Một số khái niệm
Phương trình vi phân thường
Một phương trình vi phân thường có dạng tổng quát:
F(x, y, y 0 , , y (n) ) = 0 trong đó y = y(x), y 0 , y 00 , , y (n) là đạo hàm cấp 1,2, , n tương ứng
Ví dụ 1.1.1.1 Phương trình: y 0 + (2x+ 1)y = x 2 là một phương trình vi phân thường
Cấp của phương trình vi phân
Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm xuất hiện trong phương trình
Ví dụ 1.1.2.1 Xét phương trình y 00 + 2y 3 + y = 0 là 1 phương trình vi phân cấp 2
Phân loại phương trình vi phân
Phương trình tuyến tính
Định nghĩa 1.2.1.1 Một phương trình vi phân thường cấp n được gọi là tuyến tính nếu nó có thể viết dưới dạng b 0 (x)d n (y) d(x n )+b 1 (x)d n−1 (y) dx n−1 + +b n−1 (x)dy dx +b n (x)y = R(x)
Ví dụ 1.2.1.1 Phương trình: y 0 + 3xy = x là một phương trình tuyến tính
Phương trình vi phân cấp một
Định nghĩa 1.2.2.1 Phương trình vi phân cấp 1 có dạng tổng quát:
Trong đó hàm F xác định trong miền D⊂ R 3
Hoăc từ (1.1) ta giải ra được y 0 = f(x, y) ta được phương trình vi phân cấp 1 đã giải ra đạo hàm.
Ta cũng có thể viết phương trình vi phân đã giải ra đạo hàm dưới dạng đối xứng
M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 Để giải phương trình (1.1) ta có thể dùng phương pháp tách biến để đưa phương trình về dạng:
A(x)dx+ B(y)dy = 0 (1.2) trong đó A(x) và B(y) là các hàm lần lượt chỉ phụ thuộc vào x và y
-Tích phân hai vế phương trình (1.2) ta được tích phân tổng quát của phương trình (1.1)
Ví dụ 1.2.2.2 Giải phương trình
Ta có tích phân tổng quát
R 2x x 2 + 1dx+R 2y y 2 + 1dy = C hay ln(x 2 + 1) + ln(y 2 + 1) = C (C>0) do đó
(x 2 + 1)(y 2 + 1) = e C là nghiệm tổng quát của phương trình đã cho
Phương trình thuần nhất cấp một
Định nghĩa 1.2.3.1 Hàm f(x, y) được gọi là thuần nhất bậc k ∈ Z + nếu
∀t >0 thì f(tx, ty) = t k f(x, y) Định nghĩa 1.2.3.2 Phương trình
Phương trình vi phân thuần nhất có dạng M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, trong đó M(x, y) và N(x, y) là các hàm thuần nhất cùng bậc Để giải phương trình này, ta cần chuyển đổi về dạng dy/dx + g(y/x) = 0.
-Đặt y = ux, phương trình (1.4) trở thành xdu dx +u+g(u) = 0 (1.5)
- Giải (1.5) bằng phương pháp tách biến
Ví dụ 1.2.3.1 Giải phương trình:
Chúng ta có thể viết lại phương trình đã cho dưới dạng: \( \frac{dy}{dx} = -x^2 + y^2 \) và \( xy = -xy - yx \) Nhận thấy rằng vế phải của phương trình là thuần nhất, ta đặt \( y = xu \) và từ đó có được phương trình: \( \frac{dx}{x} = -udu \).
2u 2 + 1 Tích phân cả hai vế phương trình trên cho ta: ln x C
Thay u = y x nhận được nghiệm của phương trình đầu là: x 4 = C 4 x 2 x 2 + 2y 2 , C 6= 0
Phương trình vi phân toàn phần
P(x, y)dx+ Q(x, y)dy = 0 (1.6) được gọi là phương trình vi phân toàn phần nếu tồn tại hàm F(x, y) khả vi sao cho: dF(x, y) =P(x, y)dx+Q(x, y)dy Để giải phương trình (1.6) ta tiến hành
Từ một trong hai phương trình trên ta tìm F rồi cho F thỏa mãn phương trình còn lại ta tìm được nghiệm tổng quát của phương trình (1.6) là
F(x, y) =C Định lý 1.2.4.1 (Dấu hiệu nhận biết phương trình vi phân toàn phần) Để cho phương trình (1.6) thì điều kiện cần và đủ là:
Trong bài viết này, chúng ta sẽ chứng minh điều kiện cần cho phương trình (1.6) với các hàm P(x, y) và Q(x, y) được định nghĩa trên hình chữ nhật J1 ⊗ J2, trong đó J1 và J2 là các đoạn trong R Các hàm này phải liên tục và có đạo hàm riêng ∂P.
