Mô hình chuỗi thời gian ARMA và ứng dụng dự báo giá cổ phiếu

Tính cấp thiết của đề tài nghiên cứu Chuỗi thời gian đang được sử dụng như một công cụ hiện hữu để phân tích trong kinh tế, xã hội cũng như trong nghiên cứu khoa học.. Để nâng cao độ ch

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

- -

LÊ THỊ KIM THẢO

MÔ HÌNH CHỖI THỜI GIAN ARMA

VÀ ỨNG DỤNG DỰ BÁO GIÁ CỔ PHIẾU

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NGÀNH TOÁN HỌC

Đà Nẵng, Năm 2019

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

- -

LÊ THỊ KIM THẢO

MÔ HÌNH CHỖI THỜI GIAN ARMA

VÀ ỨNG DỤNG DỰ BÁO GIÁ CỔ PHIẾU

Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NGÀNH TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học : TS LÊ VĂN DŨNG

Đà Nẵng, Năm 2019

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 6

MỞ ĐẦU 7

1 Tính cấp thiết của đề tài nghiên cứu 7

2 Phương pháp và đối tượng nghiên cứu 7

3 Mục đích nghiên cứu 8

4 Nội dung, phạm vi nghiên cứu đề tài 8

5 Cấu trúc của đề tài nghiên cứu 8

CHƯƠNG 1 CHUỖI THỜI GIAN 9

1.1 Chuỗi thời gian và quá trình ngẫu nhiên 9

1.1.1 Khái niệm chuỗi thời gian và quá trình ngẫu nhiên 9

1.1.2 Quá trình ngẫu nhiên dừng 10

1.1.3 Hàm tự tương quan 12

1.1.4 Toán tử tiến, toán tử lùi 13

1.2 Quá trình ARMA 14

1.2.1 Quá trình tự hồi quy 14

1.2.2 Quá trình trung bình trượt 17

1.2.3 Quá trình tự hồi quy trung bình trượt 19

1.2.4 Hàm tự tương quan riêng 21

1.3 Ước lượng tham số mô hình ARMA 25

1.3.1 Ước lượng hàm hiệp phương sai và hàm tự tương quan 26

1.3.2 Ước lượng hàm tự tương quan riêng 27

1.3.3 Ước lượng tham số quá trình tự hồi quy AR(p) 27

1.4 Kiểm định nghiệm đơn vị 29

1.5 Những hạn chế của mô hình ARMA trong chuỗi thời gian 30

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG DỰ BÁO GIÁ CỔ PHIẾU 32

1.1 Cơ sở lý thuyết 32

1.1.1 Chuỗi thời gian: 32

1.1.2 Chuỗi thời gian dừng: 32

1.1.3 Quá trình trung bình trượt: 33

1.1.4 Bài toán dự báo 34

1.1.5 Ước lượng tham số: 35

1.2 Nội dung thực nghiệm 38

1.2.1.Cơ sở dữ liệu: 38

1.2.2 Ước lượng: 43

1.2.3 Dự báo: 46

KẾT LUẬN 50

TÀI LIỆU THAM KHẢO 51

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được công bố trong các công trình khác Nếu không đúng như đã nêu trên, tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về đề tài của mình

Người cam đoan

Lê Thị Kim Thảo

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của T.S Lê Văn Dũng, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đối với T.S Lê Văn Dũng, người đã là cố vấn học tập xuyên suốt trong lớp em Những kiến thức của thầy truyền đạt cho em đã giúp em có thể hiểu một cách đầy đủ về môn học,

có ý nghĩa thiết thực cho công tác chuyên môn, đồng thời tạo điều kiện cho

em hoàn thành tốt chương trình học Em xin chân thành cảm ơn các thầy (cô) giáo ngành Toán Ứng Dụng, khoa Toán trường Đại Học Sư Phạm – Đại Học

Đà Nẵng đã tham gia giảng dạy giúp đỡ em trong suốt qúa trình học tập nâng cao trình độ kiến thức

