Trong chương này trước tiên chúng tôi trình bày chứng minh định lý thác triển hội tụ của Noguchi bằng ngôn ngữ họ chuẩn tắc đều. Tiếp theo là một số kết quả gần đây của Đỗ Đức Thái về[r]
Kiến thức chuẩn bị
Không gian phức hyperbolic
1.1.1 Định nghĩa Không gian phức X được gọi là không gian hyperbolic
(theo nghĩa Kobayashi) nếu giả khoảng cách Kobayashi d X là khoảng cách trên X, tức là
1.1.2 Một số tính chất của không gian phức hyperbolic
1.1.2.1 Nếu X, Y là các không gian phức, thì X Y là không gian hyperbolic nếu và chỉ nếu cả X và Y đều là không gian hyperbolic
Chứng minh Vì phép chiếu :X Y X là ánh xạ chỉnh hình nên là giảm khoảng cách đối với các giả khoảng cách Kobayashi trên X Y và trên
Lý luận tương tự với phép chiếu :X Y Y ta có
Như vậy ta suy ra điều phải chứng minh ,
1.1.2.2 Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y Nếu Y là hyperbolic thì X cũng là hyperbolic Hay nói cách khác, không gian con của một không gian hyperbolic là hyperbolic
Vì phép nhúng chính tắc i X: Y là ánh xạ chỉnh hình, nên theo tính chất giảm khoảng cách của giả khoảng cách Kobayashi, ta có thể dễ dàng chứng minh điều cần thiết.
+ Đĩa r và đa đĩa m r là hyperbolic
+ Một miền bị chặn trong m là hyperbolic, vì nó là tập con mở của tích các đa đĩa
1.1.3 Định nghĩa Giả sử X là không gian phức với hàm khoảng cách d Một cặp (X d, ) được gọi là tight nếu họ Hol(M X, ) là đồng liên tục đối với d, và với mọi đa tạp phức M
1.1.4 Định lý Giả sử X là không gian phức và H là hàm độ dài trên X Khi đó X là hyperbolic nếu và chỉ nếu với mỗi p X , có các lân cận
U của p và hằng số C 0 sao cho F X ( ) x CH( ) x với mọi x T X x với x U
( ) Giả sử D là một đa đĩa quanh điểm p Vì X là hyperbolic, ( ,X d X ) là tight (xem [2]) và do đó họ Hol( ,X) là họ đồng đều Từ đó có đĩa quanh
0 và một lân cận U của p sao cho nếu (0) x U thì ( ) D Nếu ánh xạ R vào X với (0) x U , thì ( R ) D Vì vậy với x U , ta có
Ta có thể giả sử U là tập con compact của D Khi đó với x U, x T X x , ta có F X ( ) x F D ( ) x CH( ) x với hằng số dương C nào đó
( ) Gọi d CH là khoảng cách trên X sinh bởi CH
Theo giả thiết, f CH * ( ) ds 2 với mọi f Hol( ,X), trong đó ds 2 là metric Bergman-Poincaré trên
CH X d x y d x y với x y, X. Điều này kéo theo X là hyperbolic ,
1.1.5 k -metric Kobayashi trong không gian phức
Giả sử X là không gian phức, điểm x X và vectơ k-mật tiếp J k ( )X x
K X x r tồn tại ánh xạ chỉnh hình f : X thỏa mãn f(0) x và j k ( )f x r }
Hàm K X k :J X k ( ) [0, ) được xác định như trên được gọi là k-metric
Kobayashi trong không gian phức X Đối với k-metric Kobayashi ta có các kết quả sau ([16]):
(M3) Nếu F J X: k ( ) [0, ) là hàm tùy ý thỏa mãn
F f f K với mọi f Hol( ,X) và mọi J k ( ) 0 , thì ( , )F x K X k ( , ), x x X, J X k ( ) x (M4) Cho trước hai không gian phức X và Y, ánh xạ chỉnh hình
Giả sử :[ , ]a b X, [ , ]a b , là đường cong giải tích thực Với mỗi [ , ] t a b tồn tại một và chỉ một mầm hàm chỉnh hình t Hol( , X) sao cho
(0) ( ) t t và (t s) t ( )s với 0 đủ nhỏ, và mỗi s ( , ) Từ đó, với mỗi k ,
Tất cả các định nghĩa trên đều mở rộng được với các đường cong liên tục, giải tích thực từng khúc
Nếu :[ , ]a b X là đường cong giải tích thực từng khúc trong không gian phức X thì {L k X ( )} k 1 là dãy tăng và bị chặn các số thực không âm
X p q K X t j k t dt p q với mỗi p q, X, trong đó p q , ký hiệu tập tất cả các đường cong liên tục giải tích thực từng khúc nối p với q
Giả sử X là không gian phức và {J X k ( )} k 1 là họ các phân thớ các jet trên
X Khi đó có các ánh xạ J k 1 ( )X J k ( )X mà các thớ là các không gian afin tuyến tính
J X J X J X X sao cho (0) x j, ( ) k x k với mọi k 1} Định nghĩa giả metric vi phân K X : ( )J X [0, ) xác định bởi
Không gian phức nhúng hyperbolic
1.2.1 Định nghĩa Giả sử X là tập con compact của một không gian metric, và Y là một không gian metric đầy C X Y( , ) là tập các ánh xạ liên tục từ X vào Y với chuẩn sup Họ F C X Y( , ) được gọi là đồng liên tục tại một điểm x 0 X nếu với mỗi 0, tồn tại 0 sao cho với mọi x X d x x, ( , 0 ) , thì
Họ F được gọi là đồng liên tục trên X nếu F là đồng liên tục tại mọi điểm x X
1.2.2 Định lý (Định lý Ascoli đối với họ đồng liên tục)
Giả sử X là tập con compact của một không gian metric, và Y là một không gian metric đầy Tập con F của các ánh xạ liên tục C(X, Y) là compact tương đối trong C(X, Y) nếu và chỉ nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn: thứ nhất, F là họ đồng liên tục trên X; thứ hai, với mỗi x thuộc X, tập hợp F_x = {f(x) | f thuộc F} là compact tương đối trong Y.