∂x Vì (1.6) là toàn phần nên:
∂x∂y Đến đây áp dụng định lý Schwarz về sự bằng nhau của đạo hàm hỗn hợp cho hai biến ta có ∂P
Q(x, ξ)dξ+C(x) Lấy đạo hàm theo x biểu thức nhận được cho ta:
Do đó C 0 (c) = P(x, y 0 ) Từ đây ta nhận được:
Như vậy hàm F(x, y) tìm được dưới dạng:
P(η, y0)dη Ở đây x0, y0 là các điểm cố định tương ứng trong J1 và J2.
Ví dụ 1.2.4.1 Giải phương trình:
∂x, do đó phương trình vi phân đã cho là phương trình vi phân toàn phần.
U = x 3 −xy 2 +C(y). Đạo hàm biểu thức nhận được theo y cho ta:
Từ đây ta nhận được C y 0 = 3y 2 , do đó C(y) = y 3 Như vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x 3 −xy 2 +y 3 = C
Ví dụ 1.2.4.2 Giải phương trình vi phân:
∂x, do đó phương trình vi phân đã cho là phương trình vi phân toàn phần.
2x 2 y 2 +C(y). Đạo hàm biểu thức nhận được theo y cho ta được:
Từ đây ta nhận được C(y) = 1
4y 4 Do đó nghiệm của phương trình đã cho là:
Phương trình tuyết tính cấp môt
Phương trình tuyến tính cấp một có dạng dy/dx + P(x)y = Q(x) (1.7) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp một Để giải phương trình này, chúng ta cần thực hiện các bước cụ thể.
Ta tìm nghiệm của phương trình (1.7) dưới dạng y = u(x)v(x) (1.8) Đạo hàm cả hai vế của (1.8) cho ta y' = u'v + v'u (1.9) Thay biểu thức này vào phương trình (1.7) ta có uv' + (u' + P(x)u)v = Q(x) (1.10) Trong phương trình này, ta chọn u sao cho u' + P(x) = 0, từ đó thu được u = exp(−).
P(x)dx) thay biểu thức vừa nhận được vào (1.10) ta nhận được: v 0 exp(−
P(x)dx) = Q(x) Giải phương trình cuối ta nhận được: v Z Q(x)exp(
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (1.7) tìm được dưới dạng: y = uv = exp(−
Ví dụ 1.2.5.1 Giải phương trình vi phân: y 0 + 3xy = x
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: y = uv = e −
Phương trình tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng
hằng Định nghĩa 1.2.6.1 Phương trình có dạng: a 0 y (n) +a 1 y (n−1) + +a n−1y 0 +a n y = 0 (1.11) trong đó a 0 , a 1 , , a n−1 , a n , là các số thực, là một phương trình tuyến tính thần nhất với hệ số hằng
Giả sử y 1 , y 2 , , y n , là hệ nghiệm cơ sở của phương trình (1.11) khi đó: y = y 1 c 1 +y 2 c 2 + + y n c n là nghiệm tổng quát của phương trình (1.11), trong đó c i , i = 1, n là các hằng số bất kỳ
Ví dụ 1.2.6.1 Tìm nghiệm của phương trình: y 00 −5y 0 + 6y = 0
Ta tiến hành tìm nghiệm của phương trình đặc trưng: r 2 −5r+ 6 = 0
Phương trình trên có 2 nghiệm r 1 = 2, r 2 = 3 Do đó nghiệm của phương trình đã cho tìm được dưới dạng: y = C1e 2x +C2e 3x
Ví dụ 1.2.6.2 Tìm nghiệm của phương trình: y 00 −8y 0 + 16y = 0
Ta tiến hành tìm nghiệm của phương trình đặc trưng: r 2 −8r + 16 = 0
Phương trình trên có nghiệm kép r 1 = r 2 = 4 Do đó nghiệm tổng quát của phương trình đã cho tìm được dưới dạng: y = e 4x (C 1 + C 2 x)
Ví dụ 1.2.6.3 Tìm nghiệm của phương trình: y 00 + 2y 0 + 3 = 0 Trước hết ta tìm nghiệm của phương trình đặc trưng: r 2 + 2r + 3 = 0
Phương trình trên có 2 nghiệmr1 = −1 +i√
2, do đó nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: y = e −x (C 1 cos√
Phương trình không thuần nhất.Phương pháp hệ số bất định