Tuy nhiên vì điều kiện thời gian và khả năng có hạn nên bài luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được ý kiến đóng góp của thầy (cô) để bài luận văn được hoàn thiện hơn

Xin chúc thầy cùng các thầy (cô) trường Đại Học Sư Phạm – Đại Học

Đà Nẵng lời chúc sức khỏe, hạnh phúc và thành đạt

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài nghiên cứu

Chuỗi thời gian đang được sử dụng như một công cụ hiện hữu để phân tích trong kinh tế, xã hội cũng như trong nghiên cứu khoa học Chính do tầm quan trọng của phân tích chuỗi thời gian, rất nhiều tác giả đã đề xuất các công

cụ để phân tích chuỗi thời gian

Trong những năm trước, công cụ chủ yếu để phân tích chuỗi thời gian

là sử dụng các công cụ thống kê như quy hồi, phân tích Fourier và một vài công cụ khác Nhưng hiệu quả nhất có lẽ là mô hình ARMA Mô hình này được kết quả khá tốt trong phân tích dữ liệu Tuy nhiên sự phức tạp của thuật toán đã gây khó khăn khi ứng dụng trong phân tích chuỗi số liệu, nhất là khi chuỗi số liệu có những thay đổi phản ánh sự phi tuyến tính của mô hình

Tuy nhiên xét về độ chính xác của dự báo, một số thuật toán trên còn cho kết quả chưa cao Để nâng cao độ chính xác của dự báo, một số thuật toán cho mô hình chuỗi thời gian liên tiếp được đưa ra Sử dụng mô hình bậc cao của chuỗi thời gian để tính toán Trong thời gian gần đây, đề tài này vẫn luôn được một số tác giả nghiên cứu Các hướng hiện nay vẫn là tập trung nâng cao độ chính xác dự báo của mô hình chuỗi thời gian Và cũng vì lí do đó nên

em sẽ đi sâu hơn vào việc chọn đề tài nghiên cứu “Mô hình chuỗi thời gian ARMA và dự báo giá cổ phiếu”

2 Phương pháp và đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu dự báo chuỗi thời gian luôn là một bài toán gây được sự chú ý của các nhà toán học, kinh tế, xã hội học, Các quan sát trong thực tế thường được thu thập dưới dạng chuỗi số liệu Từ những chuỗi số liệu này người ta có thể rút ra được những quy luật của một quá trình được mô tả thông qua chuỗi số liệu Nhưng ứng dụng quan trọng nhất là dự báo khả năng

xảy ra khi cho một chuỗi số liệu Những thí dụ dẫn ra trong các bài báo đều đưa ra khả năng dự báo trong kinh tế như dự báo chỉ số giá cổ phiếu, chứng khoán, mức tăng dân số, dự báo nhu cầu sử dụng điện, dự báo số lượng sinh viên nhập học của một trường đại học…

3 Mục đích nghiên cứu

Trong đề tài này em trình bày phương pháp dự báo chỉ số cổ phiếu bằng công cụ chuỗi thời gian đã được một số tác giả phát triển Mục đích chính của đề tài là sử dụng một số khái niệm để phát triển thuật toán mới Dựa trên thuật toán đề ra, em đã tính toán một bài toán thực tế dựa trên dữ liệu lấy

từ thị trường giá cổ phiếu để kiểm chứng Kết quả thu được rất khả quan Độ chính xác của dự báo được nâng lên khá nhiều so với các thuật toán trước đây

đề ra

4 Nội dung, phạm vi nghiên cứu đề tài

Nội dung chính của luận văn nghiên cứu những khái niệm, tính chất và những thuật toán khác nhau trong mô hình chuỗi thời gian ARMA để dự báo giá cổ phiếu cho một số chuỗi trong kinh tế xã hội, được trình trong 2 chương:

Chương 1: Chuỗi thời gian

Chương 2: Ứng dụng dự báo giá cổ phiếu

5 Cấu trúc của đề tài nghiên cứu

Cấu trúc của luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương và phần kết luận, cuối cùng là tài liệu tham khảo và phụ lục Nội dung luận văn gồm 50 trang, 14 hình vẽ, 9 tài liệu tham khảo Phần phụ lục trình bày mã nguồn của các chương trình đã lập trong luận văn

