Xây dựng chuyên đề lượng giác theo hướng phát triển năng lực học sinh của chương trình phổ thông tổng thể

Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một số vấn đề về giải toán; năng lực và năng lực toán học

Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn

Xây dựng chuyên đề lượng giác theo hướng phát triển năng lực học sinh trong chương trình phổ thông tổng thể mới nhằm nâng cao hiệu quả dạy và học Đại số và Giải tích lớp 11 ở trường THPT Mục tiêu là hình thành và phát triển các kỹ năng giải toán, đồng thời nâng cao năng lực học toán cho học sinh.

Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đạt được mục tiêu trên, tôi thấy luận văn này cần thực hiện các nhiệm vụ sau:

1: Tổng quan về các phẩm chất, năng lực, năng lực toán học

2: Đưa ra hệ thống bài tập giúp học sinh rèn luyện các năng lực trí tuệ và phát triển phẩm chất, kĩ năng học toán

3: Bài tập củng cố lý thuyết, ví dụ, một số bài tập nâng cao, hướng giải quyết và rút ra nhận xét cho từng loại

4: Tìm hiểu một số ứng dụng của lượng giác trong vật lý.

Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tài liệu lý luận liên quan đến chương trình phổ thông tổng thể mới, triết học, giáo dục học, tâm lý học và lý luận dạy học bộ môn toán là rất quan trọng để phát triển nội dung luận văn Việc phân tích các tài liệu này giúp hiểu rõ hơn về các nguyên lý giáo dục và phương pháp dạy học hiệu quả trong môn toán, từ đó nâng cao chất lượng giảng dạy và học tập.

Nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu tham khảo và tạp chí toán học liên quan đến lượng giác là rất quan trọng để nâng cao năng lực giải toán cho học sinh trung học phổ thông Việc tìm hiểu các tài liệu trong nước sẽ giúp giáo viên và học sinh nắm vững kiến thức lượng giác và cải thiện kỹ năng giải toán hiệu quả.

Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm phần “Mở đầu”, “Kết luận” và hai chương

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Xây dựng một số chuyên đề về lượng giác theo định hướng phát triển năng lực của học sinh theo chương trình phổ thông tổng thể mới

Danh mục tham khảo và các phụ lục mới.

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Năng lực và phát triển năng lực của học sinh theo chương trình phổ thông tổng thể

1.1.1 Khái niệm về năng lực:

Các khái niệm khoa học có thể được định nghĩa khác nhau dựa trên cách tiếp cận và các phạm trù khác nhau Để phù hợp với nội dung khóa luận, một số khái niệm sẽ được trích dẫn từ tài liệu hội thảo Chương trình Giáo dục phổ thông mới.

Năng lực được định nghĩa là khả năng thực hiện thành công các hoạt động trong bối cảnh cụ thể, thông qua việc huy động tổng hợp kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân như hứng thú, niềm tin và ý chí Để đánh giá năng lực của một cá nhân, người ta thường xem xét phương thức và kết quả mà cá nhân đó đạt được khi giải quyết các vấn đề trong cuộc sống.

Năng lực chung là những kỹ năng thiết yếu mà mọi người cần để sống, học tập và làm việc hiệu quả Các hoạt động giáo dục, bao gồm cả môn học và trải nghiệm sáng tạo, mặc dù có sự khác biệt về khả năng, nhưng đều nhằm mục tiêu phát triển các năng lực chung cho học sinh.

Năng lực đặc thù của một môn học là khả năng mà môn học đó phát triển nhờ những đặc điểm riêng biệt Một năng lực có thể thuộc về nhiều môn học khác nhau, cho thấy sự đa dạng trong việc hình thành và phát triển năng lực học tập.

Xác định mục tiêu học tập:

Để xác định nhiệm vụ học tập hiệu quả, cần xem xét kết quả học tập trước đây và định hướng cho những nỗ lực tiếp theo Mục tiêu học tập nên được đặt ra một cách chi tiết và cụ thể, với trọng tâm là cải thiện những khía cạnh còn yếu kém.

Lập kế hoạch và thực hiện cách học:

Đánh giá và điều chỉnh kế hoạch học tập là bước quan trọng để hình thành phương pháp học tập cá nhân hiệu quả Người học cần tìm kiếm nguồn tài liệu phù hợp với các mục đích và nhiệm vụ học tập khác nhau, đồng thời thành thạo trong việc sử dụng thư viện để chọn lựa tài liệu và xây dựng thư mục cho từng chủ đề bài tập Việc ghi chép thông tin đọc được nên được thực hiện bằng các hình thức thuận lợi cho việc ghi nhớ và sử dụng sau này Cuối cùng, khả năng tự đặt ra vấn đề học tập cũng là yếu tố quan trọng trong quá trình học tập.

Nhận diện và điều chỉnh những sai sót trong quá trình học tập là rất quan trọng; việc suy ngẫm về phương pháp học của bản thân giúp rút ra kinh nghiệm quý báu Từ đó, người học có thể chia sẻ và áp dụng kiến thức vào các tình huống khác nhau Dựa trên thông tin phản hồi, việc lập kế hoạch điều chỉnh phương pháp học sẽ nâng cao chất lượng học tập hiệu quả hơn.

● Năng lực giải quyết vấn đề:

Phát hiện và làm rõ vấn đề:

Trong quá trình học tập và cuộc sống, việc phân tích các tình huống giúp phát hiện những vấn đề cần giải quyết Để nâng cao hiệu quả học tập và cải thiện chất lượng cuộc sống, cần nhận diện rõ ràng các tình huống có vấn đề Từ đó, đề xuất và lựa chọn các giải pháp phù hợp là điều cần thiết để đạt được mục tiêu.

Thu thập và làm rõ thông tin liên quan đến các vấn đề là bước đầu tiên quan trọng Sau đó, cần đề xuất và phân tích một số giải pháp để giải quyết vấn đề Cuối cùng, việc lựa chọn giải pháp phù hợp nhất sẽ giúp đạt được hiệu quả cao trong quá trình xử lý.

Thực hiện và đánh giá giải pháp giải quyết vấn đề:

Thực hiện và đánh giá các giải pháp nhằm giải quyết vấn đề là rất quan trọng Điều này không chỉ giúp chúng ta suy ngẫm về quy trình giải quyết mà còn cho phép điều chỉnh và áp dụng những phương pháp hiệu quả trong các bối cảnh mới.

Đặt câu hỏi có giá trị giúp làm rõ các tình huống và ý tưởng trừu tượng, đồng thời xác định thông tin mới và phức tạp từ nhiều nguồn khác nhau Việc phân tích các nguồn thông tin độc lập cho phép nhận diện khuynh hướng và đánh giá độ tin cậy của các ý tưởng mới.

Xem xét sự vật từ nhiều góc nhìn khác nhau giúp hình thành và kết nối các ý tưởng sáng tạo Nghiên cứu để điều chỉnh giải pháp theo sự thay đổi của bối cảnh là điều cần thiết, đồng thời đánh giá rủi ro và chuẩn bị các phương án dự phòng Quá trình suy nghĩ cũng cần lập luận rõ ràng, nhận ra yếu tố sáng tạo trong các quan điểm trái chiều và phát hiện những điểm hạn chế trong quan điểm của bản thân, từ đó áp dụng kiến thức đã có vào những hoàn cảnh mới.

Đam mê học tập và cuộc sống là yếu tố quan trọng giúp chúng ta phát triển, khuyến khích việc nêu ra nhiều ý tưởng mới Đừng sợ sai, hãy dám nghĩ khác biệt và không theo lối mòn Sự sáng tạo đến từ việc kết hợp các ý tưởng khác nhau để tạo ra những yếu tố mới, thúc đẩy sự đổi mới và tiến bộ.

● Năng lực tự quản lí:

Đánh giá ảnh hưởng của các yếu tố tác động đến hành động và việc làm trong học tập cũng như cuộc sống hàng ngày là rất quan trọng Bên cạnh đó, việc làm chủ cảm xúc của bản thân cũng góp phần nâng cao hiệu quả trong học tập và cải thiện chất lượng cuộc sống.

Bước đầu phát triển khả năng làm việc độc lập theo thời gian biểu, học sinh nhận diện được các tình huống an toàn và không an toàn trong học tập cũng như trong cuộc sống hàng ngày.

- Nhận ra và tự điều chỉnh được một số hạn chế của bản thân trong học tập, lao động và sinh hoạt, ở nhà, ở trường

Năng lực toán học

- Về khái niệm năng lực toán học, theo nhà tâm lí học người Nga V.A Cruchetxki sẽ được giải thích trên hai bình diện:

● Như là các năng lực sáng tạo (khoa học) – các năng lực hoạt động toán học tạo ra được các kết quả, thành tựu, khách quan và quý giá

Các năng lực học tập trong giáo trình phổ thông giúp học sinh lĩnh hội nhanh chóng và đạt kết quả cao trong việc tiếp thu kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo tương ứng.

Năng lực toán học là những đặc điểm tâm lý cá nhân, chủ yếu là các đặc điểm hoạt động trí tuệ, giúp đáp ứng yêu cầu của việc học toán Điều này tạo điều kiện cho việc tiếp thu kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo trong lĩnh vực toán học một cách nhanh chóng, dễ dàng và sâu sắc trong những điều kiện tương tự.

Cũng theo V.A Cruchetxki: Có 8 đặc điểm hoạt động trí tuệ của học sinh có năng lực Toán học là:

Khả năng tri giác hình thức hóa tài liệu toán học cho phép nhanh chóng nắm bắt các cấu trúc hình thái của bài toán, từ đó chuyển đổi chúng thành biểu thức toán học cụ thể.

● Khả năng tư duy có tính khái quát hóa nhanh và rộng

● Xu thế suy nghĩ bằng những suy lý rút gọn

● Sự tư duy logic lành mạnh

● Tính linh hoạt cao của các quá trình tư duy thể hiện ở:

- Sự xem xét cách giải các bài toán theo nhiều khía cạnh khác nhau

Sự chuyển đổi linh hoạt giữa các thao tác trí tuệ khác nhau, từ quá trình suy nghĩ thuận đến suy nghĩ nghịch, cho phép chúng ta dễ dàng điều chỉnh và thích nghi trong tư duy.

● Xu hướng tìm cách giải tối ưu cho một vấn đề toán học, khát vọng tìm ra lời giải rõ ràng, đơn giản, hợp lí, tiết kiệm

● Trí nhớ có tính chất khái quát về các kiểu toán học, các phương thức giải, sơ đồ lập luận, sơ đồ logic

● Khả năng tư duy logic, trừu tượng phát triển tốt

Năng lực giải toán, một thành phần quan trọng của năng lực toán học, đóng vai trò quyết định trong việc hiểu và áp dụng các khái niệm toán học Vậy năng lực giải toán là gì và nó được thể hiện ra sao trong thực tế?

Năng lực giải toán là khả năng áp dụng quy trình để giải quyết vấn đề một cách hiệu quả, yêu cầu tư duy tích cực và sáng tạo Kỹ năng này giúp đạt được kết quả mong muốn qua các bước thực hiện có hệ thống.

Một người được xem là có năng lực giải toán khi họ nắm vững kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo trong hoạt động giải toán, đồng thời đạt kết quả tốt hơn so với mức trung bình của những người khác trong cùng hoàn cảnh.

Dựa trên đặc điểm hoạt động trí tuệ của học sinh có năng lực toán học, chúng ta có thể xác định một số cấu trúc và đặc điểm chính của năng lực giải toán.

● Khả năng lĩnh hội nhanh chóng quy trình giải một bài toán và các yêu cầu của một lời giải, biết trình bày rõ ràng, đẹp đẽ

Sự phát triển của tư duy logic và tư duy sáng tạo được thể hiện qua khả năng lập luận chính xác và phân tích mối quan hệ giữa các dữ kiện trong bài toán.

Có khả năng phân tích và tổng hợp trong việc thao tác với ký hiệu và ngôn ngữ toán học, người học có thể chuyển đổi giữa các điều kiện của bài toán sang ngôn ngữ toán học, bao gồm các ký hiệu, quan hệ và phép toán giữa các đại lượng đã biết và chưa biết.

● Có tính độc lập và độc đáo cao trong khi giải toán và sự phát triển của năng lực giải quyết vấn đề

● Có tính tích cực, kiên trì về mặt ý chí và khả năng huy động trí óc cao trong lao động giải toán

● Khả năng tìm tòi nhiều lời giải, huy động nhiều kiến thức cùng lúc vào việc giải bài tập, từ đó lựa chọn được lời giải tối ưu

Việc kiểm tra các kết quả đã đạt được trong quá trình giải toán giúp hình thành kiến thức mới và hạn chế những nhầm lẫn có thể xảy ra.

Có thể đưa ra một số bài tập tương tự và hướng dẫn giải, bao gồm định hướng giải quyết, quy trình thuật toán, hoặc các thuật toán cụ thể để giải quyết bài tập đó.

Khả năng khái quát hóa từ bài toán cụ thể thành bài toán tổng quát là rất quan trọng, bao gồm việc chuyển đổi từ các yếu tố tổng quát ít ỏi sang nhiều yếu tố tổng quát hơn Điều này đạt được thông qua các thao tác trí tuệ như phân tích, so sánh, tổng hợp, tương tự, trừu tượng, hệ thống hóa và đặc biệt hóa.

