Giáo trình Giải tích (Dành cho sinh viên các ngành kỹ thuật và công nghệ): Phần 2 - Trường Đại học Vinh

Mời các bạn cùng tham khảo Giáo trình Giải tích (Dành cho sinh viên các ngành kỹ thuật và công nghệ): Phần 2 - Trường Đại học Vinh để nắm chi tiết các kiến thức nối tiếp phần 1 đó là chuỗi số và chuỗi hàm; giới hạn, tính liên tục và vi phân của hàm nhiều biến; tích phân bội; phương trình vi phân.

CHƯƠNG 5

CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI HÀM

V.1 GIỚI THIỆU

Trong chương này chúng tôi trình bày những kết quả cơ bản của lý thuyết chuỗi

số, chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa, chuỗi lượng giác, mà chúng có nhiều ứng dụng trongngành toán học khác và các ngành kỹ thuật, kinh tế,

V.2 MỤC TIÊU CỦA CHƯƠNG

Trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản về chuỗi số, sự hội tụ của chuỗi số;chuỗi hàm và miền hội tụ, chuỗi lũy thừa và chuỗi Fourier

V.3 CHUẨN ĐẦU RA CỦA CHƯƠNG

1 Trình bày được định nghĩa và các tính chất cơ bản của chuỗi số hội tụ

2 Tính được tổng của một số chuỗi số đặc biệt

3 Sử dụng được dấu hiệu hội tụ để xét sự hội tụ của chuỗi số dương

4 Sử dụng được dấu hiệu Lepnit để xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu Khảosát được sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi số

5 Trình bày được các khái niệm về miền hội tụ của chuỗi hàm, tổng của chuỗihàm

6 Tìm được miền hội tụ của chuỗi hàm

7 Tìm được bán kính hội tụ, miền hội tụ và tính được tổng của chuỗi lũythừa Viết được khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa

8 Trình bày được các khái niệm hệ số Fourier, chuỗi Fourier Viết được khaitriển thành chuỗi Fourier của các hàm chẵn, lẻ, tuần hoàn và không tuần hoàn

V.4 NỘI DUNG CỦA CHƯƠNG

144

Trong chương này chúng ta trình bày những khái niệm và tính chất cơ bản vềchuỗi số và chuỗi hàm số thực.

1.1 Các khái niệm cơ bản

1.1.1 Định nghĩa Cho dãy số thực{a n } ∞

Nếu tồn tại lim

n →∞ S n = S hữu hạn thì chuỗi (5.1) được gọi là hội tụ và có tổng

a n = S khi và chỉ khi lim

n →∞ S n = S Hơn nữa, nếu chuỗi (5.1) có tổng bằng S thì

với mỗi n = 1, 2, chuỗi ∑∞

Vì vậy lim

n →∞ S n = +∞ Do đó chuỗi phân kỳ.

3) Xét chuỗi số ∑∞

n=1

(−1) n Dễ thấy dãy tổng riêng của chuỗi này có hai dãy con

S 2n = 0 và S 2n+1 =−1 Do đó dãy tổng riêng phân kỳ, kéo theo chuỗi phân kỳ.

1.2 Một số tính chất của chuỗi hội tụ

Định lý sau cho ta một điều kiện cần để chuỗi hội tụ

1.2.1 Định lý Nếu chuỗi (5.1) hội tụ thì lim

n →∞ a n = 0.

Định lý trên cho chúng ta một dấu hiệu quen thuộc để nhận biết chuỗi phân

kỳ Chứng minh của nó bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu tham khảo [1],[2], [3], [5] của chương 5

1.2.2 Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑∞

Do đó chuỗi đã cho phân kỳ

1.2.3 Nhận xét Định lý 1.2.1 chỉ là điều kiện cần mà không phải là điều kiện đủ

để chuỗi hội tụ Ta có thể chỉ ra chuỗi số ∑∞

1.2.4 Định lý (Tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi số ∑∞

n=1

a n hội tụ khi và chỉ khi với mọi

ε > 0 tồn tại n0 ∈ N sao cho |a n+1 + + a n+p | < ε với mọi n > n0 và mọi p ∈ N.

Định lý sau đây suy ra trực tiếp từ định nghĩa Bạn đọc tự chứng minh

1.3 Chuỗi số dương và các dấu hiệu hội tụ

Trong mục này chúng ta nghiên cứu lớp các chuỗi số dương, đối với loại chuỗinày có nhiều dấu hiệu nhận biết sự hội tụ của nó

1.3.1 Định nghĩa Chuỗi số ∑∞

n=1

a n được gọi là chuỗi số dương nếu a n > 0 với mọi

n ≥ 1.

