Một số phương pháp giúp học sinh giải tốt các bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Phương pháp nghiên cứu .... Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ..... Mục tiêu đề tài... Định nghĩa GTNN, GTLN.. CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ TÌM GTLN, GTNN.. Sử d

KHOA TOÁN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH GIẢI TỐT CÁC BÀI TOÁN VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT

VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

Giảng viên hướng dẫn: Th.s Ngô Thị Bích Thủy

Sinh viên thực hiện : Nguyễn Thị ý Như

Lớp : 16ST

Đà Nẵng- 2020

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 1

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

LỜI CẢM ƠN 2

MỞ ĐẦU 3

1 Lý do chọn đề tài 3

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Nội dung nghiên cứu 4

4 Phương pháp nghiên cứu 4

5 Bố cục luận văn 4

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Định nghĩa GTNN, GTLN 6

1.2 Các bất đẳng thức thường dùng 6

1.2.1.Bất đẳng thức AM-GM (hay còn gọi là BĐT Cô-si) 6

1.2.2.Bất đẳng thức Cauchy-Bunhikowski-Schwarz 6

1.2.3 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel 6

1.3 Các kiến thức về hàm đơn điệu, khảo sát hàm số 7

1.4 Các kiến thức liên quan đến tọa độ – vectơ 7

CHƯƠNG 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ TÌM GTLN, GTNN 2.1 Sử dụng các bất đẳng thức 10

2.2 Sử dụng đạo hàm, khảo sát hàm số 16

2.3 Các kĩ thuật thường dùng 18

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 2

Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô khoa Toán - trường Đại

học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng đã tận tình giảng dạy và tạo điều kiện để tôi

hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt, tôi gởi lời cảm ơn sâu sắc đến cô Ngô

Thị Bích Thủy - người đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt thời gian nghiên

cứu Cuối cùng, tôi xin gởi lời cảm ơn những ý kiến góp ý quý báu, sự động

viên, giúp đỡ nhiệt tình của gia đình, người thân, các thầy cô, bạn bè, nhất là các

bạn lớp 16ST trong quá trình tôi làm khóa luận tốt nghiệp này

XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN!

Đà Nẵng, tháng 01 năm 2020

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Ý Như

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 3

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là môn khoa học tự nhiên bắt nguồn từ những vấn đề thực tiễn mà con người phải giải quyết để cải thiện cuộc sống Việc dạy học toán ở trường phổ thông nhằm phát triển những năng lực tư duy, lập luận, đặt vấn đề và giải quyết vấn đề, cách thức trình bày lời giải một bài toán khoa học, logic, rõ ràng, mạch lạc Do vậy, quá trình tìm ra phương pháp

giải bài tập cho học sinh đóng vai trò quan trọng

Các loại bài tập về “Giá trị lớn nhất và Giá trị nhỏ nhất” (GTLN & GTNN) phong phú, đa dạng với nhiều mức độ khác nhau, từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, thậm chí có những bài chưa tìm ra lời giải cụ thể Các bài toán (GTLN & GTNN) luôn có sức hấp dẫn kỳ lạ bởi nó mang một vẻ đẹp sáng tạo và độc đáo trong việc tìm ra phương pháp giải trong các kỳ thi môn toán THPT

Qua quá trình thực tập, tôi đã thăm khảo ý kiến của các giáo viên và học sinh THPT và thấy học sinh thường lúng túng khi giải quyết các bài toán về (GTLN & GTNN) vì các em không nắm rõ được các dạng, các phương pháp để giải Khả năng phân tích bài toán để đưa lạ về quen còn hạn chế và mắc nhiều sai sót trong quá trình giải

Là một giáo viên tương lai, tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu “Một số phương pháp giúp học sinh giải tốt các bài toán Giá trị lớn nhất và Giá trị nhỏ nhất” nhằm nâng cao năng lực dạy học các bài toán về

GTLN & GTNN trong chương trình toán THPT

2 Mục tiêu đề tài

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 4

pháp giúp học sinh phân tích, giải quyết các bài toán này một cách nhanh chóng

3 Nội dung nghiên cứu

Hệ thống hóa các phương pháp giải dạng toán “ Tìm GTLN & GTNN

của hàm số’’ và đưa ra ví dụ cụ thể

4 Phương pháp nghiên cứu

+ Về lý luận: Nghiên cứu một số tài liệu, sách, báo có liên quan đến bài toán về GTLN, GTNN

+ Về thực tiễn: Trao đổi, tham khảo, học hỏi kinh nghiệm từ một số

giáo viên và học sinh khá giỏi

5 Bố cục của đề tài: gồm 2 chương

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1 Định nghĩa GTNN, GTLN

1.2 Các bất đẳng thức thường dùng

1.3 Các kiến thức về hàm đơn điệu, khảo sát hàm số

1.4 Các kiến thức liên quan đến tọa độ – vectơ

Chương 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ TÌM GTLN, GTNN

2.1 Sử dụng Bất đẳng thức

2.1.1 Sử dụng Bất đẳng thức AM-GM (hay còn gọi là BĐT Cô-si)

2.1.2 Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy Bunhiakowski-Schwarz

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 5

2.1.3 Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel

2.2 Sử dụng đạo hàm, khảo sát hàm số

2.3 Sử dụng một số kĩ thuật biến đổi

2.3.1 Đưa về một biến

2.3.2 Sử dụng khảo sát hàm số lần lượt từng biến trong biểu thức chứa ba biến

2.3.3 Giải bài toán bằng phương pháp đổi biến số

2.3.4 Giải bài toán bằng phương pháp tọa độ vectơ

2.3.5 Phương pháp lượng giác hóa

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 6

1.1 Định nghĩa GTLN, GTNN

Cho hàm số y f x( ) xác định trên K (K ) Khi đó:

 Số M được gọi là GTLN của hàm số y f x( ) trên K khi và chỉ khi:

1.2 Các bất đẳng thức thường dùng

1.2.1 Bất đẳng thức AM-GM (hay còn gọi là BĐT Cô-si)

Phương pháp: Bất đẳng thức AM-GM (hay còn gọi là BĐT Cô-si):

𝑎1 + 𝑎2+ +𝑎𝑛

𝑛 ≥ √𝑎𝑛 1𝑎2… 𝑎𝑛, ∀𝑎1, 𝑎2, … 𝑎𝑛 ≥ 0 Đẳng thức xảy ra ⇔ 𝑎1 = 𝑎2 = = 𝑎𝑛

1.2.2 Bất đẳng thức Cauchy-Bunhikowski-Schwarz

Cho 2 bộ số thực 1 2

1 2

, , , a , , ,

n n

a

b  b   b

1.2.3 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel

Giả sử 𝑎1, 𝑎2, , 𝑎𝑛 là các số thực bất kì và 𝑏1, 𝑏2, , 𝑏𝑛 là các số

thực dương, khi đó ta có BĐT sau:

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 7

a

b  b   b

1.3 Các kiến thức về hàm đơn điệu, khảo sát hàm số

1.3.1 Định nghĩa: Giả sử K là một khoảng, nửa khoảng, một đoạn Hàm số

( )

y f x xác định trên K được gọi là:

+Đồng biến trên K nếu  x x1, 2K, 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2)

+Nghịch biến trên K nếu  𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐾, 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2) 1.3.2 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:

Giả sử hàm số y f x( ) có đạo hàm trên K Khi đó:

+ Nếu hàm số y f x( ) đồng biến trên K thì 𝑓′(𝑥) ≥ 0, ∀𝑥 ∈ 𝐾

+ Nếu hàm số y f x( ) nghịch biến trên K thì 𝑓′(𝑥) ≤ 0, ∀𝑥 ∈ 𝐾 1.3.3 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:

Giả sử K là một khoảng, nửa khoảng, một đoạn Hàm số y f x( ) liên tục trên K và có đạo hàm tại mọi điểm trong của K (tức các điểm thuộc

K nhưng không phải là đầu mút của K) Khi đó:

+ Nếu 𝑓′(𝑥) > 0, ∀𝑥 ∈ 𝐾 thì hàm số y f x( ) đồng biến trên K

+ Nếu 𝑓′(𝑥) < 0, ∀𝑥 ∈ 𝐾 thì hàm số y f x( ) nghịch biến trên K + Nếu 𝑓′(𝑥) = 0, ∀𝑥 ∈ 𝐾 thì hàm số y f x( ) không đổi trên K

Chú ý: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [𝑎; 𝑏] và có đạo hàm

𝑓′(𝑥) > 0( 𝑓′(𝑥) < 0), ∀𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏) thì hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên đoạn [𝑎; 𝑏]

1.4 Các kiến thức liên quan đến tọa độ – vectơ

1.4.1 Vectơ trong mặt phẳng:

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 8

phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ a và b , nghĩa là có

duy nhất cặp số ,h k sao cho xhakb

+ Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a và b ( b 0) cùng phương là có

một số k để a kb

+ Cho số k 0 và vectơ a0 Tích của vectơ a với một số k là một

vectơ, kí hiệu ka , cùng hướng với a , nếu k 0 ,ngược hướng với a

nếu k0 và có độ dài bằng k a

+ Với hai vectơ a và b bất kì, với mọi số h và k bất kì, ta có:

+ Cho (A x A,y z A, A), (x ,B B y z B, B) Khi đó:

( B A, B A, B A)

AB x x y  y z z

+ Nhận biết điều kiện đồng phẳng của ba vectơ trong không gian:

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 9

Cho hai vectơ a và b không cùng phương Ba vectơ , , a b cđồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại ,m n sao cho c namb và ,m n là duy nhất

+ Nếu manb  pc 0 thì , ,a b c đồng phẳng

+ Nếu ba vectơ , ,a b ckhông đồng phẳng,với mọi vectơ

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 10

2.1.1 Dạng 1: Giải bài toán bằng cách sử dụng Bất đẳng thức

AM-GM (hay còn gọi là BĐT Cô-si):

Ví dụ 1: Cho x1 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

132

Vậy GTNN của y bằng 7

2 khi và chỉ khi: x1

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 11

Ví dụ 2: Cho , ,a b c0;a  b c 1 Tìm Giá trị lớn nhất của biểu

23

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 12

Vậy Giá trị lớn nhất của P bằng 2 khi và chỉ khi

3

a  b c

Bài tập áp dụng:

1 Cho các số thực dương x y thỏa mãn , x3  y3 1 Tìm GTLN của

P P

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 13

Bài tập áp dụng:

1 Cho a b c là ba số thực dương bất kì Tìm GTLN của biểu thức: , ,

1

A a

a

2.1.3 Giải bài toán bằng cách sử dụng Bất đẳng thức

Cauchy-Schwarz dạng Engel

Ví dụ 5: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc = 1 Tìm GTNN

của biểu thức:

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 14

Khi đó, bài toán sẽ trở nên phức tạp hơn, dễ dẫn đến bế tắc trong quá

trình giải Vì vậy, để ý một chút ta sẽ thấy

2 3

11

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 15

Ta thấy biểu thức P đối xứng theo 3 biến , ,x y z là được viết ở dạng

phân thức nên ta nghĩ đến việc dùng BĐT Cauchy-Schwart dạng

Engel Tuy nhiên, trên tử của mỗi phân số chưa xuất hiện dạng bình phương nên ta biến đổi như sau:

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 16

Bài tập áp dụng:

1.Cho số thực dương , ,a b c thỏa mãn a2 b2 c2 3 Tìm GTNN của

2 Cho 3 số thực không âm , ,a b c thỏa mãn abbcca3 Tìm

GTLN của biểu thức: 21 21 21

 Cho y’=0, tìm cácx x1, , ,2 xn D nghiệm

 Lập bảng biến thiên

 Dựa vào bản biến thiên, ta suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

của hàm số

 Nếu f(x) có tập xác định D= a b; thì không cần lập bảng biến thiên:

- Tìm tới các điểm hạn x x1, 2, ,x n của (x)f trên  a b ;

- Tính f a f b f x( ), ( ), ( ), (1 f x2), , (f x n) Kết luận:

+ max𝑥∈[𝑎;𝑏]𝑓(𝑥) = max {𝑓(𝑎), 𝑓(𝑏), 𝑓(𝑥1), 𝑓(𝑥2), … , 𝑓(𝑥𝑛)}

+ min𝑥∈[𝑎;𝑏]𝑓(𝑥) = min {𝑓(𝑎), 𝑓(𝑏), 𝑓(𝑥1), 𝑓(𝑥2), … , 𝑓(𝑥𝑛)}

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 17

 Giả sử hàm số ( )f x liên tục và có đạo hàm trên đoạn  a b ;

Hàm f tăng (giảm) trên  a b nếu ; f x'( )0f x'( )0 ∀𝑥 ∈

 a b ;(dấu bằng xảy ra ở một số hữu hạn điểm thuộc đoạn  a b ) ;

- Nếu f x tăng trên đoạn ( )  a b; thì min

𝑥∈𝐷 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) và

max𝑥∈𝐷 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑏)

- Nếu f x giảm trên đoạn ( )  a b; thì min

𝑥∈𝐷 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑏) và

max𝑥∈𝐷 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

Ví dụ 7: Tìm Giá trị lớn nhất, Giá trị nhỏ nhất của hàm số:

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 18

Ví dụ 8: Tìm GTNN, GTLN của 2 1

1

x y

Dựa vào bảng biến thiên, ta được:

+ GTLN của y là 1 khi x0

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 19

sát Thông thường, ta sẽ đưa biến có dạng tổng hoặc tích như là

ab ab a b c abbcca

Ví dụ 9: Cho x, y là 2 số thực thỏa mãn: 2 2

2

x  y  Tìm giá trị

lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

x y  xyx  y  Tức là xy có thể biểu diễn qua x+y Lúc đó, biểu thức P biểu diễn theo x+y

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 20

P + 0 -

P

13

2 -7 1

Vậy min[−2;2]𝑃(𝑡) = 𝑃(−2) = −7 khi x  y 1

max[−2;2]𝑃(𝑡) = 𝑃(1) =13

Biểu thức trên đối xứng với ,x y Giả thiết đã cho x y 1 nên ta

nghĩ tới việc xét biểu thức theo xy

Giải:

Ta có:

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 21

f t - 0 + ( )

x y

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 22

1 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

 Bước 1: Xem P(x, y, z) là hàm theo biến x, còn y, z là

hằng số Khảo sát hàm này tìm cực trị với điều kiện T,

ta được:

P(x, y, z) ≥ g(y, z) hoặc P(x, y, z) ≤ g(y, z)

 Bước 2: Xem g(y, z) là hàm biến y, còn z là hằng số

Khảo sát hàm này với điều kiện T,ta được:

g(y, z) ≥ h(z) hoặc g(y, z) ≤ h(z)

 Bước 3: Cuối cùng khảo sát hàm số một biến h(z) với

điều kiện T ta tìm được min, max của hàm này

Ta đi đến kết luận: P(x, y, z) ≥ g(y, z) ≥ h(z) ≥ m

hoặc P(x, y, z) ≤ g(y, z) ≤ h(z) ≤ 𝑀

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 23

Ví dụ 11: Cho ba số thực x y z, ,  1;4 và x y x, z Tìm Giá trị

nhỏ nhất của biểu thức:

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 24

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 25

Để khảo sát hàm số theo một biến, ta cố gắng đưa biểu thức theo ít biến càng tốt nhưng không làm mất điều kiện

Từ giả thiết ta suy ra: (1 ) 0

Vậy có thể chuyển bài toán theo biến a và c mà không làm mất điều

kiện bằng cách thế

1

a c b

a c

f x f x ( )0

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 26

Từ bảng biến thiên, ta có: 0

g c + 0 - ( )

c a b thì max S = 10

3

Bài tập áp dụng:

1 Cho ba số thực , , 1;3

3

a b c  

   Tìm GTLN của biểu thức:

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 27

2.3.3 Sử dụng phương pháp đổi biến số

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) (x thuộc tập xác định của hàm số hoặc thuộc một số tập số cho trước) bằng phương pháp đổi biến số, ta lần lượt thực hiện các bước:

 Bước 1: Lựa chọn cách đặt ẩn phụ thích hợp t theo 𝑥

 Bước 2: Chuyển điều kiện của x sang điều kiện của t

Giả sử tìm được t ∈ 𝐾

 Bước 3: Chuyển bài toán ban đầu thành bài toán mới

đơn giản hơn

Cụ thể là: Tìm GTLN, GTNN của hàm số f(t) trên tập

K

Ví dụ 13: Tìm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

𝑦 = sin 𝑥 + 1𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 1

Phân tích: Dễ dàng nhận thấy rằng: nếu đặt 𝑡 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 thì hàm số đã

cho có thể biểu diễn thành một hàm phân thức với ẩn t

Giải:

Đặt 𝑡 = 𝑠𝑖𝑛𝑥, điều kiện: 1  t 1

Bài toán trở thành tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) 2 1

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 28

f t + 0 - ( )

Ví dụ 14: Cho 2 số thực dương ,x y thỏa mãn x y 1 Tìm GTNN

của biểu thức:

Để ý rằng 1 x y  và 1 y x  , đồng thời vì P0 với mọi ,x y0

nên P đạt GTNN khi và chỉ khi 2

P đạt GTNN, ta nghĩ đến việc bình

phương P đề làm mất dấu căn thức của 1 x và 1 y

Giải:

Kết hợp với giả thiết x y 1.Ta có:

SVTT: Nguyễn Thị Ý Như Trang 29

  ta suy ra GTNN của hàm

số này (chính là GTNN của 2

Bài tập áp dụng:

1 Tìm GTLN, GTNN của hàm số:

y  x x  x x 

2 Cho xy0 thỏa mãn x y 1 Tìm GTNN của biểu thức:

2.3.4 Sử dụng phương pháp tọa độ vectơ

 Bất đẳng thức vectơ:

Cho 2 vectơ 𝑎 , 𝑏⃗ (trong mặt phẳng hoặc trong không gian) Khi

đó:

(1)  2 2

0

a  a  Dấu “=” xảy ra ⇔ a0