Giáo trình Lý thuyết xác suất và thống kê toán - NXB Thống kê

Giả thiết này nói về một tham số (kỳ vọng toán) của đ ạ i lượng ngẫu nhiên X- là số sản phẩm loai l i có trong sán phẩm chọn ngẫu nhiên từ lô hàng... @ltươnạ 8: Xiểm đinh già th[r]

H O À N G N G Ọ C N H Ậ M

GIÁO TRÌNH É

H O À N < £ N j G Ọ C N H Ậ M

L ờ i n ó i đ ầ u

Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật của các h i ệ n tượng ngẫu nhiên Dựa trên những thành tựu của lý thuyết xác suất, thống k ê loàn là khoa học ra quyết định trên cơ sở những thông tin thu thập từ thực t ế Hơn 300 n ă m phát triển, đ ế n nay nội dung và phương p h á p của xác suất thốn" kê rất phong phủ và được á p dụng rộng rãi trong rãi nhiều lĩnh vực Vì vậy việc học tập, nghiên cứu m ô n x á c suất

ihống kê hở thành nhu cầu khôn!* thể thiếu đ ố i với sinh viên của

n h i ề u trường đ ạ i học

Đe đáp ứng yêu cầu nân" cao chát lượn" đào lạo, đáp ứng những

đòi hỏi của nền kinh l ố thị trương và tạo điều k i ệ n thuận l ợ i đ ể sinh viên của trường học m ô n x á c suất thống k ê Chúng tôi b i ê n soạn

cuốn "Lý thuyết xác suất và thống kê toán" Qua cuốn sách nhỏ n à y

chúng tôi hy vạn? sẽ giúp c á c bạn -sinh viên đ ạ t k ế t quả cao khi học tập, nghiên cứu m ô n học và ứng dụng được c á c phương p h á p của x á c suất thống kê trong công v i ệ c của mình sau này

Cuốn sách gồm 3 phần được chia làm 8 chương được sắp xếp theo

một thứ l ự chặt chẽ nhằm ° i ú p cho sinh viên hiểu rõ các khái n i ệ m , các c ô n s thức cơ bản và các phướng p h á p của xác suất đ ể nghiên cứu các h i ệ n tượng ngẫu nhiên Những h i ệ n tượng như vậy rất thường gặp trong kinh t ế , đặc b i ệ t là kinh t ế thị trường Trang bị những phương p h á p cơ bản nhất của thống k ê toán như: Phương p h á p mẫu đ ổ thu thập và xử lý thông tin, phương p h á p ước lượng, phương

p h á p k i ể m định giả thiết thống kê C á c phương p h á p n à y n g à y nay được coi là công cụ không thể thiếu ư ơ n g "hộp đồ n g h ề " của c á c nhà kinh tế Niĩoài ra cuốn sách này còn giúp nâng cao n ă n g lực tư duy, khả n ă n g độc lập nghiên cứu của sinh viên

Đ ố i v ớ i các nhà kinh t ế và các nhà quản trị doanh nghiệp, biết thu thập và n ắ m vững c á c phương p h á p x ử lý thôn g tin kinh t ế xã hộ i

là y ê u cầu không thể thiếu được T o á n học nói chung, xác suất thống

k ê nói riêng là công cụ nghiên cứu kinh t ế r ấ t hữu hiệu Đ ố i v ớ i sinh viên, mục tiêu cuối cùng của v i ệ c học toán là sử dụng được công cụ này vào ư o n g công việc của mình trong tương lai Do đó cuốn sách được viết theo quan đ i ể m thực hành, chú trọng việc á p dụng x á c suất thống kê toán v à o thực t ế hơn là việc trình b à y các vấn đ ề có tính chất thuần túy lý thuyết

Ngoài đối tượng bạn đọc là sinh viên trường Đại học Kinh tế

cuốn sách cũng giúp ích cho tất cả những ai trong c ô n s việc, tron" nghiên cứu phải xử lý một số lượng lớn thông ùn, số l i ệ u

Cuốn sách đã được chỉnh lý, sửa đổi một số phần cho phù hợp với

y ê u cầu và trình độ t i ế p thu của sinh viên Đồng thời cuốn sách cũng được các c á n bộ giảng dạy của bộ m ô n T o á n Kinh t ế Khoa T o á n -Thống kê trường đ ạ i học kinh t ế thành p h ố H ồ Chí M i n h g ó p ý song

k h ô n g thể tránh khỏi những sai sót C h ú n g tôi rất mong bạn đọc vần

xa g ó p ý, bổ sung đ ể cuốn sách ngày c à n g có chất lượng cao đ á p ứng ngày càng tốt hơn nhu cầu nghiên cứu, học tập của sinh viên

Nhân dịp này chúng tôi xin chân thành cảm ơn tất cả những ai đã

đ ó n g g ó p v à o nôi dung và tổ chức cho cuốn sách được ra mắt ban đọc

Thành phố Hồ Chí Minh ỉ/2003

T* 'É • 9

ì ác giả

Ọliươtiti 1: c&tír i Ị ít ít cùa biến eổ oà cúc cô/lự thức tinh xáe ỊUất

Tron? toán học có những khái n i ệ m không có định nghĩa mà chỉ

có thể mô tả chúng bằng những hình ảnh hoặc tư duy trực giác Chẳng hạn tron? hình học, các khái n i ệ m đ i ể m , đường thẳng, mặt phang là những khái niệm không có định nghĩa Trong xác suất, khái

n i ệ m p h é p thử là khái n i ệ m cơ bản không có định nghĩa, ta hiểu

p h é p thử là m ộ i thí nghiệm hay quan sát nào đó P h é p thử được gọi

là ngẫu nhiên nếu la không thể biết trước kết quả nào sẽ xảy ra Thường trong một phép thử (thí nghiệm) có nhiều kết quả có thể

xảy ra Có kết quả đơn giản, và cũng có những kết quả phức hợp Chẳng hạn, khi quay xổ số, nếu ta chí quan lâm tới hai số c u ố i thì

m ỗ i sự xuấi hiện một trong các số l ừ 00 OI 98, 99 là những k ế t

quả đơn giản nhất; ương khi đó sự xuất hiên các số chẵn l ẻ đ ầ u 5,

đuôi 2 là những k ế t quả phức hợp (gồm nhiều kết quá đơn giản nhai hợp thành)

Kết quả đơn giản nhất được gọi là biến cố sơ cấp (nó giống như

khái n i ệ m đ i ể m trong hình học, nó không có định nghĩa chính xác)

íỊiáo trình li) tlim/ết nít' mất DÙ Hiốnq Uè toán

sơ cấp M ỗ i tập con của không gian các hiến c ố sư cấp được gọi là

b i ế n cố

Ta Ihườnsĩ dùng:

(0 đ ổ ký hiệ u b i ế n cô sơ cáp ;

íì đ ể ký hiệu k h ô n " gian các biến c ố sơ c á p ;

A B c, A | A2 A„ đ ể ký hiệu h i ế n cố

Để minh họa, la XÓI phép thử có số kết quả đơn giản nhất là hữu hạn

hoặc vô hạn đ ế m được: (Oi, 0)2 Theo trên, m ỗ i cou được gọi là một hiên cô sơ cấp, còn lập hợp

