đều 2n cạnh là: A A1; 2; ;A2n Trước hết ta tìm x

Ta đếm số các tứ giác thoả mãn yêu cầu bài toán có 1 đỉnh là A1

Khi đó A2;A 2n không phải là đỉnh của tứ giác vì A1 A2; A1 A 2nlà các cạnh của đa

giác Ta cần chọn thêm các đỉnh: A A A i; J; kthoả mãn 5     i 2 j 1 k 2n1(Vì giữa

2 đỉnh của tứ giác phải có ít nhất 1 đỉnh của đa giác)

Mỗi cách chọn bộ 3 đỉnh trên là 1 cách chọn bộ 3 số phân biệt trong 2n-5 số tự nhiên

từ 5 đến 2n-1

Vậy có C23n5tứ giác có đỉnh A1 thoả mãn yêu cầu bài toán

Vì đa giác có 2n đỉnh và mỗi tứ giác được đếm lặp lại 4 lần theo 4 đỉnh nên số tứ giác

cần tìm là:

3

2 52

n

nC 

Tìm y: do đa giác đều đã cho có 2n đỉnh nên nó có n đường chéo đi qua tâm O

Ta thấy cứ hai đường chéo bất kì qua O lập thành một hình chữ nhật, nên số hình chữ

nhật có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác đều đã cho là C n2, do đó y = 2

Vậy n=5 thỏa mãn điều kiện bài toán

Bài 12: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số

khác nhau trong đó có ba chữ số chẵn và ba chữ số lẻ? Trong các số trên có bao nhiêu

số mà các chữ số được sắp xếp theo thứ tự tăng dần?

Lời giải:

Có 5 số lẻ và 4 số chẵn từ chín số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Suy ra có C53 cách chọn 3 số lẻ từ năm số 1, 3, 5, 7, 9

và có C43 cách chọn 3 số chẵn từ bốn số 2, 4, 6, 8

Cứ ba chữ số lẻ ghép với ba chữ số chẵn ta được một tập gồm 6 phần tử

Theo quy tắc nhân có C C43. 53 cách chọn các tập hợp mà mỗi tập có 3 số chẵn và 3 số

lẻ từ các số trên

Ứng với mỗi tập có 6! cách sắp xếp thứ tự các phần tử và mỗi cách sắp xếp thứ tự đó

ta được một số thỏa mãn bài toán

đô ̣ng viên đã chơi?

Lời giải:

Gọi n là số vâ ̣n đô ̣ng viên nam tham gia (n2,n )

Chọn 2 trong số n VĐV nam để đấu 2 ván với nhau : 2

2C cách n

Số ván VĐV nam đấu với VĐV nữ là : 4n

Theo đề bài, ta có :

6( )( 2)!2!

Vậy số VĐV tham gia giải là : 11+2=13 người

Số ván các vâ ̣n đô ̣ng viên chơi với nhau là : 2

11

2C 4.11 2 156  ván

Bài 14: Có bao nhiêu cách xếp 6 người vào một chiếc bàn tròn?

Phân tích: Hai cách xếp được coi là như nhau khi cách này nhâ ̣n dc từ cách kia bằng

cách xoay bàn đi mô ̣t góc

Lời giải:

- Xếp người thứ nhất vào bàn: có 1 cách xếp (vì xếp người này ngồi ở ghế nào thì cũng chỉ có 1 cách)

- Xếp người thứ hai vào bàn: có 5 cách xếp (vì còn 5 ghế)

- Xếp người thứ ba vào bàn: có 4 cách xếp (vì còn 4 ghế)

- Xếp người thứ tư vào bàn: có 3 cách xếp (vì còn 3 ghế)

- Xếp người thứ năm vào bàn: có 2 cách xếp (vì còn 2 ghế)

- Xếp người thứ sáu vào bàn: có 1 cách xếp (vì còn 1 ghế cuối cùng)

Vì xếp 6 người vào bàn mới xong nên theo quy tắc nhân ta có 1.5.4.3.2.1 = 120 (cách)

Nhận xét: Đây là bài toán hoán vị tròn: Xếp n người vào 1 bàn tròn có n ghế thì có

(n 1)! cách xếp

Bài 15: Có 4 người đàn ông, hai người đàn bà và một đứa trẻ được xếp vào 7 ghế đặt

quanh một bàn tròn Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho:

a) Đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn bà

b) Đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn ông

Lời giải:

a) Đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn bà

Số cách sắp xếp chỗ ngồi là: 2 1 4!

b) Đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn ông:

4

C

2!