Tính ổn định nghiệm của bài toán quan hệ biến phân

Chương này trình bày một số tính chất tôpô của tập nghiệm như tính lồi, tính bị chặn, tính đóng và tính ổn định nghiệm của bài toán quan hệ biến phân có tham số.. Luận văn này cố gắng tr[r]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-TRẦN THỊ CHIÊN

TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA

BÀI TOÁN QUAN HỆ BIẾN PHÂN

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG

Hà Nội – Năm 2014

Mục lục

1.1 Kiến thức tôpô và giải tích hàm 5

1.1.1 Không gian metric 5

1.1.2 Không gian véctơ tôpô 6

1.2 Ánh xạ đa trị 10

1.2.1 Định nghĩa ánh xạ đa trị 10

1.2.2 Một số định lí về sự tương giao và về điểm bất động của ánh xạ đa trị 14

1.2.3 Tính liên tục của ánh xạ đa trị 14

2 Bài toán quan hệ biến phân 24 2.1 Phát biểu bài toán và một số ví dụ 24

2.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân 28

2.2.1 Định lí cơ bản 28

2.2.2 Tiêu chuẩn dựa trên sự tương giao 30

2.2.3 Tiêu chuẩn dựa trên điểm bất động 35

3 Tính chất tôpô của tập nghiệm của bài toán quan hệ biến phân 39 3.1 Tính lồi của tập nghiệm 40

3.2 Tính bị chặn của tập nghiệm 42

3.3 Tính đóng của tập nghiệm 43

3.4 Tính ổn định của tập nghiệm 45

3.5 Các trường hợp đặc biệt 52

3.5.1 Bài toán bao hàm thức biến phân 53

3.5.2 Bài toán tựa cân bằng 55

KẾT LUẬN 58

Tài liệu tham khảo 59

Mở đầu

Lý thuyết tối ưu được hình thành từ những ý tưởng kinh tế, lý thuyết giá trị của Edgeworth từ năm 1881 và Pareto từ năm 1886 Cho tới những năm cuối thế kỉ XX lý thuyết tối ưu trở thành một ngành toán học quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của các ngành khoa học, kĩ thuật và kinh tế cũng như trong thực tế

Trong xu thế phát triển chung của lý thuyết tối ưu và áp dụng lý thuyết cân bằng vào giải quyết các lĩnh vực cơ bản khác nhau của cuộc sống, một lớp bài toán mới, bài toán "Quan hệ biến phân" được đề xuất lần đầu tiên vào năm

2008 bởi GS Đinh Thế Lục nhằm nghiên cứu một bài toán tổng quát hơn theo nghĩa một số lớp bài toán quen thuộc có thể được suy từ bài toán này như bài toán tối ưu tuyến tính, bài toán tối ưu phi tuyến, bài toán cân bằng, bài toán tựa cân bằng, bài toán bao hàm thức biến phân, bài toán bao hàm thức tựa biến phân, bài toán bất đẳng thức biến phân,

Bài toán quan hệ biến phân được phát biểu như sau: Tìm ¯ a ∈ A sao cho (1) ¯ là điểm bất động của ánh xạ S1, tức làa ∈ S ¯ 1(¯ a);

(2) Quan hệ R(¯ a, b, y) đúng với mọi b ∈ S 2 (¯ và y ∈ T (¯ a, b),

trong đó A, B, Y là các tập khác rỗng, S1 : A ⇒ A, S2 : A ⇒ B, T : A × B ⇒ Y

là các ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng và R(a, b, y) là quan hệ giữa các phần

tử a ∈ A, b ∈ B, y ∈ Y.

Các vấn đề nghiên cứu trong bài toán quan hệ biến phân là sự tồn tại nghiệm của bài toán, cấu trúc tập nghiệm của bài toán (tính đóng, tính lồi, tính ổn định, tính liên thông, )

Luận văn có mục đích trình bày bài toán quan hệ biến phân và tính ổn định của tập nghiệm của bài toán quan hệ biến phân Luận văn được chia thành ba chương

Chương 1 Kiến thức cơ sở Chương này giới thiệu cơ sở lý thuyết cho hai chương sau, nhắc lại một số kiến thức về giải tích hàm, trình bày một số khái niệm, tính chất và tính liên tục của ánh xạ đa trị

Chương 2 Bài toán quan hệ biến phân Mục đích chính của chương này

là trình bày về sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân dựa trên tính chất tương giao KKM và các định lí về điểm bất động

Chương 3 Tính chất tôpô của tập nghiệm Chương này trình bày một

số tính chất tôpô của tập nghiệm như tính lồi, tính bị chặn, tính đóng và tính

ổn định nghiệm của bài toán quan hệ biến phân có tham số

Luận văn này cố gắng trình bày một cách có hệ thống (với các chứng minh được cụ thể và chi tiết hơn) về sự tồn tại nghiệm và các tính chất của tập nghiệm của bài toán quan hệ biến phân được đề cập trong các bài báo [4, 5]

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của PGS.TS

Tạ Duy Phượng Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy

Qua đây, tôi xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2012-2014, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốt quá trình học tập của tôi tại Trường

Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quan tâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi để tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ của mình

Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả luận văn

Trần Thị Chiên

Chương 1

Kiến thức cơ sở

Trong chương này, ta sẽ trình bày một số kiến thức về giải tích hàm như các khái niệm không gian metric, không gian tôpô, không gian véctơ tôpô, và khái niệm ánh xạ đa trị, tính liên tục của ánh xạ đa trị, cần thiết cho việc trình bày các nội dung ở chương sau

1.1 Kiến thức tôpô và giải tích hàm

1.1.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1 Cho tập X 6= ∅, ánh xạ d từ tích Descartes X × X vào tập hợp các số thực R được gọi là một metric trên X nếu các tiên đề sau đây được thỏa mãn:

1) (∀x, y ∈ X) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y, (tiên đề đồng nhất);

2) (∀x, y ∈ X) d(x, y) = d(y, x), (tiên đề đối xứng);

3) (∀x, y, z ∈ X) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), (tiên đề tam giác)

Tập X với metric d trang bị trên X được gọi là không gian metric, kí hiệu là

(X, d) hay thường được viết làX. Số d(x, y)gọi là khoảng cách giữa hai phần tử

x và y Các phần tử của X gọi là các điểm

Các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề metric

Định nghĩa 1.1.2 Cho X là hai không gian metric, một điểm x ∈ X và A là một tập con của X Khoảng cách từ điểm x đến tập A được xác định bởi

d(x, A) = inf

a∈A d(x, a).

Định nghĩa 1.1.3 (Khoảng cách Hausdorff) Cho X và Y là hai không gian metric, một điểm x ∈ X và A, B lần lượt là các tập con trong X, Y Khoảng

cách Hausdorff từ tập A đến tập B được xác định bởi

dH(A, B) = max



sup

a∈A

inf

b∈B d(a, b), sup

b∈B

inf

a∈A d(a, b)



,

hay

dH(A, B) = max



sup

a∈A

d(a, B), sup

b∈B

d(b, A)



.

Định nghĩa 1.1.4 Trong không gian metric X Một dãy {xn} được gọi là dãy

cơ bản nếu

(∀ε > 0) (∃N ) (∀n ≥ N ) (∀m ≥ N ) thìd (xn, xm) < ε Nhận xét 1.1.1 Một dãy hội tụ bao giờ cũng là dãy cơ bản, vì nếu xn → x thì theo bất đẳng thức tam giác ta có

d (x n , x m ) ≤ d (x n , x) + d (x, x m ) → 0 (n, m → ∞) Nhưng ngược lại một dãy cơ bản trong một không gian bất kỳ không nhất thiết hội tụ Chẳng hạn nếu xét khoảng (0, 1) là một không gian metric với

d(x, y) = |x − y| với mọi x, y ∈ (0, 1) thì dãy n1

n

o , mặc dù là dãy cơ bản, nhưng không hội tụ trong không gian ấy

Định nghĩa 1.1.5 Không gian metric X trong đó mọi dãy cơ bản đều hội tụ (tới một phần tử của X ) được gọi là một không gian đủ

Định nghĩa 1.1.6 Ánh xạ P : X → X được gọi là ánh xạ Lipschitz nếu

∃k > 0 : d (P (x), P (y)) ≤ kd(x, y).

• k = 1: f được gọi là ánh xạ không giãn

• 0 < k < 1: f được gọi là ánh xạ co

Định lý 1.1.1 (Nguyên lý Banach về ánh xạ co) Mọi ánh xạ co P từ không gian metric đủ (X, d) vào chính nó đều có điểm bất động x ¯ duy nhất, nghĩa là tồn tại duy nhất x ∈ X ¯ thỏa mãn hệ thức P ¯ x = ¯ x

1.1.2 Không gian véctơ tôpô

Định nghĩa 1.1.7 (Không gian tôpô) Cho tập X 6= ∅ Một họ τ các tập con của X được gọi là một tôpô trên X nếu nó thỏa mãn các tính chất sau:

(i) ∅, X ∈ τ;

(ii) Giao của một số hữu hạn các phần tử thuộc τ thì thuộc τ;

(iii) Hợp của một số tùy ý các phần tử thuộc τ thì thuộc τ

Khi đó cặp (X, τ ) được gọi là không gian tôpô

Định nghĩa 1.1.8 Cho hai tôpô τ1 và τ2. Ta nói τ1 yếu hơn τ2 (hay τ2 mạnh hơn τ1) nếu τ1 ⊂ τ2, nghĩa là mọi tập mở trong tôpô τ1 đều là tập mở trong τ2.

Định nghĩa 1.1.9 Cho (X, τ ) là không gian tôpô

• Tập G được gọi là tập mở trong X nếuG ∈ τ.

• Tập F được gọi là tập đóng trong X nếu X\F ∈ τ.

Định nghĩa 1.1.10 Cho không gian tôpô (X, τ ), tập A là tập con của X Tập

U được gọi là một lân cận của tập A nếu trong U có một tập mở chứa A Khi

A = {x} thì U là một lân cận của điểm x

Định nghĩa 1.1.11 Một họ V = 

V : V là lân cận của điểmx ∈ X được gọi

là cơ sở lân cận của điểm x nếu với mọi lân cận U của điểm x, tồn tại lân cận

V ∈ V sao cho x ∈ V ⊂ U.

Định nghĩa 1.1.12 Cho không gian tôpô (X, τ ), A là một tập con bất kì của

X Đối với mỗi phần tử bất kì x ∈ X ta gọi:

(i) x là điểm trong của A nếu tồn tại ít nhất một lân cận của x nằm trong A (ii) x là điểm ngoài của A nếu tồn tại ít nhất một lân cận của x nằm trong

X\A

(iii) x là điểm biên của A nếu x đồng thời không là điểm trong và không là điểm ngoài củaA. Hay nói cách khác xlà điểm biên của A nếu mọi lân cận của x đều giao khác rỗng với A và X\A

Định nghĩa 1.1.13 Giả sử A là tập con bất kì của không gian tôpô (X, τ ). Ta gọi phần trong của A là hợp của tất cả các tập mở nằm trong A, và nó là tập

mở lớn nhất Kí hiệu là Ao hoặc intA.

Định nghĩa 1.1.14 Giả sử A là tập con bất kì của không gian tôpô (X, τ ) Ta gọi bao đóng của A là giao của tất cả các tập đóng nằm trong A, và nó là tập đóng nhỏ nhất Kí hiệu là A¯ hoặc clA.

Định nghĩa 1.1.15 ChoX, Y là hai không gian tô pô Một ánh xạ f từX vào

Y được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu với mọi lân cận V của f (x0) đều tồn tại một lân cận U củax sao cho f (U ) ⊆ V.

Định nghĩa 1.1.16 Không gian tô pô (X, τ ) được gọi là không gian Hausdorff (hay T2 − không gian) nếu mọi cặp điểm x khác y trong X đều tồn tại một lân cận U của x và V của y sao cho U ∩ V = ∅

Định nghĩa 1.1.17 Giả sử F là một trường R hoặc C. Các phần tử của F

được gọi là số (đại lượng vô hướng) Một không gian véctơ V định nghĩa trên trường F là một tập hợp V không rỗng mà trên đó hai phép cộng véctơ và phép nhân với một số hướng được định nghĩa sao cho các tính chất cơ bản sau đây được thỏa mãn:

1 Phép cộng véctơ có tính chất kết hợp:

Với mọi u, v, w ∈ V : u + (v + w) = (u + v) + w;

2 Phép cộng véctơ có tính chất giao hoán:

Với mọi v, w ∈ V : v + w = w + v;

3 Phép cộng véctơ có phần tử trung hòa:

Với mọi v ∈ V, có một phần tử 0 ∈ V, gọi là véctơ không: v + 0 = v;

4 Phép cộng véctơ có phần tử đối:

Với mọi v ∈ V, tồn tại w ∈ V: v + w = 0;

5 Phép nhân vô hướng phân phối với phép cộng véctơ:

Với mọi α ∈ F ; v, w ∈ V : α(v + w) = αv + αw;

6 Phép nhân véctơ phân phối với phép cộng vô hướng:

Với mọi α, β ∈ F ; v ∈ V: (α + β)v = αv + βv;

7 Phép nhân vô hướng tương thích với phép nhân trong trường các số vô hướng: Với mọi α, β ∈ F ; v ∈ V: α.(β.v) = (α.β)v;

8 Phần tử đơn vị của trường F có tính chất của phần tử đơn vị với phép nhân vô hướng: Với mọi v ∈ V : 1.v = v.1.

Định nghĩa 1.1.18 Cho X là không gian véctơ Tập C ⊆ X được gọi là tập lồi nếu với mọi x, y ∈ C và với mọi λ ∈ [0, 1] thì (1 − λ)x + λy ∈ C (hay nói cách khác C chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm bất kì thuộc nó)

Định nghĩa 1.1.19 Cho X là không gian véctơ, x1, x2, , xk ∈ X và các số

λ1, λ2, , λk thỏa mãnλj ≥ 0, j = 1, 2 , kvà

k

P

j=1

λj = 1.Khi đó, x =

k

P

j=1

λjxj,được gọi là tổ hợp lồi của các véctơ x1, x2, , xk ∈ X.

Định nghĩa 1.1.20 Giả sử S ⊂ X. Bao lồi của S, kí hiệu là convS là tập hợp các tổ hợp lồi của các điểm trong S.

Định nghĩa 1.1.21 Cho X là không gian véctơ

1 Một tập C ⊆ X được gọi là nón nếu với mọi λ ≥ 0, mọi x ∈ C thì λx ∈ C.

2 Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là tập lồi Như vậy, một tập C

là nón lồi khi và chỉ khi nó có các tính chất sau:

(i) λC ∈ C với mọi λ ≥ 0,

(ii) C + C ⊆ C.

Định nghĩa 1.1.22 Ta nói một tôpô τ trên không gian véctơ X tương hợp với cấu trúc đại số, nếu các phép toán đại số trong X liên tục trong tôpô đó, tức là nếu:

1 x + y là một hàm liên tục của hai biến x, y; cụ thể với mọi lân cận V của điểm x + y đều có một lân cận Ux của x và một lân cận Uy của y sao cho nếu x0∈ Ux, y0 ∈ Uy thì x0+ y0∈ V.

2 αx là một hàm liên tục của hai biến α, x; cụ thể với mọi lân cận V của αx

đều có một số ε > 0 và một lân cậnU của x sao cho |α − α0| < ε, x0 ∈ U thì

α0x0 ∈ V.

Một không gian véctơ X trên đó có một tôpô tương hợp với cấu trúc đại số gọi

là một không gian véctơ tôpô (hay không gian tôpô tuyến tính)

Định nghĩa 1.1.23 Một không gian véctơ tôpôX được gọi là không gian véctơ tôpô lồi địa phương nếu trongX có một cơ sở lân cận (của gốc) chỉ gồm các tập lồi

Định nghĩa 1.1.24 Cho X là không gian tôpô lồi địa phương và tập C ⊆ X.

Ta nói véctơ d là một phương lùi xa của C nếu x + λd ∈ C với mọi x ∈ C, λ > 0.

Tập tất cả các phương lùi xa của C được gọi là nón lùi xa củaC và được kí hiệu

là o+(C). Vậy, o+(C) = {λ ∈ X : x + λd ∈ C} với mọi x ∈ C, λ > 0.

Định nghĩa 1.1.25 Cho tập I khác rỗng được gọi là định hướng nếu trên nó xác định một quan hệ ” ≥ ” thỏa mãn các tính chất sau:

(i)) Với mọi m, n, p ∈ I sao cho: m ≥ n, n ≥ p thì m ≥ p;

Tài liệu tham khảo

[A] Tài liệu Tiếng Việt

[1] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội

[2] Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo trình giải tích đa trị, NXB Khoa học Tự nhiên và Công nghệ

[B] Tài liệu Tiếng Anh

[3] J P Aubin and H Frankowska (1990), Set-Valued Analysis, Springer, New York

[4] P Q Khanh and D T Luc (2008), Stability of Solutions in Parametric Variational Relation Problems, Set-Valued Anal, 16, 1015-1035

[5] D T Luc (2008), An Abstract Problem in Variational Analysis, J Optim Theory Appl 138, 65 - 76

[6] B S Mordukhovich (2006), Variational Analysis and Generalized Differen-tiation I: Basic Theory, Springer, 331