Năng lực không chỉ là món quà từ thượng đế, mà chủ yếu được hình thành từ sự tích lũy kiến thức, học hỏi và rèn luyện Quá trình học tập giúp học sinh bổ sung kiến thức và trang bị phương pháp, từ đó nâng cao năng lực giải toán Sự tự giác trong việc phát triển bản thân và sự hướng dẫn từ giáo viên cũng đóng vai trò quan trọng Vì vậy, các bài ôn tập được coi trọng, vì chúng góp phần đáng kể vào việc rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh.

Để nâng cao năng lực giải toán cho học sinh, việc xây dựng một hệ thống bài tập hiệu quả là rất quan trọng Hệ thống này không chỉ giúp học sinh củng cố kiến thức mà còn phát triển tư duy và hình thành các kỹ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn.

* Một số thành tố của năng lực giải toán cần bồi dưỡng cho học sinh THPT:

● Năng lực dự đoán vấn đề:

Lý luận về dạy học môn toán

1.3.1: Mục đích, vị trí, vai trò và ý nghĩa của bài tập toán trong trường phổ thông:

G Polya cho rằng: “Trong toán học, nắm vững bộ môn toán quan trọng hơn rất nhiều so với một kiến thức thuần túy mà ta có thể bổ sung nhờ một cuốn sách tra cứu thích hợp Vì vậy cả trong trường trung học cũng như trong các trường chuyên nghiệp, ta không chỉ truyền thụ cho HS những kiến thức nhất định, mà quan trọng hơn nhiều là phải dạy cho họ đến một mức độ nào đó nắm vững môn học Vậy thế nào là nắm vững môn toán? Đó là biết giải toán! Trên cơ sở đó, ta có thể thấy rõ hơn mục đích, vị trí, vai trò và ý nghĩa của bài tập toán trong trường THPT như sau:

Mục tiêu đào tạo trong các trường THPT hiện nay là phát triển những cá nhân năng động, sáng tạo và có trách nhiệm, đáp ứng yêu cầu của xã hội Điều này bao gồm việc trang bị cho học sinh trí tuệ và kỹ năng lao động kỹ thuật cao để họ có thể thành công trong môi trường làm việc hiện đại.

Toán học đóng vai trò quan trọng trong cuộc sống và khoa học công nghệ hiện đại, giúp học sinh học tốt các môn học khác và hoạt động hiệu quả trong nhiều lĩnh vực Do đó, trong dạy học toán, việc giải bài tập cần xác định mục đích cụ thể và thực tiễn Mục đích bài tập toán ở trường THPT rất rõ ràng, nhằm phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề cho học sinh.

Phát triển năng lực và phẩm chất trí tuệ cho học sinh là rất quan trọng, giúp các em tiếp thu tri thức khoa học của nhân loại và biến chúng thành kiến thức cá nhân Điều này không chỉ trang bị cho học sinh công cụ nhận thức mà còn hỗ trợ họ hành động đúng đắn trong học tập và các lĩnh vực hoạt động khác hiện tại và trong tương lai.

Mục tiêu chính của giáo dục toán học là giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng toán học cơ bản, hiện đại một cách hệ thống và chính xác Điều này không chỉ giúp học sinh áp dụng tri thức vào thực tiễn cuộc sống mà còn hỗ trợ họ trong việc học tập các môn khoa học khác và trong lao động sản xuất.

Học tập giúp học sinh củng cố kiến thức, liên kết các thông tin và khuyến khích sự sáng tạo, khám phá những điều mới Qua quá trình này, học sinh phát triển tư duy logic, khả năng sáng tạo, và rèn luyện tính kiên trì, cần cù và chịu khó.

● Bồi dưỡng thế giới quan tư duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo đức của người lao động mới

1.3.2: Vị trí vai trò của bài tập toán:

Trong dạy học toán ở trường THPT, bài tập toán đóng vai trò quan trọng trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức và phát triển tư duy Theo Nguyễn Bá Kim, việc dạy toán là dạy hoạt động toán học, và các bài tập là phương tiện hiệu quả không thể thay thế Hoạt động giải bài tập là điều kiện cần thiết để thực hiện tốt nhiệm vụ dạy học toán, do đó, tổ chức hiệu quả việc dạy giải bài tập có ảnh hưởng quyết định đến chất lượng dạy học toán.

Theo Nguyễn Bá Kim, bài tập toán học đóng vai trò quan trọng trong việc học môn toán, giúp học sinh tham gia vào các hoạt động học tập Qua việc giải bài tập, học sinh thực hiện nhiều hoạt động khác nhau, từ các hoạt động toán học phức tạp đến những hoạt động trí tuệ và ngôn ngữ, góp phần phát triển kỹ năng tư duy toán học.

Bài tập toán ở trường trung học phổ thông đóng vai trò quan trọng trong quá trình dạy và học toán Do đó, việc lựa chọn các bài tập phù hợp với đối tượng và năng lực của học sinh là cần thiết để phát huy khả năng giải toán của các em.

1.3.3: Ý nghĩa: Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Việc giải toán có nhiều ý nghĩa Cụ thể:

Giải toán không chỉ giúp củng cố và hệ thống hóa kiến thức mà còn rèn luyện kỹ năng cho học sinh Trong nhiều trường hợp, nó là một phương pháp hiệu quả để khuyến khích học sinh tự tìm hiểu và khám phá kiến thức mới.

● Đó là một hình thức vận dụng những kiến thức đã học vào những vấn đề cụ thể, vào thực tiễn, vào vấn đề mới

Hình thức này là phương pháp hiệu quả nhất để giáo viên đánh giá năng lực học sinh, đồng thời giúp học sinh tự kiểm tra mức độ tiếp thu và khả năng vận dụng kiến thức đã học.

Giải toán không chỉ kích thích hứng thú học tập của học sinh mà còn phát triển trí tuệ và giáo dục toàn diện Qua đó, việc này giúp rèn luyện nhiều kỹ năng cần thiết cho người học.

1.3.4 Chức năng của bài tập toán:

Trong quá trình dạy học, bài tập toán được sử dụng với nhiều mục đích khác nhau, như tạo động lực, giới thiệu nội dung mới, củng cố kiến thức hoặc kiểm tra Mỗi bài tập được đưa ra tại một thời điểm cụ thể trong quá trình học đều mang trong mình những chức năng đa dạng, nhằm hướng tới các mục tiêu giáo dục trong môn Toán Hệ thống bài tập này không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức mà còn phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề.

Bài tập trong quá trình dạy học có vai trò quan trọng trong việc hình thành và củng cố tri thức, kỹ năng cho học sinh Chúng giúp làm rõ và ghi nhớ các vấn đề lý thuyết, đồng thời hệ thống hóa kiến thức và nhấn mạnh những điểm trọng tâm Đặc biệt, bài tập còn giáo dục kỹ thuật, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng thực hành toán học, phát triển phương pháp tư duy và thói quen giải quyết vấn đề một cách hợp lý và hiệu quả.

Nội dung lượng giác ở chương trình toán THPT

1.4.1: Khái quát nội dung chương trình lượng giác:

Phần lượng giác ở chương trình toán THPT gồm hai chương:

Chương 1: Cung và góc lượng giác Công thức lượng giác

Bài 1: Cung và góc lượng giác:

Khái niệm cung và góc lượng giác

Số đo của cung và góc lượng giác

Bài 2: Giá trị lượng giác của một cung

Bài 3: Công thức lượng giác:

Công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích

Chương 2: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Tìm hiểu các hàm số lượng giác cơ bản như sinx, cosx, tanx, cotx

Phương trình lượng giác cơ bản, phương trình bậc nhất hoặc đối với một hàm số lượng giác, phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Chương trình lượng giác là một phần thiết yếu trong chương trình toán trung học phổ thông, liên quan đến nhiều lĩnh vực như tích phân, đạo hàm và hình học Nó không chỉ hỗ trợ cho các môn khoa học quan trọng như vật lý mà còn có ứng dụng thực tiễn trong đời sống hàng ngày.

Nắm được kiến thức khái niệm đường tròn định hướng, đường tròn lượng giác, cung và góc lượng giác

Nắm được khái niệm đơn vị độ và radian, mối quan hệ giữa các đơn vị này

Nắm được số đo cung và góc lượng giác

Nắm rõ định nghĩa các giá trị lượng giác của cung α, cùng với các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản, là rất quan trọng Bên cạnh đó, hiểu mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt cũng giúp củng cố kiến thức về lượng giác.

Nắm được các công thức lượng giác: công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng

Định nghĩa hàm số lượng giác bao gồm tính chẵn, lẻ, chu kỳ, tập giá trị và tập xác định Cần xây dựng công thức nghiệm cho các phương trình và biết cách giải chúng, đồng thời tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm Nắm vững phương pháp giải các loại phương trình bậc nhất và bậc hai liên quan đến hàm số lượng giác, đặc biệt là phương trình bậc nhất đối với sin và cos.

Biết biểu diễn được cung lượng giác trên đường tròn lượng giác

Thành thạo chuyển đổi giữa hai đơn vị đo và tính toán chính xác số đo của một cung lượng giác là rất quan trọng Bên cạnh đó, việc tính toán các giá trị lượng giác của các góc cũng cần được thực hiện một cách chính xác để đảm bảo hiệu quả trong các ứng dụng toán học và khoa học.

Vận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức lượng giác

Áp dụng thành thạo các công thức trong việc giải bài tập là rất quan trọng Việc biến đổi các công thức lượng giác một cách linh hoạt sẽ giúp bạn giải quyết các bài tập hiệu quả hơn Hãy vận dụng những công thức này để đạt được kết quả tốt trong học tập.

Biết TXĐ, TGT của các hàm số lượng giác, sự biến thiên và biết cách vẽ đồ thị của chúng

Có kĩ năng biểu diễn các họ nghiệm trên đường tròn lượng giác Nhận dạng và giải thông thạo, có khả năng quy về các dạng đã học

Luyện tính nghiêm túc sáng tạo

Luyện óc tư duy thực tế, luyện tính cẩn thận, tư duy linh hoạt

1.4.3: Phương pháp dạy học chương trình lượng giác:

Biến đổi cung lượng giác bao gồm việc chuyển đổi tích thành tổng và tổng thành tích, cũng như hạ bậc Ngoài ra, việc biến đổi về cùng một hàm lượng giác cũng rất quan trọng, bao gồm cả việc chuyển đổi tan và cot về sin và cos.

1.4.4: Kiểm tra, đánh giá theo năng lực của học sinh:

Đánh giá là quá trình thu thập thông tin về chất lượng và hiệu quả học tập của học sinh, cũng như nguyên nhân và khả năng của các em Quá trình này gắn liền với các mục tiêu và chuẩn giáo dục, nhằm tạo cơ sở cho việc đề xuất những quyết định phù hợp để cải thiện tình hình và nâng cao chất lượng giáo dục.

Đánh giá trong giáo dục là quá trình thu thập và phân tích thông tin một cách hệ thống về tình hình, khả năng và nguyên nhân ảnh hưởng đến chất lượng và hiệu quả giáo dục Quá trình này dựa trên các mục tiêu dạy học và đào tạo, nhằm làm cơ sở cho các chính sách, biện pháp và hành động giáo dục tiếp theo.

● Mục tiêu kiểm tra đánh giá theo hướng phát triển năng lực:

Kiểm tra đánh giá là yếu tố thiết yếu trong quá trình dạy học, nhằm thúc đẩy sự tiến bộ của học sinh Quá trình này cần cung cấp thông tin phản hồi rõ ràng, giúp học sinh nhận biết mức độ tiến bộ và những kiến thức, kỹ năng cần cải thiện Đánh giá phải được thực hiện một cách tích cực, không gây sợ hãi hay tổn thương cho học sinh, từ đó khuyến khích nỗ lực học tập của các em Hơn nữa, đánh giá vì sự tiến bộ diễn ra liên tục trong suốt quá trình dạy và học, giúp học sinh nhận diện sự thay đổi và đạt được mục tiêu học tập cá nhân.

Công khai hóa nhận định về năng lực và kết quả học tập của học sinh không chỉ tạo cơ hội phát triển kỹ năng tự đánh giá mà còn giúp học sinh nhận ra sự tiến bộ của bản thân, từ đó động viên sự phát triển cá nhân Đồng thời, điều này cũng cung cấp cho giáo viên cơ sở để nhận diện điểm mạnh và yếu trong quá trình giảng dạy, khuyến khích họ không ngừng hoàn thiện phương pháp dạy học Để xác định mục tiêu kiểm tra và đánh giá, cần chú ý đến mục tiêu môn học, mục đích và mối quan hệ giữa các mục tiêu học tập và môn học, cũng như đánh giá hoạt động học tập của học sinh.

Tuyển chọn, phân loại đúng năng lực, trình độ

Xác định kết quả tiếp thu, vận dụng kiến thức – kĩ năng và thái độ cần có dựa theo mục tiêu đề ra

Thúc đẩy học sinh cố gắng khắc phục thiếu sót và phát huy năng lực Đối với GV:

Tạo điều kiện người dạy nắm vững tình hình học tập và rèn luyện của HS

Cung cấp thông tin phản hồi giúp họ giảng dạy và giáo dục tốt hơn

Tạo điều kiện cải tiến, điều chỉnh nội dung chương trình, PPGD nâng cao chất lượng và hiệu quả.

XÂY DỰNG MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VỀ LƯỢNG GIÁC NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH THEO CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG TỔNG THỂ MỚI

Chuyên đề về hàm số lượng giác lượng giác

2.1.1 Một số phép biến đổi đồ thị:

Phép tịnh tiến song song với trục tung cho phép chuyển đổi đồ thị của hàm số y = f(x) thành y = f(x) + b Sự thay đổi này xảy ra khi đồ thị được dịch chuyển theo chiều dọc một đoạn b, với OI = (0; b).

