Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi TN THPT

Lời giới thiệu: Trong đề thi tốt nghiệp THPT bài toán liên quan đến câu khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số thường có mặt.. Tuy nhiên bài toán cực trị của hàm số cũng là một nội d

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu:

Trong đề thi tốt nghiệp THPT bài toán liên quan đến câu khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số thường có mặt Tuy nhiên bài toán cực trị của hàm số cũng là một nội dung khá quan trọng trong các đề thi tuyển sinh đại học và cao đẳng Chẳng hạn như bài toán tìm tham số thỏa mãn điều kiện bài toán cực trị là một trong những bài toán khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định lý, cácquy tắc, các công thức đã học ở lớp dưới, các phương pháp giải mà trong Sách giáo khoa Giải tích 12 không có đưa ra Qua thực tế giảng dạy, dự giờ đồng nghiệp, chấm bài kiểm tra của học sinh, còn nhiều học sinh làm chua tốt nội dung này Nguyên nhân cơ bản là các em không nắm được bản chất của vấn đề, chưa có kinh nghiệm trong việc giải các bài toán tìm tham số thỏa mãn điều kiện bài toán cho trước Để khắc phục những điểm yếu trên, tôi cố gắng đưa ra một sốbài toán, từ đó chỉ ra những sai lầm thường gặp của các dạng bài toán này, giúp các em học sinh trung bình và yếu tích lũy dần kinh nghiệm khi giải Ngoài ra đối với các em học sinh khá, giỏi có thêm tài liệu tham khảo về các dạng bài toánnằm ngoài sách giáo khoa, từ đó giúp các em xử lí tốt hơn khi tiếp cận với các đềthi tuyển sinh đại học và cao đẳng

2 Tên sáng kiến: “Bài toán về cực trị của hàm số trong ôn thi TN THPT”

3 Tác giả sáng kiến

- Họ và tên: Nguyễn Ngọc Tuấn

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Bình Sơn – Sông Lô – Vĩnh Phúc

- Số điện thoại: 0988993812 E_mail: tuannn86@gmail.com

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Nguyễn Ngọc Tuấn

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Phương pháp học.

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: năm học

2019-2020

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

7.1 Về nội dung của sáng kiến:

7.1.1 Một số kiến thức sử dụng trong chuyên đề

7.1.1.1 Điểm tới hạn của hàm số

Điểm x0 được gọi là điểm tới hạn của hàm số f x( ) nếu nó thuộc tập xácđịnh của f x( ) và f x '( ) 0 0 hoặc f x'( ) 0 không xác định

Chú ý: Trên mỗi khoảng phân chia bởi hai điểm tới hạn kề nhau, đạo hàm của

hàm số giữ nguyên một dấu.

7.1.1.2 Cực trị của hàm số

a Định nghĩa: Cho hàm số f x( ) xác định trên tập D, x 0D

- x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f x( ) nếu tồn tại khoảng a b;  chứađiểm x0 sao cho a b; D và f x  f x 0 ,với mọix0 a b;   \ x0 Lúc đó,

 0

f x được gọi là giá trị cực đại của f x( )

- x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f x( ) nếu tồn tại khoảng a b;  chứađiểm x0 sao cho a b; D và f x  f x 0 ,với mọi x0 a b;   \ x0 Lúc đó,

 0

f x được gọi là giá trị cực tiểu của f x( )

- Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số

- Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị của hàm số

- Nếu x 0 là điểm cực trị của hàm số f x( ) thì điểm x f x0 ;  0  được gọi là điểmcực trị của đồ thị hàm số f x( )

b Định lí 1 (Định lí Fecmart-Điều kiện cần để hàm số có cực trị)

Nếu hàm số f x( ) có đạo hàm và đạt cực trị tại điểm x0 thì f x ’ 0 0

c Định lí 2 (Điều kiện đủ - Dấu hiệu 1)

Giả sử hàm số f x( ) liên tục trên khoảng a b;  chứa điểm x0 và có đạo hàmtrên các khoảng a x; 0và x b0 ;  Khi đó:

i) Nếu f x’  0, x (a; x 0) và f’ x 0, x (x 0 ;b) thì f x( ) đạt cực tiểu tạiđiểm x0.

ii) Nếu f x’  0, x (a; x 0)và f’ x 0, x (x 0 ;b) thì f x( ) đạt cực đại tạiđiểm x0.

Giả sử hàm số f x( ) có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng a b;  chứa điểm x0đồng thời f x ’ 0 0và f’’ x 0 0 Khi đó

i) Nếu f’’ x 0 0 thì hàm số f x( ) đạt cực đại tại điểm x0.

ii) Nếu f’’ x 0 0 thì hàm số f x( ) đạt cực tiểu tại điểm x0.

Quy tắc 2

-Tìm tập xác định

-Tính f x’ .Tìm các nghiệm x i của phương trình f x ’ 0 0

-Tính f’’ x và suy ra f’’ x i .

o Nếu f’’ x  i 0thì f x( ) đạt cực đại tại x i

o Nếu f’’ x  i 0thì f x( ) đạt cực tiểu tại x i

Chú ý: Khi áp dụng qui tắc 2, ta chỉ tìm được các điểm cực trị là nghiệm của

phương trình f x ’  0, hơn nữa f’’ x phải bằng khác 0 Ngoài các trường hợp

trên, ta phải sử dụng qui tắc 1.

Để hàm số có cực trị (CĐ và CT) thì y ' 0có 2 nghiệm phân biệt.

Phương trình đường thẳng qua CĐ và CT là

2 a x b y

d





7.1.2 Các bài toán trắc nghiệm phân theo mức độ kiến thức

MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT

Câu 1: (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước-lần 1-năm

trên khoảng a b;  và x0 a b;  Khẳng định nào sau đây sai ?

Theo định lý về quy tắc tìm cực trị A, C và B đúng

D sai vì xét hàm số y x 4 trên  thỏa mãn y 0 0 và y 0 0 nhưng

0 0

x  vẫn là điểm cực tiểu của hàm số

Câu 2: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 1-năm 2017-2018) Giá trị cực tiểu của

hàm số y x 3 3x2 9x2 là

Lời giải

x y

Vậy giá trị cực tiểu là y  CT 25

Câu 3: (THPT Chuyên Bắc Ninh-lần 1-năm 2017-2018) Phát biểu nào sau

đây là sai?

A Nếu f x 0  0 và f x0  0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0

B Nếu f x 0  0 và f x0  0 thì hàm số đạt cực đại tại x0

C Nếu f x  đổi dấu khi x qua điểm x0 và f x  liên tục tại x0 thì hàm

số yf x  đạt cực trị tại điểm x0

D Hàm số yf x  đạt cực trị tại x0 khi và chỉ khi x0 là nghiệm của đạo hàm

Lời giải Chọn D

Xét hàm số y x 3   y x2  y  0 x0

Hàm số y không đạt cực trị tại điểm x 0

Câu 4: (THPT Nguyễn Khuyến-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm

số yf x  có bảng biến thiên như hình vẽ bên Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A y  CT 0 B max y 5 C y C Ð 5 D min y 4

Lời giải Chọn C

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x 1, y C Ð 5; đạtcực tiểu tại x 0, y  CT 4; hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏnhất

Câu 5: (THPT Nguyễn Khuyến-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Đồ thị

hàm số nào trong bốn hàm số liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây, có đúng một cực trị?

A y x 3 3x2x B y x 42x2 3 C yx3 4x5 D

1

x y x





Lời giải Chọn B

Ta có đồ thị hàm số y ax 3bx2cx d với a 0 luôn có hai hoặc

không có cực trị

Đồ thị hàm số

ax b y

cx d





 với ad bc 0 không có cực trị.

có bảng biến thiên sau:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Hàm số đạt cực đại tại x 2 và y CĐ y 2 3.

Hàm số đạt cực tiểu tại x 4 và y CT y 4 2.

Câu 7: (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 11-năm 2017-2018) Hàm số

3 3 2 3 4

y x  x  x có bao nhiêu cực trị?

Lời giải Chọn C

Ta có y 3x2 6x 3 3x12 0,   x Hàm số đã cho có đạo hàm không đổi dấu trên  nên nó không có cực trị

Câu 8: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018) Cho hàm số

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số có 2 cực trị

Hàm số đạt cực đại tại x0 và giá trị cực đại bằng2

Hàm số đạt cực tiểu tại B1; 1  và giá trị cực tiểu bằng 2

Câu 9: (THPT Ngô Sĩ Liên-Bắc Giang-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số

 

yf x có đạo hàm trên  Mệnh đề nào dưới đây đây là đúng?

A Nếu f x 0  0 thì hàm số đạt cực trị tại x0

B Nếu f x 0 f x0  0 thì hàm số không đạt cực trị tại x0

C Nếu đạo hàm đổi dấu khi x qua x0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0

D Nếu hàm số đạt cực trị tại x0 thì đạo hàm đổi dấu khi x qua x0

Lời giải

Câu 10: (THPT Ngô Sĩ Liên-Bắc Giang-lần 1-năm 2017-2018) Số cực trị của

hàm số y x 42x2 3 là

Lời giải Chọn D

có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hàm số đạt cực đại tại x 4 B Hàm số đạt cực tiểu tại x 2

C Hàm số đạt cực tiểu tại x 3 D Hàm số đạt cực đại tại x 2

Lời giải Chọn D

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Hàm số đạt cực đại tại x 2, giá trị cực đại y CĐ 3