1.2.3 Định nghĩa Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y X được gọi là nhúng hyperbolic trong Y nếu với mọi ,x y X x, y luôn tồn tại các lân cận mở U của x và V của y trong Y sao cho
1.2.4 Định lý Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y Khi đó các điều kiện sau là tương đương
HI1 X là nhúng hyperbolic trong Y
HI2 X là hyperbolic và nếu { },{ }x n y n là các dãy trong X thỏa mãn x n x X , y n y X , d X ( ,x y n n ) 0 thì x y
HI3 Giả sử { },{ }x n y n là các dãy trong X thỏa mãn x n x X , y n y X Khi đó, nếu d X ( ,x y n n ) 0 khi n thì x y
HI4 Cho hàm độ dài H trên Y, tồn tại hàm liên tục, dương trên Y sao cho với mọi f Hol( ,X) ta có
*( ) , f H H trong đó H là chuẩn hyperbolic trên đĩa đơn vị
HI5 Tồn tại hàm độ dài H trên Y sao cho với mọi f Hol( ,X) ta có
HI1 HI2 Với mọi x y, X x, y, từ HI1 ta suy ra
Với x y, X, nếu x y thì theo HI1 ta suy ra mâu thuẫn với giả thiết
X n n d x y , n Vậy HI2 được chứng minh
HI2 HI3 Giả sử HI2 được thỏa mãn Nếu x y, X , do tính liên tục của giả khoảng cách Kobayashi d X ta có d X ( , )x y 0 Mà X là hyperbolic nên suy ra x y
Nếu x X y, X Vì y X nên tồn tại d X -cầu B( , )x s mà y B( , ).x s
Do y n y nên y n B( , )x s với n đủ lớn Mặt khác, d X ( , )x x n 0 suy ra
B( , / 2) x n x s Điều này mâu thuẫn với giả thiết d X ( ,x y n n ) 0 Vậy trường hợp này không xảy ra Do đó HI3 được chứng minh
HI3 HI4 Giả sử K là tập con compact của Y Trước hết ta chứng minh tồn tại hằng số C 0 sao cho với mỗi f Hol( ,X) ta có
*( ) f CH H tại mỗi điểm của f 1 ( ).K
Giả sử ngược lại, tồn tại dãy {f_n} thuộc Hol( ,X) và tồn tại z_n f_n(1)K sao cho df(z_n) = n Do tính chất thuần nhất đối với nhóm Aut( ), ta có thể giả thiết z_n = 0.
Do K compact, ta có thể giả sử
Lấy U là lân cận mở của y trong Y, có thể đồng nhất U với một không gian con đóng của m r Khi đó, với mỗi k , có z k và n k sao cho
1 z k k và ( ) n k k f z U (*) Thật vậy, giả sử ngược lại, tồn tại r 1 sao cho f n ( r ) U với mọi
Theo định lý Ascoli, với hàm f n (0) y, tồn tại một dãy con của { f n } hội tụ đều trên mỗi tập con compact của r Điều này tạo ra mâu thuẫn với n (0) df Do đó, ta có thể khẳng định rằng (*) đã được chứng minh.
Ta có thể lấy z k sao cho x k nằm trong một tập con compact chứa U Từ đó, bằng cách lấy dãy con nếu cần ta có thể giả thiết x k x x, y Khi đó
X( , k k ) (0, k ) 0 khi d x y d z k Điều này mâu thuẫn với HI3
Bây giờ giả sử K 1 K 2 là dãy các tập con compact của Y thỏa mãn
và K i U i , trong đó U i mở và U i U i 1 Theo chứng minh trên, với mỗi K i , tồn tại hằng số C i 0 thỏa mãn
Do đó, có hàm liên tục, dương trên Y thỏa mãn C i trên K i
Vậy, f * ( H) H với mọi hàm độ dài H trên Y
HI4 HI5 Hiển nhiên khi ta lấy hàm độ dài chính là H
HI5 HI1 Giả sử ,x y X và x y Lấy
U x s V y s là các hình cầu bán kính s ứng với khoảng cách sinh bởi hàm độ dài H
Do H là hàm độ dài và x y, nên ta có thể lấy s 0 đủ nhỏ sao cho
Thật vậy, từ HI5 suy ra d H có tính chất giảm khoảng cách với mọi
( , ) f Hol X , theo tính chất lớn nhất của giả khoảng cách Kobayashi ta có
X H d d Từ đó suy ra X là nhúng hyperbolic trong Y
Vậy định lý được chứng minh hoàn toàn ,
1.2.5 Nhận xét i) Không gian phức X là hyperbolic khi và chỉ khi X là nhúng hyperbolic trong chính nó ii) Nếu các không gian con phức X 1 là nhúng hyperbolic trong Y 1 và X 2 là nhúng hyperbolic trong Y 2 thì X 1 X 2 là nhúng hyperbolic trong Y 1 Y 2 iii) Nếu có hàm khoảng cách trên X thỏa mãn
( , ) ( , ) , d X p q p q p q X thì X là nhúng hyperbolic trong Y.