Q = leo, CO:, }

là không dan các Hiôli cô sơ cáp

Thí dụ:

Ì- Gieo m ộ i con xúc xắc là thực hiện một p h é p lliử K h ô n g aian

các biên cô sơ cáp đôi với phép thử này là:

Q = {con, to,: ,,0)fõ, Oif.fi}

trong đó: 0)jj (i j = 1,2 6) chỉ kết quả xúc xắc thứ nhất xuất

hiện mặt i chấm và xúc xắc thứ hai xuất h i ệ n mặt j chấm (phép thử này có 36 biến cố SƯ cấp)

Trong không gian các biến cố sơ cấp, ta sẽ iĩọi mỗi lập con A c Í2

là m ộ i biên cô

VhttơntỊ 1: (ÀMÍC iittĩt tim biến cố va etíe eòinỊ thứ* titth ,rtíe suất

Như vậy, mội biến cố du LO Me xay ra khi mội phép thử gắn liền

với nó được thực hiện TroiiiỊ thực t ế có thô xảy ra các loai b i ế n c ố sau đ â y :

+ Hiến cố chắc chắn: lù biến cố nhất đinh sẽ xảy ra khi thực h i ệ n

p h é p thử B i ế n cố chắc chán được ký hiệu là Q

Thi dụ: Tung một con xức xấc biến cố " xuất hiện m ã i cớ số chấm

nhỏ hơn 7" là biến c ố chắc chắn

+ Biếu cố không thể có: là biến cố nhất định không xảy ra khi thực

hiện p h é p thử B i ế n c ố không thê dược ký hiệu là 0

Thi dụ: M Ộ I k i ệ n hùng có l o sản phẩm (trong đó có 7 sản phẩm

l o ạ i í và 3 sản phẩm loại l i ) Chọn ngẫu nhiên không h o à n l ạ i l ừ

k i ệ n ra 5 sản phẩm B i ế n cố: " có một sản phẩm loại ì trong 5 sản

p h ẩ m l ấ y ra từ k i ệ n " là biến cố không i h ể có

+ Biến cố ngẫu nhiên: là b i ế n c ố có thể xảy ra hoặc k h ô n g xảy ra

khi thực hiện p h é p thử người ta thường dùng các chữ in hoa đ ể ký

h i ệ u các biến cố nsẫu nhiên, chẳng hạn: A, B, c, ; hoặc A i , À 2 , , A n : hoặc B i , B i , , B,J,

Thí dụ: Tung một con xúc xắc, gọi A2 là biến cố: "xuất h i ệ n mặt 2

c h ấ m " thì A2 là biến c ố ngẫu nhiên

li- Mối quan hệ giữa các biến cố

Khi g i ả i các bài toán của lý thuyết xác suất ta thường phải d i ễ n tả

một b i ế n c ố phức hợp theo các hiến cố đơn gián hơn Đ e l à m được

điều đó ta cần nghiên cứu m ố i quan hộ giữa các biến c ố thể h i ệ n qua các định nshía dưới đây:

Định nghĩa ì: B i ế n c ố A và B được g ọ i là hai biển cố tương đương

(ký h i ệ u là A = B ) n ế u A xảy ra thì B cũng xay ra và ngược l ạ i

Qiủa trình /ý thuyết xức mất DÙ t/tơnạ kè toán

Thí dụ Tung một con xúc xắc, h i ế n cố " x ú c xắc ra mặt chẩn** và

b i ế n cố "xú c XÍU r;i một trong 3 mặt: 2, 4, 6" là hai b i ế n c ố tương

đương

Định nghĩa 2: B i ế n cố c được g ọ i là tổng của 2 b i ế n c ố A và B (ký

hiệu là c = A ù B hoặc c = A + B) N ế u c x ả y ra khi và chỉ khi có ít

nhất môi trong hai biến c ố A hoặc B xảy ra

Thí dụ: Xét phép thử quan sát hai xạ thủ cùng bắn vào một bia Gọi

A là biến cố "xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia", B là b i ế n c ố "xạ thủ

thứ hai bắn trúng bia", c là b i ế n cố "bia trúng đ ạ n " R õ ràng c xả>

ra khi và chi khi có ít nhất m ộ i trong hai b i ế n c ố A, B xảy ra

V ậ y :

c = A u B

I

Định nghĩa 3: B i ế n cố A được g ọ i là lổng của n b i ế n cố: A j , A2,

An nếu A xảy ra khi và chí khi có ít nhất mộ t trong n b i ế n c ố đó x ả )

Định nghĩa 4: Biến cố c được gọi là hiệu của 2 biến cố A và B (ký

hiệu là c = A - B) N ế u c xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra nhưng B

không xảy ra

Thí dụ: Một lớp có 50 học sinh, trong đó có 15 người giỏi toán, 10

ngươi giỏi văn và 4 người giỏi cả hai môn này Gặp ngẫu nhiên một

học sinh của lớp G ọ i A là b i ế n cố gặp được người g i ỏ i loàn; B là

b i ế n c ố gặp được người giỏ i văn ; c là b i ế n c ố gặp được ngư ờ i chi

giỏi toán, thì c = A - B

Định nghĩa 5: Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nhau nếu

c h ú n g khôn g th ể đồng thời xả y ra trons mộ t p h é p thử

VttiMiHỊ Ị: f X)ùi' suất cún biếu eìỉ vù các cò lít/ thửe tính jeúe suất

Trong thực l í với sô p h é p thử đủ lớn ta có thổ lấy lần suất làm giá trị iiân li ú li Ỉ: của xác suấL Tức la có PíA) * RA) khi n khá lớn

* Chủ ý: Khái niệm hội lạ theo xác suấi của lần suất cú iBrhĩa là với

m ọ i Í: ihíóiiu bé tùy ý ta luôn có:

Lim vịt' - pị < e) = Ì

n—>oc Đốn chưtiiii! 5 la sẽ chứng minh cứ S("í lý thuyết của sự hội lu đó

Nhờ những thành quả của loàn học và kỹ ihuậl lính toán hiện đại,

định nghĩa thốn" kê của x á c suất có l ầ m quan trọng đặc biệt trong ứng dụng

4- Nguyên lý xác suất nhỏ và xác suất lổn

Trong nhiều bài toán thực l ố , ta thườn" irặp các biến c ố có xác suất rái nhò, tức gần b à n g 0 Qua nhiều lần quan sái, người ta thấy

rà nạ: các hiến c ố có xác suất nhỏ gần như khôiiỉĩ xảy ra khi ihực

hiện p h é p thử Trên d í sở đó có thể đưa ra "Nguyên lý ihực l ố không

thể có của c á c biến c ố LÓ x á c suất nhỏ" sau đ â y :

