Một số ứng dụng của tích phân vào giải các bài toán thực tế trong chương trình toán THPT

6 CHƯƠNG 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO GIẢI CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THPT .... Vì vậy những bài tập về ứng dụng tích phân vào giải các bài toán thực tế gây khô

Giảng viên hướng dẫn : ThS NGÔ THỊ BÍCH THỦY Sinh viên thực hiện : ĐẶNG THỊ LY

Lớp : 15ST

ĐÀ NẴNG – NĂM 2019

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Giảng viên hướng dẫn: ThS NGÔ THỊ BÍCH THỦY

Sinh viên thực hiện: ĐẶNG THỊ LY Chuyên ngành: Sư phạm Toán

Lớp: 15ST

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa toán trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng đã tận tình giảng dạy và tạo điều kiện tốt cho tôi hoàn thành khóa luận

Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc đến cô Ngô Thị Bích Thủy, người đã tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong suốt thời gian làm khóa luận Cuối cùng, tôi xin cảm ơn các ý kiến đóng góp quý báu, sự động viên giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô, bạn bè trong thời gian thực hiện khóa luận

Đà Nẵng, tháng 01 năm 2019 Sinh viên thực hiện

Đặng Thị Ly

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN

MỞ ĐẦU 1

1.Lý do chọn đề tài 1

2.Mục đích nghiên cứu 1

3.Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 1

4.1 Nghiên cứu lý luận 1

4.2 Nghiên cứu thực tế 2

5 Bố cục của đề tài 2

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 3

1.1.Nội dung cơ bản về tích phân trong chương trình toán THPT 3

1.1.1.Định nghĩa của tích phân 3

1.1.2.Một số tính chất của tích phân 4

1.2 Một số phương pháp tính tích phân thường gặp 5

1.2.1 Phương pháp đổi biến số 5

1.2.2 Phương pháp tích phân từng phần 6

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO GIẢI CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THPT 8

2.1 Bài toán tính diện tích hình phẳng 8

2.1.1 Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành 8

2.1.2 Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong 12

2.2.Bài toán tính thể tích 16

2.2.1 Tính thể tích của vật thể 16

2.2.2 Tính thể tích khối chóp và khối chóp cụt 17

2.3 Bài toán tính thể tích khối tròn xoay 19

2.3.1 Hình phẳng quay quanh trục Ox 19

2.3.2 Hình phẳng quay quanh trục Oy 20

2.4 Bài toán về chuyển động 22

2.5 Bài toán về tăng trưởng phát triển 26

2.6 Bài toán về kinh tế 30

2.6.1 Dạng 1: Tổng thu nhập của dòng tiền liên tục 30

2.6.2 Dạng 2: Giá trị tương lai của dòng tiền liên tục 30

2.6.3 Dạng 3: Chi phí cận biên và doanh thu cận biên trong sản xuất kinh tế 33

2.6.4 Dạng 4: Một số dạng khác về sự tăng trưởng trong kinh tế 36

KẾT LUẬN 39

TÀI LIỆU THAM KHẢO 40

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là môn khoa học cơ bản, có vai trò quan trọng trong đời sống và được ứng dụng rộng rãi trong thực tế Đây là môn học tương đối khó, mang tính tư duy cao, đòi hỏi người học phải chịu khó tìm tòi, khám phá và say mê nghiên cứu Tích phân là một trong những mảng kiến thức quan trọng trong giải tích lớp 12 Các bài toán tích phân nói chung và bài toán ứng dụng tích phân nói riêng rất đa dạng và phong phú, thường có trong các kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông Những năm gần đây, Bộ Giáo dục và Đào tạo triển khai hình thức thi trắc nghiệm đối với môn Toán Vì vậy những bài tập về ứng dụng tích phân vào giải các bài toán thực tế gây không ít khó khăn cho học sinh

Trong quá trình giảng dạy, ngoài việc khuyến khích học sinh tích cực chủ động và sáng tạo nắm chắc kiến thức cơ bản, rèn luyện kĩ năng giải toán, giáo viên còn là người khơi gợi cho học sinh vận dụng những bài toán đó để giải quyết các vấn đề trong thực tiễn

Do đó, tôi chọn đề tài nghiên cứu “Một số ứng dụng của tích phân vào giải các bài toán thực tế trong chương trình toán THPT” nhằm nâng cao hiệu quả dạy học tích

phân sau này

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu chương trình tích phân ở phổ thông Qua đó, đưa ra các dạng bài tập gắn liền thực tiễn mà người học phải dùng kiến thức tích phân để giải

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đạt được mục đích trên, đề tài có nhiệm vụ làm rõ những vấn đề sau:

1 Trên cơ sở nghiên cứu các tài liệu, nêu ra một số dạng toán ứng dụng của tích phân vào giải các bài toán thực tế trong chương trình toán THPT

2 Hệ thống hóa những kiến thức và kĩ năng cần thiết để học sinh nắm vững kiến thức về tích phân xác định

3 Đề xuất một số ví dụ, bài tập về ứng dụng của tích phân trong thực tế

4 Phương pháp nghiên cứu

4.1 Nghiên cứu lý luận

Nghiên cứu từ một số tài liệu, sách báo, hay truy tập Website để thu thập thông tin, nghiên cứu các đề tài có liên quan trực tiếp nhằm làm rõ các khái niệm cũng như kiến thức cơ bản ban đầu

Đề tài gồm 2 chương sau:

Chương 1: Cơ sở lý luận

1.1 Nội dung cơ bản về tích phân trong chương trình toán trung học phổ thông 1.2 Một số phương pháp tính tích phân thường gặp

Chương 2: Một số ứng dụng của tích phân vào giải các bài toán thực tế trong chương trình toán THPT

2.1 Bài toán về tính diện tích

2.2 Bài toán về tính thể tích

2.3 Bài toán về tính thể tích khối tròn xoay

2.4 Bài toán về chuyển động

2.5 Bài toán về tăng trưởng, phát triển

2.6 Bài toán về kinh tế

Kết luận

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Nội dung cơ bản về tích phân trong chương trình toán THPT

1.1.1 Định nghĩa của tích phân

Cho f x là hàm số liên tục trên đoạn ( ) [𝑎; 𝑏] Giả sử F x  là một nguyên hàm của

b) Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f x  liên tục và không âm trên đoạn [𝑎; 𝑏] thì tích phân ( )

1.2 Một số phương pháp tính tích phân thường gặp

1.2.1 Phương pháp đổi biến số

Cho hàm số f x liên tục trên đoạn [𝑎; 𝑏] Giả sử hàm số 𝑥 = 𝜑(𝑡) có đạo hàm liên tục trên đoạn [𝛼; 𝛽] sao cho 𝜑(𝛼) = 𝑎, 𝜑(𝛽) = 𝑏 và a ≤ 𝜑(𝑡) ≤ 𝑏 với mọi 𝑡 ∈[𝛼; 𝛽] Khi đó:

1.1

Trong nhiều trường hợp ta còn sử dụng phép đổi biến số ở dạng sau :

Cho hàm số f x liên tục trên đoạn  a b; Để tính ( )

f x g u x u x x a b ,

với g u( )liên tục trên đoạn  ; 

2.9

x dx

0 0

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO GIẢI CÁC BÀI

TOÁN THỰC TẾ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THPT

2.1 Bài toán tính diện tích hình phẳng

2.1.1 Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số 𝑓(𝑥) liên tục, trục hoành

và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức:

𝑆 = ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥𝑏

𝑎

Phương pháp:

Bước 1: Lập bảng xét dấu hàm số 𝑓(𝑥) trên đoạn [𝑎; 𝑏]

Bước 2: Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân 𝑆 = ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥𝑎𝑏

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥2, trục hoành và hai đường thẳng 𝑥 = 0, 𝑥 = 2

Giải:

Ta có 𝑥2 ≥ 0 trên đoạn [0; 2]

Vậy diện tích hình phẳng đã cho là:

𝑠 = ∫ |2

Khi đó diện tích hình phẳng đã cho là

Ví dụ 3: Vòm cửa lớn của trường Đại học Bách khoa Hà Nội có dạng hình Parabol

Người ta dự định lắp cửa kính cho vòm cửa này Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp

vào biết rằng vòm cửa cao 8m và rộng 8m

Phân tích:

Hình phẳng cần tính diện tích được giới hạn bởi đường thẳng BC và đường cong Parabol cho nên ta có thể dùng công thức tích phân để tính diện tích hình phẳng này Như vậy, ta cần đưa đường cong Parabol của cánh cửa vào hệ trục Oxy và đường cong Parabol đó là hàm số có dạng 𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐

Dựa vào chiều cao 8m và chiều rộng 8m tính được hệ số a, b, c

Dùng công thức tích phân tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong

Ví dụ 4: Một mảnh vườn hình thang cong OACB vuông tại O và B có dạng như

hình vẽ, trong đó độ dài các cạnh OA = 15m, OB = 20m, BC = 25m và đường cong

OC được mô tả bởi một hàm số mũ có dạng ( )f x N e mx, trong đó N và m là các hằng

số Hỏi mảnh vườn có diện tích bằng bao nhiêu? (Làm tròn 2 chữ số thập phân)

Dựa vào hình vẽ ta có đường cong AC đi qua điểm A(0;15) và C(20;25)

𝑆 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 15𝑒𝑥.201𝑙𝑛

5 3 20

0

𝑑𝑥 = (20

𝑙𝑛53 15𝑒𝑥.201𝑙𝑛

5

3 )|20

0 = 391.52(𝑚

2)20

0

2.1.2 Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Cho hàm số y f x( ) và y g x( )liên tục trên đoạn [𝑎; 𝑏] Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đó và các đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏

Xét trường hợp f x( ) g x( ) với mọi x a b; Gọi S S1, 2 là diện tích của hai hình thang cong giới hạn bởi trục hoành, hai đường thẳng xa x, b và các đường cong

𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑦 = 𝑔(𝑥) tương ứng Khi đó, diện tích S của

sử phương trình có hai nghiệm 𝑐, 𝑑 (𝑐 < 𝑑) Khi đó, f x( ) g x( ) không đổi dấu trên các đoạn [𝑎; 𝑐], [𝑐; 𝑑], [𝑑; 𝑏] Trên mỗi đoạn đó, chẳng hạn trên đoạn [𝑎; 𝑐], ta có



Ví dụ 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

x x x

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x3 11 x  6, y  6 x2là:

Ví dụ 7: Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ

dài trục bé bằng 10m Ông muốn trồng hoa trên một mảnh đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng( như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/

2

1m Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền làm tròn đến hàng nghìn)

8m

2.2 Bài toán tính thể tích

2.2.1 Tính thể tích của vật thể

Cắt một vật thể C bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại

x = a, x = b (a<b) Một mặt phẳng bất kì vuông góc với Ox tại điểm x (a x b) cắt C theo một thiết diện có diện tích S(x) Giả sử S(x) là hàm liên tục trên  a b;

Khi đó thể tích của vật thể C giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) được tính theo công thức:

( )

b

a

V   S x dx

Ví dụ 8: Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 1 và x = -1, biết rằng

thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ

1

164

x x



2.2.2 Tính thể tích khối chóp và khối chóp cụt

2.2.2.1 Thể tích khối chóp

Cho khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B

Chọn trục Ox vuông góc với mặt phẳng đáy tại điểm I sao cho gốc O trùng với đỉnh của khối chóp và có hướng xác định bởi vectơ OI Khi đó, OI h Một mặt phẳng ( ) vuông góc với Ox tại x (0  x h) cắt khối chóp theo thiết diện có diện tích là

( )

S x (hình vẽ) Ta có

2 2

b a a ab b B

Ví dụ 9: Một cái xô bằng inox có dạng hình nón cụt (như hình vẽ), biết chiều cao

của cái xô là 24cm, bán kính đáy của xô là 10cm, bán kính miệng xô là 20cm Tính thể tích của cái xô

Ví dụ 10: Một bác thợ gốm làm một cái lọ có dạng khối tròn xoay được tạo thành

khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y x1, y = 0, quay quanh trục Ox biết đáy lọ và miệng lọ có đường kính lần lượt là 2dm và 4dm Khi đó thể tích của cái lọ

Ví dụ 11: Trong nghiên cứu khoa học người ta sử dụng thể tích của một quả trứng

để xác định kích thước của nó là cách dự báo khá tốt về các thành phần cấu tạo của trứng và đặc điểm của con non sau khi nở ra Một quả trứng được mô hình bởi quay đồ

7569 400 , 4.35 4.35 30

y  x   x quanh trục Ox Sử dụng mô hình này

để tính thể tích của quả trứng, (x,y đo theo đơn vị cm)

Giải:

Trong mặt phẳng Oxy gọi hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị hàm số

21

3 4.35

b

a

V  g y dy

Ví dụ 13: Có một cái ly như hình vẽ Người ta đo được đường kính của miệng ly là

4cm và chiều cao là 6cm Biết thiết diện của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng đối xứng là một Parabol Tính thể tích cái ly

Phân tích :

Gọi (H) là hình phẳng cần tính diện tích được giới hạn bởi đường thẳng AB và đường cong Parabol cho nên ta có thể dùng công thức tích phân để tính diện tích hình phẳng này

Như vậy, ta cần đưa đường cong Parabol của cái ly vào hệ trục Oxy và đường cong Parabol đó là hàm số có dạng 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Dựa vào chiều cao 6cm và đường kính miệng ly là 4cm tính được hệ số a, b, c Khi đó thể tích của cái ly chính là thể tích của vật thể khối tròn xoay khi xoay hình phẳng (H) quanh trục Oy