Bằng cách thực hiện phép tịnh tiến đồ thị y = f(x) với b đơn vị, ta có thể nhận được đồ thị hàm số y = f(x) trong hệ trục mới, tương đương với đồ thị hàm số y = f(x) + b trong hệ trục cũ.

Phép tịnh tiến song song với trục hoành cho đồ thị hàm số y = f(x + a) được thực hiện bằng cách dịch chuyển đồ thị của hàm số y = f(x) sang bên trái một đoạn a.

Gọi IX,IYlà hệ trục mới suy ra từ hệ Ox Oy, bằng phép tịnh tiến song song trục hoành một đoạn (-a)

 Đồ thị hàm số Y  f (X) xét trong hệ trục mới, tức là đồ thị hàm số y  f x (  a )

Đồ thị hàm số y = kf(x) với k > 0 được suy ra từ đồ thị y = f(x) thông qua phép co (nếu 0 < k < 1) hoặc phép dãn (nếu k > 1) theo tỉ số k dọc theo trục tung Phép co dãn này thực hiện theo nguyên tắc rằng với mỗi giá trị của x, tung độ y được co dãn theo tỉ số k Nếu k < 0, ta thực hiện phép đối xứng với trục hoành, dẫn đến đồ thị hàm số y = k'f(x).

(trong đó k’= -k) và như vậy trở về trường hợp đã biết

Đồ thị hàm số y = f(kx) với k > 0 được suy ra từ đồ thị y = f(x) thông qua phép co (k > 1) hoặc phép dãn (0 < k < 1) theo tỉ lệ 1:k dọc theo trục hoành Phép co dãn này thực hiện theo nguyên tắc rằng với mỗi giá trị của y, hoành độ x được co dãn theo tỉ số 1:k Đối với trường hợp k < 0, ta thực hiện phép đối xứng qua trục tung, dẫn đến đồ thị của hàm số y = f(k'x) với k' = -k, trở về trường hợp đã biết.

2.1.2 Các hàm số lượng giác:

Hàm số sin là quy tắc tương ứng mỗi số thực x với sin của góc lượng giác có số đo radian bằng x Kí hiệu của hàm số này là y = sin x.

- Tập xác định: D - Tập giá trị: [ -1;1]

- Là hàm số lẻ và đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng

- Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π

- Nghịch biến trên mỗi khoảng ( 2 , 3 2 )

- Đồng biến trên mỗi khoảng ( 2 , 2 ), k

- Hàm số đạt cực tiểu y ct  1tại 2

- Đồ thị hàm số là một đường hình sin

- Bình luận: Tịnh tiến đồ thị (C) dọc theo trục Ox (sang trái hoặc sang phải) một đoạn 2 ta được đồ thị hàm sin trên

Đồ thị hàm số y = -sin x là hình đối xứng qua trục hoành của đồ thị hàm số y = sin x Sự đối xứng này cho thấy mối quan hệ giữa hai hàm số, giúp người học dễ dàng hình dung và hiểu rõ hơn về tính chất của hàm sin.

-Đồ thị hàm y  sinx có được từ đồ thị (C ) của hàm số y  sin x bằng cách:

+Giữ nguyên phần đồ thị của ( C) nằm trong nửa mặt phẳng y  0 (tức nửa mặt phẳng bên trên trục hoành kể cả bờ Ox)

+Lấy hình đối xứng qua trục hoành của phần đồ thị (C ) nằm trong nửa mặt phẳng y  0

(tức là nửa mặt phẳng bên dưới trục hoành không kể bờ Ox); xóa phần đồ thị của (C) nằm trong mặt phẳng bờ y < 0

Tương tự đồ thị ysin x có được từ đồ thị (C) của hàm số y  sin x bằng cách:

-Giữ nguyên phần đồ thị của (C) nằm trong nửa mặt phẳng bờ x0(tức là nửa mặt phẳng bên phải trục tung kể cả bờ Oy)

-Xóa phần đồ thị của (C) nằm trong nửa mặt phẳng bờ x < 0 (tức nửa mặt phẳng bên trái trục tung kể cả bờ Oy)

-Lấy hình đối xứng qua trục tung của phần đồ thị (C) nằm trong nửa mặt phẳng x > 0

- Có tập xác định là

- Là hàm số chẵn, đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng

- Tuần hoàn với chu kì 2

- Đồng biến trên mỗi khoảng     k 2 ; 2  k   , k 

- Nghịch biến trên mỗi khoảng  k 2 ;    k 2   , k 

- Hàm số đạt cực đại y cd 1tại xk2 và đạt cực tiểu y ct  1tại x  k2

- Bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = sinx theo vecto ; 0 u  2  sang trái một đoạn có độ dài bằng

 , song song với trục hoành Ta được đồ thị hàm số là một đường hình sin

Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y  cos x  2

Đồ thị của hàm số y = cos(x) được tạo ra bằng cách tịnh tiến đồ thị của hàm số y = cos(x) lên trên một đoạn dài 2, tương ứng với việc tịnh tiến theo vector j, với j = (0; 1), là vector đơn vị trên trục tung.

- Đồ thị hàm số cos y   x 4

 có được do tịnh tiến đồ thị của hàm số ycosx sang phải một đoạn có độ dài

 , tức là tịnh tiến theo vectoi i( (1, 0)là các vecto đơn vị trên trục hoành)

 , quy tắc đặt tương ứng mỗi số x D 1 với mỗi số thực s inx tan x cos

 x được gọi là hàm số tan, kí hiệu là y  tan x Hàm số y  tan x có tập xác định là D

-Là hàm số tuần hoàn với chu kì 

-Có tập giá trị là

-Đồng biến trên mỗi khoảng ; ;

- Có đồ thị nhận mỗi đường thẳng ,   x   2  k  k  làm một đường tiệm cận đứng

Với D 2  \ k|k , quy tắc đặt tương ứng mỗi số xD 2 với mỗi số thực cot cos sin x x

 x được gọi là hàm cotan, kí hiệu là ycotx Hàm số ycotx có tập xác định là D 2

-Hàm số tuần hoàn với chu kì 

-Có tập giá trị là

- Nghịch biến trên mỗi khoảng  k   ;  k   , k 

-Có đồ thị nhận mỗi đường thẳng x  k , (k  )làm một đường tiệm cận

2.1.3 Sơ lược về hàm lượng giác ngược:

● Hàm số ysinx không là đơn ánh trên toàn bộ miền xác định

- Tuy nhiên, nếu xét trên đoạn

   thì hàm số y  sin x là hàm số đồng biến nên tồn tại duy nhất ảnh ngược, và ảnh ngược đó được ký hiệu yarcsinx Và

Do đó, hàm ngược của y  sin x là y  arcsin x (y là cung mà sin bằng x) arcsin sin y  x   x y