CHƯƠNG 1

CHUỖI THỜI GIAN

Trong kinh tế, xã hội, chúng ta thường làm việc với các biến số quan sát dọc theo thời gian như: GDP hàng năm, tỉ lệ thất nghiệp hàng năm, chỉ số giá tiêu dùng hàng tháng, chỉ số chứng khoán hàng ngày, giá vàng hàng giờ, các biến số trên được gọi là biến số chuỗi thời gian

Ta có thể xem chuỗi thời gian là một dãy biến ngẫu nhiên (𝑋𝑡) với chỉ

số thời gian t Nói chung, một dãy biến ngẫu nhiên (𝑋𝑡) như vậy còn được gọi

là quá trình ngẫu nhiên Sau đây ta chỉ xét đến chuỗi thời gian (𝑋𝑡) với chỉ số t

là tập số nguyên Z

Trong phần này, chúng ta sẽ tìm hiểu về một lớp mô hình chuỗi thời gian hết sức thông dụng trong thực tế Đó là mô hình quá trình trượt ARMA (Autoregressive Moving Average) Ta sẽ nghiên cứu các đặc trưng của quá trình ARMA, xem xét tổng quan về phương pháp ước lượng tham số của lớp

mô hình này và cũng thấy rõ được hạn chế của nó khi áp dụng vào chuỗithời gian tài chính Ngoài ra, mô hình ARMA còn đóng vai trò quan trong như là

cơ sở để xây dựng mô hình ARCH sau này

1.1 Chuỗi thời gian và quá trình ngẫu nhiên

1.1.1 Khái niệm chuỗi thời gian và quá trình ngẫu nhiên

Một chuỗi thời gian là một dãy các giá trị quan sát X:={𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛} được xếp thứ tự diễn biến thời gian với 𝑥1là các giá trị quan sát tại thời điểm đầu tiên, 𝑥2 là quan sát tại thời điểm thứ 2 và 𝑥𝑛 là quan sát tại thời điểm thứ

n

Ví dụ: Các báo cáo tài chính mà ta thấy hằng ngày trên báo chí, tivi hay

Internet về các chỉ số cổ phiếu, tỷ giá tiền tệ, chỉ số tăng cường hay chỉ số tiêu dùng đều là những thể hiện rất thực tế của chuỗi thời gian

Bước đầu tiên của việc phân tích chuỗi thời gian là chọn một mô hình

toán học phù hợp với tập dữ liệu cho trước X:={𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛} nào đó Để có thể nói về bản chất của những quan sát chưa diễn ra, ta giả thiết mỗi quan sát

𝑥𝑡 là một giá trị thể hiện của biến ngẫu nhiên 𝑋𝑡 với t ∈T Ở đây T được gọi là tập chỉ số Khi đó ta có thể coi tập dữ liệu X:={𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛} là thể hiện của quá trình ngẫu nhiên{𝑋𝑡, 𝑡 ∈ 𝑇} Và vì vậy, ta có thể định nghĩa một quá trình ngẫu nhiên như sau

Định nghĩa 1.1 (Quá trình ngẫu nhiên)

Một quá trình ngẫu nhiên là một họ các biến ngẫu nhiên {𝑋𝑡, 𝑡 ∈

𝑇} được định nghĩa trên một không gian xác suất (Ω, A, P)

Chú ý: Trong việc phân tích chuỗi thời gian, tập chỉ số T là một tập các

thời điểm,ví dụ như là tập {1,2 } hay tập (-∞, +∞) Tất nhiên cũng có những quá trình ngẫu nhiên có T không phải là một tập con của R nhưng trong giới hạn của luận văn này ta chỉ xét cho trường hợp T𝜖R Và thường thì ta xem T

là các tập các số nguyên, khi đó ta sẽ sử dụng ký hiệu tập chỉ số là Z thay vì T

ở trên

1.1.2 Quá trình ngẫu nhiên dừng

Định nghĩa 1.2 (Hàm tự hiệp phương sai)