Giải:

Không mất tổng quát, ta chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho AB trùng với trục

Ox và điểm O trùng với gốc tọa độ Khi đó ta có Parabol (P): 2

ax

y  bx c đi qua các điểm A( 2;0), (2;0), (0; 6)  B I 

quay quanh trục Oy

Vậy thể tích của cái ly là

2.4 Bài toán về chuyển động

Giả sử vật M chuyển động trên quãng đường có độ dài là s trong khoảng thời gian

t Khi đó, vật M chuyển động với vận tốc trung bình là s

v t



Tuy nhiên, chúng ta gặp rất nhiều trường hợp vật chuyển động không đều, vận tốc thay đổi liên tục tùy theo vị trí và thời gian Ví dụ xe chạy trên đường gặp nhiều chướng ngại vật thì giảm tốc, chạy trên đường thông thoáng thì tăng tốc Vì vậy, ta cần phương pháp tính đúng vận tốc của xe tại mỗi thời điểm

Giả sử v(t) là vận tốc của vật M tại thời điểm t, và s(t) là quãng đường vật đi được sau quãng thời gian t tính từ lúc bắt đầu chuyển động Ta có mối quan hệ giữa s(t) và v(t) như sau:

 Đạo hàm của quãng đường là vận tốc s t'( ) v t( )

 Nguyên hàm của vận tốc là quãng đường s t( )v t dt( )

Từ đây ta cũng có quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian t a b, là:

( ) ( ) ( ) ( )

b

a

s t v t dts b s a

Nếu gọi a(t) là gia tốc của vật M thì ta có mối liên hệ giữa v(t) và a(t) như sau:

 Đạo hàm của vận tốc chính là gia tốc v t'( ) a t( )

 Nguyên hàm của gia tốc là vận tốc v t( )a t dt( )

Ví dụ 14: (Trích đề minh họa 2017) Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì tài

xế đạp phanh, từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc

v t   t (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu m?

Phân tích :

Ta có nguyên hàm của vận tốc v t( )    5t 10(m/s) chính là quãng đường s(t) mà ô

tô đi được sau khoảng thời gian t giây kể từ lúc tài xế đạp phanh

Vào thời điểm ô tô bắt đầu đạp phanh ứng với t = 0

Vào thời điểm ô tô dừng lại thì v(t)=0    5 t 10    0 t 2

Từ đây ta tính được quãng đường xe đi được từ lúc t = 0 đến t = 2 theo công thức

2

0( )

Suy ra quãng đường đi được từ lúc đạp phanh đến khi dừng lại là

Ví dụ 15: Một người đi xe ô tô với độ tăng vận tốc tại một thời điểm t (t tính bằng

giây, t 0) được cho bởi hàm số 1 2 1 2

300 1350

f t  t  t km s Nếu bắt đầu tăng tốc tính từ lúc khởi động máy thì vận tốc bằng 0 km/h Hỏi mất bao lâu thì người đó đạt được tốc độ 120km/h?

Giải:

Gọi x là thời gian cần thiết để người đó đạt được tốc độ 120km/h

Ta nhận xét tốc độ tăng vận tốc trong thời gian này cũng chính là tích phân của hàm f(t) với t = 0 đến t = x Như vậy ta có phương trình sau

0

120( )

Ví dụ 16: Một xe mô tô phân khối lớn sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu phóng

nhanh với vận tốc tăng liên tục được biểu thị bằng đồ thị là đường cong parabol Biết rằng sau 15s thì xe đạt tới vận tốc cao nhất là 60m/s và bắt đầu giảm tốc Hỏi từ lúc bắt đầu tăng tốc đến lúc vận tốc cao nhất thì xe đã đi được quãng đường bao nhiêu m?

5

v(m/s)

t(s) 6

0

Phân tích :

Lúc ban đầu mô tô phóng nhanh với vận tốc thay đổi liên tục được biểu thị bằng đồ

thị (P) như hình vẽ, và đề bài chưa cho biểu thức vận tốc v(t), cho nên ta cần tìm biểu

Đường cong Parabol có đỉnh I(15;60), đồng thời đi qua gốc tọa độ O(0;0)

Lúc bắt đầu tăng tốc xem như t = 0 và theo đồ thị, xe đạt vận tốc cao nhất vào thời điểm t = 15s

Vậy quãng đường đi được của xe kể từ lúc tăng tốc (t = 0s) đến lúc xe đạt vận tốc cao nhất (t = 15s) là

thời đi qua gốc tọa độ O(0;0), suy ra:

2

2 2