Nếu mội biến cố có xác suất rất nhỏ thì thực lố có thể cho rằng

trong m ộ i p h é p ihử, biến cô đó sẽ khòm: xảy ra

Việc qui định một mức xác suất được coi là "rất nhỏ" tùy thuộc

v à o từng bài loàn cụ t h ể C h ẩ n " hạn: N ế u xác suối đ ể một loại dù

không mà khi nhảy dù là 0,0ỉ thì xác suất đó chưa thổ coi là nhỏ và

la khôns: n ê n sử đ ụ n " loại dù đ ó Soím nếu xác suất đổ m ộ i chuyến

xe lửa đ ố n ỈM chậ m l o phin là 0.01 thì ta có th ể coi mức x á c suất đ ó

là nhỏ lức có thổ cho rằm? xe lửa đốn ga đúnsi iiiìí

MỘI mức xác suất nhỏ mà với nó ta có lliể chi) rằn ÍT: biên cố đang

XÓI không xay ra trung m ộ i p h é p thử được Sĩọi là mức ý nsrhĩa T ù y

Lịìáo trình Ị lị thuyết xát Mất oà thống kẻ toài*

theo từng bài toán cụ thể, mức ý nghĩa thường được lấy ưong khoảng

từ 0,01 đ ế n 0,05

Tương tự như vậy ta có thể nêu ra" nguyên lý thực tế chắt chắn

xảy ra của các b i ế n c ố có xác suất lớn" n h ư sau: ,

N ê u một biến c ố có xác suất gần bằng Ì thì thực te V > 'hổ cho rằng

b i ế n c ố đ ó sẽ xả y ra trong m ộ i p h é p thử

Cũng như ưên, việc qui định mức xác suất dượt L»»I là "lớn" tùy

thuộc vào bài toán cụ t h ể T h ô n g thường người la l ấ y trong khoảng

từ 0,95 đ ế n 0,99

IV- Công thức cộng xác suất

a- Nếu Ả và B là hai biến cố xung khắc thì:

Chứng minh: Ta chứng minh cho trường hợp p h é p thử có thể phân

tích thành n trường hợp đ ố i xứng, trong đó c ó m i trường hợp thuận lợi cho A và m2 trường hợp thuận l ợ i cho B K h i đ ó số trường hợp thuận lợi cho b i ế n c ố (A u B) sẽ là: mi+nv> (vì A, B là hai biến cố xung khắc)

Ta có thể minh họa số trường hợp thuận lợi như sau:

P ( A u B ) = P ( A ) + P(B)

Theo định nghĩa cổ điển ta có:

QtuMng ì: Ợũảê mất en ạ biết! tế vù tám tồng, títứe tinh xáe tuất Trường hợp tổng quát, công Ihức trên được phát biểu như sau:

Nếu Aj, A2, , An là n biến cố xung khắc từng đôi, thì:

P(Aj u A2 u u An) = P(A,) + P(A2) + + P(An)

Bạn đọc có thể chứng minh công thức trên bằng phương pháp quy

nạp

Thí dụ 1: Một hộp có 10 sản phẩm (trong đó có 2 phế phẩm) Lấy

ngẫu nhiên (không hoàn l ạ i ) từ hộp ra 6 sản phẩm T i m x á c suất đ ể

có không quá Ì p h ế phẩm trong 6 sản phẩm l ấ y ra

Giải: Gọi A là biến cố "không có phế phẩm nào trong 6 sản phẩm

lấy ra"; B là b i ế n c ố "có Ì p h ế phẩm trong 6 sản phẩm lấy ra" và c

Từ công thức trên ta có thể suy ra một số hệ quả sau:

Hệ quả 1: Nếu Ai, A2 An là hệ biến cố đầy đủ và xung khắc

từng đôi thì:

li

£ P ( A i ) = l 1=1

íịiúo Ị'tìnít í lị thuyết -rác suất vù iltổiiq kè toán

Hệ quả 2: N ế u A và A là hai biến c ố đ ố i lập với nhau thì:

P ( A ) = Ì - P( A ) Bạn đọc có thể dễ dìm" chứng minh các hệ quả trên

b- N ế u A và B là hai b i ế n c ố k h ô n g xung k h ắ c thì:

P(A u l i ) = P(A) + PHỈ) - P(A.B)

Chứng minh: Giả sử phép thử có n trường hợp đ ố i xứnc tron" đó có

mi trường hợp thuận lợi cho A, 1112 inrìíriỉĩ hợp thuận l ợ i cho B Vì A

B không xung khắc nên nói chung sẽ cớ k irườnu hợp thuận lợi cho

cả A và B Khi đó số trường hợp thuận l ợ i cho b i ế n c ố (A u B) sẽ là

Ì

mi + m-> - k

Ta có th ể minh họa trường hợp này nh ư sau:

Theo mô lả ở hình trên m ỗ i nốt chấm đen là một trường hợp ihuận lợi thì: rai = 12; m2 = 15; k = 5

Theo định nghĩa cổ điển của xác suất, ta có:

Thí dụ: M ộ t lớp có 50 sinh viên.trong đó có 20 sinh viên học giỏi

T o á n ; 30 sinh viên học giỏi Anh văn; l o sinh viên học eiòi cà hai

Phương í: (Xiáe li lất cùa biến cố vù các còng tinh' tính xác mất

m ô n T o á n và Anh văn Chọn ntrẫu nhiên một sinh viên của lớp T i m xác suất đ ể chọn được sinh viên học giỏi ít nhất một m ô n trong hai môn T o á n và Anh văn

Giai: Gọi A là biến cố chọn được sinh viên học giỏi môn Toán; B là

b i ế n c ố chọn được sinh viê n học giỏ i mô n Anh văn; c là b i ế n c ố chọn được sinh viên học giỏi ít nhất một trong hai môn T o á n và Anh văn Ta thấy c = A w B mà hai biến cố A và B là hai biến c ố không xung khắc (vì A và B có thể xảy ra đồntĩ Ihời trong cùng một p h é p thử Đ ó chính là trường hợp chọn được một sinh viên học giỏi cả hai

m ô n T o á n và Anh văn) Do đ ó :

P(C) = P(A) + P(B) - P(AB) = — + — - — = — =0,8

50 50 50 50

Trường hợp tổng quát công thức trên được phát biểu như sau:

Nếu Ai, A2, An là n biến cố khôn" xun*: khắc thì:

li

P ( A j U A2U u An) = Ị T P ( A i ) - X P ( Ai A )) + £ p( A lA j Ak)

i=l " Ki i<j<k + ( - l )n- ' P ( A1 A2 An)

(ịlủo trinh /lị tỉtui/ểt xác mất Hít thấm/ kê toan

c- N ế u A j , A „ , An là n b i ế n c ố k h ô n g xung k h ắ c v à độc lập

t o à n p h ầ n thì:

ỸịầịU A2U u An) = Ì - P ( Ã1) P ( Ã2) P ( Ãn)

V- Công thức nhân xác suất

Ì- Xác suất có điều kiện

a- Định nghĩa: Xác suất của biến cố A được tính v ớ i đ i ề u k i ệ n biến

cố B đã xảy ra được gọi là xác suất có đ i ề u k i ệ n của A Ký hiệu là P(A/B)

b- Thí dụ: t r o n g bình có 5 quả cầu (trong đó có 2 quả ưắng) Lấy

ngẫu nhiên lần lượt ra hai quả (lấy không h o à n l ạ i ) T i m x á c suất để lần thứ hai lấy được quả trắng biết lần thứ nhất lấy được cầu trắng ?