-Đồ thị của hàm lượng giác ngược y  arcsin x

Xét hàm số ycosx trên đoạn0 x  thì hàm số ycosx là hàm giảm nên tồn tại duy nhất ảnh ngược, và ảnh ngược đó được ký hiệu y  arccos x

Do đó hàm ngược của y = cosx là yarccosx arccos cosy y x x

Tính chất: arccos(cosx) x; 0 x os( arccos ) ; 1 1 arccos( x) arccos c x x x x

-Đồ thị của hàm lượng giác ngược y = arccosx

● Hàm lượng giác ngược y  arctan x

Hàm y  arctan x là hàm ngược của hàm y  tan x Hàm ngược y  arctan x có miền xác định

Hàm y  ar cot c x là hàm ngược của hàm y  cot x Hàm ngược y  ar cot c x có miền xác định

   x và miền giá trị 0   y  arccotx x=coty, 01  phương trình (1) vô nghiệm do s inx   1, x R

Xác định α sao cho m = sin α

Vậy phương trình sinx = msinx sin 2 ( )

Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện 2 2 sin m

Khi đó, arcsinm k 2 s inx ( ) arcsinm 2 m k k

Nếu |m|>1  phương trình (1) vô nghiệm do cosx   1, x R

Xác định α sao cho m = cos α

Vậy phương trình cosx = m cos cos 2 ( )

Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện 0 cos m

-Phương trình cotxm(3) Điều kiện: x  k  ( k  )

Ta xác định α sao cho mcot

Khi đó phương trình cot x  m  cot x  cot     x  k  ( k  )

Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện 0 cot m

 thì ta viết ar cotc m

Khi đó, phương trìnhcotx  m   x ar cot c m  k  ( k  )

-Phương trình tanxm(4) Điều kiện: ( ) x k  2 k

Ta xác định α sao cho mtan

Khi đó, phương trình tanx m tanxtan   x  k ( k  )

Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện tan

Khi đó, phương trình tanx  m x arctanm k  ( k  )

● Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản: sin f x ( )  sin g x ( )  ( ) ( ) 2

-Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác:

Có dạng at b 0(1) với a b ,  R a ,  0; t là một hàm số lượng giác

     a (đây là phương trình lượng giác cơ bản đã học)

-Phương trình bậc hai (hoặc phương trình đưa về phương trình bậc hai) đối với một hàm số lượng giác:

Có dạng: at 2  bt   c 0(2) với a b c , ,  ; a  0; t là một hàm số lượng giác

-Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx

Có dạng asinx b cosxc(3) trong đó

Phương pháp giải: Chia cả 2 vế cho a 2 b 2 ta được:

 (4) đây là phương trình lượng giác cơ bản

Là phương trình dạng f (s inx;cosx)=0 trong đó lũy thừa của sin và cos có cùng bậc chẵn hoặc lẻ

Bước 1: Xét cosx0 Kết luận nghiệm

Bước 2: Xét cos x  0,ta chia 2 vế của phương trình cho cos n x (n là bậc cao nhất) đưa về phương trình bậc cao của tanx

-Phương trình đối xứng với sinx và cosx:

Dạng: a (s inx  cos ) x  b sin cos x x  c (1) trong đó , ,

2(cos s inx sin cos ) 2 sin( )

(sinx cos ) 1 2sin cosx sin x cos

   (là phương trình bậc 2 ẩn t)

Một số ví dụ cơ bản:

Ví dụ 1: Nghiệm của phương trình 2 sin 2 x  5sin cos x x  cos 2 x  2(4):

Với cos x   0 sin 2 x  1 Thay vào phương trình (4) 2 2luôn đúng cosx 0 x

Với cosx0, ta chia cả 2 vế cho cos 2 x ta được:

Kết luận: Nghiệm của phương trình (4) là: 2 ( ) arctan( 3 )

-Khi nhìn các phương án trả lời của bài này bạn phải chia 2 vế cho cos 2 x  0để đưa về phương trình bậc 2 theo tanx

-Tuy nhiên đối với các phương án trả lời có nghiệm biểu diễn dạng khác Học sinh có thể giải theo các cách sau:

Khi xem xét phương trình sinx = 0, ta nhận thấy rằng nó không thỏa mãn phương trình (4) Đối với trường hợp sinx ≠ 0, ta có thể chia cả hai vế cho sin²x để biến đổi phương trình thành một phương trình bậc 2 theo cotx Ngoài ra, ta cũng có thể áp dụng công thức hạ bậc để chuyển đổi về phương trình bậc nhất liên quan đến sin và cos.

    Đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x, cos2x đã học trong phần trước

Hoặc (4)5sin cosx x3cos 2 x0 (đây là phương trình đẳng cấp bậc 2)

Ví dụ 2: Phương trình sinxcosx 1 2sin cosx xcó bao nhiêu nghiệm trên  0; 2   s inx  cos x   1 2 sin x cos (5) x Đặt:

Thế t vào giải tìm ra x

Kết luận: Phương trình có nghiệm

 Suy ra có 4 nghiệm trên [0,2𝜋]

Chú ý: Với phương trình a (s inx  cos ) x  b sin x cos x  c (6) Đặt: sinx cosx 2 sin( ) t 2; 2 ; t    x   4        x

2.2.1 Xây dựng hệ thống bài toán gốc cho các dạng toán sau đó đề xuất các bài toán nâng cao nhằm phát triển năng lực cho học sinh:

Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: a sinx b cosxc

Ví dụ 1: Giải phương trình (sin cos ) 2 3 cos 2(7)

  x  Để giải bài toán trên trước tiên ta cần các câu hỏi:

Phương trình (7) có gì đặc biệt?

Biến đổi bài toán như thế nào? Để giải bài toán trước hết phải biến đổi (sin cos ) 2

2 2 x  x về dạng đơn giản hơn:

(sin cos ) 2 1 2 sin cos 1 s inx

Phương trình trên là một phương trình bậc nhất liên quan đến sinx và cosx, yêu cầu học sinh nhận diện đúng dạng của phương trình Học sinh cần áp dụng các thuật toán đã học để giải quyết và đưa ra kết luận về nghiệm của sinx 3 cos 1.

Sau khi thực hiện các bước phương trình (7) có các nghiệm là:

Ví dụ 2: Giải phương trình

2cos2 x2 3 sin x cosx 1 3( 3 cosxsinx) (8)

Học sinh nên chú ý 1  sin 2 x  cos 2 x

Ta có vế trái của phương trình

3cos x2 3 sin x cosxsin x( 3 cosxs inx)

Khi đó PT đã cho trở thành

Để giải bài toán, ta nhận thấy cả hai vế của phương trình đều chứa (3 cosx - sinx) Do đó, bước tiếp theo là đặt (3 cosx - sinx) làm nhân tử chung, từ đó ta sẽ có được phương trình mới.