Một số định lý thác triển ánh xạ chỉnh hình
1.3.1 Định lý Giả sử X là không gian con phức compact tương đối trong không gian phức Y Khi đó, nếu X là nhúng hyperbolic trong Y thì mọi ánh xạ chỉnh hình f : * X đều thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình
F Y Để chứng minh định lý, trước hết ta xét các điều kiện sau, với f : * X là ánh xạ chỉnh hình,
KW1 X là nhúng hyperbolic trong Y, và tồn tại một dãy { }z k trong Δ* thỏa mãn z k 0 và { ( )}f z k hội tụ tới một điểm y X
Chú ý Điều kiện về sự tồn tại của dãy { }z k ở trên luôn thỏa mãn nếu X là compact tương đối trong Y
KW2 X là nhúng hyperbolic trong Y, và tồn tại một dãy các số dương
( ( )) k f S r y X , trong đó S r( ) k S(0, )r k là đường tròn bán kính r k
KW3 Ánh xạ chỉnh hình f : * X thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình :
Khi đó, định lý 1.3.1 là trường hợp riêng của định lý sau
Đặt r k z k và lấy U là một lân cận hyperbolic, compact tương đối của y Lân cận U luôn có thể được xác định vì Y là một không gian con đóng của một đa đĩa trong N Để chứng minh KW2, chỉ cần chứng minh điều này.
Giả sử với k lớn tùy ý, tồn tại điểm z k S r( ) k sao cho f(z k) thuộc U Nhờ tính liên tục của khoảng cách d Y xác định tô pô trên Y, ta có thể giả định f(z k) thuộc U Vì U là tập compact, ta có thể giả sử rằng f(z k) hội tụ tới một điểm y thuộc X Khi đó, y thuộc U vì f(z k) nằm trong U.
Mà X nhúng hyperbolic trong Y, theo định lý 1.2.4 HI3, ta nhận được y y Điều này mâu thuẫn với trên
Giả sử U là một lân cận của y, được đồng nhất với một không gian con của một đa đĩa trong N Để đảm bảo tính chất của lân cận, bao đóng U trong Y cần phải là compact và nằm trong đa đĩa.
Theo định lý thác triển Riemann, ta chỉ cần chứng minh tồn tại số c 0 sao cho
Hàm tọa độ của f bị chặn gần 0, cho thấy f có thể được thác triển chỉnh hình qua điểm thủng 0 Nếu không tồn tại số c như vậy, tức là với r k ≤ 0, điều này sẽ dẫn đến những kết luận khác về tính chất của hàm.
( * ) r k f U Theo KW2, sau khi đánh số lại dãy, ta có thể giả thiết
Gọi a k ,b k là các số dương, a k r k b k , sao cho
A z a z b là vành khuyên lớn nhất có ảnh f A( k ) nằm hoàn toàn trong U Ta đặt
( ) 2 it k t a e k và k ( )t b e k 2 it , 0 t 1 là hai đường tròn biên của vành khuyên mở A k Khi đó ta có
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các hàm f và f(k) nằm trong tập hợp U Tuy nhiên, do tính chất lớn nhất của vành khuyên A_k, f(k) và f(k) không thuộc U, dẫn đến việc chúng vẫn nằm trong U Bên cạnh đó, độ dài hyperbolic của các đường tròn bán kính a_k và b_k giảm dần về 0 khi k tăng, và f cũng giảm khoảng cách từ d* tới d_X Do đó, đường kính d_X của f(k) và f(k) cũng tiến gần tới 0 Theo định lý 1.2.4, chúng ta có f * H H.
Do tính chất lớn nhất của giả khoảng cách Kobayashi, ta có d H d X, dẫn đến d H -đường kính của f(k) và f(k) dần tới 0 Vì U là tập compact, bằng cách lấy dãy con, ta có thể giả thiết rằng f(k) hội tụ về y trong U Khi đó, ta có y và y Nếu lấy z_k là một điểm trên ( ) k.
Ta viết f ( , ,f 1 f N ) :U N Không mất tính chất tổng quát ta có thể giả thiết
Từ đó, với mọi k k 0 ta có
Nói cách khác, f z 1 ( ) k không nằm trong ảnh của hai đường tròn k , k qua các ánh xạ f
Vì vậy ta có thể tìm được một lân cận đơn liên của f 1 ( k ) f 1 ( k ) mà không giao với một đĩa tâm 0, bán kính đủ nhỏ trong
Giả sử ( 1 , , N ) là các hàm tọa độ trong N , khi đó f 1 1 f Với cách chọn các lân cận ở trên, với k đủ lớn ta có
Do đó, log( 1 1 ( )) 0 k k d f f z k (*) Mặt khác, theo định lý Rouche [11], ta có
Trong bài viết này, chúng ta xem xét định lý Picard lớn trong trường hợp nhiều chiều, được mở rộng bởi Kiernan vào năm 1972 dựa trên các kết quả của Kwack và Kobayashi Định lý này liên quan đến số lượng không điểm (N) và cực điểm (P) của hàm f(z) trong vành khuyên Ak, với điều kiện rõ ràng là P ≥ 0 và N ≥ 1 Sự mâu thuẫn giữa N và P cho thấy định lý đã được chứng minh Để hiểu rõ hơn về K3-định lý, chúng ta cần xem xét một số khái niệm và kết quả liên quan.
1.3.3 Bổ đề Giả sử X là không gian con phức compact tương đối, nhúng hyperbolic trong không gian phức Y Giả sử { : *f k X} là dãy các ánh xạ chỉnh hình và { },{ }z k z k là các dãy trong Δ* hội tụ tới 0 trong thỏa mãn k ( ) k f z y Y Khi đó
Theo tính chất của giả khoảng cách Kobayashi, mỗi ánh xạ chỉnh hình f k : * X đều có thác triển chỉnh hình qua điểm 0, điều này dẫn đến việc f k (0) cũng được xác định.
Như vậy ta suy ra điều phải chứng minh ,
1.3.4 Định nghĩa Giả sử M là một đa tạp phức và A là một divisor Ta nói A có giao chuẩn tắc nếu tại mỗi điểm, tồn tại một hệ tọa độ phức z 1 , ,z m trong
M sao cho về địa phương
Từ đó, về địa phương A được xác định bởi phương trình z 1 z r 0
A có giao chuẩn tắc đơn nếu sau khi biểu diễn A dưới dạng tổng các thành phần bất khả quy, tất cả các thành phần A j đều không có kỳ dị và A duy trì giao chuẩn tắc.
1.3.5 Định lý (K 3 -định lý) Giả sử A là divisor có giao chuẩn tắc trong đa tạp phức M Giả sử X là không gian con phức compact tương đối, nhúng hyperbolic trong không gian phức Y Khi đó mỗi ánh xạ chỉnh hình
: \ f M A X thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình f M: Y
Chứng minh Theo giả thiết ta có thể giả sử
Ta chứng minh quy nạp theo m dimM Ta chia thành 3 bước
1 Nếu M \ A * thì kết quả là định lý 1.3.2
2 Giả sử ta có thể thác triển f với M \ A * n với n nào đó Ta sẽ chứng minh f có thác triển với M \ A * n s với mọi s
( , )t ( , , n , , , )t t s là các biến trong n s Giả sử
: * n s f X là ánh xạ chỉnh hình
Với mỗi t, ta đặt f(t) = f(t, x) Theo giả thiết quy nạp, ta có thể phát triển f(t) thành ánh xạ chỉnh hình trên n với mỗi t Hệ quả từ định lý thác triển Riemann cho thấy rằng chỉ cần chứng minh ánh xạ này.
Giả sử ngược lại, f không liên tục tại một điểm nào đó, giả sử là ( ,0) Khi đó, tồn tại dãy các điểm
Ta chỉ cần chỉ ra mâu thuẫn trong trường hợp s 1 Định nghĩa ánh xạ
Vì t k 0 và f t k ( ) k f( k , )t k y, theo bổ đề 1.3.3, ta có
Nhưng f t liên tục với mỗi t, nên f k (0) f( k ,0) f( ,0) y Điều này là vô lý Vậy f liên tục
3 Giả sử f có thác triển nếu M \ A * n s với mọi s Ta chứng minh f thác triển được nếu M \A * n 1
Theo giả thiết quy nạp, f thác triển được trên n 1 \ {(0, ,0)} Do đó ánh xạ g: * X , xác định bởi
( ) ( , , z) g z f z thác triển được lên toàn bộ Ta định nghĩa
Theo định lý thác triển Riemann ta chỉ cần chứng minh f liên tục trên n 1 Giả sử f không liên tục Khi đó tồn tại dãy
( k , )t k (0,0) và f( k , )t k y f(0, ,0) Áp dụng bổ đề 1.3.3 cho dãy hàm số
( ) ( k , ) k k k f z f z t và dãy điểm z k k ta có
(0) (0, ) k k f f t y khi k (*) Mặt khác, lại áp dụng bổ đề 1.3.3 cho dãy
( ) ( k , , k , ) k k k k zt zt f z f t t t và dãy điểm z k t k ta có
(0) (0, ) (0, ,0) k k f f t f y khi k Điều này mâu thuẫn với (*) Vậy f liên tục ,
Định lý đầu tiên được chứng minh bởi Kwack khi X Y là compact và A là tùy ý, không có điều kiện nào về kỳ dị Kobayashi đã phát triển khái niệm nhúng hyperbolic và chứng minh trường hợp khi X là nhúng hyperbolic trong Y và A không có kỳ dị Kiernan đã mở rộng kết quả này cho trường hợp A có giao chuẩn tắc Một ví dụ từ Kiernan cho thấy rằng nếu X không phải là compact, thì các điều kiện về kỳ dị trở nên cần thiết.
Vì và \ {1, 1} đều là nhúng hyperbolic trong P ( ) 1 , nên X là nhúng hyperbolic trong P ( ) P ( ) 1 1 Đặt
Ta có A không phải là có giao chuẩn tắc Xét ánh xạ
: \ f M A X bởi f z( , ) ( ,z / )z Khi đó f không thác triển được lên toàn bộ M vì f(0,0) không xác định.
Một số định lý thác triển hội tụ
Định lý thác triển hội tụ Noguchi
2.1.1 Định lý (Noguchi [9]) Giả sử A là divisor có giao chuẩn tắc trong đa tạp phức m chiều M X là không gian con compact tương đối, nhúng hyperbolic trong không gian phức Y Giả sử
: \ f n M A X là dãy các ánh xạ chỉnh hình, hội tụ đều trên các tập con compact của M \ A tới ánh xạ chỉnh hình
Giả sử f n , f là các thác triển chỉnh hình của f n , f tương ứng, từ M vào Y Khi đó
( , ) f n f Hol M Y trong Hol M Y( , ) Để chứng minh trước hết ta cần một số khái niệm và kết quả sau
2.1.2 Định nghĩa Giả sử X, Y là các không gian phức Họ F Hol( , )X Y được gọi là họ chuẩn tắc đều nếu F Hol(M X, ) là compact tương đối trong
C M Y với mỗi đa tạp phức M, trong đó Y Y { } là compact hóa một điểm của Y
Nếu X 0 , Y 0 là các không gian con của các không gian tô pô X, Y tương ứng và F C X Y( 0 , 0 ) Ta ký hiệu [ , ,C X Y F là tập các ánh xạ ] g C X Y( , ) mà là thác triển của các phần tử của F
2.1.3 Định lý Nếu X, Y là các không gian phức thì họ F Hol X Y( , ) là chuẩn tắc đều nếu và chỉ nếu F Hol( ,X) là compact tương đối trong
( ) Hiển nhiên, do là đa tạp phức
( ) Nếu F không là chuẩn tắc đều thì có đa tạp phức M sao cho
F không là compact tương đối trong C M Y( , ) Theo định lý
Ascoli là một không gian compact, do đó, F Hol(M X, ) không có tính liên tục đồng đều Tính chất liên tục đồng đều là tính chất địa phương, vì vậy chúng ta có thể giả thiết điều này.
M p p với m nào đó, và F Hol(M X, ) không liên tục đồng đều từ 0 M tới q Y
Chọn các dãy { }f n F ;{p n } M \ {0} và { } n Hol(M X, ) sao cho
Ta định nghĩa hàm n Hol( ,X), n ( ) n n n z zp p Khi đó
Suy ra F Hol( ,X) không liên tục đồng đều, do đó không là compact tương đối trong ( ,C Y ) Điều này trái giả thiết ,
2.1.4 Định lý ([5]) Giả sử X là không gian con phức compact tương đối trong không gian phức Y Khi đó các điều kiện sau là tương đương i) X là nhúng hyperbolic trong Y; ii) Hol( ,X) là compact tương đối trong C( ,Y ); iii) Hol( ,X) là họ con chuẩn tắc đều của Hol( , )Y
2.1.5 Bổ đề Giả sử F Hol( * , ) m Y là họ chuẩn tắc đều Nếu { n } * m ,
{ }f n F sao cho n 0 m và f n ( n ) p Y thì với mỗi lân cận U của p, tồn tại lân cận W của 0 trong m sao cho
Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo m
+ Ta giả sử khẳng định trên đúng với k nhưng không đúng với k 1 Lấy
F là họ chuẩn tắc đều Chọn các dãy k+1 1 n n n 0 n 0
( ) n n f p và f n ( n )ẵ p Giả sử U, V là các lân cận compact tương đối của p sao cho V U và giả sử rằng f n ( n ) V , f n ( n ) Y U\ (*) Đặt n ( , ),s t n n n ( , )s t n n và 0 ( , )s t 0 0 * k Δ* Gọi
F F và F F 2 Hol( *, )Y đều là các họ chuẩn tắc đều
Theo giả thiết quy nạp, tồn tại lân cận N 1 của s 0 sao cho
Từ đó, tồn tại dãy con của { ( )} n t n n f s mà cũng ký hiệu là { ( )} n t n n f s sao cho n ( ) n t n f s q V
Do đó, tồn tại lân cận N 2 của t 0 trong sao cho
Vậy với n đủ lớn, t n N 2 *, ta có n ( ) n s n f t U Tức là
( , ) ( ) n n n n n f s t f U Điều này mâu thuẫn với (*) Vậy định lý được chứng minh ,
Sử dụng các kết quả trên ta có thể mở rộng K 3 -định lý và định lý thác triển hội tụ Noguchi như sau
2.1.6 Định lý Giả sử M là đa tạp phức và A là divisor có giao chuẩn tắc trong M Giả sử F Hol M( \ , )A Y là họ chuẩn tắc đều và F là bao đóng của F trong C M A Y( \ , ) Khi đó i) Mỗi f F đều thác triển được thành f C M Y( , ) ii) C M Y[ , ,F ] là compact trong C M Y( , ) iii) Nếu { }f n F và f n f thì f n f
Chứng minh Để chứng minh i) và ii) trước hết ta chứng minh với mỗi f F đều thác triển được thành f C M Y( , ) và C M Y[ , ,F là compact tương ] đối trong ( , )C M Y
Vì bài toán là địa phương nên ta có thể giả thiết rằng M m và Hol( * , ) m Y
F Do đó ta chỉ cần chứng minh mỗi f F có thác triển
( m , ) f C Y và [C m ,Y ,F là compact tương đối trong (] C m ,Y )
Theo định lý Ascoli, ta chỉ cần chứng minh C[ m ,Y ,F là liên tục đồng ] đều trong (C m ,Y )
Giả sử tồn tại 0 m, các dãy {n} và {n} trong *m cùng hội tụ tới 0, dẫn đến sự tồn tại của dãy {f_n} với f~_n(n) p và f~_n(n) q p Điều này tạo ra mâu thuẫn với bổ đề 2.1.5.
Bây giờ ta chứng minh sự tồn tại thác triển của ánh xạ f
Giả sử 0 M p Y, và { n } M A\ ; n 0 và f( n ) p Khi đó p xác định duy nhất, do đó với 0 và p ở trên ta định nghĩa f( 0 ) p
Rõ ràng f f trên M \ A, vì nếu ta chọn dãy n M \ A với mọi n, thì f( ) f( ) với mọi
Vậy theo định lý thác triển Riemann, để chứng minh f là thác triển chỉnh hình của f ta chỉ cần chứng minh f là liên tục
Nếu f(0) = p và U là lân cận mở của p, thì V được định nghĩa là lân cận compact tương đối của p, với điều kiện V chứa U Theo bổ đề 2.1.5, có tồn tại một lân cận mở W của 0 trong M sao cho f(W \ A) nằm trong V.
Nếu f( 0 ) , theo bổ đề 2.1.5, tồn tại lân cận mở W của 0 trong M sao cho f W( \ )A U , tức là tồn tại lân cận mở W của 0 trong M sao cho
( ) f W U Từ đó ta có f liên tục Để kết thúc chứng minh i) ta lấy f F Khi đó tồn tại dãy { }f n trong F sao cho f n f khi n Do C M Y[ , ,F là compact tương đối trong ]
C M Y nên tồn tại dãy con { } { } n k n f f sao cho ( , ) n k f g C M Y Rõ ràng g f (vì chúng bằng nhau trên M \ A) Vậy i) được chứng minh Để chứng minh ii) ta chứng minh
Với g F ta chọn dãy { }f n F sao cho f n g Do tính compact tương đối của [ ,C M Y ,F trong ] C M Y( , ) và sự tồn tại thác triển trong i), suy ra có dãy con { } { } n k n f f sao cho n k f g, vì vậy g C M Y[ , ,F ]
C M Y F C M Y F Ngược lại, với g C M Y[ , ,F ], tồn tại dãy
{ }f n C M Y[ , ,F ] mà f n g Suy ra f n g trên M \ A với { }f n F
C M Y F C M Y F Vậy ii) được chứng minh iii) Giả sử { }f n F và f n f Ta chứng minh f n f khi n Theo i) thì các f n và f luôn tồn tại
Theo ii), vì { }f n C M Y[ , ,F ] compact trong (C M Y, ), nên mọi dãy con
{ } n k f của { }f n đều có dãy con hội tụ tới f Do đó f n f khi n Vậy iii) được chứng minh ,
2.1.7 Nhận xét Theo hệ quả 3 và hệ quả 7 ([4]) khẳng định rằng: Nếu X là không gian con phức, nhúng hyperbolic trong không gian phức Y và A là divisor có giao chuẩn tắc trong đa tạp phức M thì mỗi f Hol M( \ ,A X) đều thác triển được thành f C M Y( , ) và nếu X là compact tương đối trong
Từ đó theo định lý 2.1.4 và định lý 2.1.6 ở trên ta suy ra kết quả của định lý thác triển hội tụ Noguchi 2.1.1.
Một số định lý thác triển hội tụ qua các siêu mặt
2.2.1 Định nghĩa Một không gian phức X được gọi là siêu lồi nếu X là Stein và tồn tại một hàm đa điều hòa dưới liên tục :X ( ,0) sao cho
X c x X x c là compact với mỗi c 0 Một cách trực giác, điều này có nghĩa là tiến đến 0 tại “biên” của X
2.2.2 Định lý Giả sử Z là một đa tạp phức và H là một siêu mặt phức của Z
Giả sử M là một miền hyperbolic compact tương đối trong không gian phức
X Giả sử có một lân cận U của M trong X sao cho U M là siêu lồi Khi đó bất kỳ ánh xạ chỉnh hình f Z H: \ M đều thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình từ Z vào trong M
Hơn nữa, nếu {f j :Z H\ M} j 1 là dãy các ánh xạ chỉnh hình mà hội tụ đều trên các tập con compact của Z H\ tới ánh xạ chỉnh hình
: \ f Z H M, thì { }f j j 1 cũng hội tụ đều trên các tập con compact của Z tới f , ở đó f j :Z M và f Z: M là các thác triển chỉnh hình của f và f j trên Z
(i) Trước hết ta xét trường hợp khi Z và H {0}
Theo định lý 1.3.2, ta chỉ cần chứng minh có một dãy { }z n * hội tụ đến
0 sao cho dãy { ( )}f z n hội tụ đến một điểm của M
Giả sử khẳng định trên là sai, ta có thể giả thiết rằng với mỗi dãy { }z n * với z n 0, dãy { ( )}f z n hội tụ đến một điểm trong M Do đó, có thể tìm được 0 đủ nhỏ sao cho f( * ) U, gọi là hàm đa điều hòa dưới vét cạn của U Đặt h f trên *, khi đó h là hàm điều hòa dưới trên *, và với mỗi dãy { }z n * với z n 0, ( )h z n 0 Điều này kéo theo h thác triển liên tục được đến hàm h trên Theo định lý về khử kỳ dị của các hàm điều hòa, ta có h là điều hòa dưới trên Ta có h z( ) 0 nếu z * và h(0) 0, do đó h đạt cực đại tại gốc, điều này vô lý.
(ii) Bây giờ ta chứng minh rằng mỗi ánh xạ chỉnh hình
: \ f Z H M đều thác triển chỉnh hình được trên Z
Có thể giả định rằng H không có kỳ dị, nghĩa là ta có thể phát triển f lên Z S H\ ( ) và tiếp tục lên Z S S H\ ( ( )), trong đó S Y( ) biểu thị tập hợp các kỳ dị của không gian phức Y.
