Một số phương pháp giải tốt bài tập tích phân trong chương trình toán THPT

Tích phân được ứng dụng rộng rãi như tính diện tích mặt phẳng, thể tích vật thể tròn xoay… Tích phân còn là đối tượng nghiên cứu của giải tích, là nền tảng cho lý thuyết hàm, lý thuyết p

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN 

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

ĐỀ TÀI:

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐT

BÀI TẬP TÍCH PHÂN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THPT

Người hướng dẫn : Th.S Ngô Thị Bích Thủy

Sinh viên thực hiện : Trương Thị Lệ Trinh Lớp : 14ST

Đà Nẵng,04/2018

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến các thầy cô giáo công tác tại khoa Toán, trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng, những người đã giảng dạy và cung cấp những kiến thức quý báu trong suốt những năm học vừa qua để tôi có nền tảng kiến thức thực hiện khóa luận

Đặc biệt, tôi xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến cô Ngô Thị Bích Thủy, người đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện khóa luận

Cuối cùng tôi xin cảm ơn các ý kiến đóng góp, sự động viên, giúp đỡ nhiệt tình của bạn bè trong quá trình làm khóa luận tốt nghiệp

Đà Nẵng, ngày 2 tháng 5 năm 2018

Sinh viên Trương Thị Lệ Trinh

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 4

1 Lý do chọn đề tài 4

2 Mục tiêu đề tài 4

3 Nội dung nghiên cứu 4

4 Phương pháp nghiên cứu 4

5 Bố cục của đề tài: 5

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN 6

1.1 Khái niệm về nguyên hàm và tích phân 6

1.2 Các công thức nguyên hàm cơ bản 7

1.3 Tính chất 7

1.4 Phương pháp đổi biến số và phương pháp từng phần 8

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP 10

A - PHẦN BÀI TẬP TỰ LUẬN 10

2.1 Nguyên hàm, tích phân hàm hữu tỷ 10

2.2 Nguyên hàm, tích phân hàm vô tỷ 21

2.3 Nguyên hàm, tích phân hàm lượng giác 26

2.4 Nguyên hàm và tích phân hàm mũ và hàm lôgarit 33

2.5 Diện tích hình phẳng 35

2.6 Thể tích vật thể tròn xoay 41

B – PHẦN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 43

2.7 Dạng 1: Tính tích phân cơ bản 43

2.8 Dạng 2: Tìm nguyên hàm bằng Casio 44

2.9 Dạng 3: Biết F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) BiếtF a( ) Tìm F b( ) .47

2.10 Dạng 4: Biết f x'( ) Biết ( )f a Tìm ( ) f b 52

2.11 Dạng 5: Tìm tích phân lý thuyết 54

2.12 Dạng 6: Tích phân 2 ẩn bằng phương pháp rút thế 60 2.13 Dạng 7: Tích phân 3 ẩn bằng phương pháp mũ hóa 64 2.14 Dạng 8: Các ví dụ liên quan đến diện tích và thể tích 69

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Phép tính tích phân chiếm một vị trí quan trọng trong toán học Tích phân được ứng dụng rộng rãi như tính diện tích mặt phẳng, thể tích vật thể tròn xoay… Tích phân còn là đối tượng nghiên cứu của giải tích, là nền tảng cho lý thuyết hàm,

lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng

“Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng” là một chương quan trọng trong sách giáo khoa Giải tích lớp 12 (sách cơ bản) Hơn nữa, phép tính tích phân hầu như luôn có ở các đề thi Toán trong các kỳ thi THPT Quốc gia Trong quá trình học Tích phân, rất nhiều học sinh còn mắc những sai lầm không đáng có hoặc gặp khó khăn trong việc tìm phương pháp phù hợp với từng dạng toán

Vì vậy, tôi nghiên cứu đề tài “Một số phương pháp giải tốt bài tập tích phân trong chương trình toán THPT” nhằm giúp các em nắm vững được kiến

thức, cung cấp những kĩ năng, phương pháp cần thiết để giải những bài tập về tích phân

2 Mục tiêu đề tài

Phân dạng và cung cấp cho học sinh những phương pháp giải bài tập về tích phân

3 Nội dung nghiên cứu

Để thực hiện được mục tiêu trên, đề tài của tôi làm rõ những vấn đề sau:

- Hệ thống lại các kiến thức cơ bản phần “Nguyên hàm và tích phân” ở chương trình “Giải tích 12”

- Đưa ra một số dạng bài tập tiêu biểu kèm theo phân tích và phương pháp giải hợp lí

4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận: nghiên cứu một số tài liệu, sách, báo tham khảo có liên quan tới phương pháp giải tích phân, nhằm hiểu rõ định nghĩa, bản chất của phép tính tích phân, cũng như có cơ sở phương pháp giải đúng đắn, phù hợp

- Nghiên cứu thực tế: sơ bộ tìm hiểu và rút ra những nhận xét về sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong giải toán tích phân thông qua việc trao đổi với thầy cô dạy toán THPT, cũng như với các bạn học sinh

5 Bố cục của đề tài:

Đề tài gồm 2chương

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

1.1 Khái niệm về nguyên hàm và tích phân

1.2 Các công thức nguyên hàm tích phân cơ bản

1.3 Tính chất

1.4 Phương pháp đổi biến số và phương pháp từng phần

Chương 2: Một số phương pháp giải bài tập tích phân

A – Phần bài tập tự luận

2.1 Nguyên hàm, tích phân hàm hữu tỷ

2.2 Nguyên hàm, tích phân hàm vô tỷ

2.3 Nguyên hàm, tích phân hàm lượng giác

2.4 Nguyên hàm, tích phân hàm mũ và lôgarit

2.13 Tích phân 3 ẩn bằng phương pháp mũ hóa

2.14 Các ví dụ liên quan đến diện tích và thể tích

Kết luận

Tài liệu tham khảo

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Khái niệm về nguyên hàm và tích phân

1.1.1 Nguyên hàm

- Nguyên hàm: Cho K là một khoảng  a b, , nửa khoảng a b,  , a b,  hay đoạn  a b, Hàm số F x được gọi là nguyên hàm của hàm số ( ) f x( ) trên K nếu F x'( ) f x( ), x K

- Nếu F x là một nguyên hàm của ( ) f x( ) thì họ các nguyên hàm của f x( ) là

Hiệu số F b( )F a( ) được gọi là tích phân từ a đến b ( hay tích phân xác

định trên đoạn  a b, ) của hàm số f x( ), kí hiệu là b ( )

1.2 Các công thức nguyên hàm cơ bản

- Phương pháp đổi biến số:

Dạng 1: Nếu xu t( ) có đạo hàm liên tục trên K thì:

- Phương pháp đổi biến số:

Dạng 1: Nếu x u t( ) có đạo hàm liên tục trên [ ; ]  và u( ) a u; ( ) b

thì:

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐT BÀI TẬP TÍCH PHÂN

Trong bảng công thức, không

có công thức dùng cho dấu trị

Giải:

tuyệt đối, nên ta sẽ phá dấu trị

tuyệt đối bằng công thức:

x x

Việc nhân 2 đa thức ở trên

cũng khá đơn giản, kết quả thu

được sẽ là đa thức mới và việc tính

tích phân mới này sẽ rất dễ dàng

Phân tích:

VD4 này nhìn có vẻ rất giống

với VD3, ta có thể nhân 2 đa thức

lại với nhau rồi tính bình thường

3

7294

dễ dàng hơn rất nhiều so với mũ 8

Rõ ràng, việc khai triển biểu thức

trên là cực kì khó khăn Vì vậy, ta sẽ

Giải:

Đặt t  2x 1 dt 2dx

P x

P x thì

'( )

ln ( )( )

P x

dx P x C



- Nếu bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu thì ta nên chia tách thành

phần đa thức, còn lại là hàm hữu tỉ với bậc tử bé hơn mẫu

- Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì phân tích mẫu ra các thừa số bậc

