Phát triển tư duy hàm cho học sinh thông qua khai thác các mẫu hình trong dạy học toán lớp 5

Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực” Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể có

Đ IăH CăĐĨăN NG

NGUY NăTH ăHOĨIăTHU

PHỄTăTRI NăT ăDUYăHĨMăCHOăH CăSINHă THỌNGăQUAăKHAIăTHỄCăCỄCăM UăHỊNHăă

TRONGăD YăH CăTOỄNăL Pă5

LU NăVĔNăTH CăSƾăGIỄOăD CăH C

ĐƠăN ngă- Nĕmă2019

Đ IăH CăĐĨăN NG

NGUY NăTH ăHOĨIăTHU

PHỄTăTRI NăT ăDUYăHĨMăCHOăH CăSINHă THỌNGăQUAăKHAIăTHỄCăCỄCăM UăHỊNHăă

TRONGăD YăH CăTOỄNăL Pă5

Chuyên ngành: Giáo d c h c (Ti u h c)

Mưăsố:ă814.01.01

LU NăVĔNăTH CăSƾă

Ng iăh ngăd năkhoaăh c:ă:ăTS.ăNGUY N TH ăDUY N

ĐƠăN ngă- Nĕmă2019

M CăL Că

L IăC Mă N i

L IăCAMăĐOAN ii

M CăL C iii

DANHăM CăCỄCăB NG viii

DANHăM CăCỄCăHỊNH ix

M ăĐ U 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu của đề tài 3

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

4 Câu hỏi nghiên cứu 4

5 Đối tượng, khách thể và phạm vi nghiên cứu 4

6 Phương pháp nghiên cứu 4

7 Cấu trúc của luận văn 5

CH NGă1 T NGăQUANăV NăĐ ăNGHIểNăC U 6

1.1 Lịch sử vấn đề nghiên cứu 6

1.2 Mục tiêu môn Toán Tiểu học 7

1.3 Cấu trúc chương trình môn toán lớp 5 7

1.3.1 Số học 7

1.3.2 Đại lượng và đo đại lượng 8

1.3.3 Yếu tố hình học 9

1.3.4 Yếu tố thống kê 9

1.3.5 Yếu tố Đại số 9

1.4 Đặc điểm tâm lý của học sinh lớp 4, 5 9

1.4.1 Đặc điểm nhận thức 10

1.4.2 Đặc điểm nhân cách của học sinh tiểu học 11

1.5 Tư duy 12

1.5.1 Tiếp cận tư duy trong tâm lý học 12

1.5.2 Khái niệm tư duy 12

1.5.3 Đặc điểm của tư duy 13

1.5.4 Phân loại tư duy 13

1.5.5 Các giai đoạn của tư duy 14

1.6 Đổi mới nhiệm vụ dạy học hiện nay 14

1.7 Tiểu kết Chương 1 15

CH NGă2 NĔNGăL CăT ăDUYăHĨMăC AăH CăSINHăTI UăH C 16

2.1 Năng lực 16

2.1.1 Khái niệm 16

2.1.2 Cấu trúc năng lực 17

2.2 Tư duy hàm 17

2.2.1 Khái niệm hàm số 17

2.2.2 Tư duy hàm 18

2.2.3 Các hoạt động đặc trưng của tư duy hàm 19

2.2.4 Hoạt động tư duy hàm trong dạy học toán tiểu học 20

2.3 Năng lực tư duy hàm 21

2.3.1 Khái niệm năng lực tư duy hàm 21

2.3.2 Các thành tố của năng lực tư duy hàm 21

2.4 Năng lực khái quát hóa từ các mẫu hình hình học 21

2.4.1 Mẫu hình hình học 21

2.4.2 Khái quát hóa mẫu hình trong hoạt động nhận thức 34

2.5 Tiểu kết Chương 2 37

CH NGă3 THI TăK ăNGHIểNăC U 38

3.1 Ngữ cảnh và mục tiêu 38

3.2 Đối tượng tham gia 38

3.3 Công cụ nghiên cứu 38

3.3.1 Tình huống 1 39

3.3.2 Tình huống 2 40

3.3.3 Tình huống 3 41

3.4 Phân tích tiên nghiệm 43

3.4.1 Tình huống 1 43

3.4.2 Tình huống 2 45

3.4.3 Tình huống 3 49

3.5 Tiểu kết của Chương 3 52

CH NGă4 K TăQU ăNGHIểNăC U 53

4.1 Năng lực khái quát hóa của học sinh về các mẫu hình hình học 53

4.2 Suy luận hình, chiến lược khái quát hóa của học sinh và tư duy hàm 55

4.3 Các biện pháp hỗ trợ 61

4.4 Sự tiến triển về tư duy hàm của học sinh khi làm việc với các mẫu hình 61

4.5 Tiểu kết của Chương 4 62

CH NGă5.ăK TăLU N 63

5.1 Trả l i và kết luận cho các câu hỏi nghiên cứu 63

5.1.1 Trả l i và kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất 63

5.1.2 Trả l i và kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai 63

5.1.3 Trả l i và kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ ba 64

5.2 Đóng góp của nghiên cứu và hướng phát triển của đề tài 65

5.3 Tiểu kết của Chương 5 65

K TăLU N 66

TĨIăLI UăTHAMăKH O 67

PH ăL C

QUY TăĐ NHăGIAOăĐ ăTĨIăLU NăVĔNă(B năsao)

DANHăM CăCÁC B NG

Sốăhi u

2.1 Mô hình bốn thành phần năng lực tương ứng với bốn trụ cột

3.1 Suy nghĩ của học sinh trong mẫu hình kem ốc quế 40 3.2 Suy nghĩ của học sinh trong mẫu hình chữ L 41 3.3 Suy nghĩ của học sinh trong mẫu hình tăng trư ng của cá 42 3.4 Suy nghĩ của học sinh trong mẫu hình kem ốc quê 43 3.5 Dự kiến suy nghĩ của học sinh trong mẫu hình kem ốc quế 45 3.6 Suy nghĩ của học sinh trong mẫu hình chữ L 46 3.7 Dự kiến suy nghĩ của học sinh theo quan hệ tương ứng 48 3.8 Dự kiến suy nghĩ của học sinh theo cách quy nạp 48 3.9 Suy nghĩ của học sinh trong mẫu hình sự tăng trư ng của cá 50 3.10 Dự kiến suy nghĩ của học sinh theo quan hệ tương ứng 51 3.11 Dự kiến của học sinh theo quan hệ đồng biến thiên 51 4.1 Chiến lược khái quát hóa của học sinh trong mẫu hình kem ốc

4.2 Chiến lược khái quát hóa của học sinh trong mẫu hình chữ L 54 4.3 Chiến lược khái quát hóa của học sinh trong mẫu hình sự tăng

DANHăM CăCÁC HÌNH Sốăhi uă

2.5 Mô hình L thể hiện mối quan hệ biến thiên 26

2.15 Bài tập tư duy trực quan – hình tượng 36

4.1 Trả l i câu hỏi 1 của học sinh phiếu bài tập 1 554.2 Trả l i câu hỏi 2 của học sinh phiếu bài tập 1 564.3 Trả l i câu hỏi 3 của học sinh phiếu bài tập 1 564.4 Trả l i câu hỏi 5 của học sinh phiếu bài tập 1 564.5 Trả l i câu hỏi 6 của học sinh phiếu bài tập 1 574.6 Trả l i câu hỏi 1 của học sinh phiếu bài tập 2 574.7 Trả l i câu hỏi 1 của học sinh phiếu bài tập 2 57

Sốăhi uă

4.8 Trả l i câu hỏi 2 của học sinh phiếu bài tập 2 584.9 Trả l i câu hỏi 3 của học sinh phiếu bài tập 2 584.10 Trả l i câu hỏi 5 của học sinh phiếu bài tập 2 584.11 Trả l i câu hỏi 6 của học sinh phiếu bài tập 2 594.12 Trả l i câu hỏi 1 của học sinh phiếu bài tập 3 594.13 Trả l i câu hỏi 2 của học sinh phiếu bài tập 3 594.14 Trả l i câu hỏi 3 của học sinh phiếu bài tập 3 604.15 Trả l i câu hỏi 3 của học sinh phiếu bài tập 3 604.16 Trả l i câu hỏi 4 của học sinh phiếu bài tập 3 604.17 Trả l i câu hỏi 5 của học sinh phiếu bài tập 3 604.18 Trả l i câu hỏi 6 của học sinh phiếu bài tập 3 61

M ăĐ U

1 LỦădoăch năđ ătƠi

Lịch sử loài ngư i đã bước sang thế kỉ XXI và khoa học công nghệ phát triển như vũ bão Phát triển giáo dục là nền tảng, tạo nguồn nhân lực chất lượng cao; là một trong những động lực quan trọng, thúc đẩy sự nghiệp công nghiệp hóa - hiện đại hóa;

là yếu tố cơ bản để phát triển xã hội, tăng trư ng kinh tế nhanh và bền vững

Trong sự nghiệp công nghiệp hóa - hiện đại hóa đất nước và hội nhập với Quốc

tế đòi hỏi phải khẩn trương đổi mới giáo dục đào tạo (GD&ĐT) Để đáp ứng yêu cầu phát triển của đất nước trong giai đoạn mới, ngành giáo dục nói chung, bậc tiểu học nói riêng đang đẩy mạnh tiến trình đổi mới cả về nội dung, phương pháp và hình thức

tổ chức hoạt động dạy và học theo hướng tích cực hóa hoạt động của học sinh Đổi mới hình thức dạy học cũng là một trong các giải pháp được toàn xã hội quan tâm, nhằm đưa các hình thức tổ chức dạy học mới vào nhà trư ng

Nghị quyết Hội nghị Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện

GD&ĐT xác định nhiệm vụ đổi mới là: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ và đồng bộ các yếu tố cơ bản của giáo dục, đào tạo theo hướng coi trọng sự phát triển phẩm chất, năng lực của người học” Trong đó chú trọng đổi mới phương pháp dạy và học “theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực”

Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể có nêu rõ mục tiêu giáo dục tiểu học:

giúp học sinh hình thành và phát triển những yếu tố căn bản đặt nền móng cho sự phát triển hài hoà về thể chất và tinh thần, phẩm chất và năng lực; định hướng chính vào giáo dục về giá trị bản thân, gia đình, cộng đồng và những thói quen, nền nếp cần thiết trong học tập và sinh hoạt

Có thể nói rằng Toán học có mặt mọi ngõ ngách của khoa học và đ i sống Hiểu biết về Toán học giúp cho con ngư i suy nghĩ một cách linh hoạt hơn và có thể vận dụng hiểu biết đó vào việc học tập và nghiên cứu các khoa học khác Có thể nói

Toán học là chìa khoá m cửa các môn khoa học Ngày nay, Toán học là chỗ dựa vững chắc, là bệ phóng cho các môn khoa học kỹ thuật, đặc biệt là công nghệ thông tin

Phong trào cải cách giáo dục toán trong những năm qua kêu gọi mọi ngư i chú

ý đến sức mạnh của Toán, nhấn mạnh đến việc dạy Toán vì sự hiểu biết và ứng dụng của toán học trong đ i sống Dạy học toán hướng đến việc trang bị cho cá nhân ngư i học kiến thức Toán và kĩ năng để ngư i học có thể sử dụng hiểu biết về toán một cách

có ý nghĩa và hiệu quả trong thực tế Từ đó việc dạy học toán ngoài mục đích trang bị cho ngư i học kiến thức và kĩ năng toán học, còn hướng đến phát triển tư duy toán học

và các năng lực cốt lõi mà cá nhân cần thiết trong cuộc sống sau này

Phát triển khả năng suy luận và tư duy toán học cho học sinh được nhấn mạnh trong các chương trình toán các nước trên thế giới Đặc biệt, phát triển khả năng suy luận với các đại lượng biến thiên thông qua chủ đề hàm số ngày càng được chú ý trong chương trình các lớp cuối cấp phổ thông trung học Do đó, những nghiên cứu về dạy

và học hàm số ngày càng chú trọng nhiều hơn đến vấn đề hiểu khái niệm hàm số cùng với các tính chất của nó mà cụ thể là khám phá các quy luật biến đổi Từ những năm

2000, các văn kiện chương trình Mỹ đòi hỏi HS phải có khả năng phân tích các quy luật biến đổi trong các bối cảnh khác nhau và biểu diễn sự thay đổi giữa các đại lượng trong toán học bằng một quan hệ hàm Để giúp học sinh hình thành và phát triển khả năng nhìn nhận mối quan hệ giữa hai đại lượng, một số nghiên cứu đã chỉ ra rằng cần thiết phải tạo cơ hội để ngư i học trải nghiệm các tình huống chứa đựng mối quan hệ hàm ngay từ bậc học Tiểu học Chẳng hạn nghiên cứu Blanton và Kaput (2004) chỉ ra rằng trẻ em trong lớp một có thể mô tả hai số lượng tương ứng như thế nào trong một bối cảnh vấn đề Môn Toán trư ng tiểu học không chỉ rèn luyện đơn thuần cho học sinh khả năng tính toán mà còn góp phần hình thành và phát triển tư duy toán học cho các em B i vì cách thức suy nghĩ và phương pháp giải quyết vấn đề mà học sinh thu được từ việc học tập môn toán từ cấp tiểu học sẽ giúp các em nhạy bén hơn trong quá trình học tập nhiều môn học khác và khi tham gia các hoạt động thực tế

Việt Nam, chương trình Toán trong th i kì cải cách giáo dục và cả chương trình Toán đổi mới trong những năm gần đây đều chú trọng đến kiến thức hàm số

Trong tài liệu “Phương pháp dạy học bộ môn Toán”, tác giả Nguyễn Bá Kim cho rằng

“Đảm bảo khái niệm trung tâm của hàm số” là một trong “những tư tưởng cơ bản”

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim, tư tư ng hàm số mà trọng tâm là tư duy hàm gắn liền với những hoạt động trí tuệ mà cá nhân tiến hành để khám phá sự tương ứng giữa các thành phần của một, hai hay nhiều tập hợp, phản ánh mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa các phần tử của những tập hợp đó Tư duy hàm gắn liền với các hoạt động phát hiện, nghiên cứu sự tương ứng và tìm kiếm mối liên hệ giữa các đối tượng trong quá trình vận động của chúng Tác giả Chu Cẩm Thơ cũng có cùng quan điểm trên khi cho rằng tư duy hàm trong học tập môn toán thể hiện sự nhận thức được sự tương ứng riêng và chung giữa các đối tượng toán học hay những tính chất của chúng

Tư duy hàm là một loại tư duy đặc biệt, xuyên suốt trong chương trình toán phổ thông Tư duy hàm giúp học sinh xem xét sự vật, hiện tượng trong trạng thái, biến đổi,

phụ thuộc lẫn nhau Nhà toán học Nga Khichin cho rằng: “Không có khái niệm nào có

thể biểu hiện được ở trong đó những nét biện chứng của tư duy toán học hiện đại như

tư duy hàm” Sự cần thiết của tư duy hàm cũng được GS Nguyễn Bá Kim khẳng định:

“Liên hệ chặt chẽ với khái niệm hàm là tư duy hàm, một loại hình tư duy được hàng loạt công trình nghiên cứu đánh giá cao và được kiến nghị phải được phát triển mạnh trong dạy học các bộ môn, đặc biệt là môn Toán” Phát triển tư duy hàm có ý nghĩa

quan trọng trong dạy học Toán tiểu học, nó vừa là yêu cầu của việc dạy học môn Toán, vừa là điều kiện để nâng cao chất lượng dạy học nhiều tuyến kiến thức môn Toán

Làm việc với các mẫu hình để phát triển các loại hình tư duy toán học như tư duy đại số và tư duy hàm là một trong những điều quan trọng mà ngư i học sẽ trải nghiệm trong quá trình học toán Hoạt động khái quát hóa các mẫu hình cung cấp cho học sinh nền tảng cơ bản trong tư duy toán học và được mô tả là một trong những gốc

rễ và con đư ng đi vào toán học mức độ trừu tượng cao hơn (Radford (2008) Theo Radford (2008), điều cốt lõi nhất của tư duy toán học không phải là làm việc trên các

ký hiệu hình thức mà chính là ý tư ng khái quát hóa từ những trư ng hợp cụ thể Các

ký hiệu và biểu thức không làm nên tư duy toán học mà chính là khả năng khái quát hóa từ các kết quả và trư ng hợp cụ thể Chính việc nhận thấy mối liên hệ giữa các đại lượng từ những trư ng hợp cụ thể và khái quát hóa mối quan hệ đó trong trư ng hợp tổng quát sẽ giúp ngư i học phát triển tư duy toán học nói chung, tư duy đại số và tư duy hàm nói riêng Từ những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài “Phát triển tư duy hàm

cho học sinh thông qua khai thác các mẫu hình trong dạy học Toán lớp 5” để tiến

hành nghiên cứu

2 M căđíchănghiênăc uăc aăđ ătƠi

Mục đích của luận văn là nghiên cứu sự phát triển tư duy hàm qua hoạt động khái quát hóa các mẫu hình của học sinh lớp 5 Từ mục đích tổng quát này, chúng tôi hướng đến những mục tiêu cụ thể sau:

- Tìm hiểu tư duy hàm và năng lực khái quát hóa mẫu hình của học sinh lớp 5;

- Tìm hiểu ảnh hư ng của hoạt động khái quát hóa mẫu hình đến tư duy hàm của học sinh lớp 5;

- Thiết kế một số tình huống nhằm phát triển duy hàm cho học sinh lớp 5 thông qua hoạt động khai thác các mẫu hình hình học

3 Nhi măv ănghiênăc u

- Tổng quan vấn đề nghiên cứu liên quan đến năng lực khái quát hóa mẫu hình và phát triển tư duy hàm của học sinh lớp 5;

- Đề xuất khung lí thuyết về hoạt động khái quát hóa mẫu hình hướng vào phát triển tư duy hàm cho học sinh lớp 5;

- Thiết kế công cụ nghiên cứu để đo tư duy hàm của học sinh lớp 5 qua hoạt động khái quát hóa mẫu hình;

- Thu thập, phân tích dữ liệu về tư duy hàm của học sinh lớp 5 qua hoạt động khái quát hóa mẫu hình

5 Đốiăt ng,ăkháchăth ăvƠ ph măviănghiênăc u

5.1 Đối tượng và khách thể nghiên cứu

 Đối tượng nghiên cứu của luận văn là sự phát triển về tư duy hàm của học sinh khi học toán cùng các mẫu hình

 Khách thể nghiên cứu của luận văn là quá trình học toán của học sinh lớp 5 cùng các mẫu hình

5.2 Phạm vi nghiên cứu

Phạm vi khảo sát và thực nghiệm sư phạm của luận văn là 70 học sinh lớp 5 tại một số trư ng Tiểu học trên địa bàn thành phố Đà Nẵng trong năm học 2018-2019

6 Ph ngăphápănghiênăc u

6.1 Nghiên cứu lí luận

Phương pháp nghiên cứu lí luận được tiến hành nhằm giúp tác giả luận văn tổng quan vấn đề nghiên cứu, đề xuất khung lí thuyết tham chiếu cho nghiên cứu

6.2 Nghiên cứu thực tiễn

Điều tra khảo sát, quan sát, phỏng vấn và thực nghiệm giáo dục khi thực hiện nghiên cứu này Các dữ liệu dự kiến thu thập được từ các nguồn sau:

- Quan sát lớp học;

- Phiếu học tập của học sinh;

- Phiếu phỏng vấn cá nhân học sinh

6.3 Thực nghiệm sư phạm

Trên cơ s thiết kế các tình huống sư phạm chứa đựng các dạng mẫu hình hình học, thực nghiệm trên đối tượng học sinh lớp 5 để phân tích, tìm hiểu và đánh giá khả

năng phát triển tư duy hàm của học sinh từ đó kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả

của đề tài

7 C uătrúcăc aălu năvĕn

Ngoài phần m đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn được bố cục trong 5 chương như sau:

Ch ngă1.ăT ngăquanăv năđ ănghiênăc u

Ch ng 2.ăNĕngăl căt ăduyăhƠmăc aăh căsinhăl pă5

Ch ngă3.ăThi tăk ănghiênăc u

Ch ngă4.ăK tăqu ănghiênăc u

Ch ngă5.ăK tălu n

C H NG 1

T NGăQUANăV NăĐ ăNGHIểNăC U

1.1 L chăsửăv năđ nghiênăc u

Tư duy hàm là một loại tư duy đặc biệt, được khuyến khích phát triển cho ngư i học thông quá quá trình dạy học môn toán xuyên suốt từ bậc mầm non đến đại học Tư duy hàm là các hoạt động trí tuệ liên quan đến sự tương ứng giữa các phần tử của một, hai, hay nhiều tập hợp, phản ánh các mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa các phần tử của tập hợp đó trong sự vận động của chúng Liên quan đến vấn đề phát triển

tư duy hàm, tác giả Nguyễn Bá Kim (1996) cho rằng phát triển tư duy hàm là tập luyện cho học sinh phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và vận dụng sự tương ứng trong khi và nhằm vào truyền thụ kiến thức và rèn luyện kĩ năng toán học” Do đó, ba hoạt động đặc trưng cho tư duy hàm của cá nhân là phát hiện hoặc thiết lập những sự tương ứng, nghiên cứu những sự tương ứng và vận dụng những sự tương ứng Tư duy hàm giúp học sinh xem xét sự vật, hiện tượng trong trạng thái, biến đổi, phụ thuộc lẫn nhau Do

đó tư duy hàm có vai trò quan trọng trong quá trình học toán của học sinh và trong cuộc sống hàng ngày của các em sau này Vì thế chủ đề này đã được nhiều nhà giáo dục trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu

Phạm Văn Cư ng (2008) đã đề cập đến tư duy hàm và các hoạt động tư duy hàm của học sinh tiểu học Tác giả cũng đưa ra một số nội dung toán học có thể rèn luyện và phát triển tư duy hàm cho học sinh tiểu học Callejo và Zapatera (2017) đã

mô tả các lợi ích của năng lực giảng dạy chú ý đến tư duy toán học của học sinh trong bối cảnh của việc khái quát hóa mẫu hình Blanton và cộng sự (2015) đã đề cập đến kết quả từ một nghiên cứu điều tra tác động của một can thiệp đại số sớm toàn diện, bền vững học sinh lớp ba Rivera (2010) đã trình bày bằng chứng về sự tồn tại của các mẫu hình trực quan trong hoạt động khái quát hóa, giúp cho các nhà giáo dục hiểu được tầm quan trọng trong việc sử dụng các mẫu trực quan trong dạy học toán

Wilkie (2016) đã khảo sát khả năng khái quát hóa và sử dụng các biểu diễn bội trước khi hình thành biểu thức đại số của các học sinh lứa tuổi 12-13 của Úc cũng chỉ

ra rằng các em có khả năng khái quát hóa một cách rõ ràng và gần một phần năm có khả năng tạo ra quy tắc hàm và biểu diễn quy tắc đó bằng kí hiệu hình thức Kết quả của nghiên cứu cũng chỉ ra rằng khoảng một nửa học sinh tham gia khảo sát có khả năng biểu diễn các tình huống có bối cảnh thực tế bằng một quan hệ hàm tuyến tính Wilkie và Clarke (2015) đã nghiên cứu sự phát triển về khả khái quát hóa các mối quan hệ hàm và sử dụng các biểu diễn bằng l i, biểu diễn bằng đồ thị và biểu diễn bằng kí hiệu của học sinh cuối cấp tiểu học

Như vậy, có nhiều nghiên cứu đề cập đến phát triển tư duy hàm cho học sinh tiểu học Tuy nhiên các nghiên cứu khai thác các mẫu hình để phát triển tư duy hàm cho học sinh tiểu học hiện nay còn hạn chế Do đó, tìm hiểu về năng lực khái quát hóa

các mẫu hình của học sinh tiểu học để phát triển tư duy hàm là cần thiết để chuẩn bị cho thế hệ trẻ tương lai năng lực này nhằm đáp ứng tốt nhất cho việc học tập và áp dụng trong thực tế cuộc sống

1.2 M cătiêuămônăToánă ăTi uăh c

Môn Toán cấp Tiểu học nhằm giúp học sinh đạt các mục tiêu chủ yếu sau:

- Góp phần hình thành và phát triển năng lực toán học với yêu cầu cần đạt: thực hiện được các thao tác tư duy mức độ đơn giản; nêu và trả l i được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề đơn giản; lựa chọn được các phép toán và công thức số học để trình bày, diễn đạt (nói hoặc viết) được các nội dung, ý tư ng, cách thức giải quyết vấn đề; sử dụng được ngôn ngữ toán học kết hợp với ngôn ngữ thông thư ng, động tác hình thể để biểu đạt các nội dung toán học những tình huống đơn giản; sử dụng được các công cụ, phương tiện học toán đơn giản để thực hiện các nhiệm vụ học tập toán đơn giản

- Góp phần thực hiện các quy định về phẩm chất của Chương trình tổng thể theo

các mức độ phù hợp với môn Toán cấp Tiểu học

- Có những kiến thức và kĩ năng toán học cơ bản ban đầu, thiết yếu về:

+ Số và phép tính: Số tự nhiên, phân số, số thập phân và các phép tính trên những tập hợp số đó

+ Hình học và Đo lư ng: Quan sát, nhận biết, mô tả hình dạng và đặc điểm ( mức độ trực quan) của một số hình phẳng và hình khối trong thực tiễn; tạo lập một số mô hình hình học đơn giản; tính toán một số đại lượng hình học; phát triển trí tư ng tượng không gian; giải quyết một số vấn đề thực tiễn đơn giản gắn với Hình học và Đo lư ng

+ Thống kê và Xác suất: Một số yếu tố thống kê và xác suất đơn giản; giải quyết một số vấn đề thực tiễn đơn giản gắn với một số yếu tố thống kê và xác suất

- Cùng với các môn học và hoạt động giáo dục khác (Đạo đức, Tự nhiên và xã

hội, Hoạt động trải nghiệm) góp phần giúp học sinh có những hiểu biết ban đầu về một

số nghề nghiệp trong xã hội

1.3 C uătrúcăch ngătrìnhămônătoánăl pă5

- So sánh hai phân số cùng mẫu, khác mẫu

- Phân số thập phân

- Các phép tính cộng trừ các phân số cùng mẫu, khác mẫu

- Phép nhân và phép chia hai phân số

- Hỗn số: Nhận biết được hỗn số và biết hỗn số có phần nguyên, phần phân số Biết đọc, viết hỗn số Biết chuyển một hỗn số thành một phân số

1.3.1.2 Số thập phân Các phép tính với số thập phân

- Kháiăni măbanăđ uăv ăsốăth păphơn: Nhận biết được phân số thập phân

Biết số thập phân có phần nguyên và phần thập phân Biết đọc, viết, so sánh số thập phân Biết sắp xếp một nhóm các số thập phân theo thứ tự từ bé đến lớn hoặc ngược lại

- Phépăc ngăvƠăphépătrừăcácăsốăth păphơn: Biết cộng, trừ các số thập phân có

đến ba chữ số phần thập phân, có nhớ không quá hai lượt Biết sử dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép cộng các số thập phân trong thực hành tính

- Phépănhơnăcácăsốăth păphơn: Biết thực hiện phép nhân có tích là số tự nhiên,

số thập phân có không quá ba chữ số phần thập phân Biết nhân nhẩm một số thập phân với 10, 100, 1000; hoặc 0,1 ; 0,01; 0,001, Biết sử dụng một số tính chất của phép nhân trong thực hành tính giá trị của các biểu thức số

- Phépăchiaăcácăsốăth păphơn: Biết thực hiện phép chia, thương là số tự nhiên

hoặc số thập phân có không quá ba chữ số phần thập phân Biết chia nhẩm một số thập phân cho 10; 100; 1000; hoặc cho 0,1 ; 0,01; 0,001;

- T ăsốăph nătrĕm: Nhận biết được tỉ số phần trăm của hai đại lượng cùng loại

Biết đọc, viết tỉ số phần trăm Biết viết một số phân số thành tỉ số phần trăm và viết tỉ

số phần trăm thành phân số Biết thực hiện phép cộng, phép trừ các tỉ số phần trăm; nhân tỉ số phần trăm với một số tự nhiên; chia tỉ số phần trăm cho một số tự nhiên khác 0

1.3.2 Đại lượng và đo đại lượng

- B ngăđ năv ăđoăđ ădƠi:ăBiết tên gọi, kí hiệu, mối quan hệ của các đơn vị đo

độ dài trong bảng đơn vị đo độ dài Biết chuyển đổi các đơn vị đo độ dài Biết thực hiện phép tính với các số đo độ dài và vận dụng trong giải quyết một số tình huống thực tế

- B ngăđ năv ăđoăkhốiăl ng: Biết tên gọi, kí hiệu, mối quan hệ của các đơn vị

đo khối lượng trong bảng đơn vị đo khối lượng Biết chuyển đổi các đơn vị đo khối lượng Biết thực hiện phép tính với các số đo khối lượng và vận dụng trong giải quyết một số tình huống thực tế

- Di nătích: Biết 2

dam , hm ,2 mm ,2 là những đơn vị đo diện tích; ha là đơn vị

đo diện tích ruộng đất Biết đọc, viết các số đo diện tích theo những đơn vị đo đã học Biết tện gọi, kí hiệu, mối quan hệ của các đơn vị đo diện tích trong bảng đơn vị đo diện tích

- Th ătích: Biết 3

cm , dm ,3 m 3 là những đơn vị đo thể tích Biết đọc, viết các số

đo thể tích theo những đơn vị đo đã học Biết mối quan hệ 3

cm Biết chuyển đơn vị đo thể tích trong trư ng hợp đơn giản

- Th iăgian:ăăBiết mối quan hệ giữa một số đơn vị đo th i gian thông dụng

Biết đổi đơn vị đo th i gian Biết cách thực hiện Phép cộng, phép trừ, phép nhân, phép chia các số đo th i gian

- V nătốc:ă Bước đầu nhận biết được vận tốc của một chuyển động Biết tên

gọi, kí hiệu của một số đơn vị đo vận tốc (km/gi ; m/phút; m/giây)

- Hìnhăh păch ănh t,ăhìnhăl păph ng:ăNhận dạng được hình hộp chữ nhật

và hình lập phương Nhận biết một số đặc điểm của hình hộp chữ nhật, hình lập phương Biết cách tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật, hình lập phương Biết cách tính thể tích hình hộp chữ nhật, hình lập phương

- Hìnhătr ,ăhìnhăc u:ăNhận dạng được hình trụ và hình cầu

1.3.4 Yếu tố thống kê

- Nhận biết về biểu đồ hình quạt và ý nghĩa thực tế của nó

- Biết thu nhận và xử lí một số thông tin đơn giản từ một biểu đồ hình quạt

1.3.5 Yếu tố Đại số

- Làm quen với việc dùng chữ thay số

- Biểu thức số và biểu thức chữ; giá trị của biểu thức; bắt đầu làm quen với biến

số với mối quan hệ phụ thuộc của hai đại lượng

- Giải phương trình và bất phương trình đơn giản

1.4 ăĐặcăđi mătơmălỦăc aăh căsinhăl pă4, 5

Việc nắm bắt đặc điểm tâm lí lứa tuổi học sinh Tiểu học có ý nghĩa quan trọng, giúp giáo viên thiết kế, tổ chức bài dạy phù hợp với tâm lí học sinh nhằm hình thành

và phát triển năng lực chung và năng lực toán học cho HS tiểu học

1.4.1 Đặc điểm nhận thức

Nếu như bậc mầm non hoạt động chủ đạo của trẻ là vui chơi, thì đến tuổi tiểu học hoạt động chủ đạo của trẻ đã có sự thay đổi về chất, chuyển từ hoạt động vui chơi sang hoạt động học tập Đây là một bước ngoặt lớn trong đ i sống của trẻ

Tri giác của học sinh tiểu học mang tính đại thể, ít đi vào chi tiết và mang tính không ổn định: đầu tuổi tiểu học tri giác thư ng gắn với hành động trực quan, đến cuối tuổi tiểu học tri giác bắt đầu mang tính xúc cảm, trẻ thích quan sát các sự vật hiện tượng có màu sắc sặc sỡ, hấp hẫn, tri giác của trẻ đã mang tính mục đích, có phương hướng rõ ràng - tri giác có chủ định (trẻ biết lập kế hoạch học tập, biết sắp xếp công việc nhà, biết làm các bài tập từ dễ đến khó, )

Nhận thấy điều này chúng ta cần phải thu hút trẻ bằng các hoạt động mới, mang màu sắc, tính chất đặc biệt khác lạ so với bình thư ng, khi đó sẽ kích thích trẻ cảm nhận, tri giác tích cực và chính xác

Tư duy mang đậm màu sắc xúc cảm và chiếm ưu thế tư duy trực quan hành động

Các phẩm chất tư duy chuyển dần từ tính cụ thể sang tư duy trừu tượng, khái quát

Khả năng khái quát hóa phát triển dần theo lứa tuổi, lớp 4, 5 bắt đầu biết khái quát hóa lý luận Tuy nhiên, hoạt động phân tích, tổng hợp kiến thức còn sơ đẳng phần đông học sinh tiểu học

Tư ng tượng của học sinh tiểu học đã phát triển phong phú hơn so với trẻ mầm non nh có bộ não phát triển và vốn kinh nghiệm ngày càng dày dạn Tuy nhiên, tư ng tượng của các em vẫn mang một số đặc điểm nổi bật sau:

- đầu tuổi tiểu học thì hình ảnh tư ng tượng còn đơn giản, chưa bền vững và dễ thay đổi

- cuối tuổi tiểu học, tư ng tượng tái tạo đã bắt đầu hoàn thiện, từ những hình ảnh cũ trẻ đã tái tạo ra những hình ảnh mới Tư ng tượng sáng tạo tương đối phát triển giai đoạn cuối tuổi tiểu học, trẻ bắt đầu phát triển khả năng làm thơ, làm văn, vẽ tranh, Đặc biệt, tư ng tượng của các em trong giai đoạn này bị chi phối mạnh mẽ

b i các xúc cảm, tình cảm, những hình ảnh, sự việc, hiện tượng đều gắn liền với các rung động tình cảm của các em

Qua đây, chúng ta phải phát triển tư duy và trí tư ng tượng của các em bằng cách biến các kiến thức "khô khan" thành những hình ảnh có cảm xúc, đặt ra cho các

em những câu hỏi mang tính gợi m , thu hút các em vào các hoạt động nhóm, hoạt động tập thể để các em có cơ hội phát triển quá trình nhận thức lý tính của mình một cách toàn diện

1.4.2 Đặc điểm nhân cách của học sinh tiểu học

Tính cách của học sinh tiểu học được hình thành trong hoạt động học tập, lao động và hoạt động xã hội và cả trong hoạt động vui chơi tuổi này, các em thư ng

có khuynh hướng hành động ngay lập tức dưới ảnh hư ng của kích thích bên ngoài và bên trong Do vậy mà hành vi của học sinh tiểu học dễ có tính tự phát, dễ vi phạm nội quy và thư ng bị xem là “vô kỉ luật”

Học sinh tiểu học thư ng có nhiều nét tính cách tốt như tính hồn nhiên, ham hiểu biết, lòng thương ngư i, lòng vị tha Hồn nhiên trong quan hệ với mọi ngư i, với thầy, cô, với ngư i lớn, với bạn bè Hồn nhiên nên trẻ em rất cả tin, tin vào thầy cô, tin vào sách, tin vào ngư i lớn và tin vào khả năng của bản thân Niềm tin của hoc sinh tiểu học còn cảm tính, chưa có lí trí soi sáng dẫn dắt Giáo viên nên tận dụng đặc tính này để giáo dục học sinh của mình, nhưng cần luôn nhớ rằng mọi điều đưa đến cho các

em cần phải đúng, phải chính xác, vì nếu không thì khi trẻ đã có niềm tin vào điều gì

đó, khi niềm tin được định hình, khắc sâu thì rất khó thay đổi cho dù điều đó là sai trái

Tính hay bắt chước là đặc điểm quan trọng của lứa tuổi tiểu học, tạo điều kiện thuận lợi để chúng ta giáo dục cho trẻ phát triển theo hướng tích cực

Nhu cầu nhận thức phát triển và thể hiện rõ nét, đặc biệt là nhu cầu tìm hiểu thế giới xung quanh, khát vọng hiểu biết mọi thứ có liên quan Trước hết là nhu cầu tìm hiểu những sự vật, hiện tượng riêng lẻ, tiếp đến là nhu cầu gắn liền với sự phát hiện nguyên nhân, tính quy luật, các mối quan hệ phụ thuộc giữa các hiện tượng Nhu cầu này có ý nghĩa đặc biệt đối với việc học của học sinh Vì vậy, giáo viên phải làm thế nào để kích thích được nhu cầu nhận thức của học sinh thì các em mới hoạt động tích cực chiếm lĩnh tri thức

Tình cảm của học sinh tiểu học được hình thành trong đ i sống và trong quá trình học tập của các em và được nảy sinh từ các tác động của những ngư i xung quanh, từ các sự vật, hiện tượng cụ thể, sinh động lứa tuổi này, tình cảm của các em

có một số điểm đặc trưng, đó là: “Dễ xúc động, khó kìm hãm xúc cảm của mình nhưng chưa bền vững, chưa sâu sắc” lứa tuổi học sinh tiểu học, nếu xúc cảm về một

sự kiện, hiện tượng, nhân vật nào đó được củng cố thư ng xuyên trong cuộc sống và

thông qua các môn học, thông qua các hoạt động thì sẽ hình thành được tình cảm sâu đậm, bền vững Đó chính là lòng yêu kính Bác Hồ, yêu quý cha mẹ, thầy cô giáo

Tóm lại, học sinh tiểu học dễ thích nghi và tiếp nhận cái mới nhưng cũng thiếu

sự tập trung cao độ, khả năng ghi nhớ và chú ý có chủ định chưa được phát triển mạnh Trẻ nhớ rất nhanh và quên cũng nhanh, hiếu động và dễ bộc lộ cảm xúc độ tuổi này, các em đang hình thành và phát triển nhân cách con ngư i hay nói cách khác là đang từng bước hình thành và phát triển về năng lực và phẩm chất Do vậy, dạy học phát

triển năng lực có một ưu thế vượt trội trong hình thành và phát triển nhân cách học sinh b i vì nó hướng ngư i học đi vào hoạt động (hoạt động trong gi , ngoài gi , hoạt động giao tiếp, trải nghiệm…), mà chỉ có thông qua hoạt động, con ngư i mới hình thành và phát triển được năng lực, phẩm chất cá nhân Vì vậy, trong dạy học, giáo viên phải làm thế nào để HS tích cực tham gia vào các hoạt động là vấn đề quan trọng

1.5 T ăduy

1.5.1 Tiếp cận tư duy trong tâm lý học

Tiếp cận liên tư ng vấn đề tư duy, trí tuệ mà đại biểu là các nhà triết học, tâm lý học ngư i Anh như Ghatli (1705 -1836), Milơ (1806 - 1873), Spenxơ (1820 - 1903) Về sau, thuyết liên tư ng dựa vào cơ chế phản xạ có điều kiện do Pavlov phát hiện, làm cơ

s sinh lí thần kinh của các mối liên tư ng tâm lí

Các nhà liên tư ng cho rằng tư duy là quá trình thay đổi tự do tập hợp các hình ảnh, là liên tư ng các biểu tượng Tư duy luôn là tư duy hình ảnh Họ quan tâm chủ yếu đến vấn đề tái tạo các mối liên tư ng tư duy là tư duy tái tạo

Theo họ có 4 loại liên tư ng: liên tư ng giống nhau, liên tư ng tương phản, liên

tư ng gần nhau về không gian và th i gian, liên tư ng nhân quả Liên tư ng nhân quả có vai trò đặc biệt trong quá trình tư duy Sự phát triển trí tuệ là quá trình tích lũy các mối liên tư ng Thuyết liên tư ng chưa thoát khỏi tư duy siêu hình, mới chỉ nêu ra nguyên tắc giải thích máy móc về trí tuệ mà chưa đề cập đến bản chất, cấu trúc, vai trò của tư duy trong hoạt động con ngư i

Hướng tiếp cận hành động tinh thần, là đặc trưng của trư ng phái tâm lý học Vuxbua (Đức), theo thuyết triết học duy lý, đại biểu: Quynpe (1862 - 1915), Denxo (1881

- 1944) và Biulơ (1897 - 1963)

Tư tư ng chủ đạo của trư ng phái này là nghiên cứu tư duy, trí tuệ thông qua thực nghiệm giải bài toán tư duy Phương pháp chủ yếu sử dụng trong thực nghiệm là tự quan sát Theo họ, tư duy là hành động bên trong của chủ thể nhằm xem xét các mối quan hệ

1.5.2 Khái niệm tư duy

Tư duy là quá trình tâm lý nh đó mà con ngư i phản ánh được các đối tượng và các hiện tượng của hiện thực qua những dấu hiệu căn bản của chúng, con ngư i vạch ra được những mối liên hệ khác nhau trong mỗi đối tượng, hiện tượng và giữa các đối tượng, hiện tượng với nhau

Có thể chỉ ra một vài định nghĩa khác của tư duy: Theo Rubistein “Tư duy - đó là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn so với các tư liệu cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể” hay hiểu một cách ngắn gọn hơn thì tư

duy là cách nghĩ để nhận thức và giải quyết vấn đề

Theo Sacdaxcov (1970), “Tư duy là một quá trình tâm lý liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ - quá trình tìm tòi sáng tạo cái chính yếu, quá trình phản ánh một cách từng phần hay khái quát thực tế trong khi phân tích và tổng hợp nó Tư duy sinh ra trên cơ sở hoạt động thực tiễn, từ nhận thức cảm tính và vượt xa giới hạn của nó”

Như vậy, tư duy phản ánh sự vật, hiện tượng trong thực tế vào bộ óc con ngư i, giúp con ngư i nhận thức được hiện thực khách quan Tư duy là sản phẩm trí tuệ bậc cao của con ngư i, mang tính chủ động Do đó, ta có thể chủ động rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh

1.5.3 Đặc điểm của tư duy

Các đặc điểm của tư duy bao gồm:

- Tính có vấn đề của tư duy: Khi gặp những hoàn cảnh, những tình huống mà vốn hiểu biết cũ, phương pháp hành động đã biết của con ngư i không đủ để giải quyết, lúc đó con ngư i rơi vào hoàn cảnh có vấn đề, khi đó con ngư i phải có tư duy

- Tính khái quát của tư duy: Tư duy có khả năng phản ánh những thuộc tính chung,

những mối liên hệ, quan hệ có tính quy luật của hàng loạt sự vật, hiện tượng

- Tính gián tiếp của tư duy: Trong tư duy, con ngư i phản ánh thế giới một cách gián tiếp - phản ánh bằng ngôn ngữ

- Tư duy có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ, ngôn ngữ là phương tiện của tư duy Nh ngôn ngữ mà con ngư i nhận thức được hoàn cảnh có vấn đề, đặt ra được vấn đề cần giải quyết, nh ngôn ngữ mà con ngư i tiến hành các thao tác tư duy

- Tư duy và nhận thức cảm tính có quan hệ chặt chẽ bổ sung cho nhau chi phối lẫn nhau trong hoạt động nhận thức thống nhất Tư duy thư ng được bắt đầu từ nhận thức cảm tính, trên cơ s nhận thức cảm tính mà nảy sinh hoàn cảnh có vấn đề Trong quá trình diễn biến, tư duy phải sử dụng nguồn tài liệu do nhận thức cảm tính đem lại Ngược lại, tư duy và những kết quả của nó chi phối khả năng phản ánh của cảm giác và tri giác làm cho khả năng cảm giác của con ngư i tinh vi, nhạy bén hơn, làm cho tri giác của con ngư i mang tính lựa chọn, tính ý nghĩa

Như vậy quá trình tư duy là khâu quan trọng nhất của quá trình nhận thức nh đó giáo viên hướng dẫn tư duy khoa học cho học sinh trong suốt quá trình dạy học toán

1.5.4 Phân loại tư duy

Một số nhà tâm lý học cho rằng có ba cấp độ của tư duy:

Một là, tư duy trực quan, hành động: là cấp độ tư duy bằng các thao tác cụ thể tay chân hướng vào việc giải quyết một số tình huống cụ thể trực quan

Hai là, tư duy trực quan hình tượng: là loại tư duy phát triển mức độ cao hơn, chỉ ra

đ i muộn hơn so với tư duy trực quan hành động, chỉ có ngư i, đó là loại tư duy mà việc giải quyết vấn đề dựa vào các hình ảnh của sự vật, hiện tượng

Ba là, tư duy trừu tượng (tư duy ngôn ngữ logic): là tư duy phát triển cấp độ cao nhất, chỉ có ngư i, đó là tư duy mà việc giải quyết vấn đề dựa trên khái niệm, phạm trù và các mối quan hệ logic và gắn bó với ngôn ngữ, lấy ngôn ngữ làm phương tiện

Theo A.V Ptrovxki và L.B Itenxon, có 4 loại tư duy: tư duy hình tượng, tư duy thực

hành, tư duy khoa học, tư duy logic Đối với tư duy logic được hiểu là: “Tư duy thay thế các

hành động với các sự vật có thực sự vận dụng các khái niệm theo quy tắc logic học”

J Piaget thư ng nói đến 2 loại tư duy: tư duy cụ thể, tư duy hình thức

Các thuật ngữ tư duy lý luận, tư duy kinh nghiệm cũng được V.V Đavưđov sử dụng

trong cuốn Các dạng khái quát hóa trong dạy học V A Cruchetxki đã nói đến: tư duy tích

cực, tư duy độc lập, tư duy sáng tạo, tư duy lý luận

1.5.5 Các giai đoạn của tư duy

Quá trình tư duy bao gồm nhiều giai đoạn từ khi gặp tình huống có vấn đề đến khi giải quyết nó rồi lại kh i đầu cho một hành động tư duy mới

kh i đầu cho một hoạt động tư duy mới

1.6 ăĐ iăm iănhi măv d yăh c hi nănay

Đảng ta xác định giáo dục là quốc sách hàng đầu và luôn dành sự quan tâm, đầu

tư cao để phát triển giáo dục Cùng với sự phát triển của xã hội, giáo dục cũng từng ngày phải vận mình thay đổi để bắt kịp xu thế th i đại, đào tạo được những con ngư i mới năng động, toàn diện cả đức và tài Trong các bậc học của giáo dục phổ thông thì

bậc tiểu học được xem là “nền tảng” nên sự đổi mới lại càng cần thiết và quan quan

trọng Chính vì vậy, từ nhiều năm nay, giáo dục tiểu học đã có những thay đổi mạnh

mẽ Cụ thể:

- Sự đổi mới của chương trình tiểu học: Về mục tiêu, trong chương trình tiểu học mới, mục tiêu bài học đã được cụ thể hóa bằng kế hoạch hành động sư phạm như: đích cuối cùng, những nội dung kiến thức và phẩm chất năng lực cần đạt học sinh; các phương pháp và phương tiện tiện dạy học, các hoạt động dạy học cụ thể; cách thức đánh giá kết quả học tập của học sinh Về nội dung, chương trình tiểu học được soạn thảo hiện đại, tinh giản, thiết thực và cập nhật sự phát triển của khoa học - công nghệ, kinh tế - xã hội, tăng cư ng thực hành vận dụng, gắn bó với thực tiễn Việt Nam tiến kịp trình độ phát triển chung của chương trình giáo dục phổ thông của các nước trong khu vực và quốc tế

- Sự đổi mới về phương pháp dạy học: Như vậy trước thực tiễn đổi mới của mục tiêu, nội dung chương trình tiểu học, và cách đánh giá kết quả học tập của học sinh, PPDH cũng buộc phải thay đổi theo Đổi mới PPDH là nội dung hết sức quan trọng trong việc nâng cao chất lượng dạy và học, b i vì dạy như thể nào thì sẽ cho ra kết quả như thế ấy

Chính vì vậy, đổi mới phương pháp dạy học để nâng cao chất lượng giáo dục là nhiệm vụ hàng đầu trong các trư ng tiểu học hiện nay Bên cạnh đó để đáp ứng được vấn đề đổi mới chương trình cũng đổi mới phương pháp dạy học đạt hiệu quả thì các trư ng tiểu học cũng đã và đang tiến hành đổi mới về cơ s vật chất, đáp ứng mọi điều kiện để học sinh được phát triển đầy đủ nhất những năng lực và phẩm chất cần thiết

1.7 Ti uăk tăCh ngă1

Trong chương này, chúng tôi đã trình bày về lịch sử vấn đề nghiên cứu; tìm hiểu cấu trúc nội dung chương trình môn Toán lớp 5 Nêu được những đặc điểm của quá trình nhận thức và phát triển nhân cách của học sinh tiểu học Chúng tôi đã trình bày khái niệm, đặc điểm và phân loại tư duy cũng như các giai đoạn của tư duy Nhiệm vụ đổi mới phương pháp dạy học tại các trư ng tiều học trong giai đoạn hiện nay Những vấn đề này sẽ là cơ s để chúng tôi tiến hành tìm hiểu những vấn đề tiếp theo của luận văn và là cơ s để chúng tôi thiết kế nghiên cứu cho học sinh trong các chương tiếp theo

C H NG 2 NĔNGăL CăT ăDUYăHĨMăC AăH CăSINHăTI UăH C

- Theo F.E.Weinert (2001) cho rằng: “Năng lực là tổng hợp các khả năng và kĩ năng sẵn có hoặc học được… cũng như sự sẵn sàng của học sinh nhằm giải quyết những vấn đề nảy sinh và hành động một cách có trách nhiệm, có sự phê phán để đi đến giải pháp”

- Theo chương trình giáo dục trung học Québec - Bộ giáo dục Canada (2004), thì: “Năng lực là khả năng hành động hiệu quả bằng sự cố gắng dựa trên nhiều nguồn lực Những khả năng này được sử dụng một cách phù hợp, bao gồm tất cả những gì học được từ nhà trường cũng như những kinh nghiệm của học sinh; những kĩ năng, thái độ và sự hứng thú; ngoài ra còn có những nguồn bên ngoài chẳng hạn như: bạn cùng lớp, thầy cô giáo, các chuyên gia hoặc các nguồn thông tin khác”

- Chương trình giáo dục của New Zealand thì nêu một cách ngắn gọn: “Năng lực là khả năng hành động hiệu quả hoặc là sự phản ứng thích đáng trong các tình huống phức tạp nào đó”

- Chương trình cải cách giáo dục Indonesia, nêu rõ: “Năng lực là những kiến thức, kĩ năng và các giá trị được phản ánh trong thói quen suy nghĩ và hành động của mỗi cá nhân Thói quen tư duy và hành động kiên trì, liên tục có thể giúp một người trở nên có năng lực, với ý nghĩa làm một việc gì đó trên cơ sở có kiến thức, kĩ năng và các giá trị cơ bản”

- Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể của Bộ Giáo dục và Đào tạo (2018): “Năng lực là khả năng thực hiện thành công hoạt động trong một bối cảnh nhất định nhờ sự huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí… Năng lực của cá nhân được đánh giá qua phương thức và kết quả hoạt động của cá nhân đó khi giải quyết các vấn đề của cuộc sống”

Tóm lại, năng lực là khả năng vận dụng kiến thức, kĩ năng và kinh nghiệm với một niềm tin, ý chí để thực hiện thành công một công việc nào đó xuất hiện trong bối cảnh của cuộc sống

2.1.2 Cấu trúc năng lực

Để hình thành và phát triển năng lực cần xác định các thành phần và cấu trúc của chúng Có nhiều loại năng lực khác nhau Việc mô tả cấu trúc và các thành phần năng lực cũng khác nhau Cấu trúc chung của năng lực hành động được mô tả là sự kết hợp của 4 năng lực thành phần: Năng lực chuyên môn, năng lực phương pháp, năng lực xã hội, năng lực cá thể

Mô hình bốn thành phần năng lực trên phù hợp với bốn trụ cột giáo dục theo UNESCO:

Bảng 2.1 Mô hình bốn thành phần năng lực tương ứng với bốn trụ cột giáo dục của

Nĕngăl căcáăth  H căđ ăt ăkh ngăđ nh

Từ cấu trúc của khái niệm năng lực cho thấy giáo dục định hướng phát triển năng lực không chỉ nhằm mục tiêu phát triển năng lực chuyên môn bao gồm tri thức,

kỹ năng chuyên môn mà còn phát triển năng lực phương pháp, năng lực xã hội và năng lực cá thể Những năng lực này không tách r i nhau mà có mối quan hệ chặt chẽ, gắn

bó với nhau Năng lực hành động được hình thành trên cơ s có sự kết hợp các năng lực này

2.2 T ăduyăhƠm

2.2.1 Khái niệm hàm số

Từ th i cổ đại, chưa có khái niệm hàm số Hàm số xuất hiện dưới dạng ẩn tàng thông qua bảng số Sự phụ thuộc, biến thiên, tương ứng giữa các biến được ngầm ẩn Trong th i trung đại, con ngư i bắt đầu quan tâm nghiên cứu đến sự biến thiên Khái niệm hàm số vẫn chưa được biết đến, nhưng th i này đã xuất hiện các bảng số, hình hình học Đến thế kỉ 18, hàm số được đồng nhất với mộ biểu thức giải tích Sự phụ

thuộc, biến thiên đã có những nghiên cứu khá tư ng minh Tuy nhiên lúc này tương ứng vẫn chưa được đề cập đến Nó chỉ được nghiên cứu tư ng minh qua thế kỉ 19

Như vậy, qua nhiều giai đoạn của lịch sử, các biểu diễn hàm số ngày càng

tư ng minh Trong đó bảng số là cách biễu diễn hàm số đầu tiên, và các bảng số tương ứng này được sử dụng khá nhiều trong chương trình môn Toán cấp Tiểu học Cách biểu diễn hàm số thông qua bảng số tiểu học cũng thể hiện rõ nét 3 đặc trưng có bản của hàm số là: Phụ thuộc, biến thiên và tương ứng

Hàm số thư ng được biểu đạt dưới dạng đại số (đó là công thức giải tích), hình học (dưới dạng đồ thị, biểu đồ) và bảng số Ngoài ra hàm số còn được biểu đạt bằng ngôn ngữ l i nói

Do đó, việc dạy học toán tiểu học không chỉ trang bị kiến thức, kĩ năng mà còn từng bước giúp học sinh hiểu rõ các biểu đạt dưới dạng không tư ng minh của hàm số Từ đó phát triển các phẩm chất trí tuệ cho các em

2.2.2 Tư duy hàm

Theo Nguyễn Bá Kim (2004), tư duy hàm là các hoạt động trí tuệ liên quan đến

sự tương ứng giữa các phần tử của một, hai, hay nhiều tập hợp, phản ánh các mối liên

hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa các phần tử của tập hợp đó trong sự vận động của chúng

Tư duy hàm có vai trò quan trọng trong việc giáo dục toán học cho học sinh Phát triển tư duy hàm là tập luyện cho học sinh phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và vận dụng sự tương ứng trong khi và nhằm vào truyền thụ kiến thức và rèn luyện kĩ năng toán học

Hoạt động tư duy hàm là những hoạt động trí tuệ liên quan đến sự diễn đạt sự vật, hiện tượng cùng những quy luật của chúng trong trạng thái biến đổi sinh động của chúng chứ không phải trạng thái tĩnh tại, trong sự phụ thuộc lẫn nhau chứ không phải cô lập, tách r i nhau Do đó, chúng ta có thể định nghĩa tư duy hàm dưới dạng mô

tả bản chất: “Tư duy hàm là các hoạt động trí tuệ liên quan đến sự tương ứng giữa các phần tử của một, hai, hay nhiều tập hợp, phản ánh các mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa các phần tử của tập hợp đó trong sự vận động của chúng”

Ngoài ra, tư duy hàm cũng có thể định nghĩa theo một cách “Tư duy hàm là quá trình nhận thức liên quan đến sự tương ứng, những mối liên hệ phụ thuộc giữa các phần tử của một hay nhiều tập hợp trong sự vận động của chúng”

Như vậy, đặc trưng cho tư duy hàm có thể liệt kê qua các hoạt động sau đây:

- Phát hiện hoặc thiết lập những sự tương ứng;

- Nghiên cứu những sự tương ứng;

- Vận dụng những sự tương ứng

Theo Giáo sư Nguyễn Bá Kim, để phát triển tư duy hàm trong dạy học bộ môn Toán, ông nêu lên bốn tư tư ng chủ đạo:

Thứ nhất: tập luyện cho học sinh phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và vận dụng những sự tương ứng trong khi nhằm vào truyền thụ tri thức và rèn luyện kĩ năng toán học

Thứ hai: thực hiện gợi động cơ, đặc biệt là động cơ kết thúc đối với những hoạt động tư duy hàm, sao cho các hoạt động này tr thành những khả năng gợi động cơ nội tại toán học

Thứ ba: hình thành học sinh những biểu tượng tiến tới những tri thức về sự tương ứng đơn trị và tập luyện cho những hoạt động ăn khớp với những tri thức phương pháp về tư duy hàm

Thứ tư: Phân bậc hoạt động về tư duy hàm theo số lượng biến, theo mức độ trực quan của đối tượng theo trình độ độc lập và thành thạo hoạt động của ngư i học

2.2.3 Các hoạt động đặc trưng của tư duy hàm

Tư duy hàm là một phương thức tư duy được biểu thị b i việc tiến hành các hoạt động đặc trưng sau:

2.2.3.1 Hoạt động phát hiện và thiết lập sự tương ứng

Phát hiện sự tương ứng, tức là khả năng nhận ra những mối liên hệ tương ứng tồn tại khách quan Chẳng hạn như sự tương ứng giữa độ dài cạnh và diện tích của một hình vuông; th i gian và quãng đư ng đi được; giữa số hạng và tổng của chúng Hoạt động thiết lập sự tương ứng: là khả năng tạo ra những sự tương ứng theo quy định chủ quan của mình nhằm tạo sự thuận lợi cho mục đích nào đó Chẳng hạn sự tương ứng giữa hai bông hoa với số 2, giữa que đếm với số tự nhiên

2.2.3.2 Hoạt động nghiên cứu những sự tương ứng

Hoạt động này nhằm phát hiện những tính chất của những mối liên hệ nào đó Chẳng hạn, diện tích hình chữ nhật bằng tích độ dài hai cạnh của nó; trong cách hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình chữ nhật có diện tích lớn nhất khi hai cạnh của nó bằng nhau (hay hình chữ nhật tr thành hình vuông)

Hoạt động này bao gồm nhiều phương diện khác nhau nhưng có thể cụ thể hoá thành ba tình huống sau:

Tình huống 1 Xác định giá trị ra khi biết giá trị vào; xác định giá trị vào khi biết giá trị ra; nhận biết quy tắc tổng quát của một mối liên hệ (trong các trư ng hợp

có thể) khi cho biết các cặp phần tử tương ứng của mối liên hệ đó (hay khi cho cặp giá trị vào và giá trị ra); nhận biết tính đơn trị của sự tương ứng

Tình huống 2 Đánh giá sự biến thiên mong muốn của giá trị ra khi thay đổi giá trị vào; thực hiện một sự biến thiên mong muốn đối với giá ra bằng cách thay đổi giá trị vào; dự đoán sự phụ thuộc

Tình huống 3 Phát triển và nghiên cứu những bất biến; những trư ng hợp đặc biệt và những trư ng hợp suy biến

2.2.3.3 Hoạt động vận dụng sự tương ứng

Từ chỗ nghiên cứu, nắm được tính chất của một sự tương ứng có thể vận dụng

sự tương ứng đó vào một hoạt động nào đó Chẳng hạn như vận dụng việc cắt ghép 2 hình tam giác bằng nhau thành hình chữ nhật để phát hiện ra cách tính diện tích hình tam giác; hoặc nh sự tương ứng giữa diện tích hình vuông với độ dài cạnh, chúng ta

có thể vận dụng dùng thước dài để đo

Ba loại hoạt động này gắn bó chặt chẽ với nhau, hoạt động trước là, tiền đề cho hoạt động sau và hoạt động sau là mục đích, cơ s hình thành hoạt động trước

2.2.4 Hoạt động tư duy hàm trong dạy học toán tiểu học

Trong chương trình môn Toán tiểu học, chúng ta thấy có nhiều nội dung có thể

tổ chức các hoạt động tư duy hàm cho học sinh Các nội dung đó tập trung vào Số học, yếu tố hình học và nội dung giải toán

- Hoạt động tư duy hàm trong dạy học nội dung Số học tập trung vào các hoạt động phát hiện, thiết lập những tương ứng đơn trị, xác định giá trị của biểu thức khi thay chữ b i số Qua đó hình thành các biểu tượng về nhiều hơn, bằng, lớn hơn, nhỏ hơn; rèn luyện kĩ năng tính toán, kiểm tra các tính chất phép tính, mối quan hệ giữa các đại lượng trong một công thức

Ví dụ: Viết giá trị của biểu thức vào ô trống: (SGK Toán 4, trang 70)

Nhận xét: Khi th i gian gấp lên bao nhiêu lần thì quãng đư ng đi được cũng gấp lên bấy nhiêu lần” (SGK Toán 5, trang 18)

Ví dụ: Có 100 kg gạo được chia đều vào các bao Bảng dưới đây cho biết số bao gạo có được khi chia hết số gạo đó vào các bao, mỗi bao đựng 5 kg, 10 kg, 20 kg

Số kilogam gạo mỗi bao 5kg 10kg 20kg

Nhận xét: Khi số ki-lô-gam gạo mỗi bao gấp lên bao nhiêu lần thì số bao gạo có được lại giảm đi bấy nhiêu lần” (SGK Toán 5, trang 20)

- Hoạt động tư duy hàm trong dạy học yếu tố hình học chủ yếu là phát hiện, thiết lập những tương ứng đơn trị trong các yếu tố: Điểm, đoạn thẳng, đư ng thẳng, một số hình và diện tích của chúng

- Chẳng hạn, khi dạy khái niệm tam giác, HS sẽ biết được tương ứng từ 3 điểm không thẳng hàng ta luôn vẽ được duy nhất một tam giác

- Hoạt động tư duy hàm trong dạy học giải toán tiểu học thể hiện trong vận dụng thiết lập sự tương ứng, vận dụng sự tương ứng để giải toán Chẳng hạn các bài toán đếm hình tam giác

2.3.ăNĕngăl căt ăduyăhƠm

2.3.1 Khái niệm năng lực tư duy hàm

trên chúng tôi đã làm rõ khái niệm về năng lực, tư duy hàm, các hoạt động tư duy hàm trong dạy học toán tiểu học Năng lực tư duy hàm được hiểu là:

Năng lực tư duy hàm là khả năng xem xét, nhìn nhận các đối tượng toán học trong sự vận động, biến đổi và khả năng phát hiện ra sự tương ứng hay mối liên hệ giữa các đối tượng, sự kiện toán học trong sự vận động, biến đổi đó

2.3.2 Các thành tố của năng lực tư duy hàm

Năng lực tư duy hàm là một thành tố của năng lực tư duy và lập luận toán học Vì vậy, ngoài các thành tố của năng lực tư duy thì năng lực tư duy hàm của học sinh tiểu

học được bộc lộ qua các biểu hiện sau:

- Khả năng xem xét, nhìn nhận, khái quát hóa các đối tượng toán học trong sự vận động, biến đổi

- Phát hiện sự tương ứng hay mối liên hệ giữa các đối tượng, sự kiện toán học trong sự vận động và biến đổi

- Khả năng biểu đạt các nội dung của các đối tượng, sự kiện toán học bằng ngôn ngữ hàm

2.4.ăNĕngăl căkháiăquát hóa từăcácăm uăhìnhăhìnhăh c

2.4.1 Mẫu hình hình học

2.4.1.1 Khái niệm

Mẫu hình hay mẫu hình khoa học, từ cuối thế kỉ 19 có nghĩa là nề nếp dạng thức suy nghĩ trong một khuôn khổ thực nghiệm khoa học hay các ngữ cảnh khác nhau của tri thức Trong mư i năm qua, việc sử dụng các mẫu hình tăng trư ng hình học

trong lớp học toán học đã nhận được sự quan tâm ngày càng nhiều của các nhà nghiên cứu giáo dục Một mẫu hình tăng trư ng hình học có thể được định nghĩa là “một dãy các hình ảnh trong đó các đối tượng trong hình thay đổi từ một vị trí này sang một vị trí tiếp theo, theo một cách có thể dự đoán được (quy luật) và thư ng liên quan đến hai biến” Việc khám phá các mẫu hình này là cầu nối cho sự phát triển của tư duy hàm của học sinh

2.4.1.2 Năng lực khái quát hóa từ các mẫu hình hình học

Trong quan niệm về tư duy hàm, Smith (2008) cho rằng “tư duy tập trung vào mối quan hệ giữa hai (hoặc nhiều) đại lượng khác nhau, cụ thể là các kiểu suy nghĩ dẫn từ các mối quan hệ cụ thể đến khái quát hóa mối quan hệ đó qua các trường hợp” Hoạt động tư duy hàm là những hoạt động trí tuệ liên quan đến sự biểu đạt sự

vật, hiện tượng cùng những quy luật của chúng trong trạng thái biến đổi sinh động chứ không phải trạng thái tĩnh tại, trong sự phụ thuộc lẫn nhau chứ không phải cô lập, tách r i nhau, cụ thể là các con số, hình ảnh được nhìn thấy hoặc được xây dựng trong chuỗi mẫu hình Mối quan hệ hàm là mối quan hệ có thể xác định giữa số giai đoạn và một số khía cạnh của mẫu hình tăng trư ng hình học

Suy luận bằng hình ảnh được xác định là một thành phần quan trọng cho sự

phát triển của tư duy hàm Một hình thức lý luận “dựa vào các mối quan hệ có thể được rút ra trực quan từ một tập hợp các trường hợp nhất định” (Rivera & Becker,

2005, trang 199) Điều này đặc biệt hữu ích với mẫu hình tăng trư ng hình học, vì mối quan hệ hàm có thể được bắt nguồn dựa trên bản chất cụ thể của mẫu hình Do đó, điều quan trọng là phải xem xét việc thúc đẩy suy luận hình học trong ngữ cảnh toán học này Khám phá một mẫu hình có thể tạo ra trong lớp học sự tập trung vào suy luận dựa trên hình ảnh như là một con đư ng để suy nghĩ về hàm

Một hàm được định nghĩa là một quy tắc gán cho một phần tử của một miền xác định một phần tử duy nhất trong miền tương ứng Hiệp hội giáo viên quốc gia của

Mỹ (2000) mô tả các yếu tố như mô hình, quan hệ và hàm cần phải học như thế nào Đặc biệt học sinh sẽ có thể biểu diễn, phân tích và tổng hợp một loạt mẫu hình với các bảng, biểu đồ, từ ngữ, các quy tắc biểu tượng, liên kết và so sánh các hình thức biểu diễn khác nhau cho một mối quan hệ, xác định hàm và đối chiếu các thuộc tính của chúng từ các bảng biểu

Công việc tạo ra các mẫu hình hình học cung cấp cơ hội cho học sinh phân tích các mô hình cụ thể của các mẫu hình, tổng hợp từ các mô hình này, biểu diễn các mối quan hệ, khám phá các kiểu mối quan hệ hàm khác nhau

Các mẫu hình gia tăng hình học, mẫu hình có thể phát triển theo một số lượng

cố định các phần trong mỗi giai đoạn hoặc b i một số lượng ngày càng tăng của mỗi

giai đoạn Khái quát hóa là một năng lực đặc thù của tư duy, đóng vai trò quan trọng trong sự phát triển trí tuệ Khái quát hóa các mẫu hình có thể xem như là sản phẩm của

tư duy và ngôn ngữ Quá trình khái quát hóa các mẫu hình là con đư ng kết gắn xây

dựng tư duy hàm bền vững

2.4.1.3 Mẫu hình tuyến tính và mẫu hình phi tuyến

Phân biệt giữa mẫu hình tuyến tính và mẫu hình phi tuyến được hiểu theo nghĩa thông thư ng như sau (Jurdak & Mouhayar, 2013): Một mẫu hình là tuyến tính nếu sự khác biệt giữa hai bước liên tiếp trong mẫu hình là hằng số Nói cách khác, mẫu hình là tuyến tính nếu công thức khái quát mô tả tính chất bước thứ n bất kì có dạng f(n)  an  b Một mẫu hình là phi tuyến tính nếu sự khác biệt giữa hai bước

liên tiếp trong mẫu hình không là hằng số

Sau đây là một số ví dụ về mẫu hình tuyến tính và phi tuyến

Ví dụ 1: Xét mẫu hình 2.1 sau

Hình 2.1 Mẫu hình tuyến tính

Xuất phát từ hình 1 n=1 ta thấy rằng mỗi hình phía sau đều hơn hình trước là một hình vuông, ta có thể dự đoán số các hình vuông cho hình tiếp theo với công thức tổng quát là n  1 (với n là số thứ tự của hình) Đây là một mẫu hình tuyến tính

Ví dụ 2: Xét mẫu hình 2.2 sau

Hình 2.2 Mẫu hình phi tuyến

Ta thấy hình 1 (n = 1)có 1 hình vuông, hình 2 (n = 2) có 4 hình vuông, hình 3 (n = 3) có 9 hình vuông, vậy ta có thể dự đoán số các hình vuông cho hình tiếp theo với công thức tổng quát là n x n (với n là số thứ tự của hình) Đây là một mẫu hình phi tuyến

Trên đây là hai ví dụ đơn giản cho ta thấy về mẫu hình tuyến tính và mẫu hình phi tuyến, nhưng không phải bất kì mẫu hình nào ta cũng có thể tìm được công thức tổng quát dễ dàng như vậy Vấn đề đặt ra đây là làm như thế nào để học sinh tiểu học

có thể khái quát được công thức tổng quát cho các mẫu hình hình học

2.4.1.4 Các chiến lược khái quát hóa mẫu hình

Các mô hình phát triển hình học có đặc điểm làm cho chúng tr nên độc đáo và

lý tư ng cho việc khám phá mẫu cầu nối với sự phát triển của tư duy hàm E Smith

(2008) định nghĩa tư duy hàm là “tư duy đại diện tập trung vào mối quan hệ giữa hai (hoặc nhiều) số lượng khác nhau, cụ thể các loại suy nghĩ dẫn từ các mối quan hệ cụ thể (cá nhân) đến khái quát hóa mối quan hệ đó qua các trường hợp”.Trư ng hợp cụ thể là các con số như chúng được nhìn thấy hoặc được xây dựng trong chuỗi mẫu Mối quan hệ hàm là mối quan hệ có thể được xác định giữa số giai đoạn và một số khía cạnh của mô hình phát triển hình học

Lý luận bằng hình ảnh được xác định như là một thành phần quan trọng cho sự

phát triển của tư duy hàm Một hình thức lý luận “dựa vào các mối quan hệ có thể được rút ra trực quan từ một tập hợp các trường hợp nhất định” (Rivera và Becker, 2005) Điều này đặc biệt hữu ích với mô hình hình học phát triển, vì một mối quan hệ hàm có thể được bắt nguồn dựa trên bản chất cụ thể của mô hình Do đó, điều quan trọng là phải xem xét việc thúc đẩy lý luận hình học trong ngữ cảnh toán học

Ví dụ: khám phá một mô hình L trong một lớp học, tập trung vào lập luận hình học là một con đư ng để suy nghĩ về hàm Đầu tiên hiển thị một mô hình phát triển hình học, mô hình L trên bảng thông minh gồm (3 giai đoạn) Học sinh có thể đi thẳng vào mối quan hệ bằng số hơn là sử dụng các mẫu hình chính để giúp các em tổng hợp các mối quan hệ hàm Giáo viên cố gắng tập trung sự chú ý của học sinh về cấu trúc

của mô hình qua từng giai đoạn và đặt câu hỏi: “Em nhận thấy gì về mô hình này?’’

Học sinh có thể sẽ phát hiện: “Nó sẽ tăng lên hai”, và giáo viên hỏi học sinh các giải thích (Chỉ ra rằng mẫu tăng hai hình vuông từ giai đoạn này sang giai đoạn khác bằng cách thêm một hình hình vuông bên phải và bên trên)

Cố gắng tổng hợp tư duy của học sinh, và dựa trên mẫu để trình bày các cách giải thích Tiếp theo, yêu cầu học sinh sử dụng cách họ có thể mô tả để mô

tả các giai đoạn khác của mẫu, chẳng hạn như: giai đoạn 8, 10, 20 Mô hình hình học phát triển và thảo luận trong lớp học sẽ giúp cho việc khám phá ban đầu của học sinh vào suy nghĩ hàm Mô hình L tăng lên b i một số ô cố định trong mỗi giai đoạn Đây được gọi là sự khác biệt không đổi và tạo ra một hàm cho số ô vuông trong bất kỳ giai đoạn nào của mô hình Hàm, trong dạng đơn giản, rõ

đại diện cho số giai đoạn Đây không phải là cách duy nhất mà mối quan hệ hàm này có thể được đại diện chính xác

Việc tạo ra mẫu hình học cung cấp cơ hội cho học sinh phân tích các mô hình cụ thể của các mẫu, tổng hợp từ các mô hình này điều tra các đại diện của các mối quan hệ, và khám phá các loại mối quan hệ hàm khác nhau Mô hình phát triển hình học cung cấp bối cảnh cho học sinh hiểu được ý nghĩa của các biến và cách chúng có thể được sử dụng Với các mô hình phát triển, nó có thể được phát triển theo một số lượng cố định các phần trong mỗi giai đoạn, hoặc

b i một số lượng ngày càng tăng của mỗi giai đoạn Có rất nhiều cách để nhìn thấy mô hình này phát triển như thế nào, và mỗi trong số này có thể dẫn đến một

sự thể hiện khác nhau, nhưng tương đương về mối quan hệ hàm

Ví dụ: Từ mô hình L, liên quan đến suy nghĩ quy nạp: “mô hình đang tăng lên hai ô vuông từ giai đoạn này sang giai đoạn khác bằng cách thêm một hình vuông bên phải và bên trên”

Giai đoạn 1 (n=1) Giai đoạn 2 (n=2) Giai đoạn 3 (n=3)

Hình 2.4 Mô hình L theo suy nghĩ quy nạp

Các cách nhìn khác của mô hình L có thể dẫn đến các biểu hiện của các công thức rõ ràng thể hiện khả năng tư duy tiên tiến hơn Một công thức rõ ràng

là một quy tắc mà mỗi giai đoạn mối quan hệ biến thiên giữa biến độc lập và biến phụ thuộc

Giai đoạn 1 (n=1) Giai đoạn 2 (n=2) Giai đoạn 3 (n=3)

Hình 2.5 Mô hình L thể hiện mối quan hệ biến thiên

Cách nhìn cột dọc của hình vuông nhiều hơn số giai đoạn 1, hai hàng hình vuông cho mỗi bên bằng với số giai đoạn Điều này tạo ra công thức

1

t  n n Hoặc cách nhìn ra một hàng n1 ô vuông với một cột của n hình

Quy tắc tương ứng rõ ràng thư ng được xem là hữu ích và dễ áp dụng hơn các quy tắc đồng biến thiên (Lannin, Barker, & Townsend, 2006) Quy tắc đồng biến thiên rất dễ phân biệt nhưng khi học sinh cần khái quát xa (Ví dụ: số ô vuông trong giai đoạn 20), sử dụng quy tắc đồng biến thiên tr nên khó khăn Quy tắc tương ứng rõ ràng có hiệu quả hơn cho các nhiệm vụ tổng quát hóa vì nó dễ dàng hơn để tính toán Tuy nhiên, các quy tắc tương ứng rõ ràng có thể khó tạo ra hơn Một số nhà giáo dục toán học cho rằng sự hiểu biết và thành thạo với các quy tắc hàm rõ ràng là cần thiết cho năng lực trong đại số (Bezuszka & Kenney, 2008; Lannin, , 2006) Vì đa số những ngư i tiếp cận mô hình phát triển hình học sử dụng tư duy đồng biến thiên, điều quan trọng là giúp họ xem cách thức đồng biến thiên nhìn thấy có thể chuyển thành mối quan hệ tương ứng rõ ràng Garcia-Cruz và Martinon (1998) phân biệt giữa hai cách tiếp cận quy nạp khác nhau: đếm tất cả và đếm trên Chiến lược đếm trên là cách tiếp cận đồng biến thiên được minh họa hình trên Chiến lược đếm tất cả là một cách hơi khác để nhìn thấy mô hình phát triển hình học và tự nó cho một quy tắc tương ứng

rõ ràng cho các mối quan hệ hàm Sử dụng chiến lược đếm tất cả các cách tiếp cận, học sinh nhận ra rằng giai đoạn 1 của mẫu được lồng nhau trong mỗi giai đoạn kế tiếp

và sự khác biệt không đổi được thêm vào những giai đoạn sau đó

Ví dụ: Với mẫu L, giai đoạn 3 được nhận ra là bao gồm giai đoạn 1 và một nhóm hai ô vuông được thêm vào, tức là: Giai đoạn 3 = Giai đoạn 1 + 2 + 2 Vì số lần thêm vào giai đoạn 1 luôn luôn nhỏ hơn số giai đoạn mục tiêu, theo quy tắc tương ứng

rõ ràng có thể biểu diễn t 3 1(n1), trong đó 3 đại diện cho số ô vuông giai đoạn đầu tiên

Thông qua thảo luận về mô hình phát triển hình học và hàm, cần phải sử dụng các biến để truyền đạt mối quan hệ hàm Anh và Warren (1999) cho rằng “Các biến số

là công cụ cơ bản để diễn đạt khái quát hóa” Khi thực hiện các nhiệm vụ mô hình này, các biến như các phần chưa biết và các tham số cũng có thể áp dụng

Ví dụ: Khi xem xét mẫu L, các biến bằng các số khác nhau sẽ được sử dụng khi học sinh tạo ra một mối quan hệ hàm, t 2n 1, trong đó t là tổng số ô vuông và n là

số giai đoạn Vì số giai đoạn (n) thay đổi, do đó, tổng số ô vuông (t) cũng thay đổi

Học sinh có thể mô tả cách mô hình tiến triển cả bằng l i nói, số và cả bằng kí hiệu các bậc học cao hơn, ngư i học sau đó có thể chứng minh kết quả thu nhận được Tầm quan trọng của các biến cho quá trình tổng quát hóa được diễn đạt Quá trình tổng quát được thảo luận tiếp theo Thông qua tổng quát, đặc điểm chung của các đối tượng được công nhận để các đối tượng có sự phân biệt khác biệt có thể được phân loại cùng nhau Các mô hình phát triển hình học là các mô hình cụ thể của các mối quan hệ hàm, qua đó học sinh có thể xác định được tính phổ biến của các chi tiết mỗi

hình trong mô hình bằng cách hỏi những thay đổi và những gì vẫn giữ nguyên, được

m rộng và tổng quát, các biến số có thể được sử dụng để mô tả mối quan hệ hàm tổng quát

Tiềm năng giảng dạy cho các mô hình phát triển hình học để hỗ trợ sự phát triển của tư duy hàm khá mạnh Học sinh có thể phát triển tư duy hàm bằng cách trực tiếp quan sát các biến số, thay đổi và khái quát từ một mô tả bằng l i nói hoặc bằng cách viết mối quan hệ hàm với một biểu tượng đại diện Thông qua các mô hình phát triển hình học, sự hiểu biết của học sinh về các hàm và các biến có thể được xây dựng

và khả năng tổng quát của chúng có thể được thúc đẩy

Stacey (1989) sử dụng hai mô hình và một số tuyến tính (dạng

f n  ax b b ) để quan sát các phương pháp tiếp cận giải quyết vấn đề của học sinh và các phương pháp tổng quát hóa Các học sinh được yêu cầu giải quyết các khái quát hóa gần và xa cho từng mô hình Bốn phương pháp để giải quyết các nhiệm vụ này đã được xác định:

 Đ m: Học sinh đã sử dụng phương pháp đếm đã sử dụng bản vẽ hoặc biểu diễn

cụ thể để tính Phương pháp này cũng bao gồm việc học sinh nhận ra một mối quan hệ quy nạp và sử dụng máy tính để thêm sự khác biệt không đổi số lần cần thiết

 S ăkhácăbi t: Học sinh nhận ra sự khác biệt không đổi giữa mỗi giai đoạn của

mô hình phát triển Sự khác biệt này liên tục được nhân với số giai đoạn để có được một kết quả

 ToƠnăb ăđốiăt ng: Phương pháp này cũng đưa ra câu trả l i không chính xác

Phương pháp toàn bộ đối tượng sử dụng lý luận tỷ lệ; một câu trả l i từ một giai đoạn trước đã được sử dụng để tạo ra câu trả l i cho giai đoạn sau

 Phépăbi năđ iătuy nătính: Phương pháp này đã tính đến việc kết hợp các tính

toán (nghĩa là nhân và cộng thêm) được yêu cầu cho các mẫu được sử dụng trong nghiên cứu này Học sinh phát triển một mối quan hệ rõ ràng mà sử dụng cả cách nhân

và cộng thêm

Nghiên cứu của Orton (1999) thừa nhận ba phương pháp tiếp cận mà học sinh

có thể sử dụng với mô hình phát triển hình học Phương pháp đầu tiên là đ măcác mục

trong mỗi giai đoạn của một mẫu (ví dụ: số ô vuông trong mỗi giai đoạn của mô hình)

và chuyển đổi mô hình hình học thành mô hình số (ví dụ: 4, 8, 10, cho cùng một khuôn mẫu) Phương pháp thứ hai là quyăn p, học sinh tạo ra các giai đoạn kế tiếp

bằng một mô hình bằng cách xây dựng trên một giai đoạn trước đó Phương pháp thứ

ba dựa trên việc ki mătraămôăhìnhăphátătri năhìnhăh c

Garcia-Cruz và Martinon (1997) cũng chú ý đến lập luận của học sinh với các