hệ số bất định Định nghĩa 1.2.7.1 Phương trình không thuần nhất
Giả sử y r là nghiệm riêng của phương trình (1.12) và y c là nghiệm của phương trình thuần nhất y (n) a0 +y (n−1) a1 + + y 0 a n−1 + yan = 0.Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (1.12) là: y = yr +yc
Ví dụ 1.2.7.1.Giai phương trình y 00 −5y 0 + 6y = (3−4x)e x Trước hết ta tiến hành tìm nghiệm của phương trình thuần nhất y 00 −5y 0 + 6y = 0
Ta có phương trình đặc trưng r 2 −5r + 6 = 0 của phương trình thuần nhất có nghiệmr = 2, r = 3.Do đó nghiệm của phương trình thuần nhất tìm được dưới dạng y c = C 1 e 2x + C 2 e 3x
Ta tiếp tục tiến hành tìm nghiệm riêng của phương trình đã cho
Phương trình đặc trưng r 2 −5r+ 6 = 0, r 1 = 2, r 2 = 3, α = 1, m = 1 Do đó nghiệm riêng của phương trình đã cho có thể tìm được dưới dạng: y r = e x (ax+ b)
Ta có phương trình y r 00 = e x [(ax+b) +a] +e x a Bằng cách thay thế các biểu thức vào phương trình và đồng nhất thức hai vế, ta tìm được a = 2 và b = 1 Do đó, nghiệm riêng của phương trình là y r = e x (2x + 1) Nghiệm tổng quát của phương trình được biểu diễn dưới dạng: y = C 1 e 2x + C 2 e 3x + e x (2x + 1) Phương pháp giải này được gọi là phương pháp hệ số bất định.
Giả sử ta có phương trình vi phân bậc n: \(y^{(n)} + y^{(n-1)} P_1(x) + + y_0 P_{n-1}(x) + y P_n(x) = Q(x)\), trong đó \(P_i(x)\) (với \(i = 1, n\)) là các hệ số của phương trình, và hàm \(f(x)\) là vế phải xác định và liên tục trên khoảng \((a,b)\) Nếu \(y_1, y_2, , y_n\) là một hệ nghiệm cơ sở của phương trình đồng nhất \(y^{(n)} + y^{(n-1)} P_1(x) + + y_0 P_{n-1}(x) + y P_n(x) = 0\), thì nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng \(u = c_1 y_1 + c_2 y_2 + + c_n y_n\) Để tìm nghiệm tổng quát \(y\) cho phương trình không thuần nhất (1.13), ta ký hiệu \(y_r\) là một nghiệm riêng của phương trình này, từ đó nghiệm tổng quát sẽ được biểu diễn dưới dạng \(y = y_r + u\).
Một số mô hình đươc mô tả bởi phương trình vi phân
Một số mô hình trong kinh tế cổ điển
Mô hình tăng trưởng Solow
Mô hình kinh tế mang tên Robert Solow, người đã nghiên cứu dựa trên dữ liệu thu thập ở Mỹ từ những năm 1950 đến 1970 Ông được vinh danh với giải thưởng Nobel Kinh tế năm 1986 nhờ những đóng góp quan trọng cho lý thuyết tăng trưởng.
Khi phân tích nền kinh tế toàn cầu, sự khác biệt rõ rệt giữa các quốc gia là điều dễ nhận thấy Điều này đặt ra câu hỏi về nguyên nhân khiến một số quốc gia phát triển nhanh chóng trong khi những quốc gia khác lại trì trệ Để hiểu rõ hơn về sự tăng trưởng kinh tế bền vững, mô hình tăng trưởng kinh tế Solow cung cấp những giải thích hữu ích.
Các giả thiết của mô hình Solow:
- Thời gian là liên tục
- Nền kinh tế đơn giản cùng với công nghệ không thay đổi
- Không có sự tham gia của chính phủ hoặc thương mại quốc tế
- Mọi nhân tố sản xuất đều có việc làm
- Lực lượng lao động gia tăng theo tỉ lệ không đổi n= L 0 L
- Giá trị ban đầu của vốn và lao động là K 0 , L 0
- Hàm sản xuất dạng tân cổ điển (hàm Cobb-douglas)
Y(t) = F[K(t), L(t)] = γK α (t)L 1−α (t) Để đơn giản ta kí hiệu
Y = γK α L 1−α trong đó K là vốn, L là lao động.
