Lời giới thiệu
Toán học là môn học yêu cầu tư duy logic chặt chẽ, khiến nhiều học sinh cảm thấy khó khăn, đặc biệt là Hình học không gian Tuy nhiên, từ năm học 2016 – 2017, việc học môn Toán đã có những cải tiến giúp học sinh tiếp cận dễ dàng hơn.
Bộ Giáo Dục và Đào Tạo đã chuyển đổi hình thức thi môn Toán từ tự luận sang trắc nghiệm, giúp học sinh chỉ cần tập trung vào việc đưa ra đáp án chính xác và nhanh chóng Tuy nhiên, nhiều học sinh thường gặp khó khăn với các câu hỏi hình học và thường chọn đáp án một cách ngẫu nhiên, gây ra lo lắng Đề thi minh họa và chính thức của Bộ thường có các bài toán về tỉ số thể tích và thể tích của các khối hình, từ dễ đến khó, đặc biệt là những bài toán liên quan đến Min-Max trong hình học không gian, khiến học sinh lúng túng và thường bỏ qua Việc dạy và học các vấn đề này ở chương trình toán lớp dưới gặp nhiều khó khăn do tâm lý e ngại và thiếu bài tập trắc nghiệm trong sách giáo khoa, làm cho việc học các khái niệm như tỉ số thể tích trở nên phức tạp hơn đối với học sinh có tư duy hình học yếu.
Học sinh lớp 12 thường gặp khó khăn với môn hình học, nhiều em cảm thấy nản lòng khi nhìn vào các bài toán dài và phức tạp Điều này dẫn đến việc các em không muốn đọc và giải quyết bài toán ngay từ đầu.
Nhiều học sinh gặp khó khăn trong việc áp dụng công thức khi giải quyết các bài toán liên quan đến hình học, thường do thiếu phân tích và tư duy lôgic Điều này đặc biệt đúng với những bài toán cần hình vẽ để phân chia thể tích Học sinh có kỹ năng tính toán yếu và khả năng "nhìn hình vẽ trong không gian" hạn chế sẽ gặp nhiều trở ngại Sách giáo khoa hiện tại cung cấp rất ít bài tập về vấn đề này, trong khi tài liệu trên các diễn đàn lại quá phong phú nhưng gây hoang mang cho học sinh Do đó, tôi quyết định viết đề tài “SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỈ”.
Bài viết "Số thể tích để tính thể tích của các khối đa diện" cung cấp tài liệu tham khảo cô đọng cho học sinh lớp 12, với bài tập được sắp xếp từ dễ đến khó, bao quát đầy đủ các dạng thường gặp trong đề thi THPT Quốc gia Tài liệu giúp học sinh phát triển kiến thức và kỹ năng tính tỷ số thể tích, thể tích, cũng như giải quyết các bài toán liên quan đến khối đa diện Việc áp dụng phương pháp tỷ số thể tích trong toán trắc nghiệm không chỉ giúp học sinh giải quyết bài toán nhanh chóng và chính xác mà còn tạo hứng thú cho các em trong việc học hình học không gian Nhờ đó, học sinh sẽ tự tin hơn và có khả năng giải quyết bài toán một cách hiệu quả.
“Sử dụng phương pháp tỉ số thể tích để tính thể tích của các khối đa diện”
- Họ và tên: Tô Ngọc Dũng
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Viết Xuân – Huyện Vĩnh Tường – Tỉnh Vĩnh Phúc
- Email: dung.thpt.nvx@gmail.com
4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến
- Họ và tên: Tô Ngọc Dũng
Lĩnh vực áp dụng sáng kiến
- Nghiên cứu giảng dạy môn Toán lớp 12 trong trường THPT.
Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu
Từ tháng 09 năm 2019 đến tháng 02 năm 2020
Mô tả bản chất của sáng kiến ………………………………………………… NỘI DUNG A CÔNG THỨC TỈ SỐ THỂ TÍCH …………… …………………………… Bài toán B MỘT SỐ DẠNG TOÁN SỬ DỤNG CÔNG THỨC TỈ SỐ THỂ TÍCH Dạng toán 1: Sử dụng công thức tỉ số thể tích giải bài toán tính tỉ số thể tích của các khối đa diện Dạng toán 2: Sử dụng công thức tỉ số thể tích giải bài toán tính thể tích của các khối đa diện Dạng toán 3: Sử dụng công thức tỉ số thể tích trong các bài toán Min, Max
Để hỗ trợ học sinh nhanh chóng giải các bài tập trắc nghiệm hình học liên quan đến tỉ số thể tích và thể tích của các khối đa diện, cũng như giúp những em học sinh khá giỏi thực hiện các bài toán min-max về khối đa diện trong không gian, việc nắm vững kiến thức cơ bản và rèn luyện kỹ năng tính toán là rất quan trọng.
