Nâng cao năng lực giải bài toán trắc nghiệm lượng giác cho học sinh THPT

Mục tiêu nghiên cứu

Phân loại bài tập trắc nghiệm về lượng giác và xây dựng hệ thống bài tập phù hợp với các mức độ khác nhau là rất quan trọng Nghiên cứu cách giải nhanh sẽ giúp học sinh phát triển năng lực giải toán hiệu quả hơn.

Nhiệm vụ nghiên cứu

Khóa luận làm rõ các vấn đề sau:

- Hệ thống các kiến thức cơ bản về lượng giác

- Xây dựng hệ thống bài tập trắc nghiệm lượng giác và cách giải nhanh nhằm phát triển năng lực cho học sinh.

Bố cục của khóa luận

Chương 1: Cơ sở lý thuyết:

1.1: Khái niệm lượng giác của một cung 1.2: Các công thức lượng giác

1.3: Các dạng phương trình lượng giác và cách giải

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Ngô Thị Bích Thủy

Chương 2: Xây dựng hệ thống bài tập lượng giác nhằm phát triển năng lực cho học sinh:

2.1: Bài tập giải bằng máy tính Casio 2.2: Bài tập sử dụng kết hợp phương pháp truyền thống và máy tính Casio

2.3: Một số bài tập tự luyện

Đóng góp của luận văn

- Về mặt lí luận: tổng hợp các kiến thức lượng giác trong chương trình THPT Từ đó phân tích ý nghĩa của lượng giác trong cuộc sống

- Về mặt thực tiễn: khóa luận là tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành Sư phạm Toán sắp ra trường và các bạn đọc quan tâm

CƠ SỞ LÝ LUẬN

Khái niệm lƣợng giác của một cung

Các giá trị sin , cos , tan , cot     được gọi là các giá trị lượng giác của cung

Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin

 sin và cos  xác định với mọi Hơn nữa, ta có:

 Với m  mà đều tồn tại và sao cho sin  m và cos   m

1.1.3 Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt:

0 1 Không xác định Không xác định

Các dạng phương trình lượng giác và cách giải

Chương 2: Xây dựng hệ thống bài tập lượng giác nhằm phát triển năng lực cho học sinh:

2.1: Bài tập giải bằng máy tính Casio 2.2: Bài tập sử dụng kết hợp phương pháp truyền thống và máy tính Casio

5 Đóng góp của luận văn:

1.1 Khái niệm lƣợng giác của một cung:

1.2 Các công thức lƣợng giác:

1.2.1 Công thức lượng giác cơ bản:

1.2.2 Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt: a) Cung đối nhau: và : b) Cung bù nhau: và : c) Cung hơn kém : và d) Cung phụ nhau: và

1.2.6 Công thức biến đổi tích thành tổng:

1.2.7 Công thức biến đổi tổng thành tích:

1.3 Các dạng phương trình lượng giác và cách giải:

1.3.1 Phương trình lượng giác cơ bản: a) Phương trình :

 Trường hợp Phương trình vô nghiệm

 Trường hợp Phương trình có nghiệm:

 Phương trình sin x  sin  o có các nghiệm là:

 Các trường hợp đặc biệt: sin 1 2 ,

 Phương trình cos x  cos  o có các nghiệm là:

 Các trường hợp đặc biệt: cos 1 2 , cos 1 2 , cos 0 ,

     c) Phương trình (Điều kiện , x   2  k  k  ) Phương trình có nghiệm: arctan , x  a  k  k 

 tan x  tan  o   x  o  k 180 , o k  d) Phương trình (Điều kiện x  k  , k  ) Phương trình có nghiệm: cot , x  arc a  k  k 

1.3.2 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: a) Khái niệm:

Là phương trình có dạng , trong đó là các hằng số và là một trong các hàm số lượng giác b) Cách giải:

Chuyển vế và chia cả hai vế của phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác, sau đó biến đổi phương trình về dạng phương trình lượng giác cơ bản.

1.3.3 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: a) Khái niệm:

Phương trình có dạng chứa các hằng số và hàm số lượng giác Để giải, ta đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ, xác định điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) và sau đó giải phương trình theo ẩn phụ này Cuối cùng, quá trình sẽ dẫn đến việc giải một phương trình lượng giác cơ bản.

1.3.4 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: a) Khái niệm:

Là phương trình có dạng: sin(  ( a 2  b 2  0) b) Cách giải:

 Nếu thì phương trình vô nghiệm

 Chia cả hai vế phương trình cho

 Áp dụng công thức cộng để đưa về phương trình lượng giác cơ bản

 Giải phương trình lượng giác vừa lập được

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHO HỌC SINH

Bài tập giải bằng máy tính Casio

- Về mặt thực tiễn: khóa luận là tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành Sư phạm Toán sắp ra trường và các bạn đọc quan tâm.

Một số bài tập tự luyện

1.1 Khái niệm lƣợng giác của một cung:

1.2 Các công thức lƣợng giác:

1.2.1 Công thức lượng giác cơ bản:

1.2.2 Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt: a) Cung đối nhau: và : b) Cung bù nhau: và : c) Cung hơn kém : và d) Cung phụ nhau: và

1.2.6 Công thức biến đổi tích thành tổng:

1.2.7 Công thức biến đổi tổng thành tích:

1.3 Các dạng phương trình lượng giác và cách giải:

1.3.1 Phương trình lượng giác cơ bản: a) Phương trình :

 Phương trình sin x  sin  o có các nghiệm là:

 Các trường hợp đặc biệt: sin 1 2 ,

 Phương trình cos x  cos  o có các nghiệm là:

 Các trường hợp đặc biệt: cos 1 2 , cos 1 2 , cos 0 ,

     c) Phương trình (Điều kiện , x   2  k  k  ) Phương trình có nghiệm: arctan , x  a  k  k 

 tan x  tan  o   x  o  k 180 , o k  d) Phương trình (Điều kiện x  k  , k  ) Phương trình có nghiệm: cot , x  arc a  k  k 

1.3.2 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: a) Khái niệm:

Là phương trình có dạng , trong đó là các hằng số và là một trong các hàm số lượng giác b) Cách giải:

Để giải phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác, ta cần chuyển vế và chia cả hai vế của phương trình Sau đó, phương trình sẽ được đưa về dạng phương trình lượng giác cơ bản.

1.3.3 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: a) Khái niệm:

Phương trình có dạng chứa các hằng số và hàm số lượng giác Để giải phương trình, ta đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ, đồng thời xác định điều kiện cho ẩn phụ nếu cần thiết Cuối cùng, quá trình giải sẽ trở về việc giải phương trình lượng giác cơ bản.

1.3.4 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: a) Khái niệm:

Là phương trình có dạng: sin(  ( a 2  b 2  0) b) Cách giải:

 Nếu thì phương trình vô nghiệm

 Chia cả hai vế phương trình cho

 Áp dụng công thức cộng để đưa về phương trình lượng giác cơ bản

 Giải phương trình lượng giác vừa lập được

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP LƢỢNG GIÁC

NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHO HỌC SINH

2.1 Bài tập giải bằng máy tính Casio:

2.1.1 Dạng 1: Bài toán góc và cung lượng giác:

- Muốn đổi từ đơn vị độ sang đơn vị rađian ta chuyển máy tính về Mode rađian bằng cách:

Để chuyển đổi từ đơn vị radian sang độ trên máy tính, bạn cần nhấn SHIFT MODE 4, sau đó nhập số cần đổi và nhấn SHIFT Ans 1 Để chuyển máy tính về chế độ độ, hãy đảm bảo bạn thực hiện các bước này đúng cách.

+ Nhấn: SHIFT MODE 3 + Nhập số cần đổi vào máy rồi nhấn: SHIFT Ans 2 = o ’’’

Ví dụ 1: Đổi sang rađian:

- Nhập số 32 vào máy rồi nhấn: SHIFT Ans 1

- Nhấn: Màn hình xuất hiện:

Ví dụ 2: Đổi sang độ, phút, giây

- Nhập số vào máy rồi nhấn: SHIFT Ans 2 = o ’’’

2.1.2 Dạng 2: Kiểm tra một giá trị là nghiệm của phương trình:

Ví dụ 3: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình trong khoảng là:

- Nhập biểu thức Màn hình xuất hiện:

- Ta nhận xét: chỉ có 3 đáp án B, C, D là thỏa điều kiện trong

- Trong các đáp án còn lại, ta tìm nghiệm dương nhỏ nhất và chọn đáp án

+ Nhấn: CALC ta được kết quả bằng 0

+ Nhấn: CALC ta được kết quả bằng 0 + Nhấn: CALC ta được kết quả khác 0

Do đó, và là nghiệm

2.1.3 Dạng 3: Kiểm tra một họ là nghiệm của phương trình:

*Phương pháp: Kiểm tra một họ là nghiệm của phương trình

    , a là hằng số Thế vào biểu thức

- Nếu nhận một giá trị khác 0 thì không là nghiệm của phương trình Do đó đáp án được thế chắc chắn là đáp án sai

- Nếu nhận một giá trị bằng 0 thì là nghiệm của phương trình

Do đó đáp án được thế có thể là đáp án đúng

- Lưu ý: Kiểm tra các đáp án có chu kì nhỏ nhất trước

Ví dụ 4: Phương trình có một họ nghiệm là:

- Nhấn: CALC được kết quả 0

- Nhấn: CALC được kết quả

- Ta kiểm tra các đáp án có chu kì nhỏ nhất trước:

+ Nhấn: CALC Ta được kết quả khác 0

 Loại đáp án D + Nhấn: CALC Ta được kết quả khác 0

Ví dụ 5: Giải phương trình:

- Nhấn: CALC ta được kết quả khác 0

 Loại đáp án A và B, còn lại C và D

- Ta kiểm tra các đáp án có chu kì nhỏ nhất trước Kiểm tra đáp án D

- Nhấn: CALC ta được kết quả khác 0

Ví dụ 6: Giải phương trình

- Nhận xét: xuất hiện ở cả 4 đáp án nên không cần kiểm tra giá trị này, nó là nghiệm của phương trình

Nhấn: CALC CALC CALC ta được kết quả chỉ có là nghiệm của phương trình

 Loại A và D, đáp án đúng nằm ở B hoặc C

- Trong các đáp án còn lại, ta kiểm tra đáp án có chu kì nhỏ nhất trước Ta kiểm tra đáp án C:

Nhấn: CALC Ta được một số khác 0

2.1.4 Dạng 4: Kiểm tra một tập là TXĐ của hàm số lượng giác:

*Cơ sở lý thuyết: Tập xác định của một hàm số là tập hợp tất cả các giá trị của biến số làm cho hàm số có nghĩa

*Phương pháp: TXĐ của hàm số là

- Nếu nhận một giá trị nào đó thì thuộc TXĐ của hàm số Do đó đáp án được thế chắc chắn là đáp án sai

- Nếu được máy tính báo lỗi Math ERROR thì không thuộc TXĐ của hàm số Do đó đáp án được thế có thể là đáp án đúng

- Lưu ý: Kiểm tra đáp án có chu kì nhỏ nhất trước

Ví dụ 7: Tập xác định của hàm số là:

- Nhập biểu thức: sin cos 2

- Nhấn: CALC Màn hình xuất hiện: Điều này chứng tỏ thuộc TXĐ của hàm số

- Nhấn: CALC Màn hình xuất hiện: Điều này chứng tỏ không thuộc TXĐ của hàm số

 Do đó đáp án đúng là C hoặc D

- Trong các đáp án còn lại, ta kiểm tra đáp án có chu kì nhỏ nhất trước.Ta kiểm tra đáp án D

- Nhấn: CALC Màn hình xuất hiện:

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Ngô Thị Bích Thủy Điều này chứng tỏ thuộc TXĐ của hàm số

Ví dụ 8: Tập xác định của hàm số là

- Nhập biểu thức: Màn hình xuất hiện:

- Nhấn: CALC và CALC 0 Màn hình đều báo lỗi, điều này chứng tỏ và 0 không thuộc TXĐ của hàm số Do đó chưa loại được đáp án nào

- Trong các đáp án còn lại, kiểm tra đáp án có chu kì nhỏ nhất trước

- Ta kiểm tra đáp án B Nhấn: CALC màn hình xuất hiện: Điều này chứng tỏ thuộc TXĐ của hàm số

- Ta kiểm tra đáp án C.Nhấn: CALC và CALC và CALC và CALC (đủ một chu kì )

Màn hình đều xuất hiện:

2.1.5 Dạng 5: Tìm GTLN và GTNN của hàm số lượng giác: Ở dạng 5, 6 và 7, chúng ta sẽ sử dụng chức năng TABLE của máy tính Casio để giải Đôi nét về chức năng TABLE:

- Chức năng: Tính giá trị hàm số tại một vài điểm Ta có thể sử dụng chức năng tính giá trị của hai hàm số và

+ Để tính giá trị của một hàm số tại một số điểm Cài đặt bằng cách bấm: SHIFT MODE (SET UP)

Để tiếp tục, bạn hãy nhấn Replay và chọn 5 (TABLE) Máy sẽ yêu cầu bạn chọn loại, trong đó bạn chọn 1 nếu chỉ muốn tính giá trị của hàm số tại một điểm Nếu bạn muốn tính giá trị của hai hàm số đồng thời tại một điểm, hãy chọn 2.

- Sau khi cài đặt xong, bạn vào chế độ màn hình bằng cách bấm:

+ Bước 1: MODE 7 , nhập hàm số cần tính + Bước 2: Start: Nhập mốc bắt đầu từ đâu

+ Bước 3: End: Nhập mốc kết thúc tại đâu + Bước 4: Step: Bước nhảy là khoảng cách giữa các điểm đầu mút Bấm = ta được bảng giá trị mong muốn

- Tối đa: Chúng ta chỉ có thể tính tối đa được 30 giá trị cho một hàm số

*Phương pháp tìm GTLN và GTNN của một hàm số y = f(x) trên [a;b]

- Bước 2: Nhập biểu thức vào máy

- Bước 3: Nhấn sau đó nhập Start , End , Step

(Có thể lấy từ 29 trở xuống)

(Chia 20 để có được 20 bước nhảy và bảng TABLE có 21 giá trị, như thế là đủ)

Sau đó, ta dựa vào bảng TABLE để tìm GTLN và GTNN

Ví dụ 9: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số lần lượt là:

- Chuyển máy tính về mode độ: SHIFT MODE 3

Trong thực tế, mô hình Rađian có khả năng tính toán giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) Tuy nhiên, trong mô hình này, chúng ta dễ dàng nhận diện giá trị tại đó hàm số đạt GTLN và GTNN.

- Nhấn: MODE 7 (TABLE) Nhập biểu thức , màn hình hiển thị:

- Nhấn một số máy tính sẽ hiển thị

- Để xóa hàm này ta nhấn SHIFT MODE 5 1

- Nhấn: = , Start = 0, End = 360, Step - Dựa vào bảng TABLE, ta nhận thấy GTNN là 1 tại hàng thứ 6 và 16, GTLN là 3 tại hàng thứ 11 và 21

Ví dụ 10: Tập giá trị của hàm số với là:

- Nhấn = , Start = -30, End = 120, Step - Dựa vào bảng TABLE, ta nhận thấy GTNN là 3,8751 ở hàng thứ 3, GTLN là 7 ở hàng thứ 17

- Vì và nên 3,8751 gần với hơn

Ví dụ 11: Gọi M là GTLN và m là GTNN của hàm số Khi đó bằng

- Nhấn = , Start = 0, End = 360, Step - Dựa vào bảng TABLE, ta nhận thấy GTNN tại hàng thứ 16 và

Hằng ngày, mực nước của con kênh thay đổi theo thủy triều Độ sâu (mét) của mực nước trong kênh được tính tại một thời điểm cụ thể trong ngày theo công thức Mực nước kênh đạt mức cao nhất vào những thời điểm nhất định trong chu kỳ thủy triều.

- Mực nước của con kênh cao nhất khi lớn nhất

  với và k  Lần lượt thay các đáp án, ta được đáp án B thỏa mãn

2.1.6 Dạng 6: Tìm chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác:

- Hàm số và tuần hoàn với chu kì

Hàm số tuần hoàn với chu kỳ là một hàm số có tính chất lặp lại sau một khoảng thời gian nhất định, trong đó chu kỳ là BCNN của các chu kỳ khác nhau Nếu hàm số có chu kỳ thì nó sẽ trở thành hàm số hằng số.

Ví dụ 13: Tìm chu kì T của hàm số

- Start: một giá trị bất kì thuộc TXĐ Nếu chu kì thuộc TXĐ thì nhập luôn chu kì

- End: , Step: đáp án đang kiểm tra

- Nếu các giá trị đều bằng nhau thì đáp án đó là chu kì

- Nếu không phải ta ấn AC rồi kiểm tra đáp án tiếp

- Ta phải thử đáp án chu kì nhỏ nhất trước

- Cụ thể, ta thực hiện như sau:

+ Chuyển máy tính về mode rad: SHIFT MODE 4 + Nhấn: MODE 7 (TABLE)

Để xác định đáp án có chu kỳ nhỏ nhất, ta bắt đầu kiểm tra đáp án B Nhấn =, sau đó thiết lập Start = End = và Step Dựa vào bảng TABLE, ta nhận thấy rằng các giá trị trong cột không đồng nhất.

 Loại đáp án B + Ta kiểm tra đáp án D:

Nhấn: AC = , Start = End = , Step Dựa vào bảng TABLE, ta nhận thấy cột có các giá trị không bằng nhau

 Loại đáp án D + Thực hiện tương tự ta loại đáp án C + Thử kiểm tra đáp án A:

Nhấn: AC = , Start = End = , Step Dựa vào bảng TABLE, ta nhận thấy cột có các giá trị bằng nhau

Ví dụ 14: Tìm chu kì của hàm số

- Ta kiểm tra đáp án có chu kì nhỏ nhất trước Kiểm tra đáp án C:

+ Nhấn: = , Start = , End = , Step + Dựa vào bảng TABLE, ta thấy cột có giá trị không bằng nhau

- Ta kiểm tra đáp án D:

+ Nhấn: AC = , Start = , End = , Step Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Ngô Thị Bích Thủy

+ Dựa vào bảng TABLE, ta thấy cột có giá trị bằng nhau

2.1.7 Dạng 7:Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số lượng giác:

Sử dụng chức năng TABLE để xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác có thể không tối ưu, nhưng việc làm quen với phương pháp này là cần thiết Giải quyết các bài toán tự luận không quá khó, tuy nhiên, việc áp dụng TABLE sẽ hữu ích trong việc phân tích tính đơn điệu của hàm số trong chương trình lớp 12.

Ví dụ 15: Với , mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.Hàm số nghịch biến B Hàm số đồng biến

C Hàm số nghịch biến D Hàm số nghịch biến

- Ta kiểm tra tính đơn điệu bằng cách quan sát giá trị

+ Nếu cột luôn tăng ta kết luận hàm số đồng biến trên khoảng đã xét

+ Nếu cột luôn giảm ta kết luận hàm số nghịch biến trên khoảng đã xét

- Ta kiểm tra đáp án A:

+ Nhấn: MODE 7 (TABLE) + Nhập biểu thức:

+ Nhấn: = , Start = , End = , Step + Dựa vào bảng TABLE, ta nhận thấy cột có lúc tăng lúc giảm

- Tương tự, ta nhận thấy biểu thức luôn tăng trên khoảng đã cho

2.1.8 Dạng 8: Tìm nghiệm và số nghiệm của phương trình lượng giác trong một khoảng cho trước:

Ví dụ 16: Trên đoạn , phương trình có bao nhiêu nghiệm?

- Nhấn: = , Start = , End = , Step *Lưu ý: Giá trị của hàm số đổi dấu khi đi qua và thì phương trình có một nghiệm trong khoảng

- Dựa vào bảng TABLE ta nhận thấy:

Trong quá trình phân tích, khi đổi dấu ở hàng thứ 4 và hàng thứ 5, ta suy ra có một nghiệm thuộc Tương tự, việc đổi dấu ở hàng thứ 5 và hàng thứ 6 cũng dẫn đến việc suy ra có một nghiệm thuộc Cuối cùng, khi thực hiện đổi dấu ở hàng thứ 20 và hàng thứ 21, chúng ta cũng có thể kết luận rằng có một nghiệm thuộc.

Vậy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm trên

Ví dụ 17: Trên khoảng , phương trình có bao nhiêu nghiệm?

- Nhấn: = , Start = , End = , Step - Dựa vào bảng TABLE ta nhận thấy:

+ Phương trình có một nghiệm thuộc + Phương trình có một nghiệm thuộc + Phương trình có một nghiệm thuộc

Vậy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm trên

Ví dụ 18: Trên khoảng , tổng các nghiệm của phương trình là

- Dựa vào bảng TABLE, ta nhận thấy:

+ Phương trình có một nghiệm thuộc + Phương trình có một nghiệm thuộc + Phương trình có một nghiệm thuộc

+ Nhập biểu thức + Nhấn: = ALPHA CALC 0 Màn hình hiển thị:

+ Nhấn: SHIFT CALC 2,4788 = Màn hình hiển thị:

+ Nhấn: RCL ) , ta nhận được kết quả + Tương tự với 2 nghiệm còn lại

Nhấn SHIFT CALC 4,8694 = RCL ) Ta nhận được kết quả

Vậy tổng các nghiệm của phương trình trên là

Ví dụ 19: Giải phương trình có hai họ nghiệm có dạng và ( k  ) với

- Nhấn: = , Start = , End = , Step - Dựa vào bảng TABLE, ta nhận thấy:

+ Phương trình có một nghiệm thuộc + Phương trình có một nghiệm

+ Nhập biểu thức + Nhấn = ALPHA CALC 0 Màn hình hiển thị:

+ Nhấn: SHIFT CALC -0,314 = RCL ) Màn hình hiển thị kết quả

+ Nhấn SHIFT CALC 0,7853 = RCL ) Màn hình hiển thị kết quả

2.2 Bài tập sử dụng kết hợp phương pháp truyền thống và máy tính Casio:

2.2.1 Dạng 1: Cho một tỉ số lượng giác của một góc, tính các tỉ số lượng giác còn lại của góc đó

*Cơ sở lý thuyết: Áp dụng các công thức lượng giác cơ bản sau:

Ví dụ 21: Cho tan x   4 Khi đó

2 2 2 cos sin 2 cos 3cos cos sin cos 4 cos 2cos cos x x x x x x x x x x

Ví dụ 22: Cho cos 1 a  5 , với 0

2.2.2 Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức phụ thuộc vào tham số

Ví dụ 23: Biết sin 90 0 os 270 0 2

2.2.2 Dạng 3: Rút gọn biểu thức lượng giác

Ví dụ 25: Rút gọn biểu thức A=cos( ) 2sin x 2 x

Ví dụ 26: Biểu thức cos4x - cos2x bằng

A.2cos3x.cosx B.cos2x C.-2sin3x.sinx D.-2sin6x.sin2x

2.2.3 Dạng 4: Tìm giá trị của tham số để phương trình có nghiệm (vô nghiệm)

Ví dụ 27: Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 2sin 2 x+m.sin2x=2m vô nghiệm

     Để phương trình đã cho vô nghiệm thì:

Có vô số số nguyên m thỏa đề

2.2.4 Dạng 5: Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác:

Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số, khi đó:

- Nếu D là tập đối xứng (tức là      x D x D ) thì ta thực hiện tiếp bước 2

- Nếu D không phải tập đối xứng (tức là   x D mà   x D ) thì ta kết luận hàm số không chẵn, không lẻ

- Nếu f (   x ) f x ( ) ,   x D thì ta kết luận hàm số là hàm số chẵn

- Nếu f (   x ) f x ( ) ,   x D thì ta kết luận hàm số là hàm số lẻ

- Nếu không thỏa mãn một trong hai điều kiện trên thì kết luận hàm số là hàm số không chẵn không lẻ

*Các kiến thức đã học về hàm lượng giác cơ bản:

- Hàm số y  sin x là hàm số lẻ trên D 

- Hàm số y  cos x là hàm số chẵn trên D 

- Hàm số y  tan x là hàm số lẻ trên \ |

- Hàm số y  cot x là hàm số lẻ trên D  \  k  | k  

Ví dụ 28: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

Với các kiến thức về tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác cơ bản ta có thể chọn luôn A

Xét A: Do tập xác định là D  nên      x x

Ta có f (    x ) 2 cos(    x ) 2 cos x  f x ( ) Vậy hàm số y   2 cos x là hàm số chẵn

Ta có thể thử từng phương án bằng máy tính cầm tay, sử dụng CALC để thử trường hợp x và  x

Đối với đáp án A, khi nhập hàm số vào màn hình CALC với x = 1 (hình bên trái) và x = -1 (hình bên phải), kết quả thu được là giống nhau Điều này chứng tỏ rằng f(x) = f(-x), do đó lựa chọn đáp án A là chính xác.

2.3 Một số bài tập tự luyện:

Bài tập 1: Giải phương trình 3 cos sin 2sin 2

- Nhập vào máy: SHIFT MODE 4

18 3 x     k  xuất hiện trong cả bốn đáp án, nên ta không cần kiểm tra, nó là một nghiệm của phương trình

- Nhập vào máy tính biểu thức 3 cos sin 2sin 2

X  6  Ta được kết quả bằng 3  0

X  6  Ta được kết quả bằng 0

 Đáp án có thể là B hoặc C

X  18  Ta được kết quả bằng  1,969615506  0

X  6    Ta được kết quả bằng  2 3  0

Bài tập 2: Hàm số tan cot

4 3 y     x         x      có tập xác định là:

- Nhập vào máy: SHIFT MODE 4

- Nhập biểu thức: cos 3 tan 4 sin 3

 Máy báo lỗi Math ERROR nên 3 x 4 

 không thuộc TXĐ của hàm số

 Máy báo lỗi Math ERROR nên x   3 không thuộc TXĐ của hàm số

Bài tập 3: Số nghiệm của phương trình cos 2 sin x  6 x

- Sử dụng chức năng TABLE: nhấn: MODE 7 SHIFT MODE 5 1

- Nhập vào màn hình: ( ) cos 2 sin( ) f X  X  6  X

- Dựa vào bảng giá trị, ta thấy:

+ Ở hàng thứ 6 và hàng thứ 7 thì f(x) đổi dấu, nên phương trình f x ( )  0 có một nghiệm thuộc (2, 7488; 2, 9845)

+ Ở hàng thứ 15 và hàng thứ 16 thì f(x) đổi dấu, nên phương trình

+ Ở hàng thứ 16 và hàng thứ 17 thì f(x) đổi dấu, nên phương trình

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm trên ; 2

Bài tập 4: Tổng T tất cả các nghiệm của phương trình cos 2 sin x  6 x

- Từ bài tập 3, ta có các kết luận sau

+ Phương trình f x ( )  0 có một nghiệm thuộc (2, 7488; 2, 9845)

+ Phương trình f x ( )  0 có một nghiệm thuộc (4,8694;5,105)

+ Phương trình f x ( )  0 có một nghiệm thuộc (5,105;5, 3407)

- Sử dụng lệnh SOLVE với các giá trị x thuộc ba khoảng trên

+ Nhấn: MODE 1 + Nhập vào cos 2 sin( )

Nhấn: SHIFT CALC 2.8 = SHIFT RCL (-)

Nhấn: SHIFT CALC 4.9 = SHIFT RCL

Nhấn: SHIFT CALC 5.2 = SHIFT RCL hyp

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 37

Bài tập 5: Cho hàm số ( ) sin 2004 2004 , cos n x f x n x

   Xét các phát biểu sau:

1 Hàm số đã cho xác định trên D 

2 Đồ thị hàm số đã cho có trục đối xứng

3 Hàm số đã cho là hàm số chẵn

4 Đồ thị hàm số đã cho có tâm đối xứng

5 Hàm số đã cho là hàm số lẻ

6 Hàm số đã cho là hàm số không chẵn không lẻ

Số phát biểu đúng trong sáu phát biểu trên là:

- Hàm số đã cho xác định khicos 0 , x    x  2  k  k  Vậy phát biểu 1 sai

- Ở đây ta chú ý: các phát biểu 2, 3, 4, 5, 6 để xác định tính đúng sai ta chỉ cần đi xét tính chẵn lẻ của hàm số đã cho

- Ta có TXĐ của hàm số trên là \ |

Hàm số đã cho là hàm số chẵn, vì vậy đồ thị của nó đối xứng qua trục Oy Do đó, chỉ có phát biểu 2 và 3 là đúng.

Bài tập 6: Nghiệm âm lớn nhất của phương trình 2 3 3cot 3 sin x x   là:

Vậy nghiệm âm lớn nhất là

Bài tập 7: Phương trình 1 3tan  x  2sin 2 x có số điểm biểu diễn tập nghiệm trên đường tròn lượng giác là:

1 3 sin 4.sin cos cos cos 3sin 4sin cos

 Số điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn là 2

Bài tập 8: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình sin 2 x 2 sin 0 x  4 m

Ta đi tìm m để phương trình 1  t 2   t m  0có nghiệm t     2; 2  

Ta có bảng biến thiên:

 Phương trình (*)  có nghiệm trên    2; 2  

Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn

Bài tập 9: Phương trình sin 3 2 x  cos 4 2 x  sin 5 2 x  cos 6 2 x không phải là phương trình hệ quả của phương trình nào sau đây?

4 cos sin 9 sin 2 0 8.cos sin sin 9 0 cos 0 sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Ngô Thị Bích Thủy cos 2 x 0

  không phải là phương trình hệ quả

Bài tập 10: Phương trình 1 sin  x  cos x  sin 2 x  cos 2 x  0 có các nghiệm dạng

1 sin 2 sin cos cos sin 0

(sin cos ) (sin cos ) (sin cos )(cos sin ) 0 (sin cos )(sin cos 1 cos sin ) 0

Ta viết lại các nghiệm của phương trình là:

Bài tập 11: Phương trình 3cot 2 x  2 2 sin 2 x  (2  3 2) cos x có các nghiệm dạng 2 ; 2 ( , 0 , ) x    k  x    k  k       2 thì   bằng:

Giải: Điều kiện: sin x   0 cos x   1

3cot 2 2 sin (2 3 2) cos 3cos 2 2 sin 2.cos sin 3 2 cos sin 3cos (cos 2 sin ) 2 sin (cos 2 sin ) 0 x x x x x x x x x x x x x x x

Bài tập 12: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình sin 2 x m   sin x  2 cos m x có hai nghiệm thuộc đoạn 0; 3

Ta có: sin 2 sin 2 cos sin (2 cos 1) (2 cos 1) 0 (sin )(2 cos 1) 0 cos 1

      Phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thuộc 0; 3

Phương trình sin x  m có 1 nghiệm o 3 x 

     hoặc có 2 nghiệm phân biệt 1 , 2 0; 3 x x  4  

(dựa vào đường tròn lượng giác)

Vậy có m  0 và m  1 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Tiêu đề	Nâng cao năng lực giải bài toán trắc nghiệm lượng giác cho học sinh THPT
Tác giả	Mai Bảo Chi
Người hướng dẫn	Th.S Ngô Thị Bích Thủy
Trường học	Đại học Đà Nẵng
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	Khóa luận
Năm xuất bản	2020
Thành phố	Đà Nẵng

Định dạng
Số trang	48
Dung lượng	1,53 MB