Nâng cao năng lực giải bài tập trắc nghiệm tổ hợp xác suất cho học sinh THPT

HỆ THỐNG CÁC BÀI TOÁN VỀ TỔ HỢP - XÁC SUẤT NHẰM NÂNG CAO NĂNG LỰC GIẢI BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM .... Trong chương trình Toán THPT, các bài toán tổ hợp- xác suất chiếm một lượng lớn kiến thức

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

()

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Đề tài: NÂNG CAO NĂNG LỰC GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỔ HỢP – XÁC SUẤT CHO

HỌC SINH THPT

Giảng viên hướng dẫn : Th.S Ngô Thị Bích Thủy

Sinh viên thực hiện : Nguyễn Thị Thu Thảo

Lớp : 16ST

Đà Nẵng, tháng 1 năm 2020

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô khoa Toán – trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng đã tận tình giảng dạy và tạo điều kiện để tôi hoàn thành khoá luận tốt nghiệp Đặc biệt, tôi gởi lời cảm ơn sâu sắc đến cô Ngô Thị Bích Thuỷ – người đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt thời gian nghiên cứu Cuối cùng, tôi xin gởi lời cảm ơn những ý kiến đóng góp quý báu, sự động viên, giúp đỡ nhiệt tình của gia đình, người thân, các thầy cô, bạn bè, nhất là các bạn của tập thể lớp 16ST trong quá trình tôi làm khoá luận tốt nghiệp này

XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN !

Đà Nẵng, ngày 01 tháng 01 năm 2020

Sinh viên thực hiện

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1

MỤC LỤC 2

A LỜI NÓI ĐẦU 1 Lí do chọn đề tài 4

2 Mục đích nghiên cứu 4

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 4

4 Bố cục của luận văn 4

5 Đóng góp của luận văn 5

B NỘI DUNG CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 6

1.1 Quy tắc đếm 6

1.2 Hoán vị-chỉnh hợp –tổ hợp 6

1.3 Nhị thức newton 7

1.4 Biến cố và xác suất của biến cố 8

1.5 Các quy tắc tính xác suất 10

CHƯƠNG 2 HỆ THỐNG CÁC BÀI TOÁN VỀ TỔ HỢP - XÁC SUẤT NHẰM NÂNG CAO NĂNG LỰC GIẢI BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM 11

2.1 CHỦ ĐỀ 1 : QUY TẮC ĐẾM-HOÁN VỊ- CHỈNH HỢP- TỔ HỢP 11

2.1.1 Dạng 1: Bài toán đếm sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân 11

2.1.2 Dạng 2: Bài toán đếm các loại số 13

2.1.3 Dạng 3: Xếp vị trí – cách chọn, phân công công việc 15

2.1.4 Dạng 4: Đếm tổ hợp liên quan đến hình học 17

2.1.5 Dạng 5: Tính toán liên quan đến công thức 18

2.2 CHỦ ĐỀ 2: NHỊ THỨC NEWTON 20

2.2.1 Dạng 1: Xác định các hệ số trong khai triển Nhị thức Newton 20

2.2.2 Dạng 2: Bài toán tìm tổng 21

2.3 CHỦ ĐỀ 3: BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 23

2.3.1 Dạng 1: Xác định phép thử, không gian mẫu và biến cố 23

2.3.2 Dạng 2:Tìm xác suất của biến cố 24

2.3.3 Dạng 3: Sử dụng quy tắc tính xác suất 25

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM THƯỜNG GẶP 27 MỘT SỐ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM XUẤT HIỆN TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 36 KẾT LUẬN 39 Tài liệu tham khảo 40

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài:

Trắc nghiệm khách quan (TNKQ) là một hình thức kiểm tra đánh giá mà học sinh THPT đã được tiếp cận nhiều năm nay Nhiều bài toán đòi hỏi học sinh suy nghĩ nhanh, cẩn thận, dự đoán,… để tìm ra đáp số Tuy nhiên, với thời gian ngắn cho một câu thì học sinh thường gặp nhiều khó khăn trong việc tư duy tìm ra lời giải

