Để đạt thành tích cao trong kì thi sắp tới, các bạn học sinh có thể sử dụng tài liệu Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 cấp huyện năm 2019-2020 - Phòng GD&ĐT Đông Hưng sau đây làm tư liệu tham khảo giúp rèn luyện và nâng cao kĩ năng giải đề thi, nâng cao kiến thức cho bản thân để tự tin hơn khi bước vào kì thi chính thức. Mời các bạn cùng tham khảo đề thi.
Trang 1PHÒNG GD&ĐT ĐÔNG HƯNG
TRƯỜNG THCS AN CHÂU
-
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CHỌN NGUỒN CẤP HUYỆN
Năm học 2020 – 2021 Môn: Toán 7 Thời gian làm bài : 90 phút - Bài 1 (4,0 điểm)
Cho biểu thức : 1 22 33 44 9999 100100
Chứng minh rằng : C < 3
16
và 9 x 11 x 2
.Tìm x+y+z
Bài 3: (2 điểm)
Tìm x, y Z biết 2xy+ 3x = 4
Bài 4: (2 điểm) Cho đa thức: P = 3x3 + 4x2 - 8x+1
a/ Chứng minh rằng x= 1 là nghiệm của đa thức
b/ Tính giá trị của P biết x2+x-3 = 0
Bài 5: (2 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông Trên hai cạnh đầu vật
chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây
Bài 6 (5,0 điểm)
Cho Δ ABC nhọn.Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C dựng đoạn thẳng AD vuông góc với AB và AD = AB.Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B dựng đoạn thẳng AE vuông góc với AC và AE = AC
1) Chứng minh rằng BE = CD
2) Gọi M là trung điểm của DE, tia MA cắt BC tại H.Chứng minh MABC
3) Nếu AB = c, AC = b, BC = a Hãy tính độ dài đoạn thẳng HC theo a, b, c ?
Bài 7 (2 điểm) Cho biết xyz=1
Tính giá trị A =
xy x yz y xz z
- Hết -
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN - LỚP 7 NĂM HỌC 2020-2021
Bài 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức : 1 22 33 44 9999 100100
Chứng minh rằng : C < 3
16
Biến đổi: 3 3 1 22 33 44 9999 100100 1 2 32 43 9998 10099
Ta có
4 1 2 32 43 9998 10099 1 22 33 44 9999 100100
0,25
4 1 2 1 32 22 43 33 10099 9999 100100
0,25
4 1 1 12 13 199 100100
Đặt 1 1 12 13 199
Ta có: 3 3 1 1 12 13 199 3 1 1 12 198
D
0,25
Khi đó: 3 3 1 1 12 198 1 1 12 13 199
4 3 1 1 12 198 1 1 12 13 199
0,25
4 3 199
3
D
0,25
Suy ra D = 3 - 1 199
D = 3 - 199
Trang 3Nên ta có 4 3 199 100100
4 3 199 100100
0,25
1 3 199 100100
3 2199 25100
16 4 3 3
0,25
3 - 2199 + 25100
0,25
Ta có 2199 25100
4 3 3 > 0 nên 3 2199 25100
16 4 3 3
3
16 Vậy C < 3
Bài 2: (3 điểm) Cho x 16 y 25 z 9
Tìm x+y+z
+ Từ + = 2 (2 – x)( + ) = 0 x = 2
+ Thay x = 2 = = = = = 2
+ x + y + z = 100
1 đ
1 đ
1 đ
Bài 3: (2 điểm)Tìm x, y Z biết 2xy+ 3x = 4
+ Biến đổi được: x(2y + 3) = 4
+ Chỉ ra được x, y Z x Ư(4) và 2y + 3 lẻ
+ Lập bảng
1.0 đ 0.5 đ 0.5 đ
Bài 4: (2 điểm).Cho đa thức: P = 3x3 + 4x2 - 8x+1
a/ Chứng minh rằng x= 1 là nghiệm của đa thức
Trang 4b/ Tính giá trị của P biết x2+x-3 = 0
a) Chỉ được; a + b + c + d = 0 đpcm
(hoặc tính được P(1) = 0 đpcm)
b) + Rút được: + x = 3 (1)
+ Biến đổi được P = (3 + 3 ) + ( + x) – 9x + 1
= 3x( + x) + ( + x) – 9x + 1
+ Thay (1) vào: P = 9x + 3 – 9x + 1 = 4(0,25đ)
(Học sinh có thể giải đúng bằng cách khác vẫn cho điểm)
1.0 đ 0.25 đ 0.5 đ 0.25đ
Bài 5: ( 2 điểm)Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông Trên hai cạnh đầu vật
chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây
Gọi độ dài mỗi cạnh hình vuông là a (m)
Thời gian đi trên hai cạnh đầu là: 2a/5(s)
Thời gian đi trên cạnh thứ hai là: a/4(s)
Thời gian đi trên cạnh thứ 4 là: a/3(s)
Vì tổng thời gian đi là 59 giây nên ta có:
2a/5+a/4+a/3=59
→a(2/5+1/4+1/3)=59
→a.59/60=59
→a=59:59/60=60
Vậy độ dài cạnh hình vuông là 60m
0.25 đ 0.25 đ 0.25 0.25 đ
0.5đ
0.5đ
Bài 6 (5,0 điểm)
Trang 5- Nếu hình vẽ sai thì không chấm cả bài hình
- Nếu câu trước làm sai thì HS vẫn có thể sử dụng kết quả câu trước để làm câu sau
+ Ta có DACDAB BAC ( Vì tia AB nằm giữa 2 tia AD và AC ) 0,25
Mà 0
BAD90 (Vì AB AD tại A ) Nên 0
DAC90 BAC (1)
+ Ta có BAECAEBAC ( Vì tia AC nằm giữa 2 tia AB và AE )
0,25
Mà 0
CAE90 (Vì AEAC tại A ) Nên 0
BAE90 BAC (2)
Xét ∆ ABE và ∆ ADC có :
AB = AD (GT)
BAEDAC (chứng minh trên)
AE = AC (GT)
Do đó ∆ABE = ∆ ADC (c – g - c)
0,50
2) (2,5 điểm) Chứng minh: MABC
+ Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho M là trung điểm của AN
Từ D kẻ DF vuông góc với MA tại F
Xét ∆ MAE và ∆ MDN có :
MN = MA (Vì M là trung điểm của AN )
AMEDMN (chứng minh trên)
ME = MD (Vì M là trung điểm của DE )
Do đó ∆ MAE = ∆ MND (c – g - c)
0,25
Suy ra AE = DN ( vì là hai cạnh tương ứng )
và NDMMEA ( vì là hai góc tương ứng )
0,25
Mà NDM và MEAở vị trí so le trong của hai đường thẳng AE và DN
F
N
M
K I
H
E
C A
B
D
Trang 6Nên AE // DN ( dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song ) 0,25
ADNDAE 180 (Vì là hai góc trong cùng phía ) (3)
DAE +DAB + BAC + EAC = 360
0,25
Hay 0
+ = 180
DABEAC90 ) (4)
Từ (3) và (4) ADN = BAC
+ Ta có AE = DN (chứng minh trên) và AE = AC (GT)
Xét ∆ ABC và ∆ DAN có :
AB = AD (GT )
ADN = BAC (chứng minh trên)
AC = DN (chứng minh trên)
Do đó ∆ ABC = ∆ DAN (c – g - c)
0,25
Suy ra DNA = ACB ( vì là hai góc tương ứng ) hay DNF = ACB
DAF + BAD + BAH = 180 (Vì ba điểm F, A, H thẳng hàng)
DAF + BAH = 90 ( Vì 0
BAD90 ) (5)
0,25
Trong ∆ ADF vuông tại F có :
0
FDA + DAF = 90 ( Vì là hai góc phụ nhau ) (6)
Từ (5) và (6) FDA = BAH
+ Ta có ADN = NDF + FDA ( Vì tia DF nằm giữa 2 tia DA và DN )
BAC = HAC + BAH ( Vì tia AH nằm giữa 2 tia AB và AC )
0,25
Mà ADN = BAC và FDA = BAH (chứng minh trên)
Nên NDF = HAC
Xét ∆ AHC và ∆ DFN có :
NDF = HAC (chứng minh trên)
AC = DN (chứng minh trên)
DNF = ACB (chứng minh trên)
Do đó ∆ AHC = ∆ DFN (g - c - g)
0,25
Suy ra DFN = AHC ( vì là hai góc tương ứng )
0,25
Mà 0
DFN = 90 (Vì DE MA tại F ) nên 0
AHC90 Suy ra MABC tại H (đpcm)
3).(1,0 điểm) Nếu AB = c, AC = b, BC = a Hãy tính độ dài đoạn thẳng HC theo a, b, c
+ MABC tại H (chứng minh trên) nên ∆ AHB vuông tại H
∆ AHC vuông tại H
Đặt HC = x HB = a - x ( Vì H nằm giữa B và C )
0,25
+ Áp dụng định lý Py-ta-go cho 2 tam giác vuông AHB và AHC ta có:
Trang 7và AH2 = AC2 - CH2
AB2 - BH2 = AC2 - CH2 c2 - (a - x)2 = b2 - x2
0,25
Từ đó tìm được HC = x =
2
a b c a
Bài 7 (2 điểm) Cho biết xyz=1
Tính giá trị A =
xy x yz y xz z
1
1 1
1đ 1đ
Chú ý: Học sinh giải theo cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tương ứng với từng câu, từng
bài theo hướng dẫn trên./
- Hết -