Giả sử {𝑋𝑡, 𝑡 ∈ 𝑍} là một quá trình ngẫu nhiên có var(𝑋𝑡)<∞ với mỗi

𝑡 ∈ 𝑍 Khi đó hàm tự hiệp phương sai của 𝑋𝑡 được định nghĩa theo công thức sau:

Nếu {𝑋𝑡, 𝑡 ∈ 𝑍} là một quá trình dừng, và nếu như ∃𝑎𝑡 ∈ R, t ∈ Z thoả mãn

điều kiện ∑∞𝑖=−∞|𝑎𝑖| < ∞ thì hệ thức 𝑌𝑡:=∑∞𝑖=−∞ 𝑎𝑖𝑋𝑡−𝑖, 𝑡 ∈ 𝑍 được định nghĩa một quá dừng

Chú ý: Cũng có tài liệu gọi “dừng” theo nghĩa trên là dừng yếu, dừng theo nghĩa rộng hay dừng bậc hai

Tuy nhiên ở đây ta chỉ xem xét tính dừng theo nghĩa đã định nghĩa 1.3

Khi chuỗi thời gian {𝑋𝑡, 𝑡 ∈ 𝑍} là dừng thì

Hàm số 𝛾𝑥( ) = được gọi là hàm tự hiệp phương sai của 𝑋𝑡, còn 𝛾𝑥(ℎ)

là giá trị của nó tại “trễ” h Đối với một quá trình dừng thì ta thường ký hiệu hàm tự hiệp phương sai bởi γ(.) thay vì 𝛾𝑥( )

Với một quá trình dừng thì hàm tự hiệp phương sai có các tính chất

Chú ý: Trong thực tế, ta chỉ quan sát được một hữu hạn X:={𝑥𝑡, 𝑡 =

1,2, … 𝑛} của một chuỗi thời gian dừng nên về nguyên tắc ta không thể biết

chính xác được các hàm tự hiệp phương sai của chuỗi thời gian đó, muốn ước

lượng nó ta đưa vào khái niệm hàm tự hiệp phương sai mẫu của thể hiện X

Hàm tự hiệp phương sai mẫu của một X được định nghĩa bởi công thức

Khi đó thì hàm tương tự tương quan mẫu cũng định nghĩa thông qua hàm tự hiệp phương sai mẫu như sau:

𝑟(ℎ) ≔ 𝑐(ℎ)/𝑐(0), |ℎ| < 𝑛

1.1.4 Toán tử tiến, toán tử lùi

Toán tử lùi B (Back) kết hợp với một quá trình ngẫu nhiên {𝑋𝑡, 𝑡 ∈

𝑍} là quá trình ngẫu nhiên {𝑌𝑡, 𝑡 ∈ 𝑍} sao cho

𝑌𝑡 ≔ 𝐵𝑋𝑡 ≔ 𝑋𝑡−1

Toán tử lùi B là toán tử tuyến tính và khả nghịch Nghịch đảo của nó

𝐵−1:=F (Forward) được gọi là toán tử tiến, định nghĩa bởi công thức:

Chú ý: Một cách tổng quát, người ta có thể định nghĩa các chuỗi theo

toán tử tiến F hay toán tử lùi b và muốn thế chúng ta hạn chế trong trường

hợp các quá trình là dừng Khi đó, giả sử ta có quá trình dừng {𝑋𝑡, 𝑡 ∈ 𝑍} và

một dãy {𝑎𝑖},i ∈ 𝑍, tức là ∑∞𝑖=−∞|𝑎𝑖 | < ∞, thì định lý 1.1, quá trình 𝑌𝑡 ≔

∑∞𝑖=−∞𝑎𝑖𝑋𝑡−𝑖,𝑡 ∈ 𝑍 cũng là quá trình dừng Ta ký hiệu ∑∞𝑖=−∞𝑎𝑖𝐵𝑖 là ánh xạ

đặt tương ứng quá trình dừng {𝑋𝑡, 𝑡 ∈ 𝑍} với quá trình dừng {𝑌𝑡, 𝑡 ∈ 𝑍} Các

chuỗi theo B khi đó sẽ có những tính chất cho phép ta xử lý nó tương tự như đối với chuỗi nguyên thông thường Đặc biệt ta có thể thực hiện phép cộng

phép nhân hay phép lấy nghịch đảo Điều này có vai trò quan trọng trọng các phép biến đổi của đa thức tự hồi quy, đa thức trung bình trượt và các phép biến đổi xử lý chuỗi thời gian khác

Định nghĩa 1.6 (Quá trình tự hồi quy)

Người ta gọi quá trình ngẫu nhiên {𝑋𝑡, 𝑡 ∈ 𝑍} là một quá trình tự hồi quy cấp P, viết là 𝑋𝑡~𝐴𝑅(𝑝), là một quá trình dừng {𝑋𝑡, 𝑡 ∈ 𝑍} thoả mãn

Chú ý: Nếu đa thức 𝑎(𝑧)ở trên có nghiệm nằm ngoài đĩa tròn đơn vị (|z|>1) thì 𝑋𝑡 được gọi là quá trình nhân quả tự hồi qui cấp p và nói chung ta chỉ xét các quá trình nhân quả

Các đặc trưng của quá trình tự hồi quy cấp p:

…𝜌(𝑝 − 1)𝜌(𝑝) ]

Hệ phương trình gọi là hệ phương trình Yule – Walker, song tuyến đối

với a và ρ

Nghĩa là nếu cho ρ ta sẽ tính được a và ngược lại cho a ta cũng sẽ tính được ρ Trong hệ phương trình Jule – Walker, nếu ta đặt Φpi = 𝑎i,𝑖 = 1, … 𝑝 thì hệ phương trình Jule – Walker tương đương với

𝜌(𝑗) = ⏀𝑝1𝜌(𝑗 − 𝑝), 𝑗 = 1, … , 𝑝

Đại lượng Φpp ở trên được gọi là tự tương quan riêng cấp p của quá

trình {𝑋𝑡}, nó đóng vai trò rất quan trọng trong việc xác định bậc của quá trình tự hồi quy cũng như việc ước lượng tham số mô hình tự hồi quy sau này

Định lý 1.2 Cho chuỗi thời gian (𝑋𝑡; 𝑡 ∈ 𝑍) thỏa mãn phương trình

𝑋𝑡 = 𝑐 + 𝛼1𝑋𝑡−1 + 𝛼2𝑋𝑡−2 + ⋯ + 𝛼𝑝𝑋𝑡−𝑝+ 𝑊𝑡,

trong đó c, 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑝 là các hằng số (𝛼𝑝 ≠ 0), (𝑊𝑡) là nhiễu trắng với tham số 𝜎2 và 𝑊𝑡 không tương quan với 𝑋𝑠 với mọi s < t Khi đó (𝑋𝑡) là quá trình dừng khi và chỉ khi đa thức kết hợp

1 − 𝛼1𝑧 − 𝛼2𝑧2− ⋯ − 𝛼𝑝𝑧𝑝 = 0

không có nghiệm trên đường tròn đơn vị |z|= 1

Ví dụ 1.1 Cho chuỗi thời gian (𝑋𝑡; 𝑡 ∈ 𝑍) thỏa mãn:

Ví dụ 1.2 Cho dãy (𝑋𝑡) thỏa mãn phương trình sai phân

𝑋𝑡 = 𝑝𝑋𝑡−1+ 𝑊𝑡, trong đó 𝑊𝑡 là nhiễu trắng với 𝜎2 = 1 và 𝑊𝑡 không tương quan với 𝑋𝑠 với mọi s < t Tìm p > 0 để 𝑋𝑛 là quá trình dừng

