Một số giải pháp phát triển năng lực cho học sinh trong giảng dạy phần đại số tổ hợp – môn toán lớp 11

Mặc dù có vai trò quan trọng như vậy nhưng có nhiều lý do khác nhau mà SGKmôn Toán phổ thông nói chung chưa thực sự quan tâm đúng mức, chú trọng tới việclàm rõ mối liên hệ giữa Toán học

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu:

Nhiệm vụ cấp bách đối với nền giáo dục nước ta hiện nay là đào tạo nhữngngười lao động năng động, có tư duy sáng tạo, có năng lực thực hành giỏi, có khảnăng đáp ứng yêu cầu ngày càng cao của quá trình đẩy mạnh công nghiệp hoá hiện đạihoá gắn với phát triển nền kinh tế trí thức và xu thế toàn cầu hoá Học sinh trung họcphổ thông là những thế hệ tương lai chuẩn bị tham gia trực tiếp vào lao động sản xuất,phát triển xã hội Việc trang bị cho học sinh những kỹ năng, những phẩm chất củangười lao động ngay khi ngồi trên ghế nhà trường là rất quan trọng Để thực hiện đượcnhiệm vụ cấp bách đó sự nghiệp giáo dục và đào tạo cần được đổi mới Cùng vớinhững thay đổi về nội dung giảng dạy, cần có những đổi mới về tư duy giáo dục vàphương pháp dạy học bộ môn, trong đó phương pháp dạy học bộ môn Toán là mộttrong những yếu tố quan trọng, nhất là trong giai đoạn hiện nay đang đổi mới nền giáodục Việt Nam

Luật Giáo dục nước ta quy định: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải pháthuy tính tích cực tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của HS, phù hợp với đặc điểm củatừng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng, vận dụngkiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tậpcho HS” Chủ tịch Hồ Chí Minh là người có quan điểm và chiến lược vượt tầm thờiđại về giáo dục Về mục đích việc học Bác xác định rõ học để làm việc Còn vềphương pháp học tập Người xác định học phải đi đôi với hành, học tập suốt đời, học ởmọi nơi, mọi lúc Toán học có nguồn gốc thực tiễn và là "chìa khoá" trong hầu hết cáchoạt động của con người Mặc dù là ngành khoa học có tính trừu tượng cao với cáccon số nhưng Toán học có mối liên hệ chặt chẽ với thực tiễn và có thể ứng dụng nhiềutrong các lĩnh vực trong cuộc sống, là công cụ để học tập nhiều môn học khác nhautrong trường phổ thông, là công cụ để lao động trong sản xuất và đời sống thực tiễn xãhội

Mặc dù có vai trò quan trọng như vậy nhưng có nhiều lý do khác nhau mà SGKmôn Toán phổ thông nói chung chưa thực sự quan tâm đúng mức, chú trọng tới việclàm rõ mối liên hệ giữa Toán học với thực tiễn, nhằm bồi dưỡng cho HS ý thức vànăng lực vận dụng Toán học vào việc học tập các môn học khác, giải quyết nhiều tìnhhuống gặp phải trong đời sống Bên cạnh đó, thực trạng dạy học Toán ở trường THPT

hiện nay có nhiều GV chỉ quan tâm tới việc truyền thụ lý thuyết, thiếu thực hành vàvận dụng kiến thức môn học vào thực tiễn Nhiều HS thụ động trong việc học, thậmchí còn chưa nắm chắc kiến thức cơ bản chứ chưa nói đến vận dụng kiến thức mônhọc vào thực tiễn.

Định hướng đổi mới phương pháp dạy học và nội dung SGK của Bộ giáo dục

và đào tạo đã xác định rõ: “Cần dạy học theo cách sao cho HS có thể nắm vững trithức, kỹ năng và sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn Tạo cơ sở để HS học tiếp hoặc đivào cuộc sống lao động” Như vậy, trong giảng dạy môn Toán nói chung và nội dung

Tổ hợp - Xác suất nói riêng, nếu muốn tăng cường rèn luyện năng lực, kỹ năng và ýthức ứng dụng Toán học cho HS cần thiết phải mở rộng phạm vi ứng dụng môn học,trong đó ứng dụng vào thực tiễn cần được đặc biệt quan tâm thường xuyên góp phầntăng cường thực hành gắn với thực tiễn cuộc sống làm cho Toán học bớt trừu tượngkhô khan và nhàm chán không tạo hứng thú cho học sinh Học sinh cần biết vận dụngkiến thức đã học để có năng lực giải quyết trực tiếp một số vấn đề trong cuộc sống vàngược lại từ bài toán trong thực tế liên hệ với bài học

Qua nghiên cứu chương trình SGK môn Toán THPT, chương Tổ hợp - Xácsuất là chương mới đối với học sinh, là nội dung khó đối khi mới bắt đầu làm quen.Cần phải hình thành nội dung dần dần qua các VD thực tiễn Chương này cung cấpnhững kiến thức cơ bản nhất về Đại số tổ hợp và lý thuyết xác suất, một lĩnh vực cơbản của Toán học nhiều ứng dụng quan trọng trong đời sống

Đã có một số công trình nghiên cứu liên quan đến vấn đề năng lực vận dụng Toánhọc vào thực tiễn Đề tài của tôi dựa trên tính kế thừa, phát triển của những tác giả đitrước góp phần làm sáng tỏ và cụ thể hóa kết quả nghiên cứu vào việc giảng dạy

môn Toán ở trường THPT Việc phát triển nănglực vận dụng kiến thức Toán học cho HS có ý nghĩa quan trọng trong việc giải quyết

những nhiệm vụ đặt ra của HS như: Vận dụng kiến thức đểgiải bài tập, tiếp thu và xây dựng tri thức cho những bài học mới hay cao nhất là vậndụng để giải quyết những vấn đề trong thực tiễn cuộc sống của các em Phát triểnnăng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn có thể giúp cho HS:

- Nắm vững kiến thức đã học để vận dụng những kiến thức giải quyết nhữngbài tập hay xây dựng kiến thức cho bài học mới; nắm vững kiến thức đã học, có khả năngliên hệ, liên kết các kiến thức bởi những vấn đề thực tiễn liên quan đến kiến thức khoahọc

- Vận dụng các kiến thức, kỹ năng vào trong học tập, trong cuộc sống giúp các

em học đi đôi với hành Giúp HS xây dựng thái độ học tập đúng đắn, phương pháp học tậpchủ động, tích cực, sáng tạo; lòng ham học, ham hiểu biết; năng lực tự học

- Hình thành cho HS kỹ năng quan sát, thu thập, phân tích và xử lý thông tin,hình thành phương pháp nghiên cứu khoa học; hình thành và phát triển kỹ năng nghiêncứu thực tiễn; có tâm thế luôn luôn chủ động trong việc giải quyết những vấn đề đặt ratrong thực tiễn

- Giúp cho HS có được những hiểu biết về thế giới tự nhiên, chu kỳ hoạt động

và tác động tích cực cũng như tiêu cực đối với cuộc sống con người cũng như ảnh hưởngcủa con người đến thế giới tự nhiên

- Thông qua việc hiểu biết về thế giới tự nhiên bằng việc vận dụng kiến thức đãhọc để tìm hiểu giúp các em ý thức được hoạt động của bản thân, có trách nhiệm với chínhmình, với gia đình, nhà trường và xã hội ngay trong cuộc sống hiện tại cũng như tương laisau này của các em

- Đem lại niềm vui, tạo hứng thú học tập cho HS Phát triển ở các em tính tíchcực, tự lập, sáng tạo để vượt qua khó khăn, tạo hứng thú trong học tập

Việc bồi dưỡng và phát triển năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn cho HSphổ thông được nhiều tác giả quan tâm Do đó, cá nhân tôi thấy rằng việc nghiên cứu

về trong dạy học Tổ hợp - Xác suất cho HS phổ thông là điều cần thiết

Vì những lý do trên, tôi đã chọn đề tài: “Một số giải pháp phát triển năng lực cho học sinh trong giảng dạy phần Đại số tổ hợp – môn Toán lớp 11”

Nghiên cứu về một số giải pháp phát triển năng lực học sinh trong phần giảngdạy phần Đại số tổ hợp để giúp học sinh có thể học tốt hơn và hình thành những kiếnthức, kĩ năng mới, vận dụng một cách linh hoạt, sáng tạo nhất, thông minh nhất trongviệc học toán cũng như trong cuộc sống Trong khuôn khổ thời gian có hạn, chúng tôichỉ áp dụng đối với học sinh lớp 11 trường PT DTNT cấp 2-3 tỉnh Vĩnh Phúc trong nămhọc 2020-2021 ở các lớp chuyên đề

2 Tên sáng kiến: “Một số giải pháp phát triển năng lực cho học sinh trong giảng dạy phần Đại số tổ hợp – môn Toán lớp 11”

3 Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: Đặng Thị Kim Chung

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Đồng Tâm, Vĩnh Yên, Vĩnh Phúc.

- Số điện thoại: 0988.819.866E_mail: dangchung.dtnt@gmail.com

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Đặng Thị Kim Chung

5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: (Nêu rõ lĩnh vực có thể áp dụng sáng kiến và vấn đề

mà sáng kiến giải quyết)

Toán học THPT

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử (ghi ngày nào sớm hơn)

Ngày 20/10/2020

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

7.1 Nội dung của sáng kiến:

7.1.1 Thực trạng của việc dạy học phần Đại số tổ hợp ở trường phổ thông theo hướng phát triển năng lực toán học.

Theo Nguyễn Cảnh Toàn có nhận xét về tình hình dạy học toán học hiện nay:

“Dạy và học toán tách rời cuộc sống đời thường”; Hoàng Tụy cho rằng: “Kiểu cáchdạy học hiện nay còn mang nặng nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giải nhữngbài tập oái oăm, giả tạo, không phát triển trí tuệ mà xa rời thực tiễn” Qua nghiên cứuchương trình SGK Toán THPT chương Tổ hợp - Xác suất là hoàn toàn mới đối với

HS Đó là nội dung rất khó đối với những người mới làm quen Cần phải hình thànhchúng dần dần qua các VD thực tiễn Trong chương trình giáo dục phổ thông, việcdạy học nội dung Đại số tổ hợp phần nào đã đưa được hệ thống các bài toán thực tiễn

áp dụng kiến thức đã học để giải bài toán Tuy vậy, việc dạy học toán ở trường phổthông hiện nay vẫn còn coi nhẹ thực hành và ứng dụng Toán học vào đời sống, nănglực vận dụng Toán học vào thực tế của HS còn yếu HS chưa phát huy được khả năngchuyển hóa tình huống thực tiễn thành bài toán

Những ứng dụng của Toán học vào thực tiễn trong chương trình và SGK, cũngnhư trong thực tế dạy học Toán chưa được quan tâm một cách đúng mức và thườngxuyên Trong các SGK môn Toán và các tài liệu tham khảo về môn Toán thường chỉtập trung chú ý những vấn đề, những bài toán trong nội bộ Toán học; số lượng VD,bài tập Toán có nội dung liên môn và thực tế để HS học và rèn luyện còn rất ít Mộtvấn đề quan trọng nữa là trong thực tế dạy Toán ở trường phổ thông, các GV khôngthường xuyên rèn luyện cho HS thực hiện những ứng dụng của Toán học vào thực tiễn

đó là kiểu dạy Toán “xa rời cuộc sống đời thường” cần phải thay đổi

7.1.2 Những thuận lợi và khó khăn của giáo viên và học sinh khi dạy học Tổ hợp Xác suất ở trường phổ thông theo hướng phát triển năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn

-a) Về phía giáo viên

+ Tổ hợp và xác suất có nhiều ứng dụng trong thực tế Hầu hết các hệ thống bài tập là từthực tiễn đã được chuyển thành các bài toán có nội dung thực tiễn

+ GV ý thức được việc vận dụng Toán học vào thực tiễn là hết sức cần thiết trong giai đoạn hiện nay

+ Trong các giờ dạy lý thuyết và bài tập HS rất hứng thú với các tình huống và bài toánkhi GV đặt vấn đề, phần lớn các bài toán đều gần gũi và thiết thực với đời sống GV dễdàng tạo được không khí học tập sôi nổi, hào hứng qua các VD thực tế về tổ hợp và xácsuất

+ Tổ hợp và xác suất là nội dung hay với nhiều ứng dụng trong thực tiễn đời sống Tuynhiên đây là nội dung khó đối với cả người dạy và người học Những kiến thức toán học

về tổ hợp và xác suất được đưa vào trường phổ thông mới chỉ là những kiến thức cơ bảnnhưng nếu so sánh với những loại kiến thức khác như lượng giác, đạo hàm, tích phân thìđây vẫn là phần khó Các thầy cô giáo cần có thời gian để đúc kết kinh nghiệm giảng dạyphần này

+ Nhiều GV chưa có nhiều kinh nghiệm dạy phần Tổ hợp - Xác suất Khó khăn lớn nhất

là GV chưa được trang bị một cách hệ thống những kiến thức cơ bản để thực hiện việc dạyhọc phát triển năng lực liên hệ giữa toán học với thực tiễn khi học tập ở trường sư phạm

GV chưa được trang bị cách thức khai thác các yếu tố thực tiễn trong dạy học toán

+ Do áp lực về thi cử, lo sợ thiếu thời gian hoặc do ý thức của GV mà khi dạy học toánhầu như GV chỉ lo dạy kiến thức Toán học thuần tuý mà SGK nêu ra để phục vụ cho việcgiải các bài tập toán mà ít quan tâm đến sự liên hệ giữa kiến thức Toán học với thực tiễn.Khi dẫn dắt để HS đi đến và nắm được kiến thức mới, có nhiều tình huống đơn giản để

GV lồng ghép kiến thức thực tế với kiến thức Toán học giúp cho HS dễ hiểu, dễ nhớnhưng nhiều GV lại không vận dụng Việc đánh giá kết quả học tập môn Toán hiện naychủ yếu quan tâm mặt kiến thức thuần tuý, ít quan tâm tới việc đánh giá khả năng vậndụng kiến thức vào các tình huống thực tiễn Do vậy, việc dạy và học môn Toán cũng chủyếu để đáp ứng cách thức đánh giá

+ GV còn gặp khó khăn trong việc tìm những VD cụ thể minh họa việc dạy học xácxuất theo đúng bản chất của nó Trong dạy học để HS hiểu được các khái niệm Toán học

và giải được các bài toán thì cần phải có một mô hình thực tế trước khi vào mô hình Toánhọc Sự mập mờ ở đây dễ khiến HS có thể nghĩ rằng đang làm việc trên thực tế nhưngthực ra thì lại đang ở trong một mô hình toán học

b) Về phía học sinh

+ HS khó khăn khi tiếp cận khái niệm ngẫu nhiên Việc học nội dung xác suất liên hệchặt chẽ với các kiến thức tổ hợp đã học trước, học yếu phần tổ hợp thì không thể học tốtđược phần xác suất

+ Khi HS tiếp cận định nghĩa và cách xây dựng công thức tính số chỉnh hợp, tổ hợp thì nhiều em thấy trừu tượng khó phân biệt được sự khác nhau giữa tổ hợp và chỉnh hợp.+ Khi làm bài tập HS thường nhầm lẫn giữa hai quy tắc đếm: Quy tắc cộng và quy tắcnhân

+ HS phần lớn vẫn còn lung túng trong cách trình bày diễn đạt lời giải bài toán

+ Đa số HS được hỏi đều rất hứng thú với những bài toán có nội dung gần gũi với thựctiễn về Tổ hợp HS cảm thấy chủ động, tích cực hơn trong học tập, làm cho việc học trởnên ý nghĩa hơn

+ Thực tiễn dạy học toán cho thấy rằng nhiều HS không có “vốn” về ngôn ngữ toán họchay nói cụ thể hơn là trình độ toán học còn thấp Điều đó thể hiện qua việc không nắmchắc cả về phương diện cú pháp và phương diện ngữ nghĩa của các thuật ngữ, ký hiệu,công thức toán học

Tóm lại, HS thấy được ứng dụng rộng rãi của Tổ hợp - Xác suất nhưng chưa nắm vữngđược kiến thức cơ bản để giải các bài toán tổ hợp và xác suất HS chưa có khả năng pháthiện, phân tích và chuyển các tình huống thực tiễn thành các dạng toán đã học

7.1.3 Một số biện pháp dạy học Tổ hợp - Xác suất góp phần phát triển năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn

7.1.3.1 Biện pháp 1: Củng cố kiến thức và kỹ năng cơ bản về Đại số tổ hợp làm cơ sở

cho HS vận dụng vào thực tiễn

Để HS vận dụng được kiến thức toán học vào thực tiễn thì đầu tiên GV phải dạy cho HSnắm chắc kiến thức nền và kỹ năng về Đại số tổ hợp về cả lý thuyết và cách giải cácdạng bài tập cơ bản Từ đó, HS được trang bị hiểu biết cần thiết để giải quyết một số bàitoán thực tiễn Cụ thể:

- Trong quá trình dạy học và làm bài tập để HS nhớ lại nhanh những kiến thức cần vậndụng thì GV có thể sử dụng máy chiếu, bảng phụ để nhắc lại những kiến thức cơ bản vềĐại số tổ hợp.

