CÁCH CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Yêu cầu chứng minh: fx > gx + Chuyển hết các số hạng về một vế sao cho có dạng fx > 0 + Chứng minh fx luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên TXĐ + Sử dụng tí
Trang 1I CÁCH CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Yêu cầu chứng minh: f(x) > g(x)
+) Chuyển hết các số hạng về một vế ( sao cho có dạng f(x) > 0)
+) Chứng minh f(x) luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên TXĐ
+) Sử dụng tính chất của đồng biến hay nghịch biến để chứng minh
Bài tập ví dụ
VD 1 : Chứng minh rằng sin x x x 0
Hướng dẫn giải
sin x x x sin x0
+) Gọi f(x) = x – sinx x0; f ' x 1 cos x
Vì 1 cos x 1 1 cos x 0 f ' x 0 x
Hàm số f(x) đồng biến
+) Ta có: x > 0 f(x) > f(0) x – sinx > 0 x > sinx (đpcm)
VD 2 : Chứng minh rằng cos x 1 x2 x 0
Hướng dẫn giải
x
) f x cos x
) f ' x x sin x
) g x x sin x
2
1
Làm tương tự như VD1 ta có: x – sinx > 0
f’(x) > 0 Hàm số luôn đồng biến x 0
+) x > 0 f(x) > f(0) x2cos x 1 0
II CÁCH CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM
+) Bước 1: Đưa phương trình về dạng f(x) = 0
nhẩm ra một nghiệm của phương trình
+) Bước 2: Nhận xét f(x) luôn đồng biến hoặc nghịch biến
Phương trình có nghiệm duy nhất
Bài tập ví dụ
VD 1 : Chứng minh rằng x 1 x3 3x24x5 có nghiệm duy nhất
BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
MÔN TOÁN LỚP 12
THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ
Trang 2Hướng dẫn giải
ĐK: x1
3 2
3 2
+) Gọi f x x 1 x33x24x5
Dễ thấy f(2) = 0 Phương trình có một nghiệm là x = 2
x
x
x
x
2
2
2
2
1
1
f(x) đồng biến với mọi x1
x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình
VD 2 : Chứng minh rằng: x5x22x 1 0 có nghiệm duy nhất
Hướng dẫn giải
5 2
5 2
2 5
1
+) Đặt f x x5x22x1
Xét f(x) trên (1; 2)
Ta có
f
3
1
0
Vì hàm số liên tục trên (1; 2) Phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (1;2)
) f ' x x x
4
f(x) luôn đồng biến trên tập xác định
Vậy phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) sin xx với mọi x0
b)
2 cos 1
2
x
x với mọi x0
Trang 3c) 2sinxtanx3x với 0;
2
d)
3 tan
3
x
x x với 0;
2
Câu 2: Chứng minh các phương trình sau có nghiệm duy nhất
a) 3 cos x 1 2sinx6x0
b) x3 x23x 2 0
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM Câu 1:
a) sin xx với mọi x0
Xét hàm số f x sinxx trên 0; ta có: f ' x cosx1
Do 1 cosx 1 1 cosx 1 2 cosx 1 0 f ' x 0 x và bằng 0 tại hữu hạn điểm
Hàm số f x sinxx nghịch biến trên R
Do đó hàm số f x sinxx nghịch biến trên 0;
Mà x 0 f x f 0 sin 0 0 0 x 0;
Vậy f x sinx x 0 sinxx với mọi x0
b)
2 cos 1
2
x
x với mọi x0
Xét hàm số cos 1 2
2
x
f x x trên R\ 0
Ta có : f ' x sinx x g x
Ở ý a) ta đã chứng minh được hàm số h x sinxx nghịch biến trên R g x sinxx luôn đồng biến trên R
Với x 0 g x g 0 0 f ' x 0
Với x 0 g x g 0 0 f ' x 0
Trang 4 Hàm số đồng biến trên 0; và nghịch biến trên ; 0
Vậy với x0 thì 0 cos 1 2 0 cos 1 2
c) 2sinxtanx3x với 0;
2
Xét hàm số f x 2sinxtanx3x trên 0;
2
ta có 12 2 cos3 3cos2 2 1
Đặt tcosx t 0;1 , xét hàm số 3 2
f t t t trên 0;1 ta có :
1
t
t
; f ' t 0 t 0;1 Hàm số nghịch biến trên 0;1
Vậy hàm số y f x đồng biến trên 0;
2
2
d)
3 tan
3
x
x x với 0;
2
Xét hàm số tan 3
3
x
f x x x trên 0;
2
ta có :
2
1
cos
x
Với 0;
2
thì tanx x 0
Trang 5Xét hàm số g x tanxx trên 0;
2
ta có : 12
cos
g x
x
Hàm số đồng biến trên 0;
2
Hàm số tan 3
3
x
f x x x đồng biến trên 0;
2
x
Câu 2 :
a) 3 cos x 1 2sinx6x0
Xét hàm số f x 3 cosx 1 2sinx6x ta có f 0 0 x 0 là nghiệm của phương trình
Ta có
' 3sin 2 cos 3 2 1 3 1 sin 2 cos 1 1
sin 1 1 sin 0
Hàm số đồng biến trên R Phương trình có nghiệm duy nhất x0
b) x3 x23x 2 0
Xét hàm số 3 2
f x x x x ta có
f x x x x x x x R
Hàm số luôn nghịch biến trên R
Ta có f 0 2; f 1 1 f 0 f 1 0 Phương trình có nghiệm duy nhất x0 0;1
c) x5 x3 7 0
Trang 6Xét hàm số 5 3
7
f x x x ta có : 4 2 2 2
f x x x x x Hàm số y f x đồng biến trên R
Ta có f 1 5; f 2 33 f 1 f 2 0 Phương trình có nghiệm duy nhất x0 1; 2