Ví dụ 1.3 Cho dãy (𝑋𝑡) thỏa mãn phương trình

𝑋𝑡 = 𝑝𝑋𝑡−2+ 𝑊𝑡, trong đó 𝑊𝑡 là nhiễu trắng và 𝑊𝑡 không tương quan với

𝑋𝑠với mọi s < t Tìm p để 𝑋𝑡 là quá trình dừng

Trong việc thực tế, khi cho chuỗi quan sát X:={𝑥1, 𝑡 = 1,2, … , 𝑛} thì ta

dùng công thức của tương quan mẫu để tính các r(i), là các giá trị xấp xỉ của ρ(i) Khi đã có các tự tương quan mẫu ta thay vào hệ phương trình Jule –

Walker và giải nó để tìm các tham số 𝑎1 Từ đây ta cũng xác định được tương quan riêng ∅p1, … , ∅pp

1.2.2 Quá trình trung bình trượt Định nghĩa 1.7 (Quá trình trung bình trượt)

Một quá trình trung bình trượt cấp q, ký hiệu 𝑋𝑡~𝑀𝐴(𝑞), là một quá trình {𝑋𝑡, 𝑡 ∈ 𝑍} thoả mãn biểu thức

Ở đây b(z) được gọi là đa thức trung bình trượt

Chú ý: Khác với quá trình AR, biểu thức trên luôn xác định duy nhất

một quá trình MA mà không đòi hỏi thêm điều kiện gì đối với các hệ số 𝑏1

Và với giả thiết 𝜀𝑡 là ồn trắng thì theo định lý 1.1 ta có

Một chú ý nữa, cũng giống như trường hợp AR, nếu đa thức trung bình trượt b(z) không có nghiệm có môđun bằng 1 thì ta có thể biểu diễn 𝑋𝑡 dưới dạng sau:

Các đặc trưng của quá trình trung bình trượt:

Trong đó 𝜀𝑡 là ồn trắng, ặ) và b(.) lần lượt là đa thức tự hồi quy và đa

thức trung bình trượt có bậc tương ứng là p và q:

Một quá trình ARMA(p,q) được gọi là một quá trình nhân quả và khả nghịch nếu có là một quá trình ARMA(p,q) có a(z) và b(z) thỏa mãn hai điều kiện:

i) a(z) và b(z) không có nghiệm chung

ii) a(z) và b(z) không có nghiệm có môđun không vượt quá 1

Chú ý: Do tính nhân quả và khả nghịch cộng với tính chất khả đảo của

đa thức toán tử, ta có thể biểu diễn một quá trình

𝑋𝑡−𝑘 = ∑∞𝑖=0𝜑𝑖𝜀𝑡−𝑘−𝑖

Và ta có

𝛾𝜀𝑒.𝑋(𝑘) = { 0, 𝑘 > 0

𝜑−𝑘𝜎2, 𝑘 ≤ 0

Lần lượt cho h = 0,1, p trong các chương trình trên và chú ý đến tính chẵn của hàm γ(h) ta có hệ phương trình tuyến tính đối với γ(0),…,γ(p) hay với ρ(1),…ρ(p)

γ(h) = ∑𝑝𝑖=1𝑎𝑖𝛾(ℎ − 𝑖), ℎ > 𝑞

Và vì thế

ρ(h) = ∑𝑝𝑖=1𝑎𝑖(ℎ − 𝑖), ℎ > 𝑞

1.2.4 Hàm tự tương quan riêng

Như ta đã biết hàm tự tương quan của quá trình trung bình trượt

MA(q), hàm tự tương quan ρ(h)=0 khi h > q Do đó hàm tự tương quan của MA(q) cung cấp cho chúng ta thông tin về cấp phụ thuộc của chuỗi Tuy

nhiên với quá trình ARMA hay quá trình AR, hàm tự tương quan k cung cấp cho chúng ta rất ít thông tin về cấp độ phụ thuộc Do đó ta cần đưa ra một

hàm mới tương tự hàm tự tương quan của quá trình MA(q) nhưng cho quá trình AR(p), hàm đó được gọi là hàm tự tương quan riêng (PACF)

