Bài giảng Xử lý tín hiệu số: Phần 2 - ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Nam Định

Tiếp nối nội dung phần 1, nội dung Bài giảng Xử lý tín hiệu số: Phần 2 cung cấp cho người học các kiến thức như sau: Biểu diễn hệ thống và tín hiệu rời rạc trong miền tần số. Tổng hợp các bộ lọc số có đáp ứng xung chiều dài hữu hạn (FIR). Mời các bạn cùng tham khảo!

110

CHƯƠNG 3: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC

TRONG MIỀN TẦN SỐ

Bên cạnh biến đổi Z, một công cụ toán học khác cũng rất quan trọng và hữu

hiệu thường được dùng trong việc phân tích và tổng hợp các hệ thống tuyến tính bất biến, đó là chuỗi và biến đổi Fourier Ở đây, tín hiệu được phân giải thành các thành phần hình sin (hoặc mũ phức) Do đó, ta nói tín hiệu được biểu diễn trong miền tần số Biểu diễn toán học cơ bản của tín hiệu tuần hoàn là chuỗi Fourier Nội dung chương này được bắt đầu từ việc biểu diễn các tín hiệu tuần hoàn và không tuần hoàn liên tục theo thời gian dưới dạng chuỗi và biến đổi Fourier tương ứng, biến đổi Fourier rời rạc (DFT) của một tín hiệu tuần hoàn, biến đổi Fourier rời rạc (DFT) của một dãy hữu hạn

Sau đây ta sẽ quan sát các hình ảnh tương quan giữa các miền đã học: miền thời

gian rời rạc n, miền Z với miền tần số ω như hình vẽ dưới đây:

IFT

Quan hệ giữa ZT

và FT

Hình 3.1 Quan hệ giữa miền tần sốvà các miền khác

Việc ánh xạ tín hiệu từ miền thời gian rời rạc sang miền tần sốđược thực hiện

nhờ biến đổi Fourier và ngược lại việc ánh xạ tín hiệu từ miền tần số ω sang miền thời

gian rời rạc được thực hiện nhờ biến đổi Fourier ngược

Ký hiệu:

FT: Fourier Transform (Biến đổi Fourier)

IFT: Inverse Fourier Transform (Biến đổi Fourier ngược)

Trong chương này chúng ta cũng thấy sự liên quan giữa biến đổi Z và biến đổi Fourier và việc chuyển đổi giữa chúng

3.1 Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc

3.1.1 Định nghĩa biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier (Fourier Tranform: FT)

Biến đổi Fourier của một tín hiệu x n được định nghĩa như sau:  

( (3.1)

Ký hiệu toán tử:

e X n x

FT ( ) 

  FT  j

e X n

Biểu diễn theo phần thực phần ảo:

Bởi vì  j

e

X là một hàm biến phức nên ta có thể biểu diễn nó trong miền tần

số ω dưới dạng phần thực và phần ảo như biểu thức dưới đây:

Đây là dạng biểu diễn quen thuộc của số phức

Biểu diễn theo Modul và Argument:

A e j

Cho phổ của tín hiệu x n như sau:   X e( j) ejsin 4

a Hãy biểu diễn phổ này ở dạng:

- Phần thực, phần ảo

- ( j),()

e A

- ( j ) ,  (  )

e X

b Hãy biểu diễn bằng đồ thị ( j),()

4sin

)sin(cos

4sin

4sin)(

j e j

e X

Vậy phần thực là: sin 4 cos 

Phần ảo là: - sin 4 sin 

( )

( ) sin 4( )

Chuỗi này không tồn tại vì j n 1

e  Vậy ta nói chuỗi x2 n không có biến đổi Fourier

c Tìm biến đổi Fourier của chuỗi x3 n

e 







 không hội tụ Vậy ta nói chuỗi x2 n

không có biến đổi Fourier

d Tìm biến đổi Fourier của chuỗi x4 n

j j

3.1.2 Sự tồn tại của biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier của một dãy x n sẽ tồn tại nếu và chỉ nếu:  

n n u

Hàm 2n u(n) không thoả mãn (3.16) nên không tồn tại biến đổi Fourier

21

12

2

1 0

nn u

Hàm 2-n u(n) thoả mãn (3.16) nên tồn tại biến đổi Fourier :

.

).

( )]

n j n n

n j n

n

e e

e n u n

u

117

n

e e

n u

12

1

12

[

)]

.

)

()]

e e

n n

e e

n n

N

n n

n rect

1

0

1

)(

Hàm rect N (n) thoả mãn (3.16) nên tồn tại biến đổi Fourier :





j j n

n j n

n j

e

e e

e n rect n

rect FT

N N

()]

([

Có thể thấy rằng, các dãy có độ dài hữu hạn luôn tồn tại biến đổi Fourier, còn

các dãy có độ dài vô hạn sẽ tồn tại biến đổi Fourier nếu chuỗi (3.16) của nó hội tụ

3.1.3 Biến đổi Fourier ngƣợc

IFT: Inverse Fourier Transform

Biến đổi Fourier ngược của phổ tín hiệu  j

e

X được định nghĩa như sau:

12

([X e j x n

(3.19) Hay : X(e j)  IFT x(n) (3.20)

Ở đây biến đổi Fourier ngược giúp ta xác định được x n từ   ( j )

1)

31

4

e n j

e n j n

()

(

31

4

n j

e e

n j

e e

n x

n j n

j n

j n



23

2

12

12

.)(

][

.)()(

) 3 ( )

3 ( )

1 ( )

1 (

j

e e

n j

e e

n n

x

n j n

j n

j n

])sin[(

)(

])sin[(

)(

3

32

11

12

n n

x

)(

])sin[(

)(

])sin[(

0

1

k k

k k

k k

k

n n

n n

khi

n khi n

Biến đổi Fourier của tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các biến

đổi Fourier của thành phần

Giả sử có hai tín hiệu x n1( ), x n2( )và biến đổi Fourier của chúng là:

n

j n

Như vậy ta thấy rằng phổ biên độ của 2 tín hiệu x n và   x n như nhau, còn

phổ pha của chúng thì trái dấu

1 1

1

12e

n n

j n

j j

124

3.2.5 Biến đổi Fourier của tích chập hai dãy

Biến đổi Fourier của tích chập hai dãy bằng tích của hai biến đổi Fourier thành

3.2.6 Biến đổi Fourier của tích hai dãy

Biến đổi Fourier của tích hai dãy bằng tích chập của hai biến đổi Fourier thành

Tích x n3( )x n x n1( ) ( )2 thường được dùng trong trường hợp chúng ta nghiên cứu x n1( )có chiều dài rất dài, để giới hạn chiều dài của x n1( ) ta nhân nó với x n2( ) có chiều dài hữu hạn gọi là cửa sổ, như ta có thể dùng cửa sổ chữ nhật x n2( )rect N n

Sau này ta sẽ dùng rất nhiều kỹ thuật cửa sổ này để tổng hợp bộ lọc số FIR

3.2.7 Vi phân trong miền tần số

Nếu FT x n[ ( )]= (e )X j

Thì:

125

(e )

[ ( )]=j

j dX

e trong miền tần số n sẽ tương đương với

việc dịch chuyển tần số của phổ X e( j) đi một lượng 0

Ví dụ:

Tín hiệu sốx n có phổ tần số là   ( j ) [ ( )]

X e  FT x n

Tìm phổ tần số của tín hiệu điều biên y n( ) x n( ).cos(0n)

Vẽ dạng phổ của y( )n biết phổ củax n như hình vẽ với   0

n x FT n

n x

2

1 2

126

) (

1)]

n n

2

1 2

Quan hệ (3.40) gọi là quan hệ Parseval

Trong trường hợp x n1 x n2 x n  quan hệ Parseval cho ta:

2

x n

arctg  thì E x  0, nên phải lấy arctg( )0  )

3.2.10 Phổ tần số của hàm tương quan và hàm tự tương quan

Nếu x n( ) y n( ) ta có hàm tự tương quan

( j ) ( j ) ( j )

xx

R e  X e X e (3.46) Nếu hàm tự tương quan của x n( )thực ta có:

Đối với biến đổi Fourier của hàm tương quan chéo ta còn gọi R xy(e j)là phổ mật độ năng lượng chéo của x n( )và y( )n ký hiệu là S xy(e j)

3.3 So sánh biến đổi Fourier với biến đổi Z

Theo biểu thức định nghĩa của biến đổi Z có :

[( ( )] ( ) ( ) n

n X

Biểu diễn số phức z theo tọa độ cực :

Biến đổi Fourier chính là biến đổi Z được đánh giá trên vòng tròn đơn vị  z  = 1

Như vậy biến đổi Fourier chỉ là trường hợp riêng của biến đổi Z

Ví dụ 1:

Cho dãy tín hiệu:

X e 

Giải:

 

1 0

3.4 Biểu diễn hệ thống rời rạc dùng biến đổi Fourier

Trong miền thời gian rời rạc n ta có đặc trưng cho hệ thống tuyến tính bất biến

là đáp ứng xung h n( )và quan hệ vào/ra của hệ thống được thể hiện bởi tích chập:

Y e( j)X e( j) (H e j) (3.54)

( ) ( )

( )

j j

Ở đây H e( j) được gọi là đáp ứng tần số và nó chính là biến đổi Fourier của

đáp ứng xung h(n) hay còn được xác định bằng tỷ số giữa biến đổi Fourier của tín hiệu

ra trên biến đổi Fourier của tính hiệu vào

Đáp ứng tần số H e( j) hoàn toàn đặc trưng cho một hệ thống trong miền tần

( j )

H e : Đáp ứng tần số của biên độ (đáp ứng biên độ)

argH e( j)   ( ): Đáp ứng tần số của pha (đáp ứng pha)

Biểu diễn theo độ lớn và pha

H e( j)  A(e j)e j ( ) (3.59)

Ví dụ 1:

Cho phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng sau đây:

) 2 ( 4

1 ) 1 ( 2

1 ) ( 4

1 ) (n  x n  x n  x n

2( )





j j e X

e Y

=

)1

(

)1

(

2 



j j e

1(

) 5 , 0 sin(

5 , 0





j e

3.5 Biến đổi Fourier rời rạc

IDFT

Hình 3.8 Sơ đồ chuyển đổi giữa các miền và sự liên hệ giữa chúng với nhau Trong phần này, chúng ta nghiên cứu cách biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số rời rạc k hoặc để ngắn gọn ta gọi là miền k Thực chất của cách biểu diễn này là ta lấy từng điểm rời rạc trên vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng z Để

Hình 3.9 Dãy tuần hoàn có chu kỳ N=6

Ta đã biết rằng biến đổi Fourier là một trường hợp riêng của biến đổi Z hay nói cách khác biến đổi Fourier chính là biến đổi Z được thực hiện trên vòng tròn đơn vị Nhưng đối với một dãy tuần hoàn bất kỳ với chu kỳ N là %x n , ta thấy không cần thiết phải thực hiện biến đổi Fourier liên tục mà chỉ cần lợi dụng tính chất tuần hoàn của

134

R=1

Im[Z]

Re[Z]

Hình 3.10 Vòng tròn đơn vị được chia thành 8 điểm

Khi biến đổi DFT đối với tín hiệu tuần hoàn, đúng ra là ta phải xét từ −∞ đến ∞

nhưng trên thực tế, khi biến đổi thường nghiên cứu trong một chu kỳ từ 0 đến N - 1 để

xét cho dễ, các chu kỳ khác coi bằng 0 vì theo tính chất tuần hoàn

Ta thấy rằng một dãy tuần hoàn có chu kỳ N có thể được biểu diễn bởi một

chuỗi Fourier, tức là tổng của các dãy sin và cosin hoặc bởi tổng các hàm mũ phức có

a Định nghĩa biến đổi Fourier rời rạc

Biến đổi Fourier rời rạc của các dãy tuần hoàn %x n  có chu kỳ N được định

nghĩa như sau:

°  1%  2

0

N k



 (3.65)

Ta ký hiệu biến đổi Fourier rời rạc là DFT (Discrete Fourier Transform) và có

ký hiệu toán tử như sau:

Trên hình 3.11 là đồ thị của dãy %x n n có chu kỳ N = 4, và đồ thị của các

dãy biên độ tần số °X k , pha tần số:  

3 2 -1

3 2 1

-3 -4 -5 -6 -7

6 2

-0,78

3,14

-0,78

0,78 3,14

-0,78

0,78 3,14

3 2 1

3 2 1

0,78

Hình 3.11 Đồ thị của dãy %x n n , ° X k , pha tần số  

b Định nghĩa biến đổi Fourier rời rạc ngƣợc

Biến đổi Fourier rời rạc ngược IDFT được định nghĩa như sau:

%  1°  2

0

N k

Chú ý rằng trong những trường hợp cần nhấn mạnh chu kỳ của dãy tuần hoàn ta dùng ký hiệu sau:

x n% N và °X k N

Tức là dãy tuần hoàn có chu kỳ N

c Biểu diễn DFT dưới dạng ma trận

X X X

x x x

°  0% 

N IDFT X k k  x n (3.71)