Giải: Gọi A là biến cố "lần thứ hai lấy được cầu trắng"; B là biến cố

"lần thứ nhất lấy được cầu trắng" Ta cần tìm P(A/B)

Ta thấy lần thứ nhất đã lấy được cầu t r ấ n " (tức B đã xảy ra) nên trong bình còn l ạ i 4 quả, trong đó có Ì quả cầu trắng

Nên: P(A/B) =

-4 c- công thức tính:

P(AB)

P ( A / B ) =

P(B)

Ta có thể dùng khái niệm xác suất có đ i ề u k i ệ n đ ể định nghĩa cách

k h á c các biến c ố độc lập như sau:

Nếu: P(A/B) = P(A) và P(B/A) = P(B) thì A, B độc lập

2- Nếu A, B là hai biến cố bất kỳ, thì:

P(AB) = P(A)P(B/A) = P(B)P(A/B)

@/utưnạ 1: Qbáe mất của biển eấ oà các eôuạ thức Hu ít xòe tuất

Chứng minh: Giả sử p h é p thử có n trường hợp đ ố i xứng, trong đó có

m i trường hợp thuận l ợ i cho A; IĨ12 trường hợp thuận l ợ i cho B Vì A ,

B k h ô n g xung khắc n ê n nói chung sẽ có k trường hợp thuận l ợ i cho

cả A và B Theo định nghĩa cổ điển của xác suất ta có:

le m

P(AB) = - ; P(A) = ^ ị

n n

Ta tính P(B/A)

Với điều kiện A đã xảy ra nên số trường hợp đối xứng của biến cố B

khi đó sẽ là mi ; số trường hợp thuận lợi cho B là k

Ta xét một thí dụ để minh hoa cho phần chứng minh nêu trên:

M ộ t lớp có 50 sinh viên, trong đó có 20 nữ và 30 nam Trong kỳ thi

m ô n T o á n có 10 sinh viên đ ạ i đ i ể m giỏi (trong đó có 6 nam và 4 nữ)

G ọ i tên ngẫu nhiên một sinh viên trong danh sách lớp T i m xác suất

g ọ i được sinh viên đạt đ i ể m giỏi môn T o á n biết rằng sinh viên đó là

n ữ ?

Trong thí dụ này, phép thử là gọi ngẫu nhiên tên mội sinh viên của

lớp, n ê n số trường hợp đ ố i xứng có thể xảy ra trong p h é p thử (n) là

50 ỉ G ọ i A là biến cố g ọ i được sinh viên nữ thì số trườn? hợp thuận lợi cho A (mi) là 20; G ọ i B là biến c ố g ọ i được sinh viên đạt đ i ể m

<ậiáo trình lý tí IU yết xtỉe xuất DÙ thốn*/ kè toán

irườne hợp thuận l ợ i cho cả A và B (k) là 4 (đó chính là sô sinh viên

nữ đạt đ i ể m giỏi môn Toán) X á c suất cần tính chính là P(B/A) Ta có:

P ( B / A ) = — = — = 0 2

m, 20

Trường hợp tổng quát, công thức trên được phát biểu như sau:

Nếu Aj, A2, , An là các biến cố bất kỳ thì:

P(A1.A2 An) = P(A1).P(A2/A1) P(An/A1.A2 An.j)

3- Nếu A, B là hai biến cố độc lập, thì:

P(A.IÌ) = P(A).P(B) Bạn đọc có thổ dễ dàn" chứng minh côn" thức này

Trường hợp tổng quát công thức trên được phái biểu như sau:

N ê u A j , A-J, — , An là c á c b i ế n c ố độc l ậ p t o à n p h ầ n , t h ì : P(A!.A2 An) = P(A!).P(A2) P(An)

Thí dụ: Một phân xưởng có 3 máy Xác suất các máy bị hỏng

trong n g à y tương ứng là: 0 , 1 ; 0,2; 0,15 T í n h x á c suất c ó m ộ t

m á y bị hỏng trong n g à y ?

Giải: (a) Gọi Ai, Ai, Áy tương ứng là các biến cố máy thứ nhất, thứ

hai, thứ ba bị hỏng trong ngày Khi đó A I ; A Ị ; A 3 tương ứng sẽ là

c á c b i ế n c ố má y thứ nhất, thứ hai, thứ ha t ố i trong ngày

A là biến cố có một máy hỏng trong ngày

Ta thây:

A = Â | A Ị A J + A i A Ị A i +Ã1.Ã2.A3

30

Phương Ị: f ẦHÌe suất rùa biến cố oà fúf còng tltửe tinh xác mất

Vì các b i ế n c ố lích xung khắc lừng đôi và các b i ế n c ố trong m ỗ i tích đó độc lập toàn phần, do đ ó :

P(A) ) = P(A| ).p(Ã2 )p(Ã J ) + p(Ã Ì )P(À , ).p(Ă3Ị+ p(Ă Ì )P(Ã2 )p(A3)

= Ọ Ì 0.8.0.85 + 0.9.0.2.0,85 + 0.9.0.8.0,15 = 0,329

VI- Công thức Bernoulli

Trong nhiều bài toán thực l ố , ta thườn" sập trườn" hợp cùng một

p h é p thử dược lập đi lặp l ạ i nhiều lần Trong mỗi p h é p ihử có thể xảy ra hay khôntĩ xảy ra một biến cố A nào đó và la quan tâm đ ố n lổng số lần xảy ra biến c ố A trong d ã y p h é p thử Chẳng hạn, n ế u

t i ế n h à n h sản xuất hàn g loạ i m ộ i loạ i chi t i ế t n à o đ ó ta thường quan

t â m đ ế n tổng số chi t i ế i đạt tiêu chuẩn của cả quá trình sản xuất B à i toán này có the giải quyết khá d ễ dàng nếu c á c p h é p thử độc lập với nhau

Các phép thử được gọi là độc lập với nhau nếu xác suất để xảy ra

một biến c ố nào đó trong từng p h é p thử sẽ không phụ thuộc v á p việc

b i ế n c ố d ó có xả y ra ở p h é p thử khá c hay không Chẳng hạn: tung

n h i ề u lầ n một đồng xu hoặc lấ y ngẫu nhiê n có hoà n l ạ i n sản ph ẩ m

l ừ một lô h à n " sẽ lạo nên các p h é p thử độc lập

Giả sử tiến hành n phép thử độc lập Trong mỗi phép thử chỉ có

thể xảy ra một trong hai trường hợp: Hoặc biến cố A xảy ra hoặc

b i ế n c ố A khôn g xả y ra X á c suất xả y ra b i ế n c ố A trong m ỗ i p h é p thử đ ề u bằng p và xác suất A không xảy ra bằng Ì - p = q Khi dó xác suất đ ể trong n p h é p thử độc lập nói trên biến c ố A x ả y ra đúng

k lần ký hiệu là Pk(A)đƯỢc tính theo công thức Bernoulli sau đây:

Pk(A)=Cnkpkqn-k (k = 0,1,2 ,n)