Bằng cách địa phương hóa ánh xạ f, ta có thể giả thiết rằng
Z và H m 1 {0} Với mỗi z m 1 , xét ánh xạ chỉnh hình z : * f M được cho bởi f z ( )z f z z( , ) với mỗi z *
Theo (i), tồn tại thác triển chỉnh hình f z : M của f z với mỗi
1 z m Định nghĩa ánh xạ f : m 1 M bởi f z z( , ) f z ( )z với mọi ( , )z z m 1 Ta chỉ cần chứng minh rằng f là liên tục tại
Thật vậy, giả sử {( ,z z k k )} m 1 sao cho
Lấy dãy { }z k * sao cho lim ( , k k ) 0 k d z z Ta có d M ( ( ,f z z k k ), ( ,0))f z 0
Từ đó lim M ( ( , k k ), ( ,0))0 0 k d f z z f z , tức là,
{ ( ,f z z k k )} f z( ,0)0 khi k Điều này kết thúc bước 2 của chứng minh
(iii) Giả sử { }f j Hol( \Z H M, ) thỏa mãn
Ta sẽ chứng tỏ rằng { }f j f trong Hol( ,Z M).
Trước hết ta có thể giả thiết H không có kỳ dị vì khẳng định của ta đúng trên Z S H\ ( ) sau đó trên Z S S H\ ( ( )) và cứ tiếp tục như vậy
Giả sử 0 là điểm tùy ý của H Ta có thể giả thiết Z m và
H m và 0 (0,0) Đặt a 0 f( 0 ) Với điểm y M và số thực dương r, ta đặt
B M y r, y M d: M y y, r Tương tự, với điểm Z và r 0, ta đặt
B Z ,r Z d: Z , r Trước hết ta chứng tỏ rằng với một số 0 bất kỳ, tồn tại lân cận V 0 của
0 trong Z sao cho f V 0 B M a 0 , và f V j 0 B M a 0 , với mọi j j 0 Thật vậy, lấy điểm
M 3 f a Có số nguyên j 0 sao cho 1 0 2
Lấy 0 đủ nhỏ sao cho B ( , ) M a 0 được chứa trong một lân cận tọa độ địa phương của a 0 trong M Chọn 0 đủ bé sao cho m V 0 Vì
( ) m f , từ nguyên lý mô đun cực đại suy ra sự hội tụ đều của
{f j m } j 1 với giới hạn f m Định lý được chứng minh ,
2.2.3 Định nghĩa Giả sử M là một miền trong không gian phức X, tức là, M là một tập con khác rỗng, mở và liên thông của X
Một hàm được coi là đa điều hòa dưới peak địa phương tại điểm p trong M nếu tồn tại một lân cận U của p, trong đó hàm này liên tục và thỏa mãn điều kiện đa điều hòa trên U M.
Một hàm được xem là đa điều hòa dưới antipeak địa phương tại điểm p trong không gian M nếu tồn tại một lân cận U của p, trong đó hàm này là đa điều hòa dưới trên U M, nghĩa là nó liên tục trên U M và thỏa mãn các điều kiện cần thiết.
2.2.4 Bổ đề Giả sử p là một điểm thuộc M Giả sử có các hàm đa điều hòa dưới peak và antipeak địa phương và tại p xác định trên một lân cận V p của p Khi đó với mỗi lân cận U của p, tồn tại một lân cận U của p sao cho mỗi ánh xạ chỉnh hình f : M thỏa mãn
Chứng minh rằng hàm đa điều hòa tại điểm p có tồn tại hai lân cận U và V của p, cùng với hai hằng số dương c1 và c2, thỏa mãn điều kiện inf{z : z ∈ M(U)} = c1 và sup{z : z ∈ M(V)} = c2.
Khi đó hàm xác định trên M bởi
là hàm đa điều hòa dưới peak toàn thể tại p
Lấy f là một ánh xạ chỉnh hình từ đĩa giải tích M Giả sử có một số âm tùy ý sao cho ( f)(0) Ký hiệu mes(E) là độ đo của tập hợp E.
Vì hàm f là điều hòa dưới, bất đẳng thức giá trị trung bình kéo theo
Do đó mes(E ) (1) Lấy 0 đủ nhỏ sao cho
Hàm định nghĩa trên M bởi
2 z z z M U c c z z z M V U c c z z M V là một hàm đa điều hòa dưới liên tục, âm trên M và thỏa mãn 1 ( ) p. Dùng tích phân Poisson, với bất kỳ điểm trên 1/ 2 ta có
Theo nguyên lý cực đại, ta có
2 2 2 min Re( ) min Re( ) 1 2 min Re( )
Từ đó, ta nhận được
Vì là hàm peak tại p và q thỏa mãn ( )p nên với mỗi n 1 tồn tại một hằng số âm n sao cho với bất kỳ điểm z trong M bất đẳng thức ( )z 2 n
kéo theo ( )z n Từ 1 ( ) { }p , ta có họ
U z M z n là một cơ sở lân cận của p trong M Gọi U n là lân cận của p trong M định nghĩa bởi
Gọi f : M là một đĩa giải tích trong M sao cho f(0) U n Khi đó ( (0))f n
và do vậy, theo (1), ta có mes(E ) Từ (2) và là hàm âm nên với mỗi 1/2 , ta có
Vì vậy f( 1/ 2 ) U n Bổ đề được chứng minh ,
2.2.5 Mệnh đề Giả sử M là một miền hyperbolic trong không gian phức X
Giả sử với mỗi điểm p trong M, tồn tại các hàm peak địa phương và antipeak đa điều hòa xác định tại p, cả hai đều được định nghĩa trong một lân cận của p trong không gian X Khi đó, M được xem là một đa tạp nhúng hyperbolic trong X.
Chứng minh rằng với hai điểm p và q trong không gian X, tồn tại một lân cận U của p và một hằng số dương C sao cho điểm q nằm trong lân cận U Theo định lý 1.1.4, hàm độ dài H thỏa mãn điều kiện F(z, U) ≤ C * H(z, U) với mọi z thuộc U.
T M z Theo bổ đề 2.2.4, có một lân cận U của p trong X thỏa mãn:
Với mỗi đĩa giải tích f trong M
(0) ( 1/ 2) f U f U Đặc biệt, với mỗi z U M và T M z ta có
Lấy các lân cận U W, của p,q trong X, tương ứng, sao cho U ÐU và
Lấy U M và W M là các điểm tùy ý Gọi ( )t là đường cong liên tục, giải tích thực từng khúc bất kỳ trên M thỏa mãn (0) và
(1) Khi đó tồn tại các số cực tiểu 0 r s 1 sao cho ( )r U và ( )s U Ta có
M M k k d K t j t dt C Điều này kéo theo d M (U M W, M) C 1 0 và vì vậy M là nhúng hyperbolic trong X Mệnh đề được chứng minh ,
2.2.6 Định lý Giả sử M là một miền hyperbolic trong không gian phức X thỏa mãn với mỗi điểm p M , có các hàm peak địa phương và antipeak đa điều hòa dưới tại p, cả hai cùng xác định trên một lân cận của p trong X Giả sử Z là một đa tạp phức và H là một siêu mặt phức của Z và f Z H: \ M là một ánh xạ chỉnh hình Giả sử rằng với mỗi z H tồn tại một dãy
{ }z n Z H\ hội tụ đến z sao cho dãy { ( )}f z n hội tụ đến x z X
Khi đó f thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình f Z: M
(i) Trước hết ta xét trường hợp Z và H {0}.
Theo mệnh đề 2.2.5, M là nhúng hyperbolic trong X Theo nhận xét 2.1.7, ta có f thác triển được thành ánh xạ liên tục f : X , trong đó
X X là compact hóa một điểm của X
Theo giả thiết, tồn tại dãy {z_n} với lim n→0 z_n, dẫn đến lim n→0 f(z_n) thuộc X, cho thấy f là ánh xạ vào trong X và do đó f là chỉnh hình Giả sử f(0) thuộc M Gọi U là lân cận của f(0) trong X, và f là hàm đa điều hòa dưới peak địa phương tại f(0), tức là f là đa điều hòa trên U ∩ M, liên tục trên U ∩ M và thỏa mãn các điều kiện cần thiết.
Vì hàm f liên tục, ta có thể xác định giá trị 0 đủ nhỏ sao cho (f) U Đặt h = h ∘ f trên miền đó, khi đó h trở thành hàm điều hòa dưới trên miền U và liên tục Theo định lý khử kỳ dị của các hàm điều hòa dưới, h được khẳng định là hàm điều hòa dưới trên miền U.
Ta có h z( ) 0 nếu z * và h(0) 0, do đó h đạt cực đại tại gốc Điều này là vô lý
(ii) Giả sử H không chứa điểm kỳ dị
Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử
Ánh xạ chỉnh hình f: *M được xác định bởi f( ) f(, ) cho mỗi m 1 Nếu z(,0) H, tồn tại các cặp {(n,n)} m 1 * và {(n,n)}(,0) sao cho {(fn,n)} x z X Nguyên lý giảm khoảng cách áp dụng cho ánh xạ chỉnh hình f: m 1 * M của giả khoảng cách.
Vì M là nhúng hyperbolic trong X, ta nhận được
{ ( ,f n )} x z X Theo (i), f thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình f : M Định nghĩa ánh xạ f : m 1 M bởi f( , ) f ( ) với mỗi ( , ) m 1 Ta chỉ cần chứng tỏ f là liên tục
{( n, n )} ( ,0) Chọn { } n * sao cho { } n 0 Ta có d M ( (f n , n ), ( ,0))f
Do đó f là thác triển chỉnh hình của f
(iii) Giả sử H là siêu mặt phức bất kỳ của Z
Theo (ii) f thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình
Dễ dàng thấy rằng với mỗi z 0 S H( ), tồn tại { }z n Z S H\ ( ) hội tụ đến z 0 sao cho { ( )}f z 1 n hội tụ đến z 0 x X Từ đó, theo (ii), f thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình f 2 :Z S S H\ ( ( )) M.
Lặp lại quá trình này ta nhận được f thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình f Z: M Định lý được chứng minh ,
2.2.7 Định nghĩa Một không gian phức X được gọi là lồi đĩa yếu nếu mỗi dãy
{ }f n Hol( ,X) hội tụ trong Hol( ,X) chỉ khi dãy
{f n *} Hol( *,X) hội tụ trong Hol( *,X)
Các định lý của Montel và Kiernan (xem [12]) khẳng định rằng
Hyperbolic đầy taut lồi đĩa yếu
Các khẳng định ngược lại nói chung không đúng (xem [12])
2.2.8 Định nghĩa Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y và * \ {0} Khi đó X có tính chất * EP đối với Y nếu mỗi ánh xạ chỉnh hình f : * X đều có ánh xạ chỉnh hình f : Ylà thác triển chỉnh hình của f
2.2.9 Định lý Cho X là không gian phức giả lồi có tính chất * EP Giả sử A là siêu mặt giải tích tùy ý của một đa tạp phức M Cho