Trong chương trình Toán THPT, các bài toán tổ hợp- xác suất chiếm một lượng lớn kiến thức và thời gian Bài toán về tổ hợp- xác suất xuất hiện khá nhiều trong các đề thi THPT hiện nay và trong đời sống thực tế Học sinh

thường không hiểu một cách chính xác các mối quan hệ giữa các đối tượng được xét mà đôi khi bằng ngôn ngữ giáo viên khó có thể diễn đạt một cách đầy

đủ để học sinh hiểu cặn kẽ vấn đề Làm thế nào giúp học sinh giải nhanh bài toán trắc nghiệm tổ hợp - xác suất trong khoảng thời gian vài phút là câu hỏi m

à nhiều giáo viên trăn trở để giúp các em phát huy được năng lực giải toán của mình

Nhằm phục vụ cho việc giảng dạy toán sau này của mình và giúp cho học sinh có kĩ năng giải toán trắc nghiệm về tổ hợp- xác suất, tôi đã chọn đề tài:

“ Nâng cao năng lực giải bài tập trắc nghiệm tổ hợp- xác suất cho học sinh THPT”

2 Mục tiêu nghiên cứu:

Hệ thống các bài tập phù hợp với các mức độ, nghiên cứu cách giải

nhanh nhằm giúp học sinh phát triển năng lực giải toán về tổ hợp – xác suất

3 Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Hệ thống các kiến thức cơ bản về tổ hợp - xác suất

- Đưa ra các dạng bài tập trắc nghiệm tổ hợp- xác suất và cách giải nhanh nhằm phát triển năng lực cho học sinh

4 Bố cục của luận văn: Gồm hai chương

Chương 1 Cơ sở lý luận

1.1 Quy tắc đếm

1.2 Hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp

2.3 Chủ đề 3: Biến cố và xác suất của biến cố

5 Đóng góp của luận văn:

Về mặt lí luận: tổng hợp các kiến thức về tổ hợp xác suất trong chương trình toán THPT và phân tích ý nghĩa của kiến thức tổ hợp- xác suất trong cuộc sống

Về mặt thực tiễn: khóa luận là tài liệu tham khảo cho sinh viên sắp ra trường và các bạn đọc quan tâm về tổ hợp- xác suất

NỘI DUNG CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Quy tắc đếm

1.1.1 Quy tắc cộng:

Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động X hoặc Y Nếu hành động X có m cách thực hiện, hành động Y có n cách thực hiện và không trùng với bất cứ cách nào của hành động X thì công việc đó có m + n cách thực hiện

- Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn, không giao nhau thì:

Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp X và Y

Nếu hành động X có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách thực hiện đó có n cách thực hiện hành động Y thì có m n cách hoàn thành công việc

1.2 Hoán vị-chỉnh hợp –tổ hợp

1.2.1 Hoán vị:

Cho tập hợp A có n phần tử ( n  1) Mỗi kết quả của sự sắp xếp n

phần tử của tập A theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của n phần tử

Kí hiệu: Pn là số các hoán vị của n phần tử thì:

Cho tập hợp A có n phần tử (n1 ) Mỗi tập con gồm k phần tử của

A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho

Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu

Phép thử: Một thí nghiệm, một phép đo hay một sự quan sát hiện tượng nào đó được hiểu là một phép thử

+ Kết quả không thể biết trước

+ Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó

Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và được kí hiệu là  Ta chỉ xét các phép thử với không gian mẫu  là tập hữu hạn

Biến cố

Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tuỳ thuộc vào kết quả của T Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra được gọi là một kết quả thuận lợi của A

Biến cố là một tập con của không gian mẫu

Tập  được gọi là biến cố không thể

Tập  được gọi là biến cố chắc chắn

1.4.2 Các phép toán trên biến cố:

+ Tâp \ A được gọi là biến cố đối của biến cố A,

kí hiệu là: A

+ Tập AB được gọi là hợp của hai biến cố A và B

+ Tập AB được gọi là giao của hai biến cố A và B

+ Nếu A  B thì ta nói hai biến cố A và B xung khắc

Kí hiệu Ngôn ngữ biến cố

Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử với không gian mẫu 

chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện

b) P(A̅) = 1 − P(A), với mọi biến cố A

1.5 Các quy tắc tính xác suất

1.5.1 Quy tắc cộng xác suất

Nếu biến cố A và B xung khắc thì : P(AB) = P(A)+P(B)

Tổng quát : Nếu n biến cố đôi một xung khắc A1 ,A2 ,…,An thì:

P(A1 A2 …An) = P(A1 ) + P( A2 ) + …+ P(An)

Mở rộng: Với hai biến cố A, B bất kì, ta có

P(AB) =P(A)+P(B) –P(AB) 1.5.2 Quy tắc nhân xác suất

Cho hai biến cố A và B độc lập với nhau, khi đó:

P AB P A P B

Tổng quát Ta có quy tắc nhân cho nhiều biến cố:

Cho k biến cố A1 ,A2 ,…,Ak độc lập với nhau Khi đó:

CHƯƠNG 2 HỆ THỐNG CÁC BÀI TOÁN VỀ TỔ HỢP - XÁC SUẤT NHẰM NÂNG CAO NĂNG LỰC GIẢI BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM 2.1 CHỦ ĐỀ 1 : QUY TẮC ĐẾM-HOÁN VỊ- CHỈNH HỢP- TỔ HỢP

2.1.1 Dạng 1: Bài toán đếm sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân

Có m.n cách thực hiện Công việc Công đoạn 2 (có n cách)

b

Ví dụ 1: Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh

nữ Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn 1 học sinh ở khối 11 để đi dự

dạ hội của học sinh thành phố ?

Ví dụ 2: Bạn Minh có hai kiểu áo khác nhau và ba kiểu quần khác nhau Hỏi có

bao nhiêu cách để chọn một bộ quần áo?

A 6 cách B 8 cách C 10 cách D 12 cách

Giải: Chọn A

Hai áo được ghi chữ a và b, ba quần được đánh số 1, 2, 3

Để chọn một bộ quần áo, ta phải thực hiện liên tiếp hai hành động:

+ Hành động 2: Chọn quần Ứng với mỗi cách chọn áo có ba cách chọn

quần ( chọn 1, hoặc 2, hoặc 3)

Kết quả ta có các bộ quần áo như sau: a1, a2, a3, b1, b2, b3

Vậy có: 2 3 = 6 (cách)

2.1.2 Dạng 2: Bài toán đếm các loại số:

Viết số tự nhiên nhiều chữ số:

Cho 6: vừa chia hết cho 2 và cho 3

Cho 8: tận cùng là 000 hoặc số gồm 3 chữ số cuối chia hết cho 8

Cho 9: tổng các chữ số chia hết cho 9

Cho 11: hiệu của tổng các chữ số vị trí lẻ với tổng các chữ số vị trí chẵn

A = 240 số cần lập

Ví dụ 4: Từ các chữ số 0, 2, 3, 4, 5, 6, lập được bao nhiêu số có bốn chữ số

khác nhau và chia hết cho 5?

I II III 0

Ô I, II và III có: 3

5

A cách Vậy có: 4 2

4

A + 3 5

A = 108 số cần tìm

2.1.3 Dạng 3: Xếp vị trí – cách chọn, phân công công việc

Dựa vào hai quy tắc cộng, quy tắc nhân và các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, đếm gián tiếp, đếm phần bù

Một số dấu hiệu giúp chúng ta nhận biết được hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp

Hoán vị: Các dấu hiệu đặc trưng để giúp ta nhận dạng một hoán vị của n

phần tử là:

♦ Tất cả n phần tử đều phải có mặt

♦ Mỗi phần tử xuất hiện một lần

♦ Có thứ tự giữa các phần tử

Chỉnh hợp: Ta sẽ sử dụng khái niệm chỉnh hợp khi

♦ Cần chọn k phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần ♦ k phần tử đã cho được sắp xếp thứ tự

Tổ hợp: Ta sử dụng khái niệm tổ hợp khi

♦ Cần chọn k phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần ♦ Không quan tâm đến thứ tự k phần tử đã chọn

Ví dụ 5: Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào một ghế dài Hỏi có bao nhiêu cách

sắp xếp sao cho: A và F ngồi cạnh nhau

Ví dụ 6: Có 3 nam và 3 nữ cần xếp vào một hàng ghế ngang có 6 ghế Hỏi có bao

nhiêu cách xếp nam nữ xen kẽ nhau?

Ví dụ 7: Một nhóm có 5 nam và 3 nữ Chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất

1 nữ Hỏi có bao nhiêu cách

A 46 B 45 C 13 D 12

Giải: Chọn A

* Cách 1: Có 3 trường hợp xảy ra:

+ TH1: 3 người được chọn gồm 1 nữ và 2 nam: 2

5

3.C cách chọn + TH2 : 3 người được chọn gồm 2 nữ và 1 nam: 2

5

C Vậy số cách chọn 3 người thoả yêu cầu: 3 3

Nhận biết được hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp

Ví dụ 8 : Số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác đều 10 cạnh là:

A 720 B 210 C 120 D.270

Giải: Chọn C

Cứ ba đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một tam giác Chọn 3 trong 10 đỉnh của đa giác, có 𝐶103 = 120 Vậy có 120 tam giác xác định bởi các đỉnh của đa giác 10 cạnh

Ví dụ 9 : Một đa giác lồi n cạnh có bao nhiêu đường chéo?

Nối hai đỉnh bất kì của đa giác ta được một đường chéo hay một cạnh Vậy số cặp đỉnh tạo thành một đường chéo hay cạnh là: 2

+ Tính (CALC) lần lượt với x = 5 ( thoả); với x=6 ( không thoả) với x =

8 và x = 9 (không thoả), với x = 10 (không thoả) ( với các giá trị x ta thử

là các đáp án có trong đề)

+ Kết luận: vậy n = 5

Ví dụ 11: Giá trị của n thỏa mãn 2 2

Quan sát bảng ta thấy x 6 thì ( )f x 0 Vậy n 6 là nghiệm cần tìm

*Lưu ý: giá trị n tương ứng với giá trị x trong máy tính

Tìm số hạng không chứa x thì ta đi tìm k thoả: 0

* Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của xm

Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn

Ta làm như sau:

* Tính hệ số ak theo k và n;

* Giải bất phương trình ak-1 ≤ ak với ẩn số k;

* Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất

phương trình trên

Ví dụ 12: Trong khai triển

6

2 ,

x x

8

x x

Ta chọn những giá trị a,b thích hợp thay vào đẳng thức trên

Một số kết quả thường được sử dụng:

Dựa vào đẳng thức đặc trưng:

Mấu chốt của cách giải trên là ta tìm ra được đẳng thức (*) và ta thường gọi (*) là đẳng thức đặc trưng

Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái (thường có hệ số chứa k) và biến đổi số hạng đó có hệ số không chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn

+ Cách 2: Sử dụng máy tính Casio

Do bài toán trên có tổng bé và các số hạng trong tổng ít nên ta

có thể sử dụng lệnh tổng trong máy tính Casio bằng cách bấm :

2.3 CHỦ ĐỀ : BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

2.3.1 Dạng 1: Xác định phép thử, không gian mẫu và biến cố

Phương pháp

Để xác định không gian mẫu và biến cố ta thường sử dụng các cách sau

Cách 1: Liệt kê các phần tử của không gian mẫu và biến cố rồi chúng ta đếm Cách 2: Sử dụng các quy tắc đếm để xác định số phần tử của không gian mẫu

và biến cố

Ví dụ 16: Gieo hai đồng tiền một lần Kí hiệu S,N để chỉ đông tiền lật sấp, lật

ngửa.Mô tả không gian mẫu:

A Ω ={SN,NS} B Ω ={NN,SS}

C Ω ={S,N} D Ω ={SN,NS,SS,NN}

Giải: Chọn D

Ω ={SN,NS,SS,NN}

Ví dụ 17: Một hộp có hai bi trắng được đánh số từ 1 đến 2, 3 viên bi xanh được

đánh số từ 3 đến 5 và 2 viên bi đỏ được đánh số từ 6 đến 7 Lấy ngẫu nhiên hai viên bi, số phần tử của không gian mẫu là:

Bước 1: Tìm số phần tử của không gian mẫu

Bước 2: Đếm số phần tử thuận lợi của không gian mẫu

tử thuận lợi cho biến cố đối của biến cố A Sau đó lấy số phần tử không gian

mẫu trừ đi kết quả vừa tìm được thì ta có số phần tử thuận lợi cho biến cố A

Ví dụ 18: Một hộp đựng 15 viên bi, trong đó có 7 viên bi xanh và 8 viên bi đỏ

Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi ( không kể thứ tự) ra khỏi hộp Tính xác suất để trong 3 viên bi lấy ra có ít nhât 1 viên bi màu đỏ

n  C 

+ Gọi A là biến cố “ Trong 3 viên bi lấy ra có ít nhất 1 viên màu đỏ”

TH 1: Trong 3 viên bi được lấy ra có 1 viên bi đỏ: 1 2

Ví dụ 19: xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1,

3,5,7,9 Tính xác suất để tìm được một số không bắt đầu bởi 135

+ Số phần tử không gian mẫu là: n( )   5!

+ Gọi A là biến cố “ số tìm được không bắt đầu bởi 135”

Khi đó A là biến cố “Số tìm được bắt đầu bởi 135”

Buộc các số 135 lại thì ta còn 3 phần tử Số các số tạo thành thoả mãn số

Bước 1: Xác định biến cố của các xác suất, có thể gọi tên các biến cố A; B;

C; D để biểu diễn

Bước 2: Tìm mối quan hệ giữa các biến cố vừa đặt tên, biểu diễn biến cố

trung gian và quan trọng nhất là biến cố đề bài đang yêu cầu tính xác suất thông qua các biến cố ở bước 1

Bước 3: Sử dụng các mối quan hệ vừa xác định ở bước 2 để chọn công thức

cộng hay công thức nhân phù hợp

Ví dụ 20: Gieo ba đồng xu cân đối một cách độc lập Tính xác suất để cả ba đồng

Ví dụ 21: Trong nhóm 60 học sinh có 30 học sinh thích học Toán, 25 học sinh

thích học Lý và 10 học sinh thích cả Toán và Lý Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh từ nhóm này Tính xác suất học sinh này thích học ít nhất một môn Toán hoặc Lý?

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TRĂC NGHIỆM THƯỜNG GẶPCâu 1: trên giá sách có 10 quyển sách văn khác nhau, 8 quyển sách toán khác

nhau và 6 quyển sách tiếng anh khác nhau hỏi có bao nhiêu cách chọn hai quyển sách khác môn nhau?

Giải: Chọn B

+ Chọn một quyển sách Văn và một quyển sách Toán khác nhau:

10.8  80 cách + Chọn một quyển sách Văn và một quyển sách Tiếng Anh khác nhau:

10.6  60 cách + Chọn một quyển sách Toán và một quyển sách Tiếng Anh khác nhau:

8.6  48 cách Theo quy tắc cộng ta có số cách chọn 2 quyển sách khác môn là

Câu 3: Trong mặt phẳng cho một tập P gồm 20 điểm.Có bao nhiêu vecto khác

vecto 0 mà điểm đầu và điểm cuối thuộc P?

A 190 B 910 C 830 D 380

Giải: Chọn D