Hàm số đạt cực tiểu tại x 4, giá trị cực đại y  CT 2

Câu 13: (THPT Lục Ngạn-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số

 

yf x liên tục và có đạo hàm tới cấp hai trên a b; ; x0 a b;  Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Câu 14: (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-lần 2 năm 2017-2018) Cho hàm

số yf x  liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau Kết luận nàosau đây đúng

A Hàm số có hai điểm cực trị B Hàm số đạt cực tiểu tại x 1

C Hàm số có ba điểm cực trị D Hàm số đạt cực đại tại x 2

Lời giải Chọn A

Câu 15: (THPT Thạch Thành 2-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Điểm cực

tiểu của đồ thị hàm số y x 3 3x5 là điểm

Lời giải Chọn A

Ta có y 3x2 3

y   x

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, điểm N1;3 là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Câu 16: (THPT Chuyên Quốc Học-Huế năm 2017-2018) Cho hàm số

 

yf x có đạo hàm cấp 2 trên khoảng K và x0 K Mệnh đề nào sauđây đúng ?

A Nếu f x 0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số yf x 

B Nếu f x 0 thì x0 là điểm cực trị của hàm số yf x 

C Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số yf x  thì f x 0 0

D Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số yf x  thì f x0  0

Lời giải Chọn C

Mệnh đề đúng là: “Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số yf x  thì

x x

Câu 19: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3 MĐ 234 năm học 2017-2018) Cho

hàm số yf x  có bảng biến thiên như hình dưới đây Khẳng định nàosau đây là đúng?

Chọn B

Dựa vào bảng biến thiên hàm số đạt cực đại tại x 0

Câu 20: (THPT Hồng Quang-Hải Dương năm 2017-2018) Cho hàm số

 

yf x có đồ thị như hình bên Tìm số cực trị của hàm số yf x 

Lời giải Chọn A

Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số có ba điểm cực trị trong đó có hai điểmcực tiểu và một điểm cực đại

đạt cực tiểu tại x bằng ?

Lời giải Chọn C

Ta có: y 3x2 3 0

1 1

x x

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại x 1

Câu 22: (THPT Xuân Trường-Nam Định năm 2017-2018) Cho hàm số

 

yf x có bảng biến thiên như hình bên:

Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A Hàm số đạt cực đại tại x 3 B Hàm số đạt cực đại tại x 4

C Hàm số đạt cực đại tại x 2 D Hàm số đạt cực đại tại x 2

Lời giải Chọn C

Giá trị cực đại của hàm số là y 3 tại x 2

Câu 23: (THPT Lương Văn ChasnhPhus Yên năm 2017-2018) Cho hàm số

 

yf x , có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

C Hàm số có bốn điểm cực trị D Hàm số đạt cực tiểu tại x 6

Lời giải Chọn A

Từ bảng biến thiên của hàm số ta thấy y 0 có hai nghiệm phân biệt và

y đổi dấu qua các nghiệm này Do đó các mệnh đề “Hàm số không có cực đại” và “Hàm số có bốn điểm cực trị” bị LOẠI

Hàm số đạt cực tiểu tại x 2 và có giá trị cực tiểu bằng y CT y 2 6

Câu 24: (THPT Chuyên Biên Hòa-Hà Nam-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm

Vậy hàm số đạt cực đại tại x 0.

Câu 25: (THPT Mộ Đức-Quãng Ngãi-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số

 

yf x xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên dưới đây

Hàm số yf x  có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải Chọn D

Dựa vào bảng biến thiên hàm số yf x  có ba điểm cực trị

Câu 26: (THPT Phan Châu Trinh-DakLak-lần 2 năm 2017-2018) Cho hàm

số yf x  xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên:

Dựa vào BBT Hàm số có hai cực trị  A sai

Hàm số có giá trị cực tiểu bằng  1  B sai

Hàm số không có GTNN, GTLN C sai.

Vậy hàm số đạt cực đại tại x 0 và đạt cực tiểu tại x 1

Câu 27: (THPT Can Lộc-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Trong các hàm số

sau, hàm số nào có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu?

Lời giải Chọn A

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị nên loại B, C

Vì đồ thị hàm số có hai điểm cục đại nên hệ số x4 có giá trị âm

Câu 28: (THPT Lê Quý Đôn-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số

Do hàm số xác định trên  và có biểu thức đạo hàm đổi dấu ba lần tại

1

x ; x ; 2 x nên hàm số 3 y f x  có ba cực trị

Câu 29: (THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần 2 năm 2017-2018) Cho

hàm số yf x  xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên nhưsau

Hàm số đạt cực đại tại

Lời giải

Chọn B

Dựa vào bảng biến thiên, ta có tại x 1, đạo hàm của hàm số đổi dấu từ

  sang   nên hàm số có điểm cực đại là x 1

MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU

Câu 1: (THPT Tam Phước-Đồng Nai-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số

đạo hàm f x   x1 2 x 2 3 2x3 Tìm số cực trị điểm của f x 

Lời giải Chọn B

Ta có D 

  0

f x   x 1 2 x 2 3 2x 3 0

1 2 3 2

x x x

Xét dấu f x 

Vậy hàm số có hai điểm cực trị

Câu 3: (THTT Số 1-484 tháng 10 năm 2017-2018) Có bao nhiêu giá trị

nguyên của m để hàm số f x   2x3  6x2  m 1 có các giá trị cực trị tráidấu?

Lời giải Chọn D

Câu 4: (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước-lần 1-năm 2017-2018).

Cho hàm sốy x sin 2x2017 Tìm các điểm cực tiểu của hàm số

Câu 5: (THPT Hoa Lư A-Ninh Bình-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số

A Hàm số y f x   có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu

B Hàm số y f x   có 2 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu

C Hàm số y f x   có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu

D Hàm số y f x   có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu

Lời giải Chọn A

Nhìn vào đồ thị hàm số y f x 

ta thấy x1  x2để f x 1 f x 2 0Bảng biến thiên của hàm số y f x  

KL: Hàm số yf x  có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu

Câu 6: (THPT Hoa Lư A-Ninh Bình-lần 1-năm 2017-2018) Gọi A và B là

các điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y x 4  2x2 1 Tính diện tích S củatam giác OAB (O là gốc tọa độ)

Lời giải Chọn A

giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số

2

y x



 Khi đó giá trịcủa biểu thức M2  2n bằng

4 3 2

x x y

 

 

2 2

2 0 1

x x

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có 2 điểm cực trị

Câu 10: (THPT Yên Lạc 2-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Biết đồ thị hàm

số yx4 bx2 c chỉ có một điểm cực trị là điểm có tọa độ 0; 1  thì b

và c thỏa mãn điều kiện nào?

Câu 11: (THPT Nguyễn Khuyến-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Cho đồ

thị hàm yf x  như hình vẽ Số điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

x x

x x

Bảng xét dấu của f x  như sau:

Do f x  đổi dấu khi x qua 1, 3, 4 nên hàm số y f x  có 3 điểm cực trị

Câu 14: (THPT Bình Xuyên-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Cho hàm số

3 3 2 9 15

yx  x  x Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số đạt cực đại tạix 1 B Hàm số có hai cực trị cùng dấu.

C Hàm số đồng biến trên  D Đồ thị hàm số có một tiệm cận

ngang

Lời giải Chọn B

Ta có y  3x2  6x 9, y 0 có hai nghiệm x 1; x 3

Bảng biến thiên :

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có hai cực trị cùng dấu

x x

Vậy số điểm cực tiểu của hàm số đã cho 1

Câu 16: (THPT Bình Xuyên-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Cho hàm số

m m

m m

Yêu cầu bài toán tương đương tìm m để hàm số đã cho có hai cực trị

0 1 2

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên hàm số y f x   có hai điểm cực trị

Câu 18: (THPT Cổ Loa-Hà Nội-lần 1-nawm-2018) Tìm tất cả các giá trị của

Cho 2  

0 0

4 3 2 0 1

x y

Ta có

2

3 4.4 2 9 32 0 4.0 3.0 2 0

A m 1 hoặc m 2 B m 1 C m 2 D   1 m 2

Lời giải Chọn D

Lời giải Chọn B

f x  x  x 

1 1 3

x x x

Câu 21: (SGD Vĩnh Phúc-KSCL lần 1 năm 2017-2018) Tìm các giá trị của m

m m

là giá trị của tham số m để hàm số y x 3 3x mx2  có hai điểm cực trị 1 x x 1, 2

sao cho x12x22 x x1 2 13 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A m  0  1;7 B m 0 7;10 C m  0  15; 7   D m   0  7; 1

Lời giải Chọn C

Câu 2: (Trường BDVH218LTT-khoa 1-năm 2017-2018) Biết rằng đồ thị hàm

số yf x  x3ax2bx c có hai điểm cực trị A, B và đường thẳng

AB đi qua điểm I0;1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P abc  ab c

Lời giải Chọn A

c 

hai điểm cực trị của đồ thị hàm số f x  x3ax2bx c và đường thẳng

AB đi qua gốc tọa độ Tìm giá trị nhỏ nhất của P abc ab c  

A

16 25



25 9



Lời giải Chọn C

TXĐ D 

  3 2 2

f x  x  ax b

Điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị là f x  0

có hai nghiệm phân biệt  a2  3b 0

Lấy f x  chia cho f x 