Nhận xét Đối với chuỗi số dương, dãy tổng riêng của nó luôn là dãy tăng Do

đó nhờ tính chất của giới hạn ta suy ra chuỗi số dương ∑∞

n=1

a n hội tụ khi và chỉ khi

148 Giáo trình Giải tích

dãy các tổng riêng của nó bị chặn Trong trường hợp chuỗi ∑∞

n=1

a n phân kỳ thì tổngcủa chuỗi sẽ là +∞ Sau đây, chúng ta đưa ra một số dấu hiệu để nhận biết sự hội

tụ của các chuỗi số dương

Định lý sau cho một phương pháp so sánh theo giới hạn, chứng minh của nó bạnđọc tìm hiểu trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5

1.3.2 Định lý (Dấu hiệu so sánh 1) Cho các chuỗi số dương ∑∞

Định lý sau đưa ra phương pháp so sánh theo bất đẳng thức

1.3.3 Định lý (Dấu hiệu so sánh 2) Cho các chuỗi số dương ∑∞

n=1

a n , ∑∞

n=1

b n Giả sử tồn tại K > 0 và n0 ∈ N sao cho a n 6 K.b n , với mọi n > n0 Khi đó

Bây giờ chúng ta đến với một vài ví dụ áp dụng dấu hiệu so sánh

1.3.5 Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau:

1) ∑∞

n=1

sin 1

n α , (α > 0).

a n Giả sử tồn tại giới hạn

hữu hạn hay vô hạn d = lim

n →∞

a n+1

a n Khi đó 1) Nếu 0 6 d < 1 thì chuỗi hội tụ;

2) Nếu d > 1 thì chuỗi phân kỳ.

Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu thamkhảo [1], [2], [3], [5] của chương 5

1.3.7 Nhận xét Nếu d = lim

n →∞

a n+1

a n = 1 thì chúng ta chưa thể kết luận được tính

hội tụ hay phân kỳ của chuỗi Trong trường hợp này chúng ta phải dùng các dấuhiệu khác hoặc các điều kiện hội tụ để khảo sát sự hội tụ của chuỗi

1.3.8 Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số: ∑∞

Vậy theo dấu hiệu Dalambert ta có

- Với a < e tức là d < 1, thì chuỗi hội tụ.

-Với a > e tức là d > 1, thì chuỗi phân kỳ.

2) Nếu c > 1 thì chuỗi phân kỳ.

Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu thamkhảo [1], [2], [3], [5] của chương 5

2) Trong Định lý 1.3.9 nếu thay giới hạn c = lim

1.3.12 Định lý (Dấu hiệu tích phân Cauchy) Cho chuỗi số dương ∑∞

n=1

a n Giả sử tồn tại hàm f (x) đơn điệu giảm và liên tục trên [a, + ∞) với a > 1 sao cho f(n) = a n

với mỗi n = 1, 2, Khi đó nếu tích phân suy rộng

a n hội tụ (tương ứng phân kỳ).

Chứng minh của định lý này bạn đọc tìm đọc trong các tài liệu tham khảo [1],[2], [3], [5] của chương 5 Chúng ta đến với một ví dụ áp dụng của nó

1.3.13 Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑∞

1.4 Chuỗi có dấu tuỳ ý

Trước hết ta xét một trường hợp đặc biệt của chuỗi có dấu bất kỳ là chuỗi đandấu, đó là trường hợp các số hạng của chuỗi lần lượt nhận dấu dương rồi dấu âm,

152 Giáo trình Giải tích

hoặc lần lượt nhận dấu âm rồi dấu dương

1.4.1 Định nghĩa. Cho {a n } là dãy số dương Chuỗi số có dạng ∑∞

(−1) n a n ) được gọi là chuỗi đan dấu.

Sự hội tụ của chuỗi đan dấu thường được nhận biết bởi dấu hiệu sau

1.4.2 Định lý (Dấu hiệu Leibnitz) Nếu a n là dãy số đơn điệu giảm (khi n đủ lớn)

Ta có sin( 1

n + nπ

)

= (−1) nsin1

n và vì dãy {a n } với a n= sin 1

n là dãy đơn điệu

giảm hội tụ về 0 Do đó theo dấu hiệu Leibnitz thì chuỗi đã cho hội tụ

Nhận xét Dùng tiêu chuẩn Cauchy bạn đọc có thể chứng minh được mọi chuỗi

hội tụ tuyệt đối là hội tụ Điều ngược lại nói chung là không đúng

1.4.5 Ví dụ Khảo sát sự hội tụ, hội tụ tuyệt đối của chuỗi ∑∞

1.4.6 Định lý (Dấu hiệu Dirichlet) Giả sử

154 Giáo trình Giải tích

2.1 Các khái niệm và tính chất cơ bản

2.1.1 Định nghĩa Cho X ⊆ R Ký hiệu A là tập hợp tất cả các hàm số xác định

trên X và N ∗ ={1, 2, } Ta gọi mỗi ánh xạ f : N ∗ → A đặt tương ứng mỗi n ∈ N ∗

với một hàm f (n) ∈ A là một dãy hàm xác định trên X.

Ta ký hiệu dãy hàm này là {f n (x) } hay

trong đó f n (x) = f (n).

Trong một số trường hợp dãy hàm còn được ký hiệu gọn là {f n } hay f1, f2,

2.1.2 Định nghĩa Cho dãy hàm {f n } xác định trên X ⊆ R Ta gọi tổng hình

Tập hợp tất cả các điểm hội tụ của chuỗi hàm (5.3) được gọi là miền hội tụ của

2) Chuỗi hàm ∑∞

n=1

f n (x) hội tụ đều trên A khi và chỉ khi lim

n→∞supx ∈A |r n (x) | = 0.

f n (x) hội tụ đều trên A khi

và chỉ khi với mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên n0 = n0(ε) sao cho với mọi n ≥ n0 và mọi p ∈ N ta có

|f n+1 (x) + + f n+p (x) | < ε, ∀x ∈ A.

Sau đây là một số dấu hiệu nhận biết sự hội tụ đều của chuỗi hàm mà chứngminh của chúng bạn đọc có thể tìm đọc trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5]của chương 5

2.2.5 Định lý (Dấu hiệu Weierstrass) Cho chuỗi hàm ∑∞

f n (x) hội tụ đều trên A.

2.2.6 Ví dụ Khảo sát sự hội tụ đều của chuỗi hàm ∑∞

hội tụ đều trên R.

2.2.7 Định lý (Dấu hiệu Dirichlet) Cho các dãy hàm {f n }, {g n } xác định trên

f k (x) 6M, với mọi x ∈ A, với mọi n = 1, 2,

2) Dãy số {g n (x) } đơn điệu giảm với mỗi x ∈ A và {g n } hội tụ đều đến 0 trên A.

Khi đó, chuỗi hàm ∑∞

n=1

f n (x)g n (x) hội tụ đều trên A.

2.2.8 Định lý (Dấu hiệu Abel) Cho các dãy hàm {f n }, {g n } xác định trên A ⊆ R.

Giả sử

1) Chuỗi hàm ∑∞

n=1

f n (x) hội tụ đều trên A.

2) Dãy số {g n (x) } đơn điệu với mỗi x ∈ A và {g n } bị chặn đều trên A, tức là tồn tại M > 0 sao cho

|g n (x) | 6 M, với mọi x ∈ A, với mọi n = 1, 2,

Khi đó, chuỗi hàm ∑∞

n=1

f n (x)g n (x) hội tụ đều trên A.

Tiếp theo chúng ta trình bày các tính chất cơ bản của tổng chuỗi hàm

Ta đã biết tổng của hữu hạn các hàm liên tục trên A là một hàm liên tục trên

A Định lý sau đưa ra một điều kiện đủ để điều trên đúng cho tổng vô hạn.

2.2.9 Định lý (Tính liên tục) Cho A ⊆ R và dãy hàm {f n } xác định trên A Nếu 1) f n là hàm liên tục trên A với mỗi n = 1, 2, ,

158 Giáo trình Giải tích

2.2.10 Định lý (Tính khả vi) Cho dãy hàm {f n } xác định trên (a, b) Nếu

1) f n là hàm liên tục trên (a, b) với mỗi n = 1, 2, ,

với mọi x ∈ (a, b).

Định lý sau đưa ra một điều kiện đủ để lấy tích phân từng số hạng của chuỗihàm

2.2.11 Định lý (Tính khả tích) Cho dãy hàm {f n } xác định trên [a, b] Nếu 1) f n là hàm liên tục trên [a, b] với mỗi n = 1, 2, ,

S(x)dx =

∫ b a

(∑∞ n=1

f n (x)dx.

Chứng minh của các định lý này bạn đọc có thể tìm đọc trong các tài liệu thamkhảo [1], [2], [3], [5] của chương 5

3.1 Khái niệm và tính chất cơ bản của chuỗi luỹ thừa

3.1.1 Định nghĩa Chuỗi luỹ thừa là chuỗi hàm có dạng ∑∞

3.1.2 Bổ đề (Abel) Cho chuỗi luỹ thừa

2) Nếu chuỗi (5.4) phân kỳ tại x1 thì nó phân kỳ tại mọi điểm x mà |x| > |x1|.

Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu thamkhảo [1], [2], [3], [5] của chương 5

3.1.3 Nhận xét Gọi A là miền hội tụ của chuỗi (5.4) Hiển nhiên chuỗi hội tụ tại

x = 0 Do đó A ̸= ϕ và nếu đặt

R = sup {x : x ∈ A}

thì R> 0

Ta dễ dàng đưa ra các ví dụ về chuỗi (5.4) mà R = 0, R < ∞ và R = +∞ (chuỗi

hội tụ trên toàn R) Từ Bổ đề Abel ta chứng minh được rằng nếu R > 0 thì

1) Chuỗi (5.4) hội tụ tuyệt đối trong khoảng (−R, R) và hội tụ đều trong mỗi

đoạn [a, b] ⊂ (−R, R).

2) Chuỗi (5.4) phân kỳ tại mỗi x mà |x| > R.

3.1.4 Định nghĩa Số R ∈ [0, +∞) trong Nhận xét 3.1.3 được gọi là bán kính hội

tụ của chuỗi luỹ thừa (5.4) Khoảng ( −R, R) được gọi là khoảng hội tụ của chuỗi

luỹ thừa (5.4)

Định lý sau cho ta cách tính bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa

3.1.5 Định lý (Cauchy- Hadamard) Cho chuỗi luỹ thừa ∑∞

n = 1.

Khoảng hội tụ của chuỗi là (−1, 1).

Với u = 1 ta thu được chuỗi ∑∞

n=0

(−1) n

n hội tụ theo dấu hiệu Leibnitz.

Với u = −1 ta thu được chuỗi ∑∞

n là −1 < u 6 1 Trở lại với chuỗi ban

đầu, miền hội tụ của chuỗi là tập những x ∈ R thoả mãn

−1 < 1− x

1 + x 6 1.

Giải hệ bất phương trình trên ta thu được miền hội tụ của chuỗi ban đầu là [0, + ∞).

3.2 Các tính chất của tổng của chuỗi luỹ thừa

Các kết quả này suy từ các tính chất tương ứng của tổng chuỗi hàm và tínhhội tụ đều của chuỗi lũy thừa trên các đoạn [−r, r] ⊂ (−R, R).

3.2.1 Định lý (Tính liên tục) Giả sử chuỗi lũy thừa ∑∞

n=0

a n x n có bán kính hội tụ

R > 0 Khi đó tổng S(x) của nó liên tục trên khoảng hội tụ ( −R, R)

3.2.2 Định lý (Tính liên tục tại điểm mút) Giả sử chuỗi lũy thừa ∑∞

n=0

a n x n có bán kính hội tụ R > 0 Khi đó

1) Nếu chuỗi hội tụ tại x = R thì tổng S(x) liên tục trái tại x = R, tức là

lim

x →R − S(x) = S(R).

2) Nếu chuỗi hội tụ tại x = −R thì tổng S(x) liên tục phải tại x = R, tức là

n Dễ dàng tìm được bán kính hội tụ của

chuỗi vừa nhận được R = 1 và miền hội tụ −1 6 u < 1 Do vậy miền hội tụ của

chuỗi ban đầu là −2 6 x < 2.

Tiếp theo ta tính tổng S(u) của chuỗi ∑∞

n=0

u n

n Khoảng hội tụ của nó là (−1, 1).

Lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi ta có

3.3 Khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa

3.3.1 Định nghĩa Cho hàm f xác định trong (a, b) Ta nói rằng hàm f khai triển

được thành chuỗi lũy thừa trong lân cận của điểm x0 ∈ (a, b) nếu tồn tại δ > 0 và

dãy {a n } sao cho (x0− δ, x0+ δ) ⊂ (a, b) và với mọi x ∈ (x0− δ, x0+ δ) ta có đẳng

3.3.2 Định nghĩa Giả sử f là hàm xác định và khả vi vô hạn lần trên (a, b) và

x0 ∈ (a, b) Khi đó chuỗi

f (x0) + f

′ (x

0)1! (x − x0) + + f

Từ Định lý 3.3.3 ta suy ra hệ quả sau.

3.3.4 Hệ quả Phép khai triển thành chuỗi lũy thừa trong một lân cận của điểm

cho trước là duy nhất.

Tiếp theo ta nghiên cứu các lớp hàm có thể khai triển được thành chuỗi lũythừa trong một lân cận của điểm nào đó Từ định lý trên ta thấy nếu hàm khaitriển được thành chuỗi lũy thừa thì nó khả vi vô hạn lần và chuỗi khai triển chính

là chuỗi Taylor của hàm tại điểm đó Ta biết rằng nếu hàm khả vi vô hạn lần trong

lân cận của x0 thì nó tồn tại chuỗi Taylor Vấn đề đặt ra là phải chăng mọi hàm

khả vi vô hạn lần trong lân cận của điểm x0 đều có thể khai triển thành chuỗi lũythừa? Câu trả lời là phủ định Chẳng hạn, xét hàm

Rõ ràng tổng của chuỗi đồng nhất bằng 0 trong mọi lận cận của 0 Do đó nếu f

khai triển thành chuỗi lũy thừa trong một lân cận nào đó của 0 thì chuỗi đó phải

đồng nhất bằng 0 trong lân cận đó Điều này mâu thuẫn với f (x) ̸= 0 với x ̸= 0.

Định lý sau cho một điều kiện đủ để khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa Bạnđọc tìm hiểu chứng minh trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5

164 Giáo trình Giải tích

3.3.5 Định lý Giả sử f là hàm khả vi vô hạn lần trên khoảng (x0− R, x0+ R).

Nếu đạo hàm các cấp của f bị chặn trong khoảng (x0− R, x0+ R) thì f khai triển

thành chuỗi lũy thừa trên (x0− R, x0+ R).

Sau đây ta trình bày một vài ví dụ về khai triển thành chuỗi lũy thừa của mộtvài hàm sơ cấp cơ bản

3.3.6 Ví dụ 1) f (x) = sin x Vì hàm sin x khả vi vô hạn lần trên R, và

1− 1− x

4

= 14

∞

∑

n=0

(1− x4

4 Chuỗi Fourier

4.1 Chuỗi lượng giác

Trước hết chúng tôi nhắc lại một số kiến thức về hàm số tuần hoàn cần dùngcho các trình bày về sau

4.1.1 Định nghĩa Hàm f : R → R được gọi là tuần hoàn với chu kỳ T nếu tồn

tại T ̸= 0 sao cho

2) Nếu T1, T2 là chu kỳ của f thì T1± T2 cũng là chu kỳ của f

3) Nếu hàm f có chu kỳ T thì hàm g(x) = f (nx) (n ̸= 0) có chu kỳ là T

n .

Sau đây là một tính chất quan trọng của hàm tuần hoàn mà chứng minh của nóbạn đọc có thể tìm trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] của chương 5

4.1.3 Tính chất Tích phân của hàm tuần hoàn với chu kỳ T trên các đoạn có độ

dài bằng T có giá trị không phụ thuộc vào ví trí của đoạn đó trên trục số.

được gọi là chuỗi lượng giác, trong đó a0, a1, b1, , a n , b n , là các hằng số thực.

4.1.5 Nhận xét Các số hạng của chuỗi (5.11) là những hàm tuần hoàn với chu

kỳ 2π Như vậy nếu chuỗi hội tụ trên R thì tổng của nó cũng là hàm tuần hoàn với

chu kỳ 2π.

Từ dấu hiệu Weierstrass ta dễ dàng suy ra kết quả sau

166 Giáo trình Giải tích

4.1.6 Định lý Nếu chuỗi số ∑∞

n=1

(|a n | + |b n |) hội tụ thì chuỗi (5.11) hội tụ tuyệt

đối và đều trên R.

4.1.7 Định nghĩa Hệ vô hạn các hàm

1, cos x, sin x, , sin nx, cos nx, (5.12)

được gọi là hệ hàm lượng giác cơ sở.

4.1.8 Định nghĩa Hai hàm φ(x) và ψ(x) được gọi là trực giao trên đoạn [a, b] ⊂ R

4.1.10 Ví dụ Từ Tính chất của hàm tuần hoàn và mệnh đề trên ta suy ra các

hàm của hệ hàm lượng giác cơ sở là trực giao trên đoạn [a, a + 2π] với mọi a ∈ R.

4.2 Điều kiện để khai triển hàm thành chuỗi Fourier

Đầu tiên ta nghiên cứu khai triển Fourier cho hàm tuần hoàn chu kỳ 2π Ta

Các số a0, a n , b n được gọi là hệ số Fourier của hàm f

Chứng minh của định lý này bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu [2], [3]

4.2.2 Định nghĩa 1) Chuỗi lượng giác với các hệ số xác định như trong Định lý

4.2.1 được gọi là chuỗi Fourier của hàm f

với các hệ số a0, a n , b n được xác định như trong Định lý 4.2.1 thì ta nói f khai triển

được thành chuỗi Fourier của nó.

Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là với điều kiện nào của hàm f tuần hoàn với

chu kỳ 2π trên R thì nó khai triển được thành chuỗi Fourier Ta công nhận kết quả

sau của Dirichlet về điều kiện đủ để hàm khai triển được thành chuỗi Fourier

4.2.3 Định lý Giả sử rằng

i) f là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π,

ii) f và f ′ là các hàm liên tục trừ ra đếm được điểm gián đoạn.

Khi đó, chuỗi Fourier của hàm f hội tụ tại mọi x đến tổng S(x) và

a) S(x) = f (x) tại các điểm liên tục của f ,

b) S(x) = f (x + 0) + f (x − 0)

2 tại các điểm f gián đoạn,

c) Nếu hàm f liên tục tại mọi điểm x thì chuỗi Fourier hội tụ tuyệt đối và đều.

4.2.4 Nhận xét 1) Nếu hàm f được cho trên đoạn [ −π, π] và điều kiện i) được

thỏa mãn thì f ( −π) = f(π).

2) Nếu hàm f đã cho liên tục trên [ −π, π] và thỏa mãn f(−π) = f(π) thì nhờ

mở rộng tuần hoàn ta thu được hàm f liên tục trên R Trong hầu hết các trường

hợp khác mở rộng tuần hoàn là hàm gián đoạn

4.3 Khai triển Fourier của hàm chẵn, hàm lẻ và hàm bất kỳ

Từ tính chất của hàm chẵn và lẻ ta dễ dàng thu được kết quả sau

168 Giáo trình Giải tích

4.3.1 Định lý Giả sử f thỏa mãn các điều kiện của Đinh lý 4.2.3 Khi đó

1) Nếu f là hàm chẵn thì chuỗi Fourier của nó có dạng

4.3.2 Ví dụ Khai triển Fourier hàm f (x) = |x|, x ∈ [−π, π].

Giải Hàm f (x) = |x| là hàm chẵn, đồ thị của f và thác triển tuần hoàn của nó

được mô tả như Hình 5.1 Dễ thấy f thoả mãn các điều kiện của Định lý 4.2.3, vì vậy f khai triển được thành chuỗi Fourier Vì f chẵn nên các hệ số Fourier được

Hàm liên tục trên [−π, π] Đạo hàm của nó xác định và liên tục với mọi x ∈ R

trừ các điểm x = kπ, k ∈ Z Do đó chuỗi Fourier của f hội tụ đến f(x) với mọi x.

Hệ số Fourier được xác định như sau

4.3.4 Nhận xét 1) Trong nhiều trường hợp hàm f được cho trên đoạn [0, π] Khi

đó ta có thể thác triển f lên R thành hàm chẵn có chu kỳ 2π Thật vậy, đầu tiên

ta dựng đồ thị hàm số trên [0, π] sau đó lấy đối xứng qua trục tung ta được hàm

170 Giáo trình Giải tích

số chẵn xác định trên [−π, π], tiếp tục mở rộng tuần hoàn f lên R ta được hàm số

cần tìm Bây giờ nếu hàm f thỏa mãn các điều kiện để khai triển Fourier thì

4.3.5 Khai triển thành chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn chu kỳ 2d Giả

sử f (x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2d, đơn điệu từng khúc, bị chặn Bằng phép biến

= F (x ′ ), với F (x ′) là hàm tuần hoàn

chu kỳ 2π đơn điệu từng khúc, bị chặn Vì thế, sử dụng các kết quả thu được ở trên

ta khai triển được hàm F (x ′) thành chuỗi Fourier

trong đó {x} là phần thập phân của x.

Hàm f tuần hoàn với chu kỳ d = 1

2và f (x) = x với mọi x ∈ [0, 1] Vì vậy các hệ

số Fourier được xác định như sau

a0 = 2

1 2

∫

−1 2

∫

−1 2

chẵn nên ta có b n = 0 với mọi n = 1, 2, Sử dụng phương pháp trên, tính các hệ

số theo công thức (5.18) tại các điểm liên tục x ta được

4.3.8 Khai triển thành chuỗi Fourier của hàm bất kỳ Giả sử f (x) là hàm

đơn điệu từng khúc, bị chặn trên đoạn [a, b] Bây giờ ta mở rộng tuần hoàn f (x)

(như cách đã làm ở trên) thành một hàm tuần hoàn g(x) xác định trên toàn bộ R

sao cho thỏa mãn các điều kiện

(a) g(x) là một hàm tuần hoàn chu kỳ T = 2d > b − a;

(b) g(x) là hàm đơn điệu từng khúc và bị chặn;

(c) g(x) = f (x) với mọi x ∈ [a, b]

và áp dụng khai triển Fourier cho hàm g(x) trên R Từ đó ta nhận được khai triển

Fourier của hàm f (x) trên đoạn [a, b].

4.3.9 Nhận xét Lưu ý rằng khi mở rộng tuần hoàn theo cách này thì sẽ có nhiều

hàm g(x) như vậy và hàm g(x) khai triển được thành chuỗi Fourier, mà tổng của chuỗi này bằng g(x), và do đó tổng này sẽ bằng f (x) tại những điểm liên tục của hàm f (x) Đặc điểm của chuỗi thu được là:

- Nếu hàm g(x) chẵn, thì chuỗi khai triển Fourier thu được chỉ gồm toàn hàm

Hãy khai triển hàm này thành chuỗi Fourier sao cho chuỗi thu được

(a) chỉ chứa hàm số sin;

f1(x) là hàm số lẻ, đơn điệu từng khúc và bị chặn trên đoạn [ −2, 2] Bằng cách mở

rộng tuần hoàn hàm f1(x) lên toàn bộ R ta thu được hàm số g1(x) là hàm số lẻ đơn

điệu từng khúc, bị chặn, tuần hoàn với chu kỳ 2d = 4 Vì thế hàm số g1(x) có thể khai triển được thành chuỗi Fourier Hơn nữa, vì hàm g1(x) lẻ nên chuỗi Fourier chỉ

chứa hàm số sin Do đó, sử dụng phương pháp trên, tính các hệ số theo công thức

(5.18) tại các điểm liên tục x ta được

là hàm số chẵn, đơn điệu từng khúc và bị chặn trên đoạn [−2, 2] Bằng cách mở rộng

tuần hoàn hàm f2(x) lên toàn bộ R ta thu được hàm số g2(x) là hàm số chẵn đơn điệu từng khúc, bị chặn, tuần hoàn với chu kỳ 2d = 4 Vì thế hàm số g2(x) có thể khai triển được thành chuỗi Fourier Hơn nữa, vì hàm g2(x) chẵn nên chuỗi Fourier chỉ chứa hàm số cosin Do đó,tương tự như trên ta tính các hệ số a n , với n = 0, 1,

174 Giáo trình Giải tích

với mọi x ∈ [0, 2].

Trong phần còn lại chúng tôi trình bày một ứng dụng của khai triển hàm thànhchuỗi Fourier để tỉnh tổng của các chuỗi số

4.3.11 Ví dụ Cho hàm số f (x) = x2 xác định trên đoạn [−π, π] Hãy khai triển

hàm f (x) thành chuỗi Fourier Dựa vào khai triển thu được, hãy tính tổng của các

176 Giáo trình Giải tích

CÂU HỎI THẢO LUẬN VÀ BÀI TẬP CỦA CHƯƠNG 5

Câu hỏi thảo luận

1) Sự hội tụ của chuỗi số dương, chuỗi đan dấu, sự hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ

và tính tổng của chuỗi số Các dấu hiệu hội tụ

2) Sự hội tụ, hội tụ đều của dãy hàm, chuỗi hàm và các tính chất của tổng chuỗihàm Mối quan hệ giữa hội tụ đều và hội tụ của dãy hàm và chuỗi hàm

3) Xác định bán kính hội tụ, miền hội tụ, miền hội tụ đều và tính tổng của chuỗiluỹ thừa Khai triển hàm số thành chuỗi luỹ thừa

4) Chuỗi Fourier và khai triển hàm thành chuỗi Fourier

TÀI LIỆU THAM KHẢO CỦA CHƯƠNG 5

[1] Nguyễn Ngọc Cư, Lê Huy Đạm, Trịnh Danh Đằng và Trần Thanh Sơn (2004),

Giải tích 1, (Giáo trình dùng cho sinh viên Trường Đại học Xây dựng và sinh

viên các Trường Đại học và Cao đẳng kỹ thuật), Nhà xuất bản ĐHQG-Hà nội.[2] Đinh Huy Hoàng, Kiều Phương Chi, Nguyễn Văn Đức, Vũ Hồng Thanh, Trần

Đức Thành (2017), Giáo trình Giải tích 1 (Dành cho sinh viên KTCN), Nhà

xuất bản Đại học Vinh

[3] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2002), Giải tích toán học, Tập 1, Nhà xuất bản

ĐH Sư phạm

[4] Y.Y Liasko, AC Boiatruc (1978), Giải tích toán học, các ví dụ và bài toán, NXB

Đại học và Trung học chuyên nghiệp

[5] Lê Viết Ngư, Phan Văn Danh, Nguyễn Định (2000), Toán cao cấp, Tập 2 (Giải

tích hàm một biến), Nhà xuất bản Giáo dục.

CHƯƠNG 6

GIỚI HẠN, TÍNH LIÊN TỤC VÀ VI PHÂN

CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

VI.1 GIỚI THIỆU

Trong chương này, chúng ta nghiên cứu những vấn đề cơ bản về giới hạn, tínhliên tục, phép tính vi phân của hàm nhiều biến

VI.2 MỤC TIÊU CỦA CHƯƠNG

Trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản về giới hạn, tính liên tục, đạo hàmriêng và tính khả vi của hàm nhiều biến, cực trị của hàm nhiều biến

VI.3 CHUẨN ĐẦU RA CỦA CHƯƠNG

1 Hiểu được khái niệm và tính được giới hạn của dãy trong Rn

2 Hiểu được khái niệm và tính được giới hạn của hàm nhiều biến

3 Khảo sát được tính liên tục của hàm nhiều biến

4 Tính được các đạo hàm riêng, khảo sát được tính khả vi của hàm nhiềubiến

5 Tính được đạo hàm riêng của hàm hợp

6 Tính được đạo hàm riêng cấp cao

7 Biết cách tìm cực trị hàm nhiều biến không có điều kiện

8 Trình bày được điều kiện cần để hàm có cực trị có điều kiện và biết cáchtìm cực trị hàm nhiều biến có điều kiện

VI.4 NỘI DUNG CỦA CHƯƠNG

Trong chương này, chúng ta nghiên cứu những vấn đề cơ bản về phép tính vi

178

phân của hàm nhiều biến.

Trong mục này, chúng ta trình bày các vấn đề về phép toán và sự hội tụ trên

Rn

1.1 Cấu trúc tuyến tính và khoảng cách trên Rn

Ký hiệu R là tập hợp các số thực, với mỗi số tự nhiên n> 1, ta đặt

Rn ={x = (x1, , x n ) : x i ∈ R, i = 1, , n}.

Với mỗi x = (x1, , x n)∈ R n , ta gọi x i , i = 1, , n là toạ độ thứ i của x Trên R n

ta trang bị hai phép toán cộng và nhân vô hướng xác định như sau:

Phép toán cộng Với mọi x = (x1, , x n ), y = (y1, , y n)∈ R n ta đặt

x + y = (x1+ y1, , x n + y n ).

Phép nhân vô hướng Với mọi x = (x1, , x n)∈ R n và λ ∈ R ta đặt

λx = (λx1, , λx n ).

Dễ dàng kiểm tra được rằng với hai phép toán trên Rn là không gian tuyến tính

(không gian vectơ) trên trường R với phần tử không là (0, , 0).

1.1.1 Định nghĩa Hàm d : R n × R n → R cho bởi công thức

d(x, y) =

vuu

t∑n

i=1

(x i − y i)2, với mọi x = (x1, , x n ), y = (y1, , y n)∈ R n ,

được gọi là mêrtic Euclide hay khoảng cách thông thường trên R n

1.1.2 Định nghĩa Cho a ∈ R n và số thực r > 0 Ta gọi các tập

B(a, r) = {x ∈ R n : d(x, a) < r }, B(a, r) = {x ∈ R n : d(x, a) 6 r}

thứ tự là hình cầu mở, hình cầu đóng tâm a bán kính r.

1) a được gọi là điểm trong của A nếu tồn tại r > 0 sao cho B(a, r) ⊆ A.

2) a được gọi là điểm biên của A nếu với mọi r > 0 thì B(a, r) ∩ A ̸= ∅ và B(a, r) ∩ (R n \ A) ̸= ∅ Tập tất cả các điểm biên của A được gọi là biên của tập A

và ký hiệu là ∂A.

3) a được gọi là điểm tụ hay điểm giới hạn của A nếu với mọi r > 0 thì B(a, r) ∩

(A \ {a}) ̸= ∅.

1.1.6 Ví dụ Mọi điểm của hình cầu mở B(a, r) đều là điểm trong của nó Biên

của hình cầu mở B(a, r) trùng với biên của hình cầu đóng B(a, r) và bằng mặt cầu

S(a, r) = {x ∈ R n : d(x, a) = r } Hơn nữa tất cả các điểm biên của hình cầu mở là

điểm giới hạn của nó

1.1.7 Định nghĩa Tập con E của R n được gọi là tập mở nếu mọi điểm của nó

đều là điểm trong

Tập con A của R n được gọi là tập đóng nếu R n \ A là tập mở.

1.2 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của dãy hội tụ trong

Rn

Như đã nói ở trước trong phần này khoảng cách được xét là khoảng cáchthông thường

1.2.1 Định nghĩa Cho dãy {x k } ∞

i → a i khi k → ∞, với mọi i = 1, , n.

Chứng minh Xem Bài giảng.

1.2.3 Ví dụ Trong R2 dãy {( 1

n ,

n − 1 n

Sau đây, chúng ta trình bày sơ lược các nguyên lý của dãy hội tụ trong Rn Đây

là sự tổng quát của các nguyên lý Cauchy, Cantor và Bonzano-Weierstrass đã biết

trong R Các chứng minh của các nguyên lý này nếu quan tâm bạn đọc tìm hiểu

trong tài liệu tham khảo [1] của chương 6

1.2.6 Định lý (Nguyên lý Cauchy) Dãy {x k } ∞

k=1 ⊂ R n hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy.

1.2.7 Định nghĩa Tập con A của R n được gọi là bị chặn nếu tồn tại r > 0 sao cho A ⊂ B(0, r).

Dãy {x k } ∞

k=1 ⊂ R n được gọi là bị chặn nếu tập {x k : k = 1, 2, } là tập bị chặn.

Các tính chất khác của dãy hội tụ và của các tập con trong Rn có thể xem trongcác tài liệu tham khảo [1], [2], [5] của chương 6

182 Giáo trình Giải tích

2.1 Các khái niệm và tính chất cơ bản

2.1.1 Định nghĩa Cho A ⊆ R n Ánh xạ f : A → R được gọi là một hàm n biến

xác định trên A và nhận giá trị trong R Khi đó A được gọi là tập xác định của hàm

f , f (A) = {y = f(x) : x ∈ A} ⊆ R được gọi là tập giá trị của hàm f.

là hàm hai biến số xác định trên R2

2.1.3 Định nghĩa Cho A ⊂ R n , hàm f : A ⊆ R n → R và a là một điểm giới hạn

của A Ta nói f có giới hạn l ∈ R khi x → a và viết

lim

x →a f (x) = l hay f (x) → l khi x → a

nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ A mà 0 < d(x, a) < δ thì

|f(x) − l| < ε.

Nói một cách tương đương: lim

x →a f (x) = l nếu với mọi ε > 0 tồn tại lân cận U của

a sao cho

|f(x) − l| < ε

với mọi x ∈ A ∩ (U \ {a}).

Định lý sau đây được chứng minh tương tự như đối với giới hạn của hàm mộtbiến

2.1.4 Định lý Nếu hàm f có giới hạn khi x → a thì giới hạn đó là duy nhất.

Định lý sau cho ta một định nghĩa khác của giới hạn hàm nhiều biến theo ngônngữ dãy

x →a f (x) = l > 0 (tương ứng < 0) thì tồn tại lân cận U của a

sao cho f (x) > 0 (f (x) < 0) với mọi x ∈ A ∩ U.

2.1.7 Định lý Giả sử f, g xác định trên A ⊆ R n và tồn tại các giới hạn lim

x →a f (x) = l thì lim x →a |f(x)| = |l|.

2.1.10 Nhận xét Chiều ngược lại của định lý trên là không đúng Tuy nhiên, ta

dễ dàng chứng minh được lim

x →a f (x) = 0 khi và chỉ khi lim x →a |f(x)| = 0.

Định lý sau đây còn gọi là Nguyên lý kẹp trong giới hạn của hàm nhiều biến số

Đức Thành (20 17), Giáo trình Giải tích (Dành cho sinh viên KTCN), Nhà

xuất Đại học Vinh

[3] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (20 02) , Giải tích tốn học, Tập 1, Nhà xuất...

Giải tích 1, (Giáo trình dùng cho sinh viên Trường Đại học Xây dựng sinh< /i>

viên Trường Đại học Cao đẳng kỹ thuật) , Nhà xuất ĐHQG-Hà nội. [2] Đinh Huy Hoàng, Kiều Phương Chi, Nguyễn Văn... 39

1 82 Giáo trình Giải tích< /i>

2. 1 Các khái niệm tính chất bản

2. 1.1 Định nghĩa Cho A ⊆ R n