Chứng minh: Gọi Ai là biến cố "ở phép thử thứ i, A xảy ra" (i = Ì, 2,

íỊiảo- trĩnh tụ títuụếi xòe mất oà thống kê toán

Gọi B là biến cố "trong n phép thử, A xảy ra đúng k lần" B có thể

xảy ra theo nhiều cách khác nhau Chẳng hạn, k p h é p thử đầu, A xảy

ra, còn n-k p h é p thử sau A không xảy ra Trường hợp này ta có thể biểu diễn bằng b i ế n c ố tích:

A | A2 Ak Ak+I Ak+2 An Hoặc n-k p h é p thử đầu A không xảy ra, còn n-k p h é p thử cuối A xảy

ra Trường hợp này ta có thể b i ể u diễn bằng b i ế n c ố tích có dạng: A1Ã2 A„-k.A,,-k+iAn-k+2 A„

Tổng số các tích như vậy chính là số cách chọn k p h é p thử đ ể biến

c ố A xảy ra, tức bằng c\ và biến cố B chính là tổng của những biến

cố tích ấy Đ ố i với m ỗ i tích, ta thấy biến c ố A xảy ra đúng k lần, còn

A xảy ra đúng (n-k) lần Do đó xác suất của m ỗ i tích đ ề u bằng

k n—k

p q V ì các biến cố tích là các biến cố xung khắc từng đôi, nên ta có:

Pk(A) = P(B)= c„yqn-k

Thí dụ: Một lô hàng có tỷ lệ phế phẩm là 5% Lấy ngẫu nhiên từ

lô hàng đó ra 5 sản phẩm đ ể k i ể m tra (lấy có hoàn l ạ i ) T i m xác suất

đổ có 2 p h ế phẩm trong 5 sản phẩm lấy ra k i ể m tra?

Giải: Ta coi việc kiểm tra một sản phẩm là thực hiện một phép

thử Vì k i ể m tra 5 sản phẩm n ê n ta coi như thực hiện 5 p h é p thử độc lập Gọi A là biến cố "sản phẩm lấy ra k i ể m tra la p h ế phẩm" Ta thấy trong m ỗ i p h é p thử chỉ có thể xảy ra một trong hai trường hợp: Hoặc sản phẩm k i ể m tra là phố phẩm (tứcA xảy ra), hoặc s ả n phẩm

k i ể m tra là sản phẩm tốt (tức A không xảy ra) X á c suất đ ể A xảy ra trong m ỗ i p h é p thử đều hằng 0,05 Vày các điều k i ệ n đ ể á p dụng công thức Bernoulli đ ề u thoa mãn V I vậy, xác suất đ ể có 2 phế phẩm trong 5 sản phẩm lấy ra k i ể m tra là:

32

ệỊkựỰaạ ì: Ọbáe Mất của biến cố oà các eânụ thức tinh, xòe ít lất

p2 (A) = c\ (0,05)2 (0,95)3 =s 0,0214

VII- Công thức xác suất đầy đủ

Gia ỉ>ư hiến cố A là b i ế n c ố bất kỳ có t h ể x ả y ra đồng thời v ớ i m ộ t trong c á c biến c ố Hl t H2 , Hn - là h ệ b i ế n c ố đ ầ y đủ và xung khắc từng đôi K h i đó x á c suất của b i ế n c ố A được tính theo c ô n g limV sau đây:

p(A)=^?aiiAAmi)

i = l Các xác suất P(Hi); P(H2); P(H„) thường được gọi là các xác

suất của các giả thiết (hay c á c x á c suất tiên nghiệm) và công thức trên được g ọ i là công thức x á c suất đ ầ y đủ

Chứng minh: Vì các biến cố Hi, H2, , Hn là một hệ biến cố đầy

đủ và xung khắc từng đôi, n ê n b i ế n c ố A n ế u x ả y ra thì sẽ x ả y ra đồng thời v ớ i một trong c á c b i ế n c ố đó V ậ y ta c ó :

A = H|.AuH2.Au uH„.A

Do c á c b i ế n c ố H j , Hi, Hn xung khắc từng đôi n ê n c á c b i ế n c ố

H [ A ; H2.A ; ; H„.A cũng xung khắc từng đôi Á p dụng công thức

n cộng x á c suất ta có: P(A) = P ( H , A )

i=i Theo công thức nhân x á c suất, ta l ạ i có:

P(Hi.A) = P(Hi).P(A/Hi)

Vậy: P(A)=ịP(Hi)P(A/Hi)

i=l

Thí dụ: Cỗ 3 lô sản phẩm, tỷ lệ phế phẩm của từng lô tương ứng là:

6%; 2%; 1% Chọn ngẫu n h i ê n m ộ t lô r ồ i từ lô đã chọn l ấ y ngẫu nhiên ra một sản phẩm T i m x á c suất đ ể l ấ y được một p h ế phẩm?

(Ịláo trình lý, L'uiụê'1 xác tuất oà tlicútạ kê toán

Giải: G ọ i A là b i ế n cố l ấ y được một p h ế phẩm H i , H2, H3 tương ứng

là các h i ế n c ố sản phẩm l ấ y ra thuộc lô thứ nhất, thứ hai, thứ ba Các

P(A/H,) = 0,06; P(A/H2) = 0,02 ; P(A/H3) = 0,01

Vậy: • P(A)=-(0,06 + 0.0? 0,01) = 0.03

VUI- Công thức Bayes

Giả sử A là b i ế n cố bất kỳ có thể xảy ra đỏng thời với một trong các b i ế n cố H i , H2, , Hn - là hệ b i ế n cô đ ầ y đủ và xung khắc từng đôi Giả thiết rằng A đã xảy ra K h i đó:

pm/AÌ P(H,)P(A/H,)

P(Hị/A) = — (V i = Ì, 2 , n)

X p ( H i ) p ( A / H i ) i=l

Chứng minh: Theo công thức nhân xác suất ta có:

P(Hi.A) = P(Hi).P(A/Hj) = P(A).P(Hị/A)

^P(Hi/A)=ỈÍMi^ii

P ( A ) Theo công thức xác suất đầy đủ ta c ó :

P ( A ) = £ P ( H , ) P ( A / H , )

34

i = l

ẽhư&iiạ í: (Xjác iu ất của biến cố oà eáe CÁ li ạ thứe tính, xòe Mất

V ậ y :

P ( H | / A ) = J W ^ > ( i = 1, 2 „ )

X P ( H , ) P ( A / H , ) i=l

Các xác suất P(Hị/A) được xác định sau khi đã biết kết quả của

3hép thử là A đã x ả y ra n ê n thương được gọi là các xác suất hậu

nghiệm N h ư v ậ y công thức Bayes cho p h é p ta x á c định l ạ i c á c xác suất tiên nghiệm P(Hi) khi biết thcm thông tin là A xảy ra k h i thực

liên m ộ t p h é p thử

Thí dụ: Ta x é t thí dụ ở phần công thức xác suất đầy đủ nhưng cho

b i ế t t h ê m là đã lấ y được p h ế ph ẩ m khi lấ y ngẫu nhiê n mộ t sản p h ẩ m

từ lô h à n g được chọn Tính x á c suất được chọn của từng lô h à n g ?