Phương trình PT (*) và (**) là các phương trình bậc nhất liên quan đến sinx và cosx Để giải quyết, học sinh cần áp dụng các thuật toán đã được học Khi kết hợp nghiệm của hai phương trình này, ta sẽ tìm ra nghiệm của PT đã cho.

Ví dụ 3: Giải phương trình sinxcos sin 2x x 3 cos 3x2(1 sin x)(9) 3

Thoạt nhìn học sinh chưa định hướng được các bước biến đổi của phương trình trên sin (1 2sinx  2 x) cos sin 2 x x  3 cos 3x2 thì việc định hướng sẽ dễ hơn

Ta có (1 2sin  2 x ) cos 2 x  thay vào sinx(1 2sin  2 x ) cos sin 2  x x ta được: sin cos 2x xcos sin 2x xđây chính là công thức khai triển của sin  x  2 x 

Sau khi biến đổi phương trình đã cho, ta có: sin 3x + 3cos 3x = 2 Học sinh cần nhận diện đây là phương trình bậc nhất đối với sin u và cos u Áp dụng các thuật toán đã học, ta tìm nghiệm cho phương trình: sin 3 + 3 cos 3 = 2 cos(3x) - 1, từ đó suy ra x = -π/6.

Nghiệm của phương trình là: 2 ( )

Một số bài tập đề nghị:

Xây dựng hệ thống bài tập nhằm phát triển năng lực phân tích, tổng hợp:

Ví dụ 1: Giải phương trình:

Phương trình trên chưa có dạng mẫu mực, biến đổi thế nào?

-Phương trình có chứa biểu thức sin 4 xcos 4 x, câu hỏi đặt ra là phải biến đổi như thế nào cho phù hợp với bài toán?

Trong các chương trình toán học, việc biến đổi biểu thức sin4x và cos4x về cùng cung 4x là một thách thức thú vị Để giải quyết vấn đề này, học sinh cần thực hiện các bước phân tích một cách tỉ mỉ.

+Biến đổi từ cung x về cung 2x:

+Biến đổi từ cung 2x về cung 4x

Từ sin 2 2 x muốn biến đổi về cung 4x học sinh phải vận dụng công thức hạ bậc

Phương trình 3 sin 4x + cos 4x = -1 là một phương trình bậc nhất đối với sin 4x và cos 4x Để giải quyết bài toán này, học sinh cần nhận diện đúng dạng của phương trình và áp dụng các thuật toán đã được học.

Sau khi thực hiện các bước phân tích học sinh tiến hành sắp xếp các ý rõ ràng và tổng hợp lại để có kết quả

Giải: Phương trình đã cho

Vậy phương trình có nghiệm là:

Qua bài toán, ta nhận thấy năng lực phân tích của học sinh khi chia bài toán thành hai phần nhỏ, từ đó giúp họ hiểu rõ hơn về vấn đề và tìm ra giải pháp hiệu quả hơn.

Giải phương trình 3 sin 4x + cos 4x = -1 yêu cầu người học phát triển năng lực tổng hợp trong quá trình phân tích Việc đưa bài toán về dạng mẫu mực và trình bày logic là cần thiết để tìm ra đáp án chính xác cho bài toán.

Ví dụ 2: Giải phương trình sau:

Hướng dẫn: Bài toán này có độ phức tạp tương đối cao, do đó, việc giải quyết nó yêu cầu phân tích các bước biến đổi để chuyển đổi bài toán từ dạng phức tạp sang dạng đơn giản hơn.

*Năng lực phân tích đối với bài toán thể hiện qua việc chia bài toán thành 3 bài toán nhỏ trong quá trình đi tìm hướng giải:

+Rút gọn sin(10 21 ) x  2 + Rút gọn sin 4 2 xcos 6 2 x

-Phương trình trên có chứa sin 10 21 x 2

Để giải bài toán liên quan đến hàm lượng giác có chứa π, học sinh cần phân tích mối quan hệ đặc biệt giữa các cung Chu kỳ của hàm sin giúp biến đổi hàm đã cho thành các hàm lượng giác đơn giản hơn, cụ thể là: sin(10 21), sin(10 10), sin(10) và cos(10).

-sin 4 2 x  cos 6 2 x có chứa hàm số lượng giác bậc 2 Như vậy để giải bài toán bước tiếp theo học sinh phải thực hiện hạ bậc

2 2 1 cos8 1 cos12 1 sin 4 cos 6 (cos8 x cos12 )

Sau khi hạ bậc phương trình có gì đặc biệt không?

Sau khi hạ bậc ta thấy vế trái của phương trình trên là tổng của 2 hàm cos có cung 8x, 12x, vế phải là hàm cos10x

  x nên ta tiến hành phân tích vế trái biến đổi tổng thành tích:

-Khi đó phương trình đã cho cos10 x.cos 2 x cos10x

Để giải bài toán, ta nhận thấy cả hai vế của phương trình đều chứa cos10x, do đó có thể đặt cos10x làm nhân tử chung Việc này giúp đơn giản hóa quá trình giải phương trình và quy về các phương trình đại số cơ bản.

Sau khi phân tích các bước giải ta tiến hành tổng hợp và trình bày bài giải cho logic và kiểm tra lại bài giải

Sau đây là lời giải cho bài toán:

2 cos10 cos 2 x cos10 cos10 (cos 2 x 1) 0 cos10 0 cos 2 1

Bài tập trên giúp chúng ta nhận thấy rõ năng lực phân tích và tổng hợp trong quá trình tìm kiếm kết quả Việc giải bài tập này là sự kết hợp giữa khả năng phân tích để chia bài toán thành những phần nhỏ và khả năng tổng hợp để sắp xếp các phần đó một cách logic, từ đó đạt được kết quả chính xác mà không mắc sai lầm.

Một số bài toán đề nghị:

1)4 3(sin cos 3 cos sin 3 ) cos 4 1

Từ phương pháp giải phương trình thuần nhất bậc hai với sinx và cosx, chúng ta có thể áp dụng để mở rộng sang phương trình thuần nhất bậc ba đối với hai hàm số này.

3 2 2 3 sin sin cosx c.s inx.cos cos 0 a x  b x  x  d x 

Ví dụ: Giải phương trình sau:

Để giải phương trình \(3 \sin^3 x - 3 \cos^3 x = \sin x \cos x - 3 \sin x \cos^2 x\), học sinh cần nhận ra rằng phương trình này có dạng của một phương trình thuần nhất bậc ba đối với \(\sin x\) và \(\cos x\).

