Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10

SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN I.. Lời giới thiệu Hàm số bậc hai là một nội

Trang 1

SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

I Lời giới thiệu

Hàm số bậc hai là một nội dung quen thuộc, cơ bản đối với học sinh lớp 10 khi học đại số, tuy nhiên việc đọc đồ thị hàm số, khai thác đồ thị hàm số và đặc biệt là việc ứng dụng đồ thị của hàm số bậc hai để biện luận phương trình đại số trong phạm vi kiến thức lớp 10 với đa số học sinh vẫn còn lúng túng ngay từ những bài ở mức độ thông hiểu và vận dụng thấp và gây khá nhiều khó khăn đối với hầu hết học sinh ở lớp bài tập vận dụng cao Trong khi đó việc ứng dụng đồ thị hàm số bậc hai để biện luận đặc biệt

là biện luận số nghiệm của phương trình đại số lại là nội dung rất hay được sử dụng trong các đề thi khảo sát chất lượng và cũng xuất hiện trong các đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 10 Đặc biệt trong những năm gần đây dạng toán đọc đồ thị, khai thác đồ thị là một trong những dạng toán chiếm tỉ lệ lớn trong đề thi THPT Quốc Gia Tuy nhiên các sách tham khảo, sách bồi dưỡng về việc ứng dụng đồ thị của hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số trong phạm vi kiến thức lớp 10 chưa nhiều, các ví dụ và bài tập vẫn ở những dạng cơ bản nhất chưa có nhiều bài toán mở rộng, bài toán đòi hỏi khai thác đồ thị ở mức vận dụng cao.

Với mong muốn sẽ đem đến thêm cho giáo viên và học sinh tài liệu “Ứng dụng đồ thị của hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10”, giúp cho học sinh sẽ có cái nhìn toàn diện hơn, dễ dàng giải quyết lớp bài toán này hơn và tạo điều kiện để học sinh được tiếp cận dần với dạng toán đọc và khai thác đồ thị của đề thi THPT Quốc Gia nên bằng kinh nghiệm giảng dạy của bản thân cùng với nguồn bài tập khá phong phú sáng tạo của tập thể giáo viên trên các nhóm, các diễn đàn mà tôi đã tham gia, tôi đã nghiên cứu, sưu tầm, tập hợp viết sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng dụng đồ thị của hàm số bậc hai để giải và biện luận phương trình đại số lớp 10”.

Sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng dụng đồ thị của hàm số bậc hai để giải và biện luận phương trình đại số lớp 10” tôi viết đã cập nhật được mới, tính thực tế áp dụng trong giai đoạn hiện nay Có nhiều ví dụ và bài tập chưa được công khai chia sẻ và cũng có bài tập lần đầu được giới thiệu do bản thân đã khai thác, phát triển từ bài toán gốc thành các bài toán mới.

Do thời gian và khả năng có hạn nên sáng kiến kinh nghiệm tôi viết vẫn còn nhiều tồn tại Kính mong đồng nghiệp và học sinh góp ý để sáng kiến kinh nghiệm của tôi được hoàn thiện hơn và sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích và thú vị cho giáo viên và học sinh.

II Tên sáng kiến: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10

III Tác giả sáng kiến:

Trang 2

- Họ và tên:Vũ Thị Thanh Nga.

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Viết Xuân - Vĩnh Tường - Vĩnh Phúc.

- Số điện thoại: 0982843827

E_mail: vuthithanhnga.gvnguyenvietxuan@vinhphuc.edu.n

IV Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Vũ Thị Thanh Nga.

V Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy cho học sinh lớp 10.

VI Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Tháng 11 năm 2019 VII Mô tả bản chất của sáng kiến:

Trang 3

+ Bề lõm hướng lên trên nếu a 0 , hướng xuống dưới nếu a 0

+ Giao điểm với trục tung là M 0;c

Giữ nguyên đồ thị y f x phía trên trục hoành.

Lấy đối xứng phần đồ thị y f x phía dưới trục hoành qua trục hoành ( bỏ phần dưới ).

Kết hợp hai phần ta được đồ thị hàm số y f x .

Trang 4

| 3

Trang 5

Từ đó suy ra cách vẽ đồ thị hàm số C từ đồ thị hàm số y f x như sau:

Giữ nguyên đồ thị y f x phía bên phải trục tung ( bỏ phần đồ thị bên trái trục

tung ).

Lấy đối xứng phần đồ thị y f x phía bên phải trục tung qua

trục tung Kết hợp hai phần ta được đồ thị hàm số y f x

3 Phép tịnh tiến đồ thị

Định lí: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đồ thị G của hàm số y f x ; p và q là hai số dương bất kỳ Khi đó:

1) Tịnh tiến G lên trên q đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số y f x q

2) Tịnh tiến G xuống dưới q đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số y f x q

Trang 6

4) Tịnh tiến G sang phải p đơn vị thì ta

| 4

Trang 7

*Lưu ý: Đường thẳng d : y g m là đường thẳng có phương ngang và cắt trục

tung tại điểm có tung độ g m

C CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1 Cho hàm số y x 2 4x 2 có đồ thị như hình vẽ bên dưới Dựa vào đồ thị tìm các giá trị của tham số m để phương trình x 2 4 x 2 m có 2 nghiệm phân biệt.

Phân tích: Đây là bài toán đã cho đúng dạng của bài toán gốc nêu trên

nên học sinh dễ dàng vận dụng để tìm lời giải.

Lời giải Phương trình x 2 4x 2 m (1) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số

P của hàm số y x 2 4x 2 và đường thẳng d : y m

Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của P và d

Dựa vào đồ thị ta thấy, yêu cầu bài toán m 6

Trang 8

| 5

Trang 9

+) Nếu m 1 thì (d ) không cắt (P) phương trình (1) vô nghiệm.

+) Nếu m 1 thì ( d ) tiếp xúc với ( P) tại một điểm phương trình (1) có nghiệm kép +) Nếu m 1 thì (d ) cắt (P) tại hai điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Phân tích: Bài toán chưa có đúng dạng của bài toán gốc nên ta sẽ chuyển

về bài toán gốc bằng cách chuyển tham số sang vế phải ( cô lập tham số ).

Ví dụ 3 Cho hàm số y x 2 6x 5 có đồ thị ( P) như nhình vẽ bên dưới Dựa vào đồ thị, tìm các giá trị của tham số m để phương trình: 2 x 2 12 x 6m 1 0 có 2 nghiệm phân biệt dương.

Phân tích: Ở Ví dụ 3 giống như Ví dụ 2 nhưng yêu cầu thêm về điều kiện của

nghiệm là hai nghiệm phân biệt dương nên phải lưu ý số giao điểm của parabol và đường thẳng là hai điểm có hoành độ dương ( hai điểm nằm bên phải trục tung ).

Trang 10

Lời giải Phương trình: 2x 2 12x 6m1 0 x 2 6 x 5 3m 11 2 (1).

Phương trình (1) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số P y x 2 6x 5 và đường thẳng d y 3m

11

.

2

Số nghiệm của phương trình (1) chính bằng số giao điểm của P và d .

Dựa vào đồ thị ta thấy, yêu cầu bài toán 4 3m 11 5 1 m 19

Trang 12

2 thì phương trình (1) không có nghiệm thuộc đoạn 3; 0 Với

3

m

2 1

Trang 14

x 2 2 x 3 3 2m x 2 2 x 3 3 2 m

Đồ thị P1 : y x 2 2 x 3 và đường thẳng d m : y 3 2m ( d m

Từ đồ thịP vẽ P 1 bằng cách :

+ Giữ nguyên phần đồ thị P ở phía trên trục Ox

+ Lấy đối xứng phần đồ thị P ở phía dưới trục Ox qua trục Ox

+ Xóa bỏ phần đồ thị P ở phía dưới trục Ox

d m nên 1 có 3 nghiệm phân biệt khi P 1 và

d m cắt nhau tại 3 điểm phân biệt.

Trang 15

SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10 Phân tích: Đưa về bài toán gốc f x g m , vận dụng cách vẽ đồ thị hàm số dạng:

Vậy để phương trình (*) có bốn nghiệm phân biệt thì đồ thị hàm số y x 2 2 x 3

cắt đường thẳng y 2m 1 tại bốn điểm phân biệt.

Dựa vào đồ thị suy ra phương trình (*) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi :

4 2 m 1 3 2 5 m 2

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt 2 5 m 2

Ví dụ 7 Có bao nhiêu giá trị m nguyên trong nửa khoảng 0;2019 để phương trình x

2 4 x 5 m 0 có hai nghiệm phân biệt?

Phân tích: Dễ dàng đưa phương trình về dạng quen thuộc: x 2 4 x 5 m Lưu ý cách vẽ

đồ thị hàm số y x 2 4 x 5 , bản chất là gồm hai bài toán là vẽ đồ thị y x 2 4 x

Trang 16

| 10

Trang 17

Xét hàm số y f x x 2 4 x 5 ta thấy đây là hàm số chẵn nên đồ thị P 2 của nó nhận

Oy làm trục đối xứng.

Mà y x 2 4 x 5 x 2 4 x 5 nếu x 0 nên P2 gồm hai phần:

-Phần 1: Là phần bên phải Oy của P1 kể cả giao điểm của P1 và Oy -Phần 2 : Là phần đối xứng của phần 1 qua trục Oy

Tức P2 như hình sau đây:

Trang 18

| 11

Trang 19

.

m 0;2019

Vây có 2010 giá trị của tham số m thỏa yêu cầu bài toán.

Ví dụ 8 Cho hàm số y f x ax 2 bx c có đồ thị C như hình vẽ sau

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f 2 x m 2 f ( x )

m 3 0 có

6 nghiệm phân biệt ?

Phân tích: Rõ ràng nhìn vào phương trình muốn đưa về dạng cơ bản bằng cách cô lập tham

số m thì bài toán trở nên khá phức tạp, mặt khác dễ nhận ra ngay đây là phương trình bậc

hai ẩn t f x là: t 2 m 2 t m 3 0 nhẩm được hai nghiệm t 1 và t 3 m

và bài toán được đưa về bài toán cơ bản đã biết cách giải.

Lời giải Trước hết ta vẽ đồ thị C 1 của hàm số y f x :

+ Giữ nguyên phần đồ thị C nằm bên phải trục Oy

Trang 20

SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10 + Bỏ đi phần đồ thị C nằm bên trái trục Oy

+ Lấy đối xứng phần đồ thị C đã giữ lại qua trục Oy

Do đó phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt

phương trình f x 3 m có bốn nghiệm phân biệt khác 2

đường thẳng d : y 3 m cắt đồ thị C1 tại bốn điểm phân biệt khác hai điểm A và B

1 3 m 3 0 m 4 Do m

nên m 1, 2, 3

Vậy m 1, 2, 3 là các giá trị của tham số m cần tìm.

Ví dụ 9 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x 4 2 x 2 m 1 có bốn nghiệm

Trang 22

Khi đó, phương trình trở thành u 2 2u m *

Để phương trình 1 có bốn nghiệm phân biệt thì phương trình * phải có hai

nghiệm dương phân biệt.

Ta vẽ đồ thị của hàm số y u 2 2u u 0 , số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị với đường thằng y m

Từ đồ thị suy ra, phương trình có 4 nghiệm phân biệt khi m 1.

Vậy với m 1 thì phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

Ví dụ 10 Cho phương trình: x 2 2 x 2 2 x 2 2 x 3 2 m 0 1 Tìm m để phương trình có nghiệm.

Trang 23

Dựa vào bảng biến thiên của đồ thị của hàm số g t t 2 2t 3, t 0 , ta thấy phương

Lời giải Điều kiện 3 x 6

bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y f t t 2 2t 9 , (với

Số nghiệm của phương trình *

Trang 24

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình * có nghiệm t

Dựa vào đồ thị ta có 10 2 m 6 5 m 3

| 15

Trang 25

Vậy 5 m 3 là các giá trị của tham số m cần tìm

Ví dụ 12 Cho hàm số y f x có đồ thị C như hình sau

Tìm m để phương trình: f x 1 2 4 f ( x 1) 2 2 m 0 có 6 nghiệm phân biệt thuộc

Xác định được với mỗi giá trị của t thỏa mãn điều kiện sẽ cho tương ứng với bao nhiêu giá trị của x 5;1

Trang 26

| 16

Trang 27

Từ đồ thị C g( 5) f 4 2 3 và g(1) f 2 2 9

Đặt t f x 1 2 , t 0;3 phương trình biểu thị theo t là: 1 t 2 2t m (1)

Qua phần đồ thị C ' ứng với x 5;1 ta được mỗi giá trị t 0;3 thì phương trình

Do đó phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt thuộc 5;1 khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thuộc 3; 7

m số nghiệm phương trình sau: x 2 4x 3 m

Trang 28

| 17

Trang 29

Tìm m x 2 3 x 2 m 1 có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn

Bài 5 Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình sau: x 2 6 x 5 m

Bài 6 Tìm m để phương trình x 2 3 x 2 2m có 2 nghiệm phân biệt trong khoảng 1;1

Bài 7 Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình x 4 2x 2 1 m 0

Bài 8 Cho hàm số y x 2 4x 3 có đồ thị như hình vẽ bên Tìm tất cả các giá trị của tham số

Bài 10 Cho phương trình x 4 4 x 3 2 x 2 12 x 2 x 2 2 x 3 m 2 3m 10 0 Tìm m để

phương trình có nghiệm x thuộc 2;3

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1 Cho hàm số yax 2 bx c có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới đây

Trang 30

| 18

Trang 31

Câu 2 Hàm số y x 2 2x 1 có đồ thị như hình bên Tìm các giá trị m để

phương trình x 2 2x m 0 vô nghiệm.

y

2 1

-1 -2

Câu 3 Cho hàm số f x xác định trên có đồ thị như hình vẽ

Phương trình 2 f x 1 0 có bao nhiêu nghiệm?

Câu 5 Cho parabol P : y ax 2 bx c a 0 có đồ thị như hình bên Số giá trị nguyên của

m để phương trình ax 2 bx c m có bốn nghiệm phân biệt là

Trang 32

3

Câu 6 Cho hàm số f x ax 2 bx c đồ thị như hình Hỏi với những giá trị nào của tham số

thực m thì phương trình f x 1 m có đúng 3 nghiệm phân biệt.

A m 3 B m 3 C m 2 D 2 m 2 Câu 7 Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên Tìm tất cả các giá trị của tham số m

để đồ thị hàm số y f x cắt đường y m 1 trên cùng một hệ trục tọa độ tại 4 điểm

phân biệt là?

A 3 m 0 B 0 m 3 C 1 m 4 D 1 m 2 Câu 8 Cho phương trình x 2 2 x 2 x m 1 0 Có bao nhiêu giá trị của tham số m để

phương trình có 3 nghiệm thực?

| 20

Trang 33

Câu 9 Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ.

Phương trình f 2 x f x 2 0 có bao nhiêu nghiệm?

Bài 10 Cho hàm số y f x ax 2 bx c có đồ thị C như hình vẽ sau

Số giá trị nguyên của m để phương trình f 2 x m 2 f x m 1 0 có 10

nghiệm phân biệt là

Trang 34

BẢNG ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

VIII Những thông tin cần được bảo mật: Không.

IX Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

Học sinh lớp 10 khi học Đại số chương II và chương III.

X Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả:

Học sinh được học theo nội dung trình bày trong sáng kiến sẽ tự tin hơn khi đối mặt với việc đọc đồ thị hàm số, khai thác đồ thị hàm số và đặc biệt là việc ứng dụng đồ thị của hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số trong phạm vi kiến thức lớp 10 và bước đầu đã trang bị cho học sinh những kỹ năng và phương pháp giải quyết dạng toán về khai thác đồ thị hàm số sau này học lớp 12 và ôn thi THPT Quốc Gia.

Bản thân giáo viên khi viết đề tài này đã phần nào đó rèn luyện cho mình khả năng nghiên cứu khoa học, tìm tòi và phân tích và tổng hợp tài liệu, tăng cường khả năng sáng tác các bài toán nói riêng và khả năng sáng tạo nói chung, tự học, tự bồi dưỡng chuyên môn.

Sáng kiến kinh nghiệm sẽ là tài liệu tham khảo về “Ứng dụng đồ thị của hàm

số bậc hai để giải và biện luận phương trình đại số lớp 10” để trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp và truyền đạt cho học sinh.

Mặc dù đã cố gắng rất nhiều trong quá trình viết sáng kiến kinh nghiệm này nhưng chắc chắn sẽ không tránh khỏi những sai sót Kính mong quý thầy cô, đồng nghiệp và học sinh chân thành góp ý để sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng dụng

đồ thị của hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10” được hoàn thiện hơn và trở thành một tài liệu hay, hữu ích trong việc dạy và học.

| 22

Định dạng
Số trang	35
Dung lượng	1,52 MB