Ở đây dãy * là liên hợp phức

Trong thực tế thường chúng ta hay xử lý những tín hiệu thực, vậy bây giờ ta xét tính đối xứng của DFT đối với dãy %x n  thực

Cho hai dãy x n1( )rect n x n3( ), 2( )rect n4( )

Hãy tính chập tuần hoàn 3( ) 1( ) ( ) 2( )

~ )

(n x

n

` 6 2

~ )

(n x

141

` 6 1

~

` 6 1

~

)0(.)0

x

` 6 2

~

)1

~

` 6 1

~

) 1 ( ) 1

x

n

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

142

` 6 2

~

) 2

x 

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 n

` 6 2

~

` 6 1

~

) 2 ( ) 2

~

) 5

~

` 6 1

~

)5(.)5

143

6 3

e Tích của hai dãy

Nếu chúng ta coi tích của hai dãy tuần hoàn °x n1  và °x n2 có cùng chu kỳ N là

một dãy x n°3  tuần hoàn cũng có chu kỳ N như sau :

Mặt khác chúng ta nhớ lại rằng nếu chúng ta biểu diễn tín hiệu trong miền tần

số liên tục , trong miền n là tích chập bình thường, thì trong miền  là tích chập, nhưng tích chập này là tích chập liên tục được định nghĩa bởi một tích phân

f Tương quan tuần hoàn

Nếu chúng ta coi tích của hai dãy tuần hoàn °x n1  và °x n2 có cùng chu kỳ N thì

hàm tương quan chéo của hai dãy này sẽ được tính toán trên một chu kỳ và được cho bởi công thức sau :

Hình 3.17 Hàm tương quan chéo r %%%x x1 2   n

3.5.2 Biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy không tuần hoàn có chiều dài hữu hạn 3.5.2.1 Các định nghĩa

Biến đổi Fourier rời rạc đối với dãy tuần hoàn có chu kỳ N có ưu điểm nổi bật

là DFT và IDFT đều thực hiện cùng một thuật toán, nhưng trên thực tế các tín hiêu không phải lúc nào cũng tuần hoàn

Xét một dãy không tuần hoàn x(n) có độ dài hữu hạn L như sau: L

1

-1 0 1 2 3 4 L-1 L

L x(n)

n

Hình 3.18 Dãy không tuần hoàn có chiều dài hữu hạn

Ta có thể coi dãy x(n) Llà một chu kì của dãy tuần hoàn x (n) P với chu kì bằng

147

Khi đó: x (n) P x(naN) L , với a là hằng số

Nếu N < L thì dãy x(n) sẽ bị biến dạng do sự chồng thời gian Để không xảy L

ra hiện tượng chồng thời gian và dãy x(n) L không bị biến dạng thì dãy tuần hoàn x (n) P phải có chu kì thoả mãn điều kiện: N ≥ L

Với N ≥ L, ta có thể sử dụng định nghĩa của biến đổi Fourier rời rạc đối với dãy

tuần hoàn có chu kỳ N để làm định nghĩa cho của biến đổi Fourier rời rạc đối với dãy

có chiều dài hữu hạn L nhưng không được tuần hoàn hóa mà chỉ lấy từ 0 đến (N-1)

Biến đổi thuận:

- Ký hiệu: : X (k) N DFT[x(n) N ]

Hoặc x n( )N DFTX k( )N

1 0

- Ký hiệu: : x(n) N IDFT[ X (k) N ] hoặc X k( )NIDFTx n( )N

1 0

W e 1 được gọi là hệ số pha

( )N ( ) N j k

X k A k e (3.93) Hàm độ lớn có thể nhận giá trị dương hoặc âm và:

X k

   

  (3.96)

( )k

 là dãy pha tần số, hay phổ pha rời rạc

Nhận xét: X(k)N là dãy chẵn và đối xứng qua trục tung, còn ( )k là dãy lẻ và đối xứng qua gốc toạ độ

N

jk n L n

N

x(n) e 0 k N X(k) =

b Tính chất trễ vòng (dịch vòng)

Định nghĩa phép dịch vòng:

Dãy hữu hạn y(n) N =x(n-n 0 ) N là dịch vòng n0 mẫu của dãy x(n) N , khi n0 bị đẩy

ra khỏi đoạn [0,(N-1)] sẽ quay vòng trở lại đầu kia

Các dãy y(n)N và x(n) xác định trong đoạn [0,(N-1)] Khi n 0 >0 là dịch trễ vòng( dịch vòng phải ) Khi n 0 <0 là dịch sớm (dịch vòng trái)

Chú ý: để phân biệt phép dịch vòng với phép dịch tuyến tính, người ta ký hiệu chỉ số độ dài N của dãy dịch vòng ở phía sau tên dãy

Như vậy về bản chất phép dịch vòng dãy hữu hạn x(n-n 0 ) N chính là sự quan sát

150

trên cửa sổ cố định rect N (n) phép dịch tuyến tính dãy hữu hạn x(n)N khi coi nó là một

chu kỳ của dãy tuần hoàn x P (n) có chu kỳ N

Khi dịch vòng N lần dãy hữu hạn x(n) N sang trái hoặc sang phải thì sẽ nhận

…………

y(n 0 -1) N = x(n 0 -1-n 0 ) N = x(N+n 0 -1-n 0 ) N = x(N-1) N y(n 0 ) N = x(n 0 -n 0 ) N = x(N+n 0 -n 0 ) N = x(N) N = x(0) N y(n 0 +1) N = x(n 0 +1-n 0 ) N = x(1) N

…………

y(N-1) N = x(N-1-n 0 ) N

Ví dụ đối với trường hợp y(n) 5 = x(n-2) 5 thì n 0 =2 và N=5 ,nhận được:

y(0) 5 = x(0-2) 5 = x(5-2) 5 = x(3) 5 y(1) 5 = x(1-2) 5 = x(5+1-2) 5 = x(4) 5 y(2) 5 = x(2-2) 5 = x(5+2-2) 5 = x(5) 5 = x(0) 5 y(3) 5 = x(3-2) 5 = x(1) 5

y(1) N đến y(N-1) N là đảo của các mẫu từ x(1) N đến x(N-1) N tức là có y(1) N = x(N-1) N ; y(2) N = x(N-2) N ; …… ; y(N-1) N = x(1) N

151

Tính chất của phép dịch vòng:

Khi dịch vòng dãy x(n) N đi n0 mẫu thì dãy biên độ tần số X ( k ) N không thay

đổi, chỉ có dãy pha tần số ( )k bị dịch đi một lượng k n1 0tương ứng

DFT x n n  X k X k e   X k e   

Ví dụ 3:

Cho dãy x(n)  ( 1  0 , 25n) rect5(n)

Hãy biểu diễn dưới dạng dãy số và đồ thị dãy x (n)5 và các dãy dịch vòng

0 25 0 1 0 75 0 5

0 75 0 5 0 25 0 1

1 0 75 0 5 0 25 0

2 1

X(  ) là dãy đối xứng vòng của X (k) N

d Tích chập vòng hai dãy

Định nghĩa tích chập vòng:

Tích chập vòng của hai dãy hữu hạn x (n) và 1 N x (n) là dãy hữu hạn 2 M y(n) N

được tính theo biểu thức:

Dãy x 2 (n-m) N là dịch vòng trễ m mẫu của x 2 (n) N

Tích chập vòng được ký hiệu như sau:

Tích chập vòng có các tính chất giao hoán , kết hợp và phân phối Để tính trực

tiếp tích chập vòng , cũng phải tính từng giá trị của y(n) N như vậy khi tính tích chập Theo biểu thức tích chập vòng ta có:

Trong đó, x 2 (-m) N là dãy đảo của x 2 (m) N ,còn x 2 (1-m) N là dãy dịch vòng trễ 1

mẫu của x 2 (-m) N ,… , và x 2 (N-1-m) N là dịch vòng trễ (N-1) mẫu của x 2 (-m) N

Vậy :

3 3

[3 ( ) ] ( )

Cho tín hiệu trên miền tần số: (X e j)cos(2 ). ej

Xác định các hàm phần thực và phần ảo; modul và argument; độ lớn và pha của phổ tín hiệu (X e j)

Bài 3.12

Tính tích chập x n1 x n2  với

X e

Bài 3.14

Xác định mật độ phổ năng lượng x 

j x

L k

x n

n n

Cho hai chuỗi tuần hoàn có chu kỳ N=6 được vẽ trong hình dưới đây, thực hiện

tích chập tuần hoàn hai chuỗi này