- GV cần dạy cho HS nắm vững khái niệm, định lý, quy tắc, phương pháp, cách giải cácdạng bài tập cơ bản,… Chẳng hạn:

Ví dụ 1: Trong nội dung Đại số Tổ hợp cần phân biệt cho HS các khái niệm hoán vị,

chỉnh hợp và tổ hợp, cụ thể: Từ định nghĩa cho một tập A có n phần tử

* Mỗi một hoán vị là một bộ sắp xếp tất cả n phần tử của A

* Mỗi một chỉnh hợp là một bộ sắp xếp các phần tử của một tập con của tập A Do đó một hoán vị n phần tử của tập A là một chỉnh hợp chập n của tập A

* Sự giống nhau và khác nhau của chỉnh hợp chập k của n và tổ hợp chập k của n

- Giống nhau: Đều là một tập con gồm k phần tử của tập A

- Khác nhau: Mỗi một chỉnh hợp chập k của n phần tử là một tập con gồm k phần tử, kể

Bước 2: Tìm tất cả các hoán vị trong từng tổ hợp

* Ghi nhớ: Sau khi chọn được một nhóm đối tượng ta tráo đổi vai trò của hai phần tử cho nhau nếu được một cách chọn mới thì đó là chỉnh hợp Nếu không được cách chọn mới thì đó là tổ hợp

Ví dụ 2: Quy tắc cộng được SGK Đại số và Giải tích 11 (chương trình chuẩn trang 44)

trình bày như sau: “Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m n cách thực hiện” Chú

ý rằng, quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động Ngoài ra, quy tắc cộng còn được trình bày dưới dạng mô tả

như sau: “Nếu có m cách chọn đối tượng X , n cách chọn đối tượng Y và nếu mỗi cách chọn đối tượng X không trùng với bất kì cách chọn đối tượng Y nào thì có m+n cáchchọn đối tượng X hoặc Y ”

Do đó HS có thể phát biểu quy tắc cộng dưới dạng khác như sau: “Một công việc

A được hoàn thành bởi các hành động sau:

Ví dụ 3 Trong quá trình dạy học GV cần chú trọng rèn luyện cho HS các kỹ năng: Mô

tả biến cố bằng ngôn ngữ tự nhiên đúng cú pháp và ngữ nghĩa, chuyển đổi biến cố từngôn ngữ tự nhiên sang ngôn ngữ toán học, xây dựng không gian mẫu mô tả phép thử.Hướng dẫn HS dùng kí hiệu toán học để diễn tả các đại lượng trong phần này

- Trong chương trình toán học THPT chương tổ hợp và xác suất là một phần quan trọngcủa đại số và giải tích lớp 11, chủ đề này có rất nhiều những thuật ngữ, kí hiệu, khái niệmmới và chủ đề này cũng có nhiều bài toán khó Vì vậy trong quá trình dạy và học

sẽ gặp những khó khăn nhất định Thực tế giảng dạy cho thấy không ít HS cũng yếu trong việc nắm cú pháp của ngôn ngữ toán học HS vẫn hay nhầm giữa kí hiệu với khái niệm được định nghĩa Đặc biệt HS hay nhầm lẫn giữa chỉnh hợp với tổ hợp, giữa quy tắc cộng với quy tắc nhân

Ví dụ 4 HS diễn đạt thuật ngữ “biến cố ngẫu nhiên” trong một số tình huống cụ thể

không đúng về mặt cú pháp Chẳng hạn, đối với bài toán sau:

Viết ngẫu nhiên một số có 6 chữ số Tính xác suất để số viết ra có 6 chữ số đôi một khác nhau.

Ở đây lẽ ra phải đặt biến cố A: “Viết ra được số có 6 chữ số khác nhau” để tính xác suấtcủa biến cố này thì không ít HS lại đặt A: “Xác suất viết ra được số có 6 chữ số khác nhaubằng bao nhiêu?” Rõ ràng sự diễn tả biến cố ngẫu nhiên của người học là không

đúng về mặt cú pháp, vì rằng biến cố ngẫu nhiên là một sự kiện được diễn tả bởi mộtmệnh đề, đó là một câu khẳng định Trong dạy học toán, cố gắng làm cho HS thấy đượcgiữa ngôn ngữ tự nhiên, ngôn ngữ các khoa học khác và ngôn ngữ toán học còn cókhoảng cách; từ đó, giúp họ thận trọng khi sử dụng ngôn ngữ toán học trong việc mô tảcác tình huống thực tiễn Đặc điểm của ngôn ngữ toán học là biểu đạt ngắn gọn, lôgic vàkhông mang sắc thái biểu cảm Trong khi đó diễn đạt của ngôn ngữ tự nhiên nhiều khimang tính đa nghĩa, ước lệ, mang màu sắc biểu cảm và chấp nhận những suy luậnkhông lôgic Điều này đã gây không ít khó khăn cho việc mô tả tình huống thực tiễnbằng ngôn ngữ toán học, dựa trên các tư liệu có sự tham gia của ngôn ngữ tự nhiên Mộtdẫn chứng cho kết luận vừa đưa ra ở trên là HS rất ngại giải những bài toán có nội dung

thực tiễn, mặc dù chúng đã được các nhà khoa học giáo dục chuẩn hóa về mặt ngônngữ Trong dạy học toán, rất cần thiết phải làm cho HS hiểu được cách diễn đạt củangôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học nhiều khi không đồng nhất Trên cơ sở đó,người học nắm được bản chất vấn đề để mô tả tình huống thực tiễn một cách chuẩn xácbằng ngôn ngữ toán học Để thực hiện được điều đó, trong dạy học khi dùng các thuậtngữ toán học, GV phải giải thích ngữ nghĩa của thuật ngữ ấy cho HS, đưa ra các VD vềtính lôgic của các lập luận vẫn thường xảy ra trong cuộc sống đời thường, liên hệ vớinhững suy luận tương ứng trong Toán học.