nhất (x+a) hay ( rồi đồng nhất hệ số theo phần tử đơn giản

đặt ẩn phụ : x 1 2 tant

2 2

dx I

Ta chỉ cần chia tử cho mẫu, kết

quả thu được sẽ bao gồm đa thức

Ta phải nhận ra điều sau đây để giải quyết bài toán này, đó là bậc của

VD 17: Tính

 8

1

dx I

2 3

14

Để ý một điều rằng dưới mẫu

chứa x nên nếu nhân thêm x nữa

2 1

3 2

Mặc dầu hàm dưới dấu tích

phân có căn thức nhưng nếu

VD 22: Tính 6

2

3 2

19

4 4

6

6

2 6

19

I

t

dt sin t

t sin t

t cos t

t t

t sin t



I cosx

t  x Nhưng sau đó bài

toán lại đi đến bế tắc khi dx

không thể chuyển thành dt

Nhưng khi nhìn nhận kĩ, ta sẽ

thấy rằng khi nhân cả tử và

mẫu cho cos x, mẫu trở thành

VD 25: Tính

1

dx I

nhưng bài này đặt biệt khi

m=1 Vì sau khi dùng công

cos 2 1

22

x x

sin xdx



2

n  m

n2m1

VD 26: Tính I sin2xd x

Ở bài này, ta chỉ cần dùng công

thức hạ bậc sin x 2

1 sin 22

24

cos x d

x x

3cos

cos3

 rồi khai triển

lũy thừa bậc hai

Giải:

11

21

21

2

sin cos sin sin cos cos cos cos cos cos

22

2 2

2.4 Nguyên hàm và tích phân hàm mũ và hàm lôgarit

2.4.1 Dạng 1: Phương pháp đổi biến số

sin 20

I   x x   x dx

Phân tích:

Thông thường, theo thứ tự

ưu tiên là “Nhất lô, nhì đa, tam

2

1 2 0

x x dx

VD 38: Tính

2 1

e x e

2.5.1 Dạng 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong

Nếu hàm số y  f x( ) liên tục trên đoạn a b; thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f x( ) trục hoành và hai đường thẳng ,

x a yb là ( ) (1)

b

a

S  f x dx

Để khử dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức f x( ) ta thường thực hiện:

 Cách 1: Sử dụng “định lí về dấu của nhị thức bật nhất”và “định lí về dấu của tam thức bậc hai” để xét dấu các biểu thức f x( )

Chú ý: Nếu f x( ) không đổi dấu trên  a b; thì ta có: ( ) ( )

f x  x Ta thấy f x( )0 trên  0; 2 và f x( )0 trên 2;3

Theo công thức (1), diện tích S của hình đang xét là:

VD 40: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x34x, trục

hoành, đường thẳng x 3và đường thẳng x 4

Lời giải:

Vẽ đồ thị hàm số

Dựa vào đồ thị ta có:

4 3 3

- Bước 3: Rút gọn biểu thức ( )f x g x( ) , sau đó xét dấu của hiệu này

- Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân và áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối

VD 41: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số

2

y x  x y  x và hai đường thẳng x 1;x3

Lời giải:

Trước hết ta tìm hoành độ giao điểm các đồ thị của hai hàm số đã cho Ta có

phương trình hoành độ giao điểm: 2

x       x x 

Trước hết ta vẽ các đồ thị hai hàm số trên một hệ trục:

Từ hình vẽ ta suy ra hoành độ giao điểm A, B là nghiệm của phương trình:

Lời giải:

Ta có:

2

44

4

4 2

x x

Thể tích của vật thể này được

VD 44: Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn

bởi các đường yx2 2 ,x y0,x0,x1 quanh trục hoành Ox

215

e

I  x xdx

VD 49: Tìm nguyên hàm của hàm số

41

x y

- Sửa biểu thức để thử đáp án B và thử với CALC 5  => Được kết quả là

0

 => Chọn B

VD 50 (Đề thi chính thức 2017) : Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )cos x3

A cos xdx3 3sin 3x C C sin 3

3

3

x cos xdx  C

 D cos xdx3 sin 3x C

Lời giải: Chọn đáp án B

VD 51 (Đề thi chính thức 2017): Tìm nguyên hàm của hàm số 1

VD 52 (Đề thi chính thức 2017): Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )2sinx

A 2sinxdx 2cosx C C 2sinxdx sin 2x C

B 2sinxdxsin2x C D 2sinxdx 2cosx C

dx  C

1

77

ln 7

x x

VD 54 (Đề tham khảo 2017): Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) 2x1

VD 57: Cho F x( ) là một nguyên hàm của hàm số 24 2

(2) ( 2)1

2

 Tính F(2)