Cho chuỗi thời gian dừng (𝑋𝑡) có kì vọng bằng 0 Với h > 1 kí hiệu

𝑋̂𝑡+ℎ là ước lượng hồi quy tuyến tính tốt nhất của 𝑋𝑡+ℎ đối với dãy {𝑋𝑡+ℎ−1; 𝑋𝑡+ℎ−1; … ; 𝑋𝑡+1} theo nghĩa 𝐸(𝑋𝑡+ℎ − 𝑋̂𝑡+ℎ)2 đạt giá trị nhỏ nhất

Ta có thể viết 𝑋̂𝑡+ℎ dạng

𝑋̂𝑡+ℎ = 𝜓1𝑋𝑡+ℎ−1+ 𝜓2𝑋𝑡+ℎ−2+ ⋯ + 𝜓ℎ−1𝑋𝑡−1, (1.1)

Kí hiệu 𝑋̂𝑡 là ước lượng hồi quy tuyến tính tốt nhất của 𝑋𝑡 đối với dãy {𝑋𝑡+1;𝑋𝑡+2; … ; 𝑋𝑡+ℎ−1} Do (𝑋𝑡) là chuỗi dừng nên ta có

ACF 𝜌(h)→0 khi h→∞ 𝜌(h)=0 với h>q 𝜌(h)→0 khi h→∞

PACF ϕ(h) =0 với h>q ϕ(h)→0 khi h→∞ ϕ(h)→0 khi h→∞

Bài toán dự báo

Xét quá trình dừng (𝑋𝑡; 𝑡 ∈ 𝑍), không mất tính tổng quát ta luôn giả

thiết E(𝑋𝑡)=0 Nội dung của bài toán dự báo là: giả sử chúng ta quan sát được

giá trị của quá trình tại các thời điểm 1,2, ,n là 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 Trên cơ sở đó

ta muốn dự báo một cách "tốt nhất" giá trị của quá trình 𝑋𝑛+ℎ tại thời điểm n+h trong tương lai

Đinh nghĩa 1.11 Dự báo tuyến tính 𝑋𝑛+ℎ (h ≥ 1) căn cứ trên

Trước hết ta xét dự báo 1 bước Tức là cho 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛, ta sẽ dự báo giá trị của chuỗi thời gian ở thời điểm n+1 (dự báo giá trị của 𝑋𝑛+1) Ta sẽ tìm

dự báo giá trị của 𝑋𝑛+1dạng

Chú ý rằng nếu (𝑋𝑡) là quá trình ARMA thì Г𝑛 khả nghịch

Định lý 1.6 (The Durbin-Levinson Algorithm)

Nghiệm của phương trình

𝜙𝑛 = Г𝑛−1𝛾𝑛

1.3 Ước lượng tham số mô hình ARMA

Giả sử ta cần ước lượng các tham số của mô hình ARMA(p,q)

𝑋𝑡 = 𝑎1𝑋𝑡−1 + ⋯ + 𝑎𝑝𝑋𝑡−𝑝 + 𝜀𝑡 + 𝑏1𝜀𝑡−1+ ⋯

+ 𝑏𝑞𝜀𝑡−𝑞, 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑝, 𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑝 ∈ 𝑅, 𝑎𝑝 ≠ 0, 𝑏𝑝 ≠ 0 trong

đó 𝜀𝑡 đóng vai trò là sai số

Đối với mô hình ARMA cũng có nhiều phương pháp ước lượng tham

số hiệu quả và được nêu ra chi tiết trong P.Brockwell, R David, 2001 Dưới đây,ta sẽ xem xét phương pháp bình phương cực tiểu theo kiểu thuật toán Hannan – Rissanen Ý tưởng của thuật toán này là sử dụng hồi quy tuyến tính

để ước lượng các tham số Nếu q>0 ta còn phải ước lượng các giá trị chưa biết

𝜀𝑡

Thuật toán Hannan – Rissanen

Bước 1: Dùng ước lượng Yule Walker để ước lượng các tham số mô hình AR(m), với m > max(p,q)

𝑋𝑡 = 𝑎1𝑋𝑡−1+ ⋯ + 𝑎𝑚𝑋𝑡−𝑚+ 𝜀𝑡, 𝑡 = 𝑚 + 1, … , 𝑛