Giải: V ì A đã xảy ra n ê n á p dụng công thức Bayes, ta có:

Xác suất lô hàng có tỷ lệ phế phẩm là 6% được chọn là:

P(H3)P(A/H3) 3'0'01 Ì

-P ( A ) 0,03 9

ẨỆiáữ trình bị thuyết xuê mối oà tkốuạ kê toán

Đại lượng ngẫu nhiên (hay b i ế n ngẫu n h i ê n ) là m ộ t qui tắc hay

môi h à m đ ể g á n các giá trị bằng sô cho những k ế t qua của m ộ t phép thu ngầu nhiên

Như vậy, khi thực hiện phép thử, đại lượng ngẫu nhiên sẽ nhận

một giá trị n à o đó trong tập hợp c á c giá trị mà nó có thể nhận Việc

đ ạ i lượng ngẫu nhiên nhận giá trị cụ t h ể n à o là m ộ t b i ế n cố

Các đại lượng ngẫu nhiên thường được ký hiệu là: X, Y, z, Xi,

X2, , xn ; Y i , Y2, , Ym ; C ò n c á c giá trị có thể có của

nó được ký h i ệ u là: Xi, x2 x„ ; y i , y% ym

Thí dụ ì: Tung một con xúc xắc, g ọ i X là số chấm xuất hiện thì X là

đ ạ i lượng ngẫu nhiên vì trong k ế t quả của p h é p thử nó sẽ nhận một trong 6 giá trị: Ì, 2, 3, 4, 5, 6 với x á c suất tương ứng đ ề u bằng 1/6

Thí dụ 2: G ọ i Y là số p h ế phẩm có trong 100 sản phẩm l ấ y ra kiểm

tra Y là đ ạ i lượng ngẫu nhiên vì trong k ế t quả của p h é p thử Y sẽ nhận một trong các giá trị: 0, Ì, 2 , , 100

2- Phân loại đại lượng ngẫu nhiên

D ạ i lượng ngẫu nhiên có thể là rời rạc hoặc liên tục

Đ ai lượng ngẫu nhiên được g ọ i là rời rạc n ế u tập hợp các giá trị

mà nó có thể nhận là một tập hợp hữu hạn hoặc vô hạn đ ế m được

36

@hư&nạ 2: Dại lường, m/ẫti nhiên và qui luật phản pltối xòe luốt

Đối với đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, ta có thể liệt kê được các

Thí dụ: số sinh viên vắng mặt trong mỗi buổi học ; sô máy hỏng

trong từng ngày của một p h â n xưởng, là các đ ạ i lượng ngẫu

n h i ê n rời rạc

N ế u g ọ i X là trọng lượng của mộ t loạ i sản ph ẩ m do mộ t nhà m á y sản xuất; Y là sai số khi đo lường một đ ạ i lượng vật lý; thì X, Y

là những đ ạ i lượng ngẫu nhiên liên tục

li- Qui luật phân phối xác suất của đại lượng

n g ẫ u n h i ê n

Để xác định một đại lượng ngẫu nhiên ta phải biết đại lượng ngẫu

n h i ê n ấy có thể nhận cạc giá trị n à o và nó nhận các giá trị ấy với

x á c suất tương ứng là bao nhiêu

M ộ t h ệ thức cho p h é p b i ể u d i ễ n m ố i quan hệ giữa các giá trị cố thể nhận của đ ạ i lượng ngẫu nhiên v ớ i các x á c suất tương ứng đưck

g ọ i là qui luật phân phối xác suất của đ ạ i lượng ngẫu nhiên

Đ ể thiết lập qui luật p h â n phối xác suất của một đ ạ i lượng ngẫu

nhiên ta có thể dùng: bảng phân phối xác suất hoặc hàm phân phối

xác suất hoặc hàm mật độ xác suất

Ì- Bảng phân phối xác suất

Bảng phân phối xác suất dùng đ ể thiết lập qui luật phàn phối xác suất của đ ạ i lượng ngẫu nhiên rời rạc

CỊÌÚƠ trịnh Ị lị thuyết xóa mất oà ỊhấỊỊtạ kè toán

Giả sử đ ạ i lượng ngẫu nhiên X có thể nhận một trong các giá trị:

Xli X2, , xn với các xác suất tương ứng là:

Thí dụ: Trong hộp có lo sản phẩm (tronu dò oi 6 chính phẩm) Lấy

ngẫu nhiên không hoàn l ạ i từ hộp ra 2 sản phẩm L ậ p bảng phân phối của số chính phẩm được lấy ra ?

Giải: Gọi X là số chính phẩm được lấy ra từ hộp thì X là đại lượng

ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị: 0, 1 , 2 , v ớ i các xác suat tương ứng:

P l= P ( X = 0) = ^ f = - = : cic; 8 c3 5

Vậy qui luật phân phối xác suất của X là:

2- H à m p h â n p h ố i x á c s u ấ t

QitơơiHỊ 2: r -ùại ittơttạ ít (Ị VUI nhiên oà iịiù luật phân phối xát' xuất

Hàm phân phối xác suàt có thể thiết lập cho cả đại lượng ngẫu

nhiên r ờ i rạc và đ ạ i lượng ngầu nhiên liên tục

a- Định nghĩa: H à m phân phối xác suất của đ ạ i lượng ngẫu nhiên X

[ký h i ệ u là F(x)] được định nghĩa bởi biểu thức:

F(x) = P(X < x) Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thì hàm F(x) có dạng:

Tính chất này suy ra từ định nghĩa của F(x)

* Tính chất 2: H à m p h â n phối xác suất là h à m không giảm

T ừ tính chất 2 ta suy ra một số h ệ quả sau:

Hệ quả 1: P(a < X < b) = F(b) - F(a)

H ệ quả này suy ra từ chứng minh tính chất 2

ịịiào trình tý thuyết xòe luốt oà thõng kê toán

Hệ quả 2: X á c suất đ ể đ ạ i lượng ngẫu n h i ê n liên tục nhận giá trị

xác định cho trước luôn bằng 0

Thật vậy Từ h ệ quả Ì, nếu ta đặt: a = X ; b = X + Ax, thì ta có: P(x < X < X + Ax) = F(x + Ax) - F(x)

Lấy giới hạn cả hai vế khi Ax-> 0 ta có:

Lim P(x < X < X + Ax) = Lim F(x + Ax) - F(x)

Vì X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục nên F(x) cũng liên tục tại X

T ừ đó ta có:

Lim F(x + Ax) = F(x)

Ax->0 Khi Ax 0 thì: P(x < X < X + Ax) P(X = x)

V ậ y : P(X = X) = 0

Hệ quả 3: Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì:

P(a < X < b) = P(a < X < b) = P(a < X < b) = P(a < X < b)

* Tính chất 3: Lim F(x) = Ì ; Lim F(x) = 0

Tính chất này có thể viết dưới dạng:

F(+oo) = Ì ; F(-oo) = 0

c- Ý nghĩa của hàm phân phối xác suất:

T ừ định nghĩa của h à m phân phối xác suất ta thấy h à m F(x) phản ánh mức độ tập trung xác suất về phía b ê n trái của đ i ể m X Giá trị của h à m F(x) cho biết có bao nhiêu phần của một đơn vị xác suất phân phối trong khoảng ( - co, x)