2

1

2 2 1

(2) (1)1

1

x

F F x

ln 5 ln 2

x x

F   

A

2 2

=> Thấy kết quả 0=> Chọn A

VD 60: Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số

4 6

1( )

11

x

x

dx x

x dx x

VD 66 (Đề tham khảo 2017): Cho hàm số f x( ) có đạo hàm trên  1; 2 , (1) 1f  và

(2) 2

f  Tính

2 '

2017(sin 2 ) sin 2 2.2017 sin(2 ).2.2017.cos(2 )

2



(Lưu ý: bật chế độ radian trước khi bấm máy)

VD 69: Cho hàm số f x( ) liên tục trên R và

VD 70: Cho hàm số lẻ f x( ) liên tục trên R và

-

VD 73 (Đề thi chính thức 2017): Cho

2 0

- Rút ẩn này theo ẩn kia: D  a b e   a D b e.

- Dùng tổ hợp phím SHIFT SOLVE để thử đáp án và nhận kết quả “đẹp”: Thử với đáp án A: Vì a b   15 (D b e b )  15

Nên ta nhập vào màn hình (DX e ).X 15 và ấn SHIFT SOLVE 3 

=> Loại A Thử với đáp án B: Vì a b  1 (D b e b ) 1

Nên ta nhập vào màn hình (DX e ).X 1 và ấn SHIFT SOLVE 3 

=> Chọn B

VD 76: Tích phân

2

2 0

=> Chọn A

Ngoài ra, ta còn cách thứ hai, đó là thay vì dùng phương pháp rút thế thì ta

sẽ bấm máy hệ hai phương trình hai ẩn a và b:

a b e

- Lúc này, ta có thể tính được vế trái của phương trình bằng Casio

Khi đó, phương trình đã cho:

- Khi đó, ta lũy thừa hai vế với số mũ là X được:

5 2

3 2

4

3 1

.

3 3

2 3 5

x x

dx X

X

e

   

 

    

 

 Và dùng phương pháp lập bảng như sau:

- Gắn

5 2

3 2 4

3 1

x x

dx

x x x

SHIFT STO D

 

  



- Dùng bảng MODE 7 với f x( )eD.X

- Chọn đáp án đẹp ở cột f (X) và X tương ứng Trong trường hợp này kết quả đẹp nhất

(X)

4

(Khi dò tìm kết quả, ta nên tìm ở cột f (X) để thấy kết quả

một cách đầy đủ nhất trên màn hình máy tính)

8 8 8

9

8 8 8 2

98415

2 3 54

ln x x dx SHIFT STO D



- Dùng bảng MODE 7 với f x ( )  eA X

x

dx SHIFT STO D cos x

3

D X

f

 



(X)

2727

a X

b f

 

2 2

2 2

2.14 Dạng 8: Các ví dụ liên quan đến diện tích và thể tích

VD 85 (Đề tham khảo 2017): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

S x x x x x x x x



          

VD 86 (Đề tham khảo 2018): Cho (H) là hình

phẳng giới hạn bởi parabol y  3x2, cung tròn có

4

y x (với 0 x 2) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ) Diện tích của (H)

KẾT LUẬN

Qua quá trình nghiên cứu đề tài, tôi đã làm được:

1 Hệ thống lại các kiến thức cơ bản phần nguyên hàm, tích phân

2 Trình bày rõ các dạng toán và phương pháp giải phần nguyên hàm, tích phân

3 Cập nhật các bài tập trắc nghiệm mới nhất có trong đề minh họa THPT Quốc gia 2018

Là một sinh viên năm cuối sắp ra trường, tôi nhận thấy đề tài rất có ích cho bản thân để làm hành trang vào nghề Vì thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên đề tài khó tránh khỏi các thiếu sót Tôi rất mong các ý kiến đóng góp của đọc giả để đề tài được hoàn thiện hơn Tôi xin chân thành cảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa Giải tích 12 Nâng cao

2 Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng, Trần Sĩ Tùng

3 Nguyên hàm, tích phân và bất đẳng thức, Lê Hoành Phò

4 Ôn thi đại học tích phân và ứng dụng, Nguyễn Hồng Điệp

5 Nâng cao Giải tích và đại số 12, Lê Hoành Phò