Một số ứng dụng của lượng giác trong vật lý

Ứng dụng của đường tròn lượng giác trong các bài toán dao động điều hòa:

● Phương trình động lực học của dao động và nghiệm của nó:

Dao động cơ học là chuyển động qua lại quanh vị trí cân bằng

Xét dao động của vật nặng (m) gắn với lò xo có độ cứng k

- Phương trình động lực học của vật: x ''   2 x  0 với 2 k

- Nghiệm của phương trình x ''   2 x  0 có dạng x  A cos    t  trong đó A ,   , là những hằng số, gọi là phương trình dao động

● Các đại lượng đặc trưng của dao động điều hòa: x là li độ của vật tính từ VTCB

 t là pha dao động tại thời điểm t

 là pha ban đầu, tức là  t tại thời điểm t = 0

 là tần số góc của dao động, đơn vị là rad/s

● Chu kỳ và tần số của dao động điều hòa

Chu kỳ T là khoảng thời gian vật thực hiện một dao động toàn phần

  với t là khoảng thời gian vật thực hiện được N dao động

Tần số f là số dao động vật thực hiện được trong 1 giây f 1 ( Hz )

● Vận tốc và gia tốc trong dao động điều hòa:

Vận tốc của vật: ' sin   cos v  x A  t A  t 2 Khi x   A v 0 tại 2 vị trí biên

Khi x 0 v max A tại vị trí cân bằng

Vận tốc nhanh pha hơn li độ 1 lượng

● Gia tốc của vật: a    2 A cos    t     2 A cos     t    và a    2 x

Gia tốc nhanh pha hơn vận tốc 1 lượng

Gia tốc ngược pha so với li độ và có độ lớn tỉ lệ với li độ

● Tổng hợp hai dao động cùng phương, cùng tần số:

Ta có hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có dạng như sau:

-Dao động thứ nhất có dạng: x 1 A 1cos t 1 

-Dao động thứ hai có dạng: x 2  A 2cos t 2 

-Dao động tổng hợp có dạng là: x x 1 x 2 Acos t 

● Biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp:

-Biên độ tổng hợp xác định là: A  A 1 2  A 2 2  2 A A 1 2 cos 2   1

Pha ban đầu được xác định: 1 1 2 2

1 2 2 2 sin sin tan cos cos

*Nếu hai dao động thành phần:

-Ngược pha:   2n1  A A 1A 2 và   1 nếu  A 1 A 2 ,   2 nếu

-Độ lệch pha là bất kỳ thì: A 1 A 2  A A 1 A 2

● Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều, biểu diễn dao động điều hòa bằng vecto quay Phương pháp đường tròn lượng giác:

*Chuyển động tròn đều và các đại lượng đặc trưng:

- Chuyển động tròn đều là: “Chuyển động chất điểm đi được những cung tròn bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau”

- Các đại lượng đặc trưng của chuyển động tròn đều:

+Chu kỳ T là khoảng thời gian chất điểm đi hết một vòng trên đường tròn

+ Tần số f là số vòng chất điểm quay được trong một đơn vị thời gian

+Liên hệ giữa chu kỳ và tần số 1

+Tốc độ góc của chuyển động tròn đều: Tốc độ góc là góc quay được của bán kính trong một đơn vị thời gian t

●Sự tương giao giữa một dao động điều hòa và chuyển động tròn đều Biểu diễn dao động điều hòa bằng vecto quay

Một dao động điều hòa có dạng x  A cos    t  có thể biểu diễn tương ứng với một chuyển động đều có:

-Bán kính của đường tròn với biên độ dao động: R=A

-Vị trí ban đầu của vật trên đường tròn với chiều dương trục Ox một góc 

-Tốc độ quay của vật trên đường tròn bằng

- Chiều quay của vật ngược chiều kim đồng hồ

-Ta có hình vẽ biểu diễn một chất điểm dao động điều hòa x  A cos    t  bằng một vecto quay OM như hình vẽ

- Độ dài đại số của hình chiếu trên trục x của vecto quay OM biểu diễn dao động điều hòa chính là li độ x của dao động

-Khi vecto OM quay đều với tốc độ góc  quanh góc tọa độ O thì hình chiếu P của điểm

M dao động điều hòa trên trục Ox, thuộc mặt phẳng quỹ đạo của M với li độ bằng tọa độ hình chiếu của M

+Biên độ A bằng độ dài vecto OM

Tốc độ góc của dao động điều hòa tương đương với tần số góc  và pha ban đầu  bằng góc xOM tại thời điểm t = 0 Dao động điều hòa có thể được hình dung như là hình chiếu của một vật thể chuyển động tròn đều trong mặt phẳng quỹ đạo.

Bài 1: Tìm thời gian ngắn nhất vật đi từ AB

Ví dụ: Một vật dao động điều hòa với T Hãy xác định thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí cân bằng đến 3

Bài 2: Xác định thời điểm vật vị trí M cho trước

Một vật dao động điều hòa có phương trình 4 cos(6πt) = x + π/3 cm Để xác định thời điểm vật qua vị trí x = 2 cm theo chiều dương lần thứ hai kể từ thời điểm ban đầu, ta cần tính toán dựa trên phương trình dao động Bên cạnh đó, để tìm thời điểm vật qua vị trí x = 2 cm theo chiều âm lần thứ ba kể từ t = 2s, cũng cần áp dụng các công thức liên quan đến dao động điều hòa.

Bài 3: Xác định quãng đường

Loại 1: Bài toán xác định quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian t

Ví dụ: Vật dao động điều hòa theo phương trình 10 os x c t2 cm Xác định quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian t 1 1,5 đến 2 13 t  3 s?

Loại 2: Bài toán xác định S max ;S min vật đi được trong khoảng thời gian t (

Ví dụ: Vật dao động điều hòa với phương trình 5cos 4 x  t6 Tìm quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian

Loại 3: Tìm S max ;S min vật đi được trong khoảng thời gian t (

Ví dụ: Vật dao động điều hòa với biên độ A Tìm quãng đường nhỏ nhất vật đi được trong khoảng thời gian 2

Trong quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp, dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy Hoàng Nhật Quy, tôi đã nỗ lực nghiên cứu và trình bày chuyên đề lượng giác nhằm phát triển năng lực học sinh theo chương trình phổ thông tổng thể.

Qua bài nghiên cứu đề tài này, luận văn rút ra một số kết luận sau:

Bài viết này làm rõ các vấn đề cơ bản liên quan đến năng lực và năng lực toán học, đồng thời phân tích biểu hiện của năng lực chung cùng các thành tố của năng lực toán học Ngoài ra, nó cũng đề cập đến mục đích, vai trò, ý nghĩa và chức năng của bài tập toán trong quá trình phát triển năng lực học sinh.

- Luận văn đã xây dựng được hệ thống bài tập toán vận dụng kiến thức giải phương trình lượng giác lớp 11

Việc xây dựng và áp dụng hệ thống bài tập toán trong luận văn đã giúp học sinh nắm vững kiến thức cần thiết về "Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác".

Do thời gian và nguồn lực có hạn, khóa luận này không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong quý thầy cô và bạn đọc thông cảm cũng như đóng góp ý kiến Hy vọng đề tài sẽ trở thành tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy thông qua chuyên đề về lượng giác.