3- Hàm mật độ xác suất

Giường 2: <ĩ)a£ ỈKỌIHỊ ti gau 'thiền oà quí luật phàn phối xòe luốt

a- Định nghĩa: Hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên

tục X [ký h i ệ u là f ( x ) ] là đạo h à m bại hất của h à m p h â n phối Tức:

về mặt hình học, tính chất 2 được minh họa như sau:

Xác suất để đại lượng ngẫu nhiên liên tục X nhận giá trị trong

khoảng (a, b) bằng d i ệ n tích của m i ề n giới hạn bởi trục Ox, đường cong f ( x ) và c á c đường thẳng: X = a ; X = b ( m i ề n gạch c h é o trên hình v ẽ )

lịiúa trình lý thuyết xúc luốt oà thống kè toán

gần như tỉ l ệ với giá trị của hàm f(x) t ạ i đ i ể m X Vì vậy, với cùng độ dài Ax như nhau, tại đ i ể m X nào mà giá trị của h à m f(x) lớn hơn thì ở lân cận của đ i ể m ấy sẽ tập trung một xác suất lớn hơn Chính vì thế

mà f ( x ) có t ê n là h à m mật độ xá c suất

III- Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu

n h i ê n

nhương 2: (Đại lưựitq ttạẫu nhiên DÙ ỊịỊti Ị Ị lội phàn pỉtấì xáo mất

Khi ta xác định được qui luật phân phối xác suất của đại lượng

ngẫu nhiên thì ta đã n ắ m được toàn bộ thông tin về đ ạ i lượng ngẫu nhiên đó Tuy nhiên trong thực t ế rất khó và cũng không cần thiết phải nắm được toàn bộ những thông tin này, mà chỉ cần quan t â m

đ ế n những thông tin quan trọng nhất, phản á n h các đặc trưng cơ bản của đ ạ i lượng ngẫu n h i ê n đang n g h i ê n cứu Phần n à y chúng ta n ê u

ra một vài tham số đặc trưng quan trọng nhất, phản á n h từng mặt của một đ ạ i lượng ngẫu nhiên

Ì- Kỳ vọng toán

a- Định nghĩa: Giả sử X là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thổ

nhận các giá ưị: X i , X2, , xn v ớ i c á c x á c suất tương ứng: Pi, P2, , p„ Kỳ vọng toán của đ ạ i lượng ngẫu nhiên X [ký h i ệ u là E ( X ) ]

là tổng các tích giữa các giá trị có thể có của đ ạ i lương ngẫu n h i ê n

Chứng minh: Thật vậy, hằng số c có thể xem như một đại lượng

ngẫu nhiên đặc biệt, chỉ nhận một giá trị có t h ể có là c v ớ i x á c xuất tương ứng bằng Ì Do đó theo định nghĩa:

E(C) = C.l =c

Kj.iáa trình lý tíuiiịẾÍ xúc Mất lùi Ịhmiụ kè toán

* Tính chất 2: E(CX) = C.E(X) (với c là hằng số)

Chứng minh: Thật vậy, giả sử đại lượng ngẫu nhiên X có luật phân

E(X+Y) = E(X) + E(Y)

Chứng minh: Giả sử X, Y là các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có luật

phân phối xác suất như sau:

thường 2: (Đại lượt vạ ngẫu /thiền ứà qui luật phàn, phát xòe, tuảí

m

Ta sẽ chứng minh rằng: 2! Pij = Pi ( V i = l , n )

H Thật vậy: B i ế n c ố ( X = Xi) sẽ x ả y ra khi tổng ( X + Y ) nhận m ộ t trong c á c giá trị: (Xi + y O ; (Xi + y2) ; ỉ (Xi + ym) ;

Do đó theo công thức cộng x á c suất ta có:

P(X= Xi) = Pi = P [ ( X + Y ) = (Xi + y , ) ] + P [ ( X + Y ) = (Xi + y2) ] + + P[(X+Y) = (Xi + ym)] = Pii+ Pi2 + + Pim = 2 Pu

(}iúữ trình bị Uutạết xác mất vù ihấnq kê toán

Tương tự ta cũng chứng minh được: X Pij = Qj (Vị = Ì, m )

Từ đó ta có:

li m

E ( X + Y ) = X Xi p, + z y j qj = E(X) + E(Y)

i=l j=l Bằng phương pháp qui nạp ta có thể chứng minh được tính chất trên

trong trường hợp tổng quát:

Kỳ vọng toán của tổng li đại lượng ngẫu nhiên: Xi, x 2 , , X H bằng tổng các kỳ vọng toán thành phần Tức là:

E(Xi + x2 + + x„) = E(Xi) + E(X2) + +E(Xn)

* Tính chất 4: Kỳ vọng toán của tích hai đại lượng ngẫu nhiên

ư o n g trường hợp tổng quát:

ẽhư&tiạ 2ĩ ^Đạì lượng, itạẫii nhiên oà qui luật phần phố! góc luốt

Kỳ vọng toán của tích H đại lượng ngẫu nhiên độc lập vối nhau bằng

tích các kỳ vọng toán của chúng Tức là: n ế u X i , X2, , x „ độc

lập, thì:

E ( X j X2 x „ ) = E ( X i ) E ( X2) E ( Xn)

* Chú ý: Ì - Hai đại lượng ngẫu nhiên được gọi là độc lập với nhau

n ế u qui luật phâ n phố i xá c suất của đ ạ i lượng ngẫu nhiê n n à y k h ô n g phụ thuộc gi v à o việc đ ạ i lượng ngẫu nhiên kia nhận giá trị bằng bao nhiêu

2- Tổng của hai d ạ i lươn? ngẫu nhiên X và Y là đ ạ i lượng ngẫu nhiên ( X + Y ) mà các iii.i UỊ co thể có của nó là tổng của m ỗ i giá trị có thể có của X và m ỗ i giá trị có t h ể có của Y N ế u X , Y độc lập v ớ i nhau thì các xác suất tương ứng sẽ bằng tích các x á c suất thành phần N ế u X, Y phụ thuộc nhau thì các xác suất tương ứng sẽ bằng tích xác suất của thành phần này v ớ i x á c suất có đ i ề u k i ệ n của thành phần kia

c- Bản chất và ý nghĩa của kỳ vọng toán

Đ ể thấy được bản chất của kỳ vọne toán, ta xét các thí dụ sau đ ậ y :

Thí dụ ì: M ộ t lớp có 50 sinh viên, trong kỳ thi m ô n toán có k ế t quả

íịuiữ trình Lị thuyết ạẹtịe tuất MÌ ÚLốnạ kè tữáti

Thí dụ 2: Nghiên cứu về thu nhập của công nhân ngành dệt, giả sử

có sô l i ệ u cho ở bảng sau:'

Số C N ( 1 0 Ơ 0 người) 50 70 150 120 55 30 25 Gói Y là thu nhập của công nhân n g à n h dệt, từ số l i ệ u ở bảng trên 1 s ú bảng phân phối x á c suất của Y n h ư sau:

í một l o ạ i cây (cùpg độ tuổi) thì E(X) là chiều cao trung bình của

loại cây này; N ế u Y là năng suất lúa ở v ù n g đồng bằng sông Cửu

Qítitưttạ 2: Dai tường, nạẫu /thiên tìà giũ luật phân phối xòe xuất

Long của năm 2001 thì E(Y) là năng suất lúa ưung bình ở vùng này

trong n ă m đó

Trong thực t ế người ta thường l ấ y một mẫu gồm n quan sát đ ể nghiên cứu v ề một tổng thể K h i đó kỳ vọng toán của đ ạ i lượng ngẫu nhiên xấp xỉ v ớ i trung bình số học các giá trị quan sát của đ ạ i lượng ngẫu nhiên (trung bình mẫu) Kỳ vọng toán phản ánh giá trị trung tâm của một phân phối x á c suất, có nhiều giá trị của đ ạ i lượng ngẫu nhiên nhận giá trị gần v ớ i kỳ vọng toán Chẳng hạn, ở thí dụ 2 nêu trên, ta có E(Y) = 9,55 có nghĩa là có nhiều công nhân n g à n h dệt có mức thu nhập xấp xỉ ở mức 9,55 triệu đ/năm Cụ thể là có 150 ngàn công nhân có mức thu nhập 9 triệu đ/năm và 120 ngàn công nhân có mức thu nhập 10 triệu đ/năm

2- Phương sai

Trong thực t ế , nhiều khi n ế u chỉ xác định kỳ vọng toán của đ ạ i lương ngẫu nhiên thì chưa đủ Đ ể xác định một đ ạ i lượng ngẫu nhiên

ta c ò n phải x á c định mức độ phân lán các giá trị của đ ạ i lượng ngẫu

n h i ê n xung quanh giá trị trung bình của nó Chẳng hạn, khi n g h i ê n cứu đ ạ i lượng n g l u nhiên là năng suất lúa của một vùng n à o đ ó , thì

n ă n g suất lúa trung bình (kỳ vọng toán) mới chỉ phản ánh được một mặt của đ ạ i lượng ngẫu nhiên này Mức độ chênh lệch v ề n ă n g suất (so v ớ i n ă n g suất trang bình) ở những thửa ruộng khác nhau cũng là

v ấ n đ ề c ầ n quan t â m nghiên cứu B ở i vì n ế u mức độ chênh lệch n à y nhỏ thì chứng tỏ giống lúa đó có năng suất khá ổ n định T ừ đó ta có khái n i ệ m v ề phương sai

a- Định nghĩa: Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu là

V a r ( X ) [hoặc D ( X ) ] , được định nghĩa bằng công thức:

Var(X) = E{[X-E(X)]2}

Chú ý: Phương sai được định nghĩa bằng một công thức Nhưhg

• N X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thì:

Qiáo trình bị tluiụết xác Uíấl oà thống, kè tõúti

Var(X)=£[x, -E(X)]2Pi

Var(X) = - LE(X)]2

Thật vậy: Theo định nghĩa của phương sai, ta có:

Var(X) = Ế(IX- E(X)]2} = E{X2 - 2XE(X) + [EỌQ] 2 }

= E(X2) - 2E(X).E(X) r LUX)]2 = EfX2) - E(X)]2

Thí dụ: Cho đại lượng ngẫu nhiên X có Ì li phàn phối xác suất như

sau:

Tìm phương sai của X ?

Giải: Theo định nghĩa kỳ vọng toán ta có:

E(X) = lx 0,1 + 3x 0,5 + 4x 0,4 = 3,2

E(X2) = 12X 0,1 + 32x 0,5 + 42x 0,4 = li

Vậy: VaitX)= li-(3,2)2 = 0,76

b- Cát: tính chất của phương sai:

* Tính chất ì: Phương sai của hằng số bao giờ cũng bằng 0

Tức là:

Var(C) = 0 (với c là hằng s ố )

ểhươttụ 2: Dai lương Itạẫa nhiên oà qui luật phân phối xòe iitãt

* Tính chất 2: V a r ( C X ) = c2 V a r ( X ) (với c là hằng s ố ) Dựa vào định nghĩa của phương sai ban toe có thể tự chứng minh hai tính chất trên

* Tính chất 3: N ế u X , Y là hai d ạ i lượng ngẫu nhiên độc lập thì:

Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)

Chứng minh: Theo công thức tính phương sai ta có:

Var(X +Y) = E [ ( X + Y )2] - [E(X+Y)]2

Var(X +Y) = Var(X) + Var(Y)

Trường hợp tổng quát, nếu Xi, x2, , Xn là n đại lượng ngẫu

nhiên độc lập thì:

Var(Xi + x2 + + xn) = Var(Xị) + Var(X2) + + Var(Xn)

Bằng phương pháp qui nạp bạn đọc có thể chứng minh kết luận trên

T ừ tính chất 3 ta có thể chứng minh được các hệ quả sau:

* Hệ quả ì: Var(X - Y) = Var(X) + Var(Y) Nếu X, Y độc lập

Chứng minh: Thật vậy, theo tính chất 3 của phương sai ta có:

Var(X-Y) = Var[X + (-Y)] = Var(X) + Var(-Y)

(ịiáữ trình bị ưuujjếl xóa mất im ưiốtiạ kè tơáti

= Var(X) + ( - l )2V a r ( Y ) = Var(X) + Var(Y)

* Hệ quả 2: Var(C + X) = Var(X) (với c là hằng số)

c- Bản chất và ý nghĩa của phương sai:

Ta thấy, kỳ vọng toán của một đ ạ i lượng ngẫu nhiên là giá trị trung bình của đ ạ i lượng ngẫu nhiên đó (trong sản xuất công nghiệp,

kỳ vọng toán thường là giá trị qui định Chẳng hạn như : đường kính qui định, trọng lượng qui định, )• C ò n thực t ế sản xuất ra những sản phẩm có đường kính, trọng lượng, sai l*ệch so với qui định

Độ sai lệch này được đặc ưưng bởi đ ạ i lượng ngẫu nhiên: [ X - E(X)] Mà phương sai được định nghĩa bởi công thức:

, Var(X) = E { [ X - E ( X ) ]2}

Như vậy, thực chất của phương sai là:" kỳ vọng toán của bình

pììUitng các sai lệch" hay nói một cách k h á c " Phương sai là sai lệch bình phương trung bình", nó phản á n h mức độ p h â n tán các

giá trị của đ ạ i lượng ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình Đại lượng nào có nhiều giá trị sai lệch lớn so v ớ i giá ừị trung bình thì phương vù sẽ lớn; Đ ạ i lượng n à o có nhiều giá trị sai lệch ít so với giá trị trung bình thì phương sai sẽ nhỏ

Trong sản xuất công nghiệp, phương sai thường biểu thị độ chính

xác của sản xuất Trong chăn nuôi, phương sai b i ể u thị mức độ đồng

đ ề u của đàn gia súc Trong trồng trọt, phương sai b i ể u thị mức độ ổn định của năng suất cây trồng

3- Độ lệch chuẩn

Ngoài phương sai ra, người ta còn sử dụng một tham số khác để đặc trưng cho mức độ phân tán của đ ạ i lượng ngẫu nhiên đó là độ lệch chuẩn

Độ lệch chuẩn của đ ạ i lượng ngẫu nhiên X [ký hiệu là Ơ(X)] là căn bậc 2 của phương sai: