Bài giảng Nhập môn Tin học - Chương 5: Đại số Boole

Bài giảng Nhập môn Tin học - Chương 5 trình bày về đại số Boole. Nội dung chính trong chương này gồm có: Đại số boole là gì? Khái niệm cơ bản về đại số Boole, độ ưu tiên của các toán tử, các tiên đề của đại số Boole, nguyên lý đối ngẫu,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chương 5: Đại số Boole

Là phép toán đại số liên quan đến hệ thống số nhị phân

Do nhà toán học người Anh đưa ra năm 1815-1864 nhằm

Đơn giản hóa việc trình bày

Thao tác với logic mệnh đề

1938 Claude đề xuất sử dụng đại số Boole trong thiết kế mạch

Cung cấp cách tiếp cận tiết kiệm và đơn giản

Được sử dụng rộng rãi trong thiết kế mạch điện tử trong máy tính

Đại số boole là gì?

Các phép toán trong đại số Boole thực hiện trên các biến

Khái niệm cơ bản về Đại số Boole

Độ ưu tiên của các toán tử

Toán tử có độ ưu tiên cao nhất được định trị đầu tiên

Biểu thức được tính từ trái sang phải

Độ ưu tiên của các toán tử

Các tiên đề của đại số Boole

Tiên đề 1:

A = 0 khi và chỉ khi A không

bằng 1

A = 1 khi và chỉ khi A không

Các tiên đề của đại số Boole

Tiên đề 4:

Tính kết hợp

x + (y + z) = (x + y) + z

x (y z) = (x y) z Tiên đề 5:

Tính phân

phối

x (y +z) = x y + x z

x + y z = (x + y) (x + z) Tiên đề 6:

Tính phân

phối

x (y +z) = x y + x z

x + y z = (x + y) (x + z) Tiên đề 6:

Tính bù

Nguyên lý đối ngẫu

Có sự đối ngẫu giữa toán tử AND, OR và bit 0, 1

Các định lý của đại số Boole

• X + 1 = 1

• X 0 = 0

Định lí 3 (Luật hấp

thu)

• X + X Y = X

• X (X + Y) = X

Các định lý của đại số Boole

Hàm Boole

Một hàm Boole là một biểu thức được thực hiện với:

Các biến nhị phân

Các toán tử AND, OR, NOT

Các dấu ngoặc và đấu =

Giá trị của hàm Boole có thể là 0 hoặc 1

Một hàm Boole có thể được biểu diễn dạng:

 Một biểu thức đại số

 Một bảng chân trị

Hàm Boole

Hàm Boole biểu diễn dưới dạng biểu thức đại số:

Với: X, Y và Z được gọi là các biến của hàm

Ho cặ

Sự dư thừa

 Khái niệm:

Literal: là các biến trong hàm Boole

Term của n biến là sự kết hợp của các biến mà mỗi biến chỉ xuất hiện một lần duy nhất

Ví dụ: term của 3 biến A, B, C là A.B.C

Một biểu thức là dư thừa nếu nó có chứa

Literal lặp: XX hay X+X

Biến và bù của biến: XX’ hay X+X’

Hằng: 0 hay 1

Tối thiểu hóa hàm Boole

Tối thiểu hàm Boolean:

Tối thiểu hóa hàm Boole

Ví dụ: tối thiểu hóa hàm sau:

Phần bù của hàm Boole

Phần bù của hàm F là có được bằng cách:

Chuyển toán tử AND thành OR

Lấy phần bù của các biến

Áp dụng định lí De Morgan

 

Phần bù của hàm Boole

Ví dụ: tính phần bù của hàm sau:

Bước 1: Chuyển toán tử AND thành OR và ngược lại

Bước 2: tính phần bù của các biến

Dạng chính tắc của hàm Boole

Một hàm n biến luôn được biểu diễn dưới 2 dạng:

Dạng tổng các tích (sum-of-product SOP): biểu thức

được biểu diễn dưới dạng tổng (sum) các toán hạng (term), mỗi toán hạng là tích (product) của các literal

Dạng tích các tổng (product-of-sum POS): biểu thức

được biểu diễn dưới dạng tích các toán hạng, mỗi toán hạng là tổng của các literal

Dạng chính tắc : biểu thức n biến dạng SOP hay POS ở dạng chính tắc nếu mỗi toán hạng của nó có đủ n literal và không chứa các literal thừa.

Một biểu thức SOP hoặc POS không chính tắc luôn được chuyển thành dạng chính tắc

Vd:

E = xy’ + x’y + xz + yz

= xy’(z + z’) + x’y(z + z’) + xz(y + y’) + yz(x + x’)

= xy’z + xy’z’ + x’yz + x’yz’ + xyz + xy’z + xyz + x’yz

= xy’z + xy’z’ + x’yz + x’yz’ + xyz

Dạng chính tắc của hàm Boole

Minterm : Thực hiện phép toán AND giữa các literal tạo

thành một Term

Maxterm : Thực hiện phép toán OR giữa các literal tạo

thành một Term

Dạng chính tắc của hàm Boole

Biểu diễn hàm Boole dưới dạng SOP

Các bước để biểu diễn hàm Boole dưới dạng SOP

Bước 1: Xây dựng bảng chân trị của hàm Boole

Bước 2: Xây dựng một minterm cho mỗi sự kết hợp của

các biến mà làm cho hàm có giá trị là 1

Bước 3: Biểu thức kết quả là tổng (OR) các minterm thu

được ở bước 2

Biểu diễn hàm Boole dưới dạng SOP

Các minterm tương ứng là:

Thực hiện phép OR với tất cả các minterm này ta được

biểu thức SOP của hàm F1

Ví dụ : Biểu diễn hàm Boole F= A + C dưới dạng tổng

của các tích

 

Biểu diễn hàm Boole dưới dạng POS

Các bước để biểu diễn hàm Boole dưới dạng tích của các tổng (POS):

1 Xây dựng bảng chân trị của hàm Boole

2 Xây dựng một maxterm cho mỗi sự kết hợp của các biến mà làm cho hàm có giá trị là 0

3 Biểu thức kết quả là AND tất cả các maxterm thu được từ bước 2

Biểu diễn hàm Boole dưới dạng POS

Biểu diễn hàm Boole dưới dạng POS

Các maxterm tương ứng là

Thực hiện phép AND tất cả các maxterm ta được biểu

thức POS củs hàm F1

Chuyển đổi giữa các dạng chính tắc

Để chuyển đổi từ một dạng chính tắc này sang một dạng chính tắc khác:

Đổi các kí hiệu

Liệt kê danh sách các tham số không có mặt từ hàm ban đầu

Chuyển đổi giữa các dạng chính tắc

Tính biểu thức hàm Bool F = x y + z dưới dạng SOP và chuyển sang dạng POS

 

Bài tập