Y là hàm thuần nhất cấp một vì F(λK, λL) =λF(K, L) = λγK α L 1−α
- Mô hình thỏa mãn điều kiện ban đầu
-Sản xuất cận biên là dương
- Sản xuất cận biên giảm, tức là
Ta tiến hành xây dựng mô hình như sau: Đặt y = Y
L là giá trị đầu ra trên một lao động Khi đó y = Y
L là vốn trên một lao động.
Tại mọi thời điểm, đầu tư I = sY biểu thị tốc độ gia tăng vốn nên ta có phương trình tích lũy vốn
K 0 = sY −K trong đó tỉ lệ tiếc kiệm s là hằng số, tỉ lệ trượt giá là một hằng số
Chia 2 vế của phương trình trên cho K ta có:
Từ phương trình (2.1) và (2.2) ta được phương trình vi phân của mô hình Solow
R 0 = sγR α −(+n)R Đây là phương trình Becnulli, ta có thể giải phương trình để tìm R theo γ, s, n,
Từ phương trình vi phân của mô hình Solow ta thấy trạng thái ổn định là khi có nguồn vốn R ∗ thỏa mãn phương trình sγ(R ∗ ) α −(+n)R ∗ = 0 ⇒R ∗ = ( sγ n+ )
Khi đó đầu ra ổn định trên một lao động là y ∗ = γ( sγ n+) α
Như vậy sự ổn định đầu ra trên một lao động phụ thuộc vào tỉ lệ tiết kiệm, tỉ lệ gia tăng dân số và tỉ lệ trượt giá.
Từ đó ta có thể rút ra kết luận rằng nếu các quốc gia đang trong tình trạng ổn định thì:
- Những quốc gia giàu có tỉ lệ tiết kiệm cao hơn những quốc gia nghèo
- Các quốc gia giàu có tỉ lệ gia tăng dân số thấp hơn các quốc gia nghèo
Một số mô hình trong vật lý ,cơ học ,kỹ thuật
Định luật thứ 2 của Newton về chuyển động
Định luật Newton mô tả chuyển động của chất điểm có khối lượng m chịu tác dụng của lực F có dạng:
F = ma trong đó a là gia tốc của chất điểm
Ta xét một vài trường hợp đơn giản của chuyển động
- Vật có khối lượng m rơi tự do dưới tác dụng của trọng lực
Để xác định quy luật chuyển động của một vật rơi, ta sử dụng phương trình F = mg, trong đó F là lực tác động, m là khối lượng và g là gia tốc trọng trường Với a = d²y/dt², y(t) biểu thị chiều cao của vật tại thời điểm t so với mặt đất Cần tìm hàm y(t) thỏa mãn phương trình md²y/dt² = mg để mô tả chuyển động của vật.
Nếu tính đến lực cản của không khí và xem rằng lực này tỉ lệ với vận tốc của vật rơi, thì
F = ma−kdy dt và phương trình chuyển động có dạng md 2 y dt 2 = mg−kdy dt (2.4)
Bây giờ ta đi tìm nghiệm tổng quát của phương trình (2.4) Để đơn giản ta chọn các hệ số bằng 1, phương trình trở thành: y 00 +y 0 = 1 (2.5)
Xét phương trình vi phân thuần nhất y 00 +y 0 = 0 (2.6)
Có phương trình đặc trưng: λ 2 +λ = 0
Hệ nghiệm cơ bản của (2.6) là 1, e −t
Nghiệm riêng của (2.5): y(t) = A, y 0 = 0, y 00 = 0 thay vào (2.5) ta được
Vậy nghiệm tổng quát của (2.5) là: y(t) = C 1 +C 2 e −x + 1
Phương trình dao động của con lắc
Xét dao động của một con lắc đơn với độ dài L, trong đó khối lượng của trục được coi là không đáng kể và khối lượng của con lắc là m.
Gọi θ là góc tạo bởi con lắc và phương thẳng đứng Khi đó thế năng của con lắc là
Nếu trục đứng đặt tại gốc tọa độ thì tại góc θ, tọa độ trọng tâm của con lắc là
Khi đó dX dt = (dx dt,dy dt) = (Lcosθdθ dt,−Lsinθdθ dt) và do đó động năng của con lắc là:
Do định luật bảo toàn cơ năng của con lắc nên ta có
E là hằng số nên lấy đạo hàm hai vế ta thu được
0 = mL 2 (dθ dt)(d 2 θ dt 2 ) +mgLsinθdθ dt
Chia cả hai vế của phương trình cho L ta nhận được phương trình dao động của con lắc md 2 θ dt 2 = −mg
Khi dao động là dao động nhỏ, tức là khi θ nhỏ, ta có thể xấp xỉ sinθ bởi θ và nhận được phương trình tuyến tính md 2 θ dt 2 = −mg
L ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng d 2 θ dt 2 = −ω 2 θ Đây là phương trình dao động của một vật dao động điều hòa.
Theo định luật thứ hai của Newton, khi tính đến lực cản của không khí, phương trình dao động tắt dần của con lắc được biểu diễn bằng d²θ/dt² = -kdθ/dt - ω²sinθ.
Mô hình chuyển động của lò xo
Xét một hệ lò xo với một vật nặng khối lượng m treo trên lò xo nằm ngang có độ cứng k Theo định luật Hooke, khi lò xo bị kéo dãn hoặc nén một khoảng x so với trạng thái tự nhiên, nó sẽ tạo ra một lực tỷ lệ thuận với x.
Dấu trừ trong biểu thức cho thấy lực sinh ra ngược chiều với độ dãn Theo định luật II của Newton, nếu bỏ qua ngoại lực, gia tốc tỉ lệ thuận với lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng, hay F = ma Gia tốc là đạo hàm của vận tốc, tương đương với đạo hàm bậc hai của độ dời: md²x/dt² = −kx Đây là phương trình vi phân bậc hai vì chứa đạo hàm cấp hai, có thể viết lại thành d²x/dt² = −(k/m)x = −ω²x, với ω = √(k/m).
Phương trình này chỉ ra rằng đạo hàm cấp hai của x tỉ lệ thuận với x nhưng có dấu trái ngược Hai hàm có tính chất này là hàm sin và cos Nghiệm của phương trình chính là sự kết hợp của hai hàm này, dẫn đến chuyển động của vật trong hệ lò xo là dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng.
Trong điều kiện lý tưởng không có lực cản hay ngoại lực, phương trình này vẫn đúng Trọng lực P, trong trường hợp lò xo nằm ngang, tác động vuông góc với mặt sàn và được cân bằng bởi lực nâng của mặt sàn, do đó thường không được chú ý Tuy nhiên, khi treo vật trên lò xo theo phương thẳng đứng hoặc đặt trên mặt sàn nghiêng, trọng lực có ảnh hưởng đáng kể đến chuyển động của lò xo.
Gia tốc trọng trường (g) có giá trị khác nhau trên Trái Đất, nhưng thường được lấy là 9.8 m/s² hoặc 10 m/s² Lực cản (F_d) bao gồm các loại lực như lực ma sát và lực cản của gió, và có công thức chung để tính toán.
Hệ số cản (à > 0) cho thấy lực cản luôn ngược chiều với vận tốc của vật, tức là ngược chiều chuyển động Ngoại lực F(t) là bất kỳ lực nào tác động lên vật, và trong trường hợp hệ lò xo thẳng đứng, chiều dương được xác định hướng xuống.
Khi treo vật nặng, trọng lực tác động xuống dưới, gây ra biến dạng ban đầu của lò xo là Δl = mg Tại thời điểm t bất kỳ trong quá trình dao động, độ dời của vật nặng so với vị trí cân bằng là x, và lúc này vật nặng chịu tác dụng của lực đàn hồi.
Xét vật nặng chịu tác dụng của P, F k , F d , F(t) có gia tốc x 00 , ta có: mx 00 = P +Fk+Fd+ F(t) =mg −k(∆l+x)−àx 0 +F(t)
Từ đó ta rút ra phương trình vi phân mô tả chuyển động của hệ lò xo này: md 2 x dt 2 +àdx dt + kx= F(t)
Cùng với đó, ta có các điều kiện đầu: x(0) = x 0 , x 0 (0) = v 0 là độ dời và vận tốc ban đầu
Một con lắc lò xo có khối lượng 2kg và độ dài tự nhiên 0,5m cần một lực 25,6N để kéo dài đến 0,7m Khi lò xo được kéo dài đến 0,7m và thả ra với vận tốc ban đầu bằng 0, cần xác định vị trí của vật tại thời điểm t bất kỳ.
Từ định luật Hooke lực cần thiết để kéo lò xo là k(0,2) = 25,6 nên k = 128.
Sử dụng giá trị này của k cùng với m = 0,2 ta có phương trình vi phân sau:
2d 2 x dt 2 + 128x = 0 Như đã trình bày chung gần đây thì nghiệm của phương trình này là: x(t) = C 1 cos 8t+C 2 sin8t (2.7)
Chúng ta có điều kiện đầu x(0) = 0,2, dẫn đến C1 = 0,2 từ phương trình (2.7) Khi đạo hàm hai vế của phương trình này, ta có x0(t) = -8C1 sin(8t) + 8C2 cos(8t) Do vận tốc ban đầu x0(0) = 0, suy ra C2 = 0, và cuối cùng, ta có x(t) = 1.
2.2.4 Phương trình chuyển động của hành tinh trong hệ mặt trời
Xét chuyển động của hành tinh quanh mặt trời, với mặt trời cố định tại gốc tọa độ trong R³ và hành tinh có khối lượng nhỏ, không ảnh hưởng đến mặt trời Theo định luật hấp dẫn của Newton, mặt trời tác động lực lên hành tinh tại vị trí x ∈ R³, có độ lớn Gmsmp/r², trong đó ms là khối lượng mặt trời, mp là khối lượng hành tinh, G là hằng số hấp dẫn, và r là khoảng cách giữa chúng Áp dụng định luật thứ hai của Newton, ta có phương trình m_p d²x/dt² = -Gmsmp/xr³ Để đơn giản hóa, ta có thể đổi đơn vị sao cho các hằng số bằng 1, dẫn đến phương trình vi phân d²x/dt² = F(x) = -x/r³, có thể viết dưới dạng hệ phương trình cấp một tương đương.
Hệ này được gọi là hệ lực xuyên tâm Newton
Phương trình vi phân cho các mạch điện
Trong mạch điện nối tiếp gồm một điện trở R, một cuộn cảm L và một tụ điện C, khi dòng điện chạy qua, điện dung trên tụ điện tại thời điểm t được biểu diễn bằng Q = Q(t) Dòng điện trong mạch được xác định là tốc độ thay đổi của Q theo thời gian t.
Định luật Kirchhoff cho biết tổng hiệu điện thế trên điện trở (RI), cuộn cảm (LdI/dt) và tụ điện (Q/C) bằng với điện áp cung cấp Công thức I = dQ/dt thể hiện mối quan hệ giữa dòng điện và điện tích theo thời gian.
Vì I = dQ/dt nên phương trình trở thành:
CQ = E(t) đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng số Nếu điện dung
Q 0 và dòng điện I 0 là các giá trị tại t = 0 thì chúng ta có các điều kiện đầu Q(0) = Q0, Q 0 (0) = I(0) = I0.
Phương trình vi phân đối với dòng điện có thể nhận được bằng cách đạo hàm phương trình (2.9) theo t:
Tính điện dung và dòng điện tại thời điểm t trong mạch điện R-L-C nối tiếp nếu R = 40Ω, L = 1H, C = 16.10 −4 F, E(t) = 100 cos 10t và điện dung với dòng điện ban đầu bằng 0
Lời giải Với các giá trij đã cho của R, L, C, E(t) ta có phương trình sau:
Ld 2 Q dt 2 + 40dQ dt + 625Q = 100 cos 10t (2.10) Phương trình đặc trưng của phương trình thuần nhất là: r 2 + 40r + 625 = 0 có các nghiệm r 1 = −20 + 15i, và r 2 = −20−15i
Vì vậy nghiệm của phương trình thuần nhất là:
Q c (t) =e −20t (C 1 cos 15t+C 2 sin 15t) Chúng ta tìm nghiệm riêng dạng:
Thay vào phương trình (5.2) ta tìm được:
Vì vậy nghiệm riêng là:
Và nghiệm tổng quát là:
697(84 cos 15t+ 64 sin 15t) +e −20t (C 1 cos 15t+C 2 sin 15t) Áp dụng điều kiện Q(0) = 0, ta nhận được
697 Để áp dụng điều kiện khác ta đạo hàm để tìm dòng điện
Vì vậy công thức của điện dung là:
3e −20t (63 cos 15t+ 116 sin 15t)] và biểu thức cho dòng điện là
Phương trình phóng xạ
Các nghiên cứu cho thấy rằng tốc độ phóng xạ của các chất như uranium tỉ lệ thuận với khối lượng y(t) tại thời điểm xem xét Để tính khối lượng này tại bất kỳ thời điểm nào, ta có thể sử dụng phương trình vi phân y 0 (t) = ky(t) Giải phương trình này, ta nhận được công thức khối lượng y(t) = Ce kt.