A CÔNG THỨC TỈ SỐ THỂ TÍCH
Bài toán liên quan đến hình chóp tam giác SABC, trong đó trên ba đường thẳng SA, SB, SC, ta chọn các điểm A', B', C' khác với S Gọi V và V' lần lượt là thể tích của các khối chóp SABC và SA'B'C' Kết quả cho thấy luôn có mối quan hệ giữa V và V' theo công thức V = V'(SA, SB, SC).
Dạng toán 1 liên quan đến việc áp dụng công thức tỉ số thể tích để giải quyết các bài toán tính tỉ số thể tích của các khối đa diện Việc sử dụng tỉ số thể tích giúp xác định mối quan hệ giữa thể tích của các khối khác nhau, từ đó đưa ra những kết luận chính xác trong các bài toán hình học.
- Sử dụng công thức tính tỉ số thể tích của 2 khối chóp tam giác
- Sử dụng các định lí, tính chất hình học đã biết
Ví dụ 1.1 Cho hình chóp S ABC Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm SA SB, và
SC Khi đó tỉ số thể tích giữa khối chóp S MNP và khối chóp S ABC bằng
Ví dụ 1.2 Cho hình chóp S ABC Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA, SB
Ví dụ 1.3 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) có SA Mặt phẳng () qua
A và vuông góc với SB cắt SB tại B’ cắt SC tại C’
(B’ và C’ khác S) Tìm tỉ số thể tích hai phần của khối chóp cắt bởi ()?
Ta đặt: CB = CA = a; AB =SA = a 2;
V SA SB' SC' SB' SC'
V SA SB SC SB SC
Dễ dàng chứng minh được tam giác AC’B’ vuông ở C’ Nên ta có:
V SA SB' SC' SB' SC' SB'.SB SC'.SC 4 1
= = = = = V SA SB SC SB SC SB SC 4 3 3
Trong hình chóp S.ABCD, gọi G là trọng tâm của tam giác SBC Mặt phẳng (α) đi qua G và song song với mặt phẳng ABC cắt các đoạn SA, SB, SC tại các điểm A’, B’, C’ Điều này tạo ra hai phần trong khối chóp, và bài toán yêu cầu tính tỉ số thể tích của hai phần này.
Dễ dàng chỉ ra được 3 điểm A’, B’, C’ nằm trên 3 cạnh SA, SB, SC nên ta tính được tỉ số SA B C ' ' '
Trong khối chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành, ta xác định B’ và D’ là trung điểm của SB và SD Mặt phẳng (AB’D’) sẽ cắt cạnh SC tại điểm C’ Nhiệm vụ là tính tỉ số thể tích của khối chóp S.AB'C'D'.
Gọi O là giao điểm của AC và BD và I là giao điểm của SO và B’D’ Khi đó AI cắt SC tại C’
S.AB 'C ' S.AC ' D ' S.ABC S.ACD S.ABCD
Kẻ OO’//AC’ (O’SC) Ta có SC’ = C’O’ = O’C
Trong bài toán này, chúng ta có khối chóp tứ giác đều SABCD, với mặt phẳng (α) đi qua điểm A, B và trung điểm M của cạnh SC Cần tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp được phân chia bởi mặt phẳng (α).
Kẻ MN // CD (N SD) Hình thang ABMN là thiết diện của khối chóp khi cắt bởi mp(ABM)
Ví dụ 1.7 Cho hình chóp S.ABC lấy M và N lần lượt trên các cạnh SA và SB sao cho SM 1
NB 2 Mặt phẳng (α) qua MN song song với SC chia khối chóp thành hai phần, tìm tỉ số thể tích của hai phần đó
Kéo dài MN cắt AB tại I, kẻ MD song song SC (DAC); E =DICB Khi đó tứ giác MNED là thiết diện khối chóp cắt bởi (α)
(Do kẻ MJ//AB ta có: NMJ NIB, BJ NJ BI 1 AB ;AI 4 AB)
Suy ra: V I.BNE 1 A.MDI 1 16 S.ABC 1 S.ABC
V AMDEN AMDI IBNE 16 S.ABC 1 S.ABC 5 S.ABC
Gọi V SMDCEN là phần thể tích còn lại ta có:
Cho khối tứ diện có thể tích V, gọi V' là thể tích của khối đa diện được tạo thành từ các đỉnh là trung điểm của các cạnh của tứ diện đó Tính tỷ số V' so với V.
Giả sử khối tứ diện là ABCD Gọi E F G H I J, , , , , lần lượt là trung điểm của
AB AC AD BC CD BD
Ví dụ 1.9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a;
Gọi M là trung điểm của cạnh SA và N là giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (MBC) Thể tích của các khối chóp được ký hiệu lần lượt là V và V1.