Hướng dẫn HS phát triển năng lực vận dụng Toán học, các biến cố ngẫu nhiên bằngcách mô tả chúng bởi các tập hợp Thực tiễn dạy học cho thấy nhiều HS (ngay cả một sốGV) cũng làm tắt bỏ qua công đoạn này, khi giải quyết các bài toán xác suất liên quanđến đời sống thực tiễn Cần phân biệt cho HS cái biểu diễn và cái được biểu diễn, cái kíhiệu và cái được kí hiệu trong khi dạy học các vấn đề cụ thể liên quan đến chủ đề này,

để góp phần vận dụng Toán học vào các tình huống thực tiễn Chẳng hạn, khi cho HSxét bài toán sau:

Ví dụ 5 Gieo một con súc sắc trên mặt phẳng nằm ngang Tìm xác suất để:

a Mặt có số chấm là số chẵn xuất hiện b Mặt có số chấm là số lẻ xuất hiện

GV có thể yêu cầu HS lập bảng sau đây để hướng dẫn các em thực hiện các hoạt độngsau:

Cái được biểu diễn (cái được kí hiệu) Cái biểu diễn (kí hiệu)

Phép thử: Gieo con súc sắc ={1,2,3,4,5,6}Biến cố A: “xuất hiện số chấm là số chẵn” A={2,4,6}

Khả năng xảy ra biến cố A là: 1/2 P(A) =1/2Biến cố B: “xuất hiện số chấm là số lẻ” B={1,3,5}

Khả năng xảy ra biến cố B là: 1/2 P(B) = 1/2

Ngôn ngữ Toán học chủ yếu là các kí hiệu do vậy khi biểu đạt một nội dung Toán học

sẽ rõ ràng, cô đọng và chính xác hơn ngôn ngữ tự nhiên Khi diễn đạt nội dung Toánhọc, ngôn ngữ tự nhiên thường dài dòng, thường thể hiện tính không đơn trị nên khiếnchúng ta khó nắm bắt được ý nghĩa, tư tưởng chính

Phân biệt cái được biểu diễn, cái được kí hiệu với cái biểu diễn và cái kí hiệu giúp chongười học thấy được sự chuyển đổi giữa ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ Toán học

Thông qua đó, HS cũng thấy được rằng: chính là mô hình toán của phép thử thứ tự

là các tập hợp mô tả các biến cố A, B Trong thực tiễn dạy học do không tách bạch rõràng giữa cái kí hiệu, cái biểu diễn với cái được kí hiệu cái được biểu diễn nên nhiều HS

đã mắc sai lầm

Ví dụ 6: Đối với dạy học xác suất (Cả chương trình chuẩn và nâng cao).

Trong dạy học GV cần chú ý những khía cạnh sau:

- Giải thích rõ cho HS về ngữ nghĩa các thuật ngữ: “chỉnh hợp”, “tổ hợp”, “hoán vị”, sự giống và khác nhau của nội dung biểu đạt các thuật ngữ này

- Tăng cường đưa các VD gắn liền với đời sống thực tiễn có ứng dụng các kiến thức về Đại số tổ hợp

- Cần chú ý rèn luyện cho HS một số kỹ năng: Diễn tả biến cố bằng ngôn ngữ tự nhiênđảm bảo đúng cả về mặt cú pháp và ngữ nghĩa; chuyển việc diễn đạt biến cố từ ngôn ngữ

tự nhiên sang diễn đạt bằng ngôn ngữ toán học; Xây dựng không gian mẫu mô tả phépthử

Những vấn đề này góp phần vào việc hình thành những thành tố: Năng lực sử dụngngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học, năng lực xây dựng mô hình toán học Đảmbảo được nội dung cần truyền đạt, vừa rèn luyện năng lực sử dụng ngôn ngữ tự nhiên vàngôn ngữ toán học cho HS Đặc biệt là vấn đề chuyển đổi từ ngôn ngữ tự nhiên sangngôn ngữ toán học thông qua việc xây dựng tập hợp ΩA mô tả biến cố A và rèn luyệnA mô tả biến cố A và rèn luyện

kỹ năng xây dựng không gian mẫu ΩA mô tả biến cố A và rèn luyện mô tả phép thử

Dạy học xác suất phải giúp người học nắm chắc ngữ nghĩa của con số xác suất, đó làcon số đo khả năng xảy ra của một biến cố ngẫu nhiên Các VD đưa vào trong bài giảngphải gắn với cuộc sống để người học ý thức được dùng xác suất để phục vụ hoạt độngthực tiễn của bản thân mình Ngoài ra, cần phải kết hợp với thống kê trong dạy học xácsuất, tăng thêm hiệu quả trong giải quyết các vấn đề liên quan đến cuộc sống Đối vớidạy học xác suất, quá trình vận dụng xác suất vào trong thực tiễn có thể mô tả như sau:Phép thử (sự kiện,hiện tượng) Xây dựng không gian mẫu (mô hình toán của phép thử)Dựa trên không gian mẫu để đánh giá khả năng (xác suất) xảy ra của các tình huống.Trên cơ sở đó, HS dựa vào kết quả thu nhận được để vận dụng vào hoạt động thực tiễncủa bản thân mình

Thông qua dạy học xác suất ở trường THPT, ta có thể rèn luyện cho HS về mặt ngônngữ (cả về ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học) và thông qua đó rèn luyện cho HS

kỹ năng MHH các bài toán xác suất Hướng dẫn cho HS dùng ngôn ngữ tự nhiên để mô

tả sự kiện (biến cố) đúng ngữ nghĩa và cú pháp Thực tế dạy học ở phổ thông, nhiều em

khi dùng ngôn ngữ của mình có thể diễn ta biến cố ngẫu nhiên sai về mặt cú pháp.Hướng dẫn HS “toán học hóa” các biến cố ngẫu nhiên bằng cách mô tả chúng bởi cáctập hợp.

7.1.3.2 Biện pháp 2: Hướng dẫn HS thực hiện quy trình giải bài toán có nội dung thực

tiễn về Tổ hợp - Xác suất

Mô hình hóa (MHH) là phương pháp xây dựng và cải tiến một mô hình toán học nhằmdiễn đạt và mô tả các bài toán thực tiễn Qua các nghiên cứu thực nghiệm, các nhà giáodục toán học cũng đã nhận ra tầm quan trọng của phương pháp MHH trong dạy họctoán ở trường phổ thông Phương pháp này giúp HS làm quen với việc sử dụng các loạibiểu diễn dữ liệu khác nhau; giải quyết các bài toán thực tiễn bằng cách lựa chọn và sửdụng các công cụ, phương pháp toán học phù hợp Qua đó, giúp HS hiểu sâu và nắmchắc các kiến thức Toán học Quá trình MHH giúp HS hệ thống hóa các khái niệm, ýtưởng toán học; nắm được cách thức xây dựng mối quan hệ giữa các ý tưởng đó Dovậy, GV nên phát triển các loại bài tập gắn với hoạt động MHH như: Các bài tập ở dạngđiều tra số liệu, khảo sát thực tế các vấn đề nảy sinh trong thực tiễn, phân tích các tintức trên báo chí, số liệu trong SGK hoặc trên mạng internet Cụ thể:

- GV chỉ ra cho HS thấy rằng không có một thuật giải tổng quát để giải mọi bài toán,ngay cả đối với những bài toán riêng biệt cũng có trường hợp có, trường hợp không cóthuật giải Bài toán thực tiễn trong cuộc sống rất đa dạng và phong phú xuất phát từ nhữngnhu cầu khác nhau trong lao động sản xuất của con người Do vậy càng không thể có mộtthuật giải chung để giải quyết các bài toán thực tiễn

- Tuy nhiên, GV cần trang bị cho HS quy trình các bước giải bài toán có

nội dung thực tiễn về Tổ hợp - Xác suất gồm có 4 bước đã nêu ở chương 1:

+ Bước 1: Từ tình huống thực tiễn xây dựng bài toán thực tiễn

+ Bước 2: Chuyển bài toán thực tiễn đã xây dựng thành mô hình Toán học

+ Bước 3: Vận dụng toán học để giải quyết bài toán trong mô hình toán học

+ Bước 4: Chuyển kết quả lời giải bài toán trong mô hình toán học sang lời giải của bài toán thực tiễn

- Để HS có thể vận dụng được quy trình các bước giải bài toán có nội dung thực tiễn

GV cần hướng dẫn, gợi ý thông qua hệ thống các câu hỏi dẫn dắt HS trả lời để tìm ra lờigiải

- Sau khi GV cho HS xác định, đánh giá mối quan hệ, mức độ phụ thuộc giữa các yếu tốtrong tình huống thực tiễn thì HS tiến hành lập mô hình toán học cho tình huống Khảnăng xây dựng MHH toán học biểu hiện qua việc HS sử dụng các biến, các ký hiệu, các

biểu thức,… để chuyển đổi các thông tin trong tình huống thực tiễn thành các dữ kiện

toán học, và sắp xếp lại các dữ kiện đó đảm bảo diễn đạt một cách chính xác ý nghĩa của

tình huống, nhằm phát biểu tình huống thực tiễn dưới dạng toán học thuần túy

Bài toán 1 “Bảng trò chơi”

Trong giờ sinh hoạt lớp, HS là những người chơi HS tham gia trả lời câu hỏi của GV

đặt ra Chia lớp thành 4 nhóm, các nhóm cử ra một người chơi ném các đồng xu vào

một bảng được kẻ những ô vuông Nếu một đồng xu dính vào biên thì bị loại Nếu lăn ra

khỏi bảng, nó sẽ được ném lại Nhưng nếu đồng xu nằm lọt vào trong ô vuông, người

chơi thắng được trả lời câu hỏi và trả lời đúng sẽ có một phần thưởng Xác suất để HS

ném đồng xu nằm trong ô vuông là bao nhiêu?

Hình minh họa bảng ô vuông và đồng xu

Rõ ràng bài tập xuất phát từ tình huống thực tiễn Trước hết HS nhận ra rằng xác suất để

thắng phụ thuộc vào kích cỡ tương ứng của các ô vuông và đồng xu (xác định các biến

số quan trọng) Sau đó, chuyển vấn đề thực tiễn thành bài toán, HS nhận thấy rằng chỉ

cần xét mối quan hệ giữa một hình vuông và một hình tròn nhỏ hơn (cắt gọt bớt thực

tiễn) Các em quyết định xây dựng một VD cụ thể (giải quyết vấn đề thông qua giải một

bài toán được xây dựng từ vấn đề đó)

Chẳng hạn, HS xét bài toán với bán kính của đồng xu là 2 cm và cạnh của hình vuông là

8 cm Các em đã nhận ra để thắng trò chơi thì tâm của đồng xu phải cách mỗi cạnh ít

nhất 2 cm, khi đó không gian còn lại là hình vuông cạnh 4 cm (gọi là hình vuông không

biến cố); nếu không thì cạnh của hình vuông sẽ cắt đồng xu Các mối quan hệ được chỉ

ra trong sơ đồ dưới đây

8 cm

ThắngThua

Xác suất thắng là tỷ số giữa diện tích hình vuông không biến cố và không gian mẫu(trong VD trên)

Từ đó HS xem xét những đồng xu có kích cỡ khác và tổng quát bài toán bằng cách diễn đạt lời giải của mình theo ngôn ngữ toán học Cuối cùng HS mở rộng những kết quả củamình cho nhiều tình huống thực hành, các em làm các bảng và thử lại một cách thực nghiệm (làm cho lời giải toán có ý nghĩa theo tình huống thực tiễn) Quy trình toán học hóa bài toán trên:

1/ Bắt đầu vấn đề từ tình huống thực tiễn: Xác suất để ném đồng xu nằm lọt trong ôvuông Tổ chức vấn đề theo các khái niệm toán học: Bảng có kẻ những ô vuông thể hiệncác hình vuông, đồng xu thể hiện hình tròn Hình vuông chứa hình tròn thì người chơithắng, nếu cạnh hình vuông cắt hình tròn thì người chơi thua

2/ Cắt gọt dữ kiện để thoát dần ra khỏi thực tiễn thông qua quá trình như đặt giả thiết vềcác yếu tố trọng tâm, tổng quát hóa và hình thức hóa (chú trọng các yếu tố toán học củatình huống và chuyển dịch vấn đề thực tiễn sang bài toán đại diện cho tình huống): Vấn

đề được chuyển thành mối liên hệ giữa diện tích hình tròn (đồng xu) và diện tích củahình vuông

3/ Giải bài toán: Dùng công thức tính diện tích hình tròn, diện tích hình vuông Tính tỷ

số giữa diện tích hình tròn và diện tích hình vuông không biến cố Tỷ số tìm được là xácsuất của bài toán

4/ Làm cho lời giải của bài toán có ý nghĩa đối với tình huống thực tiễn: Thực nghiệmlại tình huống để đối chiếu với kết quả tìm được nhằm phản ánh về lời giải Ta nhận rarằng xác suất để thắng trò chơi là tương đối thấp (25%) Các yếu tố cạnh hình vuông,bán kính đồng xu là những yếu tố ảnh hưởng đến xác suất thắng trò chơi Bán kính đồng

xu càng nhỏ hay cạnh hình vuông càng lớn thì xác suất ném trúng càng cao

7.1.3.3 Biện pháp 3: Sưu tầm, bổ sung những bài toán Tổ hợp - Xác suất có nội dung

thực tiễn

- Trong dạy học, GV nên quan tâm đến các loại bài toán có nội dung thực tiễn, bởichúng phản ánh thực tiễn một cách sát thực hơn, ngoài ra chúng còn là công cụ giúp GVhình thành nhiều loại thao tác tư duy và năng lực trí tuệ quan trọng

- GV khai thác triệt để các bài tập trong SGK và sách bài tập Đại số và giải tích lớp 11

cơ bản và đưa thêm các bài tập trong sách nâng cao cho HS tham khảo

- Trong tiết học vì thời gian không nhiều để GV có thể đưa ra nhiều bài toán có nộidung thực tiễn Chính vì vậy, GV hướng dẫn HS tìm tài liệu ở thư viện nhà trường, nhàsách, trên mạng internet, các chuyên đề nước ngoài

- GV có thể photo bài tập cho HS về tự học tại nhà và giải đáp thắc mắc tại các giờ học

tự chọn trên lớp

- GV lưu ý HS khi sưu tầm bài toán có nội dung thực tiễn cần chú trọng đến những từkhóa tìm kiếm như: “Tổ hợp và xác suất”, “thực tiễn”, “bài toán thực tiễn”, “toán họchóa”, “mô hình hóa”, “năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn” để tìm tài liệu thamkhảo đúng với nội dung cần tìm

- Những bài toán được sưu tầm phải phù hợp với trình độ nhận thức, hiểu biết xã hộicủa cả GV và HS Đặc biệt, những bài toán đó phải đúng với mục tiêu dạy học, góp pháttriển năng lực vận dụng toán học ở trường THPT

Căn cứ vào nội dung bài học, chủ đề môn học, GV có thể tìm kiếm các bài toán có nội dung thực tiễn phù hợp

- GV giới thiệu cho HS vài nét về PISA và cho HS tham khảo thêm một số bài toán cónội dung thực tiễn liên quan đến Tổ hợp - Xác suất theo tư tưởng PISA góp phần pháttriển năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn

Các bài toán giới thiệu dưới đây được chúng tôi sưu tầm (có chỉnh sửa lại cho phù hợpvới chương trình dạy học) Về mặt cấu trúc thì nó giống như cấu trúc bài toán của PISA,gồm 3 phần: Tiêu đề bài toán (chủ đề của tình huống thực tiễn), phần mở đầu là phần đềdẫn mô tả tình huống thực tiễn, các câu hỏi của bài toán giải quyết tình huống thực tiễn

GV có thể dùng làm tài liệu nghiên cứu dạy học nhằm rèn luyện năng lực vận dụngToán học vào thực tiễn cho HS

Bài toán 2: Những chiếc kẹo màu

Mẹ của Hồng cho phép em chọn một chiếc kẹo màu trong một túi Cô bé không nhìnthấy những chiếc kẹo Số lượng kẹo của mỗi màu nằm trong túi được biểu diễn trongbiểu đồ sau:

Biểu đồ : Số lượng viên kẹo màu trong túi Khả năng để chọn được một chiếc kẹo màu đỏ của Hoa là bao nhiêu?

A 10% B 20% C 25% D 50% Đáp án: B 20%

Bài toán 3: Lựa chọn

Trong một cửa hàng pizza, bạn có thể chọn mua một chiếc pizza truyền thống với hailớp: Pho mát và cà chua Bạn cũng có thể gọi pizza theo lựa chọn của mình với các lớpthêm Có thể chọn từ bốn lớp thêm sau: Ô - liu, giăm bông, nấm và xúc xích

Như muốn đặt một chiếc pizza với hai lớp thêm khác nhau Có bao nhiêu lựa chọn kếthợp mà Như có thể đưa ra?

Đáp án: 6

Bài toán 4: Xác suất của trận chung kết bóng đá

Ở mùa giải Champions League 2019 - 2020, có 8 đội bóng lọt vào tứ kết bao gồm: RealMadrid, Atletico Madrid, Barcelona (Tây Ban Nha), Paris Saint - Germain, Monaco(Pháp), Bayern Munich (Đức), Porto (Bồ Đào Nha), Juventus (Ý)

Theo luật của UEFA, để bắt cặp các trận tứ kết, người ta sẽ bốc thăm để xếp 4 cặp đấu.Sau đó người ta tiếp tục bốc thăm cho 4 đội thắng cuộc để xác định 2 cặp bán kết Cuốicùng, hai đội thắng bán kết sẽ vào chung kết để tranh chức vô địch

Ta giả định rằng 8 đội bóng vào tứ kết đều mạnh như nhau (khi họ thi đấu, xác suấtthắng là 50/50) và bốc thăm là hoàn toàn ngẫu nhiên

a) Tính xác suất để hai đội bóng Pháp gặp nhau ngay ở tứ kết

b) Tính xác suất để có một cặp Tây Ban Nha - Tây Ban Nha ở tứ kết c) Tính xác suất

để có một trận chung kết toàn Tây Ban Nha

Đáp án: a) 1/7 ; b) 3/7 ; c) 3/28

- GV hướng dẫn cho HS tự thiết kế các bài toán thực tiễn về Tổ hợp - Xác suất Có thểban đầu HS chỉ có thể thiết kế được các bài toán đơn giản, dần dần GV gợi cho HS liên

hệ với các vấn đề được quan tâm trong XH có sử dụng kiến thức về Tổ hợp - Xác suất.Chẳng hạn:

Bài toán 5 Bài toán tổ chức bóng đá

Trường PT DTNT cấp 2-3 tỉnh Vĩnh Phúc tổ chức giải bóng đá học sinh nhân dịp kỷ niệm 90 năm ngày thành lập Đoàn thanh niên cộng sản Hồ Chí Minh và có 16 lớp đăng ký tham gia đá theo 3 vòng gồm 4 bảng A, B, C, D, mỗi bảng gồm 4 đội cách thức thi đấu như sau:

Vòng 1: Mỗi đội tuyển trong cùng một bảng gặp nhau một lần và gặp tất cả các đội cótrong bảng (VD: Bảng A đội thứ nhất phải thi đấu với 3 đội còn lại)

Vòng 2: (bán kết) Nhất A gặp nhất C, Nhất B gặp nhất D

Vòng 3 (chung kết)

Tranh giải 3: Hai đội thua trong bán kết

Tranh giải nhất: Hai đội thắng trong bán kết

Giải bóng được tổ chức vào các ngày liên tiếp, mỗi ngày 4 trận Hỏi ban tổ chức cầnmượn sân vân động trong bao nhiêu ngày?

Vấn đề đặt ra: Số ngày mượn sân vận động phụ thuộc vào số trận đấu được tổ chức Do

đó cần tính số trận đấu có thể diễn ra

Phương án giải quyết:

Số các trận đấu trong cùng một bảng là: C2 = 6 4

Do đó số trận đấu vòng 1 là: 4.C2 = 24

4

Số trận đấu vòng 2 là: 2; số trận đấu vòng 3 là 2

Vậy số trận đấu có khả năng xảy ra là: 24 + 2 + 2 = 28

Do vậy Ban tổ chức cần mượn sân vận động trong thời gian 28 : 4 = 7 ngày

Bài toán 6 Bài toán chọn cầu

Trong trò chơi chọn bóng người chủ trò tay cầm túi vải trong túi có 6 quả cầu màu đen

và 6 quả cầu màu trắng Điều kiện chơi như sau:

Bạn bỏ ra 2000 đồng thì được chọn 6 quả cầu Nếu 6 quả bạn chọn được hoặc toàn màutrắng hoặc toàn màu đen bạn sẽ được thưởng 50.000 đồng Nếu bạn chọn được 5 quảmàu trắng 1quả màu đen hoặc 5 quả màu đen 1 quả màu trắng thì bạn được thưởng2.000 đồng Nếu bạn chọn được 4 quả màu trắng và 2 quả màu đen hoặc 4 quả màu đen

và 2 qủa màu trắng thì bạn được thưởng 200 đồng Nếu bạn chọn 3 quả màu trắng và 3quả màu đen thì bạn không được thưởng mà bị mất luôn 20 000 đồng Vậy vì sao ngườichơi luôn thua

Vấn đề đặt ra: Từ quy luật chơi trên cần phải biết sau quá trình chơi người chơi có khả năng thu được bao nhiêu tiền.

Phương án giải quyết: Ta thấy rằng khả năng lấy được 6 quả màu đen hoặc 6 quả màu trắng là chỉ có 1 khả năng

Nếu lấy 5 màu đen và 1 màu trắng hoặc lấy 5 trắng 1 đen thì có:

C6 .C6 = 36 khả năngNếu lấy 4 trắng 2 đen hoặc 4 đen 2 trắng thì có C6 2 .C46 = 225khả năngNếu lấy 3 trắng 3 đen thì có C36 3 .C6 = 400 khả năng

Vậy các khả năng có thể xảy ra là n = ( 1+ 36 + 225).2 + 400 = 924 khả năng

Xác suất chọn 6 quả cùng màu là : 20, 002

Một số bài toán sưu tầm thêm HS tự giải

Bài toán 7 Từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng các phương tiện: ôtô, tàu hỏa, tàu thủyhoặc máy bay Mỗi ngày có 10 chuyến ôtô, 5 chuyến tàu hỏa,

3 chuyến tàu thủy và 2 chuyến máy bay Hỏi mỗi ngày có bao nhiêu sự lựa chọn phươngtiện để đi từ tỉnh A đến tỉnh B?

Bài toán 8 Trong một cuộc thi tìm hiểu về đất nước Việt Nam, ban tổ chức công bốdanh sách các đề tài bao gồm: 8 đề tài về lịch sử, 7 đề tài về thiên nhiên, 10 đề tài vềcon người, 6 đề tài về văn hóa Mỗi thí sinh được quyền chọn 1 đề tài Hỏi mỗi thí sinh

có bao nhiêu khả năng lựa chọn đề tài?

Bài toán 9 Số điện thoại di động của mạng Vinaphone gồm 10 chữ số Hỏi có tối đa baonhiêu thuê bao di động biết bốn chữ số đầu là 0914?

Bài toán 10 Hỏi có bao nhiêu cách để xếp chỗ ngồi cho bốn HS vào một bàn dài có 4chỗ?