Chu kỳ bán rã của radium là 1600 năm, tức là sau mỗi 1600 năm, khối lượng radium giảm đi một nửa Nếu bắt đầu với 50 gram radium, để khối lượng giảm xuống còn 45 gram, sẽ mất một khoảng thời gian nhất định, nhưng không đủ để giảm xuống một nửa khối lượng ban đầu.
Gọi y(t) là khối lượng của radium sau khoảng thời gian t (năm)
Ta biết rằng y 0 (t) = ky(t) (k là một hằng số)
Giải phương trình trên ta được: y(t) = Ce kt
Ta có y(0) = 50 và y(1600) = 25 ta tìm được c = 50, k = −ln2
Vậy sau t = ln(y/50) k = ln(45/50) k ≈ 243.2 (năm)
Một số mô hình trong sinh thái học quần thể
Mô hình gia tăng dân số
Mô hình gia tăng dân số dựa trên giả thuyết rằng tốc độ tăng trưởng của một quần thể, bao gồm người, động vật và vi khuẩn, tỉ lệ thuận với kích thước của quần thể đó Giả thuyết này chỉ được chấp nhận trong các điều kiện lý tưởng, như môi trường thuận lợi, nguồn dinh dưỡng đầy đủ, không có loài nguy hiểm và miễn dịch với dịch bệnh.
Tại thời điểm t, dân số quần thể được ký hiệu là P(t), trong khi tốc độ gia tăng dân số theo thời gian được biểu thị bằng P'(t) hay dP/dt.
P 0 (t) = kP(t) hay dP dt = kP
Hằng số k trong phương trình mô tả sự tăng trưởng dân số có vai trò quan trọng: nếu k > 0, dân số sẽ tăng theo thời gian, ngược lại nếu k < 0, dân số sẽ giảm Đây là mô hình đầu tiên cho sự tăng trưởng dân số của một quần thể, được thể hiện qua phương trình vi phân với hàm chưa biết P(t) và đạo hàm dP/dt.
Nghiệm của phương trình này được cho như sau (cách giải sẽ được bàn ở phía sau):
P(t) = Ce kt Với C là một hằng số Ta có thể kiểm nghiệm điều này:
P 0 (t) = (Ce kt ) 0 = Cke kt = kP(t)
Nghiệm của một phương trình vi phân tạo thành một họ phương trình, trong đó chúng ta chỉ xem xét các phương trình có P(t) > 0, tức là C > 0 Chúng ta cũng chỉ quan tâm đến khoảng thời gian t ≥ 0, bắt đầu từ thời điểm ban đầu t = 0, khi số lượng cá thể là P(0) = C Do đó, C đại diện cho kích thước ban đầu của quần thể.
Phương trình ban đầu chỉ phù hợp trong điều kiện lý tưởng, nhưng có thể điều chỉnh để phản ánh thực tế hơn Đầu tiên, khi xem xét yếu tố di trú với tốc độ di trú là hằng số m, mô hình có thể được sửa đổi thành dP/dt = kP − m Thứ hai, do nguồn tài nguyên môi trường sống có hạn, quần thể chỉ có thể đạt mức bão hòa dân số tối đa là M Để mô hình thể hiện xu hướng tăng trưởng giảm dần khi tiếp cận M, cần đặt ra hai giả thiết quan trọng.
(1) dP/dt ≈kP với P đủ nhỏ (ban đầu, tốc độ tăng trưởng tỉ lệ với P)
(2) dP/dt < 0 nếu P > M (dân số sẽ giảm dần khi vượt mức bão hòa). Một cách biểu diễn khi kết hợp hai giả thiết trên là: dP dt = kP(1− P
Có thể thấy, khi P nhỏ (so với M) ta có thể bỏ qua P/M nên dP/dt ≈ kP. Nếu P > M thì 1−P/M cho giá trị âm và dP/dt