S.ABCD và S.BCNM Tính tỷ số V 1
Do (MBC) chứa BC//(SAD) nên N là giao điểm của đường thẳng qua M song song với AD Suy ra N là trung điểm SD
2 (Do ABCD là hình thoi nên S ABC S ACD )
SM SC SN SM SN 1 V
SA SC SD SA SD 4 8
Hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh a, với K là trung điểm của cạnh BC và I là tâm của mặt bên CC’D’D Bài toán yêu cầu tính thể tích các khối đa diện được tạo ra khi mặt phẳng (AKI) chia hình lập phương này.
Gọi E = AKDC , M = IECC’ , N = IEDD’
Mặt phẳng (AKI) chia hình lập phương thành thành 2 khối đa diện đặt:
Dạng toán 2: Sử dụng công thức tỉ số thể tích giải bài toán tính thể tích của các khối đa diện
Tính thể tích của khối đa diện có thể gặp khó khăn, nhưng chúng ta có thể áp dụng công thức tỉ số thể tích của hai khối chóp tam giác để đơn giản hóa bài toán Bằng cách này, chúng ta có thể dễ dàng tính được thể tích của khối đa diện cần tìm.
- Sử dụng các công thức, định lí, tính chất hình học đã biết
Cho hình chóp S ABCD với đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA vuông góc với đáy Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là 60° Gọi M và N là trung điểm của SB và SC Tính thể tích khối S ADMN.
Ta có SO BD SBD ; ABCD SOA 60
Để tính thể tích của hình chóp S ABCD, ta biết rằng thể tích của khối chóp S IJKH là 1 Gọi I, J, K, H lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC, SD Việc xác định thể tích của hình chóp S ABCD sẽ dựa trên các thông số của hình chóp S IJKH.
V SA SC SD Suy ra V SABC 8V SIJK và V SACD 8V SIKH
Do đó V SABCD V SABC V SACD 8 V SIJK V SIKH 8 V SIJKH 8 Chọn B
Cho hình chóp S.ABC với đáy là tam giác vuông cân ABC tại B Trọng tâm của tam giác SBC được ký hiệu là G Đường thẳng (α) đi qua G và song song với BC cắt SB và SC tại các điểm M và N Cần tính thể tích của khối chóp S.AMN.
Gọi I là trung điểm của BC, G là trọng tâm của SBC
Ví dụ 2.4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy
ABCD là hình thang, BAD ABC 90 0 ,
AB BC a, AD2 , SAa (ABCD) và
SA=2a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
SA và SD Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a?
Lời giải : Áp dụng công thức ta có:
Lăng trụ ABC A'B'C' có thể tích 2 Điểm M là trung điểm của cạnh AA', trong khi điểm N nằm trên cạnh BB'.
BN 3BB Đường thẳng CM cắt đường thẳng C A' ' tại P và đường thẳng CN cắt đường thẳng C B' ' tại Q Thể tích khối đa diện A MPB NQ' ' bằng
A MPB NQ C PQC CC MNB A
Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với cạnh a, trong đó mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N là các điểm trên các cạnh của hình chóp.
P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD
Tính thể tích khối tứ diện CMNP theo a
Nhân theo vế (1) với (2) ta có: CMNP CMNP S.BCD
Gọi H là trung điểm của AD ta có SH AD mà (SAD) (ABCD) nên SH (ABCD)
Đánh giá lợi ích thu được
áp dụng sáng kiến lần đầu
- Qua quá trình giảng dạy trong thời gian vừa rồi, tài liệu “SỬ DỤNG PHƯƠNG
Phương pháp tỉ số thể tích giúp học sinh vượt qua những sai lầm và khó khăn trong việc tính thể tích của các khối đa diện Bằng cách áp dụng phương pháp này, học sinh không chỉ giải quyết được các bài toán tính thể tích mà còn có khả năng thực hiện bài toán min-max trong hình học không gian một cách hiệu quả.
Sau một thời gian áp dụng đề tài này trong giảng dạy, số lượng học sinh giỏi và khá đã tăng lên, mặc dù số lượng trung bình vẫn còn Điều quan trọng hơn cả là phương pháp này đã giúp các em giảm bớt khó khăn trong việc học toán, tạo ra niềm vui và hứng thú mỗi khi bước vào tiết học.
Giáo viên khi thực hiện đề tài này không chỉ nâng cao chuyên môn mà còn phát triển kỹ năng phân tích và tổng hợp hiệu quả.
Sáng kiến kinh nghiệm này cung cấp tài liệu quý giá cho học sinh trong quá trình học tập, đồng thời cũng là nguồn tham khảo bổ ích cho các giáo viên nhằm nâng cao kỹ năng giảng dạy và trau dồi kinh nghiệm.
11 Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu:
Tên tổ chức/cá nhân Địa chỉ Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến
1 Tô Ngọc Dũng THPT Nguyễn Viết Xuân Học sinh khối lớp 12.