Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm [r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NGÃI
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH NĂM HỌC: 2019 - 2020
Ngày thi: 06/12/2019 Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
(Đề thi có 02 trang)
Câu 1: (5,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình sau (với ,x y )
y yx y x
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân
biệt nhỏ hơn 2
2 2 2 2 2
Câu 2: (5,0 điểm)
a) Cho hàm số f x( )có đạo hàm trên và hàm f x'( ) có đồ thị như
hình bên Tìm các điểm cực trị của hàm số
1
2
g x f x x x
b) Anh Giàu hàng tháng gửi vào ngân hàng 5 triệu đồng theo thể
thức lãi kép, kì hạn 1 tháng với lãi suất 0, 65%/ tháng Tính tổng số tiền anh
Giàu nhận được khi gửi được 20 tháng
Câu 3: (5,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có hai mặt phẳng (SAB), (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng ABC ,
tam giác ABC vuông cân tại B, SB = a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng
a) Tính theo a và thể tích khối chóp G ANC với G là trọng tâm tam giác SBC , N là trung
điểm BC
b) Gọi M là trung điểm AC Tìm giá trị của để khoảng cách giữa hai đường thẳng MN SC , đạt giá trị lớn nhất
Câu 4: (3,0 điểm)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2……… HẾT………
ĐÁP ÁN
1 a) Giải hệ phương trình sau (với x y, )
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt nhỏ
hơn 2
2 2 2 2 2
9.3x x 2m11 3 x x 4m 2 0
5,0 đ
1.a Điều kiện y 2
Ta có
1,0
yx , thay vào phương trình sau ta được 4 3
8x 6x x 0
Suy ra 3
0
1
4 3
2
x
0,75
Ta thấy phương trình có ba nghiệm thuộc đoạn [-1;1] (dùng đồ thị hàm số) 0,5
Với 1 x 1 ta đặt x = cost (với t 0; ), phương trình trở thành cos 3 1
2
t suy ra
t t t
0;0 , cos ;cos , cos ;cos , cos ;cos
0,75
2.b
Viết lại phương trình 2 2
2 2
2 2
3
x x
x x
m
m
Đặt 2 2 2
3x x
t
t x x
0,5
Trang 3Từ bảng biến thiên suy ra mỗi giá trị t0 3;9 thì phương trình 3x2 2x 2 t0có hai nghiệm
phân biệt nhỏ hơn 2
+ Phương trình (1) trở thành 2
t m t m
2
2 11
2
t t
m t
0,5
+ Phương trình (1) có 4 nghiệm phận biệt nhỏ hơn 2 khi phương trình (2) có hai nghiệm
phân biệt t t thuộc khoảng 1, 2 3;9
+ 2 2 11
t t
f t
t
, t 3;9
2 2
3
4
t
t t
f t
t t
0,5
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra (2) có hai nghiệm phân biệt t t thuộc khoảng 1, 2 3;9 khi
0,5
2 a) Cho hàm số f x( )có đạo hàm trên và hàm f x'( ) có
đồ thị như hình bên Tìm các điểm cực trị của hàm số
1 2
2
g x f x x x
b) Anh Giàu hàng tháng gửi vào ngân hàng 5 triệu đồng
theo thể thức lãi kép,kì hạn 1 tháng với lãi suất 0,65% /
tháng Tính tổng số tiền anh Giàu nhận được khi gửi được 20 tháng
5,0 điểm
2a
(3,0đ)
Suy ra g x'( )0 khi 2x 1 3, 2x 1 1 hoặc 2x 1 3 hay x 1,x1,x2 1,0
Trang 4Suy ra x1 là điểm cực tiểu; x 1,x2 là các điểm cực đại của hàm số
1,0
2.b
(2,0đ)
Cuối tháng thứ 1, ông Giàu có số tiền là: P1 a a r a1r
Đầu tháng thứ 2, ông Giàu có số tiền là:
P a a r a a a r a r ………
Cuối tháng thứ 2, ông Giàu có số tiền là:
P P P r a a r a a r a r r
Đầu tháng thứ 3, ông Giàu có số tiền là:
P a a r r a a r r
Cuối tháng thứ 3, ông Giàu có số tiền là:
P P P ra r r a r r r
3 2
Cuối tháng thứ n, ông Giàu có số tiền là:
n
n
S n
n
r
r
Vậy sau 20 tháng anh Giàu nhận được tổng số tiền
1 0, 65% 1
5 1 0, 65%
0, 65%
n
0,5
0,5
1,0
y
g(1)
Trang 53 Cho hình chóp S.ABC có hai mặt phẳng (SAB), (SAC) cùng vuông góc với mặt
phẳng (ABC), tam giác ABC vuông cân tại B, SB = a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và
(ABC) bằng
a) Tính theo a và thể tích khối chóp G.ANC với G là trọng tâm tam giác SBC, N
là trung điểm BC
b) Gọi M là trung điểm AC Tìm giá trị của để khoảng cách giữa hai đường
thẳng MN, SC đạt giá trị lớn nhất
5,0
3a
(3,0đ)
Dễ thấy, , SBAvà 1
3
1,0
1
2
ANC ABC
1,0
Do đó
.
S ANC ABC
1,0
3b
(2,0) Vẽ hình vuông ABCD, mp(SCD) chứa SC và song song với MN nên
1,0
Tam giác SAD có 1 2 12 12 2 42
sin 2
AH
Do đó khoảng cách cần xét lớn nhất khi sin 2 1 .
4
1,0
Câu 4 Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi một khác nhau được lập
từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số
được chọn chia hết cho 15
3,0 điểm
H
M G
N
D
A S
Trang 6abc mà a b c Xét 3 tập A1; 4;7 , B 2;8 ,C3;6;9
Th1: 1 số thuộc tập A , 2 số thuộc tập C
Có C31 cách chọn một số thuộc tập A , C32 cách chọn hai số thuộc tập C Ta có
1 2
3 3.3!
C C số
0,5
Th2: 2 số thuộc tập A , 1 số thuộc tập B
Có 2
3
C cách chọn hai số thuộc tập A,2 cách chọn hai số thuộc tập B.Ta có 2
3
2.C 3! số 0,5
Th 3: 2 số thuộc tập B , 1 số thuộc tập C
Có 1 cách chọn hai số thuộc tập B , C31 cách chọn hai số thuộc tập C Ta có C13.3! số
0,5
Gọi D là biến cố “ Chọn được số chia hết cho 15”
3 3.3! 2 3.3! 3.3!
n D C C C C
31 13 32 31
4 9
.3! 2 .3! 3! 1
28
P D
A
0,5
Câu 5
Cho hàm số f x 2019x2019x Các số thực a b thỏa mãn , a b 0
f a b ab f a b Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 4 3 1
10
a b P
a b
khi ,a b thay đổi
(2,0đ)
Ta có f ' x 2019 ln 2019x 2019 ln 2019x 0 , x Suy ra f x đồng biến
trên
Lại có f x 2019x2019x f x Suy ra f x là hàm số lẻ
0,5
f a b ab f a b f a b ab f a b f a b
2 2
a b ab a b
4a 4b 4ab 8 36a 36b 0
(2a b) 18(2a b) 3(b 3) 19 0
(2a b) 18(2a b) 19 3(b 3) 0
2 (2a b) 18(2a b) 19 0
1 2a b 19 2a b 19 2a b 19 0
10
a b
a b
0,5
0,5
0,5
Trang 7Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên
danh tiếng
I Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh
Học
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II Khoá Học Nâng Cao và HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng
đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí