Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số bài toán cực trị hình học

Mục tiêu nghiên cứu của luận văn này là giới thiệu và phân loại một số dạng bài toán cực trị hình học và phương pháp thường được sử dụng để giải các bài toán này.

BË GIO DÖC V€ €O T„O

BË GIO DÖC V€ €O T„OTR×ÍNG „I HÅC TH‹NG LONG

PHAN THÀ VI›T HOA M‚ HÅC VI–N: C - 01030

Líi c£m ìn

Trong suèt qu¡ tr¼nh l m luªn v«n, tæi ¢ nhªn ÷ñc sü h÷îng d¨n r§t tªnt¼nh v  chu ¡o cõa TS Nguy¹n V«n Ngåc Th¦y ¢ cho tæi nhúng líi khuy¶nquþ b¡u khæng ch¿ v· c¡c v§n · xoay quanh luªn v«n m  cán v· ph÷ìng ph¡phåc tªp v  nghi¶n cùu khoa håc Tæi xin gûi ¸n th¦y láng k½nh trång v  bi¸t

ìn s¥u s­c

Tæi công xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh ¸n to n bë c¡c th¦y cæ gi£ngd¤y lîp Cao håc to¡n K6 cõa tr÷íng H Th«ng Long, ¢ cung c§p cho tæinhúng tri thùc khoa håc quþ b¡u công nh÷ nhúng b i håc cuëc sèng gi£n dàtrong suèt thíi gian håc tªp t¤i tr÷íng

Nh¥n dàp n y, tæi xin gûi líi c£m ìn ¸n gia ¼nh, b¤n b± v  c¡c çngnghi»p ¢ luæn ëng vi¶n kh½ch l» º tæi ho n th nh luªn v«n n y

Ngo i ra º sû döng cho luªn v«n, tæi ¢ tham kh£o mët sè t i li»u v  b ivi¸t, xin c£m ìn c¡c t¡c gi£!

H  Nëi, Th¡ng 9, N«m 2019

T¡c gi£

Phan Thà Vi»t Hoa

Mð ¦u

C¡c b i to¡n v· cüc ¤i v  c÷c tiºu xu§t hi»n trong nhi·u l¾nh vüc, khængch¿ trong khoa håc v  kÿ thuªt v  nhúng ùng döng cõa chóng m  cán trong

íi sèng h ng ng y Trong h¼nh håc, th÷íng g°p c¡c b i to¡n nh÷ t¼m ÷íng

i ng­n nh§t giúa hai iºm n o â, thäa m¢n c¡c i·u ki»n nh§t ành, ho°ct¼m mët h¼nh câ chu vi, hay di»n t½ch, thº t½ch nhä nh§t, t¼m iºm t¤i â biºuthùc h¼nh håc câ gi¡ trà cüc ¤i hay c÷c tiºu,

C¡c b i to¡n h¼nh håc v· cüc ¤i v  cüc tiºu th÷íng g­n vîi c¡c b§t ¯ngthùc h¼nh håc v¼ º gi£i c¡c b i to¡n n y chóng ta th÷íng ph£i chùng minhmët ho°c nhi·u b§t ¯ng thùc h¼nh håc t÷ìng ùng n o â B§t ¯ng thùc v cüc trà h¼nh håc l  chuy¶n möc khâ trong l¾nh vüc To¡n håc Phê thæng, nh÷ngl¤i câ sùc h§p d¨n ký l¤, bði v¼ c¡c b§t ¯ng thùc n y khæng ch¿ câ þ ngh¾a v·nëi dung m  cán kh¡ µp v· h¼nh thùc v  ái häi nhi·u s¡ng t¤o Ngo i ra, c¡c

b i to¡n v· b§t ¯ng thùc v  cüc trà h¼nh håc câ nhi·u ùng döng trong quanghåc v  thüc ti¹n, nh÷ t¼m ÷íng i ng­n nh§t, t¼m ki¸m mä, v.v

Luªn v«n n y ÷ñc h¼nh th nh chõ y¸u tø nhúng t i li»u nh÷ s¡ch v  c¡c

b i b¡o khoa håc b¬ng ti¸ng Anh cõa c¡c chuy¶n gia n÷îc ngo i v  trong n÷îc.C¡c b i to¡n chõ y¸u li¶n quan ¸n iºm, ÷íng th¯ng, tam gi¡c, tù di»n, h¼nhtrán v  h¼nh c¦u H¦u h¸t c¡c b i to¡n câ ë khâ cao v  mîi so vîi c¡c b ito¡n kh¡c trong nhi·u t i li»u b¬ng ti¸ng Vi¶t Chóng ÷ñc ph¥n lo¤i theo t½nhch§t hay °c iºm cõa ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu

Möc ti¶u cõa luªn v«n n y l  giîi thi»u v  ph¥n lo¤i mët sè d¤ng b i to¡ncüc trà h¼nh håc v  ph÷ìng ph¡p th÷íng ÷ñc sû döng · gi£i c¡c b i to¡n nâitr¶n

Luªn v«n gçm câ ph¦n Mð ¦u, ba ch÷ìng, K¸t luªn v  Danh möc c¡c t ili»u tham kh£o

Ch÷ìng 1: Ph÷ìng ph¡p h¼nh håc tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p bi¸n êi h¼nhhåc v  ph÷ìng ph¡p t¥m t cü gi£i mët sè b i to¡n v· cüc trà h¼nh håc, nh÷

÷íng i ng­n nh§t giúa hai iºm, chu vi nhä nh§t cõa c¡c a gi¡c, x¡c ành

iºm cüc trà cõa c¡c biºu thùc h¼nh håc

Ph÷ìng ph¡p bi¸n êi h¼nh håc l  ph÷ìng ph¡p ÷a mët b i to¡n phùc t¤p

v· b i to¡n ìn gi£n hìn t÷ìng ùng düa tr¶n mët sè ph²p bi¸n êi h¼nh håc

ìn gi£n, nh÷ ph²p tành ti¸n, èi xùng, ph²p quay, ph²p và tü, v.v

T¥m t cü l  kh¡i ni»m mð rëng kh¡i ni»m v· trång t¥m cõa c¡c h¼nh ¢

÷ñc ÷a v o ch÷ìng tr¼nh h¼nh håc 10 T¥m t cü li¶n h» mªt thi¸t vîi c¡c

bë trång sè gåi l  tåa ë t cü cõa c¡c iºm nhí x¡c ành mët h¼nh håc cì sðthæng qua c¡c ¤i l÷ñng v²c tì Nâ l  c¦u nèi, thº hi»n mèi quan h» mªt thi¸tgiúa h¼nh håc v  ¤i sè T¥m t cü câ nhi·u ùng döng trong h¼nh håc, nh÷chóng minh ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc, c¡c iºm çng quy, th¯ng h ng, v.v Luªn v«n n y ch¿ tr¼nh b y ùng döng t¥m t cü trong c¡c b i to¡n cüc trà ë

d i v²c tì v  têng b¼nh ph÷ìng cõa c¡c væ h÷îng

Ch÷ìng 2: Ph÷ìng ph¡p ¤i sè v  gi£i t½ch tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p vªndöng c¡c b§t ¯ng thùc kinh iºn èi vîi d¢y sè v  ph÷ìng ph¡p ¤o h m t¼mcüc trà cõa mët sè b i to¡n h¼nh håc sì c§p B¬ng ph÷ìng ph¡p sû döng c¡cb§t d¯ng thùc kinh iºn ¢ x²t c¡c b i to¡n v· cüc trà h¼nh håc èi vîi tamgi¡c, tù di»n, h¼nh trán hay m°t c¦u èi vîi ph÷ìng ph¡p gi£i t½ch ¢ tr¼nh

b y b i to¡n li¶n quan ¸n ành luªt khóc x¤ ¡nh s¡ng Snel v  nhi·u b i to¡n

lþ thó kh¡c

Ch÷ìng 3: C¡c b i to¡n chån låc, tr¼nh b y c¡c b i to¡n ti¶u biºu v· ¯ng

cü, iºm cüc trà, b i to¡n Malfatti, h¼nh tê hñp, trong â °c bi»t quan t¥m

l  c¡c b i to¡n v· ¯ng cü v  iºm cüc trà B i to¡n ¯ng cü trong h¼nh håcph¯ng câ li¶n quan ¸n ành lþ nêi ti¸ng sau ¥y [5]: èi vîi h¼nh ph¯ng b§t

ký, di»n t½ch A, ÷ñc giîi h¤n bði chu tuy¸n k½n chi·u d i L câ b§t ¯ng thùc:

L2 ≥ 4πA.

¯ng thùc ch¿ x£y ra khi L l  ÷íng trán Cæng thùc tr¶n ¥y ¢ ÷ñc chùngminh b¬ng sü trñ gióp cõa ph²p t½nh vi ph¥n v  bi¸n ph¥n Tuy nhi¶n èi vîi

a gi¡c lçi L Fejes To'th [6] ¢ chùng minh cæng thùc tr¶n b¬ng ph÷ìng ph¡p

ho n to n sì c§p Cö thº â l  cæng thùc Lhuilier [6]

P2 ≥ 4Sn tanπn,

trong â P v  S t÷ìng ùng l  chu vi v  di»n t½ch cõa h¼nh n-a gi¡c lçi.Công trong ch÷ìng n y tr¼nh b y v· c¡c iºm cüc trà, chõ y¸u l  iºmLemoine trong tam gi¡c v  nhúng iºm mîi kh¡c Mët sè b i to¡n v· v§n ·

n y ¢ xu§t hi»n trong ch÷ìng 1, â l  iºm Torricelli

Ch÷ìng n y công tr¼nh b y mët sè b i to¡n d¤ng Malfatti v· c­t mët h¼nhph¯ng ra th nh mët sè h¼nh trán, sao cho têng di»n t½ch cõa chóng l  lîn nh§t

B i to¡n Malfatta hi»n nay v¨n ÷ñc ti¸p töc nghi¶n cùu [8] Ch÷ìng n y cán

tr¼nh b y mët sè b i to¡n v· h¼nh håc tê hñp, v§n · quan t¥m cõa nâ l  sècüc ¤i hay cüc tiºu c¡c iºm cõa mët h¼nh câ t½nh ch§t n o â.

Nëi dung ch½nh cõa luªn v«n ÷ñc h¼nh th nh düa tr¶n c¡c t i li»u thamkh£o [1]-[8], °c bi»t l  c¡c t i li»u [6] v  [7] Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤iTr÷íng ¤i håc Th«ng Long, 2018-1019

H  Nëi, th¡ng 9 n«m 2019

T¡c gi£

Phan Thà Vi»t Hoa

Ch֓ng 1

Ph÷ìng ph¡p h¼nh håc

1.1 Ph÷ìng ph¡p bi¸n êi h¼nh håc

1.1.1 C¡c b i to¡n l¥u íi

Ph÷ìng ph¡p bi¸n êi h¼nh håc l  ph÷ìng ph¡p ÷a mët b i to¡n phùc t¤pv· b i to¡n ìn gi£n hìn t÷ìng ùng düa tr¶n mët sè ph²p bi¸n êi h¼nh håc

ìn gi£n, nh÷ ph²p èi xùng, ph²p quay, ph²p và tü, v.v

Tr÷îc h¸t chóng ta b­t ¦u b¬ng b i to¡n nêi ti¸ng sau ¥y:

B i to¡n 1.1 (B i to¡n Heron) Tr¶n m°t ph¯ng cho ÷íng th¯ng l v  hai

iºm A, B ð v· còng b¶n èi vîi l. T¼m tr¶n l iºm X, sao cho AX + XB câ ë

d i nhä nh§t

H¼nh 1.1

Líi gi£i Gi£ sû B ′ l  iºm èi xùng vîi iºm B qua ÷íng th¯ng l(H¼nh1.1) Do t½nh èi xùng ta câ XB = XB ′ vîi måi iºm X tr¶n l, nh÷ vªy

XA + XB = AX + XB ′ ≥ AB ′ Gi£ sû AB ′ c­t ÷íng th¯ng l t¤i iºm X 0(v¼ A

v B ′ ð v· hai ph½a b¶n cõa l) Nh÷ vªy, vîi måi iºmX ∈ l, ta câ AX + XB ≥

AB ′ = AX 0 + X 0 B. iºm X 0 l  líi gi£i duy nh§t cõa b i to¡n

Chó þ r¬ng B i to¡n Heron câ nguçn gèc tø nhúng nghi¶n cùu cõa Heronv· sü ph£n x¤ ¡nh s¡ng [7].

B i to¡n 1.2 Trong khæng gian cho ÷íng th¯ng l v  hai iºm A, B sao chochóng khæng còng trong mët m°t ph¯ng T¼m iºmX tr¶n l sao cho ÷íng g§pkhóc AXB câ ë d i nhä nh§t

Líi gi£i B i to¡n n y rã r ng t÷ìng tü nh÷ b i to¡n 1.1

H¼nh 1.2

B i to¡n 1.3 Cho iºm M b¶n trong gâc [BAC. Mët ÷íng th¯ng qua M c­tc¡c c¤nh cõa gâc t¤i D v  E Vîi và tr½ n o cõa ÷íng th¯ng qua M th¼ tamgi¡c ADE câ di»n t½ch nhä nh§t?

B i to¡n 1.4 Cho iºm M b¶n trong gâc [BAC. Mët ÷íng th¯ng qua M c­tc¡c c¤nh cõa gâc t¤i D v  E Vîi và tr½ n o cõa ÷íng th¯ng qua M th¼ tamgi¡c ADE câ chu nhä nh§t?

1.1.2 C¡c b i to¡n d¤ng Steiner v  iºm Torricelli

B i to¡n ti¸p theo ÷ñc gåi l  B i to¡n tam gi¡c Steiner

B i to¡n 1.5 (B i to¡n Steiner) T¼m mët iºm X trong m°t ph¯ng cõa tamgi¡c ABC ¢ cho sao cho têng

t(X) = AX + BX + CX

l  tèi thiºu

Líi gi£i cõa b i to¡n kh¡ d i n¶n xin ÷ñc khæng tr¼nh b y ð ¥y K¸t qu£cõa líi gi£i l : n¸u t§t c£ c¡c gâc cõa△ABC nhä hìn120o, th¼t(X) l  tèi thiºukhiX tròng vîi iºm Torricelli cõa△ABC N¸u mët trong c¡c gâc cõa△ABC

khæng nhä hìn120o, th¼ t(X) l  tèi thiºu khi X tròng vîi ¿nh cõa gâc â

B i to¡n sau ¥y l  sü kh¡i qu¡t hâa b i to¡n Steiner

B i to¡n 1.6 Gi£ sû ABC l  tam gi¡c khæng tò v  cho m, n v  p l  c¡c sèd÷ìng cho tr÷îc T¼m mët iºmX trong m°t ph¯ng cõa tam gi¡c sao cho têng

s(X) = mAX + nBX + pCX

l  tèi thiºu

Sü t÷ìng tü cõa c¡c b i to¡n 1.7 v  1.8 cho hìn 3 iºm ch­c ch­n r§t thó

và Tuy nhi¶n, nâi chung chóng kh¡c nhi·u hìn C¡c t½nh ch§t kh¡c nhau t«ng

¡ng kº khi ta xem x²t c¡c b i to¡n t÷ìng tü trong khæng gian Ð ¥y chóng

ta s³ xem x²t mët tr÷íng hñp °c bi»t cõa b i to¡n t÷ìng ùng cho 4 iºmtrong khæng gian

B i to¡n 1.7 Cho ABCD l  tù di»n ·u trong khæng gian T¼m c¡c iºm X

trong khæng gian sao cho têng

Cho ¸n nay, chóng ta ch¿ sû döng t½nh èi xùng èi vîi mët ÷íng th¯ng.Trong mët sè b i to¡n sau ¥y, chóng ta s³ ¡p döng mët sè bi¸n êi h¼nh håckh¡c.

Chóng ta chuyºn sang mët b i to¡n ÷ñc gåi l  ành lþ Pompeiu

B i to¡n 1.11 (ành lþ Pompeiu) Cho ABC l  tam gi¡c ·u v  P l  mët

iºm trong m°t ph¯ng cõa nâ Chùng minh r¬ng tçn t¤i mët tam gi¡c câ c¡cc¤nh b¬ng c¡c o¤n th¯ng AP, BP v  CP Tam gi¡c n y bà suy bi¸n khi v  ch¿khi P n¬m tr¶n ÷íng trán ngo¤i ti¸p △ABC

B i to¡n 1.12 Mët khóc sæng câ hai bí song song Ð hai b¶n sæng câ hai àa

iºm A v  B C¦n ph£i b­c mët c¥y c¦u vuæng gâc vîi hai bí sæng ð và tr½ n o

º ÷íng i giúa hai l ng qua c¦u l  ng­n nh§t?

H¼nh 1.3

Líi gi£i Gi£ sû hai àa iºm ð hai b¶n sæng l  A v  B Chóng ta tành ti¸nmët trong hai àa iºm v· ph½a sæng mët kho£ng b¬ng b· rëng cõa sæng, cöthº tành ti¸n iºm B th nh iºm B'(h¼nh 1.18) Nèi A vîi B', c­t bí sæng b¶n

A t¤i M Düng MN vuæng gâc vîi bí sæng b¶n kia Ta câ MN l  và tr½ cõa c¦uc¦n l m

Thªt v¥y, theo c¡ch düng th¼ MNBB' l  h¼nh b¼nh h nh v  ÷íng i giúahai àa iºm qua c¦u câ ë d i b¬ng o¤n AB', do â l  ng­n nh§t

B i to¡n 1.13 H¼nh tù gi¡c trong h¼nh 1.4 ÷ñc cho bði tåa ë c¡c ¿nh cõa

nâ T¼m ÷íng i ng­n nh§t b­t ¦u t¤i iºm A (0, 1) v  k¸t thóc t¤i C (2, 1)

câ c¡c iºm chung vîi c¡c c¤nh li¶n ti¸pa, d, b, d, c cõa tù gi¡c

k i ·u b¬ng 1, th¼ G ÷ñc gåi l  trång t¥m cõa h» n iºm A i.

(b) Chùng minh r¬ng n¸u G l  t¥m t¿ cü nâi ð c¥u a, th¼ måi iºm O b§t k¼ ta

B i to¡n 1.15 Cho tam gi¡cABC v  ÷íng th¯ng d T¼m iºmM tr¶n ÷íngth¯ng d sao cho

K¸t qu£ líi gi£i cõa b i to¡n l :

−−→

M A + −−→M B + 2−−→M C

nhä nh§t khi v  ch¿khi M l  h¼nh chi¸u vuæng gâc cõaI l¶n ÷íng th¯ngd

B i to¡n 1.16 Trong m°t ph¯ng tåa ë Oxy cho tam gi¡cABC câ A(−1; 0),

B(2; 3), C(3; −6) v  ÷íng th¯ng ∆ : x − 2y − 3 = 0 T¼m iºm M tr¶n ∆ saocho nhä nh§t

K¸t qu£ líi gi£i cõa b i to¡n l :

B i to¡n 1.18 Trong khæng gian Oxyz cho h¼nh tù di»n ABCD câ c¡c ¿nh

A(3; 4; −1), B(−5; 3; −2), C(3; −1; 2), D(1; 1; 4) T¼m iºm M trong khæng giansao cho

K¸t qu£ líi gi£i cõa b i to¡n l : ⇔ M ≡ G hay M1

2;

7

4;

3 4



.

1.2.3 Cüc trà ë d i b¼nh ph÷ìng cõa væ h÷îng

B i to¡n 1.19 (B i to¡n têng qu¡t).Cho a gi¡c A 1 A 2 A n v  n sè thüc

k 1 , k 2 , , k n thäa m¢n k 1 + k 2 + + k n = k > 0 T¼m iºm M thuëc m°t ph¯ng(÷íng th¯ng) sao cho têngS = k 1 M A 2

1 + k 2 M A 2

2 + + k n M A 2

n ¤t gi¡ trà nhänh§t

B i to¡n 1.20 T¼m iºm M n¬m tr¶n m°t ph¯ng chùa tam gi¡c ABC saocho têng M A 2

B i to¡n 1.21 T¼m iºm M tr¶n m°t ph¯ng chùa tam gi¡c ABC sao chotêng M A 2

+ 2M B 2

− 6MC 2 ¤t gi¡ trà lîn nh§t

K¸t qu£ cõa líi gi£i b i to¡n l : M A2+ 2M B2− 6MC2 ¤t gi¡ trà lîn nh§tkhi v  ch¿ khi M ≡ I.

B i to¡n 1.22 Trong m°t ph¯ng Oxy cho ÷íng th¯ng∆ : x + y + 2 = 0 v  c¡c

iºm A(2; 1), B(−1; −3), C(1; 3) T¼m iºm M thuëc ÷íng th¯ng ∆ sao cho:

Nhi·u b i to¡n v· cüc trà h¼nh håc ÷ñc gi£i b¬ng c¡ch ¡p döng c¡c b¡t

¯ng thùc ¤i sè Ng÷ñc l¤i, mët sè b§t ¯ng thùc ¤i sè câ thº ÷ñc biºu di¹nh¼nh håc lþ thó, ch¯ng h¤n b§t ¯ng thùc AM-GM èi vîi hai sè khæng ¥m

¯ng thùc x£y ra khi v  ch¿ khi a 1 = a 2 = = a n

ành lþ 2.2 (B§t ¯ng thùc trung b¼nh lôy thøa) Vîi måi bë sè khæng ¥m

ành lþ 2.3 (B§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz) X²t hai bë sè thüc tòy þ

a 1 , a 2 , · · · , a n v  b 1 , b 2 , · · · , b n Khi â ta câ

Chóng tæi b­t ¦u vîi b i to¡n ¯ng chu nêi ti¸ng cho tam gi¡c

B i to¡n 2.1 Trong t§t c£ c¡c tam gi¡c câ chu vi cho tr÷îc, t¼m mët tamgi¡c câ di»n t½ch lîn nh§t

K¸t luªn: Trong t§t c£ c¡c tam gi¡c câ chu vi cho tr÷îc, tam gi¡c ·u câdi»n t½ch lîn nh§t

B i to¡n 2.2 Trong t§t c£ c¡c h¼nh hëp chú nhªt khæng câ n­p v  câ di»nt½ch b· m°t nh§t ành, t¼m c¡i câ thº t½ch tèi a

â S l  di»n t½ch b· m°t ¢ cho

B i to¡n 2.3 Hai sè nguy¶n d÷ìng p v  q cho tr÷îc v  mët iºm M ð b¶ntrong mët gâc câ ¿nhO Mët ÷íng th¯ng qua M c­t c¡c c¤nh cõa gâc t¤i c¡c

iºm A v  B T¼m và tr½ cõa ÷íng th¯ng cho º t½ch OA p OB q l  tèi thiºu.K²t luªn: ÷íng th¯ng qua M ph£i ÷ñc v³ theo t¿ l» AM : M B = q : p.L÷u þ r¬ng ch¿ tçn t¤i mët ÷íng th¯ng duy nh§t câ t½nh ch§t n y

B i to¡n 2.4 Gåi X, Y v  Z l  c¡c iºm tr¶n c¡c ÷íng th¯ng ÷ñc x¡c

ành bði ba c¤nh xi¶n (ngh¾a l  khæng n¬m trong m°t ph¯ng) cõa mët h¼nh lªpph÷ìng ¢ cho T¼m và tr½ cõa ba iºm n y sao cho chu vi cõa tam gi¡cXY Z

l  cüc tiºu

B i to¡n 2.5 Cho iºm X b§t ký trong tam gi¡c ABC, gåi l¦n l÷ñt x, y v  z

l  kho£ng c¡ch tø X ¸n c¡c ÷íng th¯ngBC, AC v  AB T¼m và tr½ cõa X ºtêng x 2

+ y 2

+ z 2 l  cüc tiºu

B i to¡n 2.6 Trong t§t c£ c¡c h¼nh chú nhªt nëi ti¸p mët ÷íng trán ¢ cho,h¼nh chú nhªt n o câ di»n t½ch lîn nh§t? T¼m di»n t½ch lîn nh§t §y theo b¡nk½nh cõa ÷íng trán

K¸t luªn: H¼nh vuæng câ di»n t½ch lîn nh§t v  di»n t½ch lîn nh§t §y b¬ng

2R2.

B i to¡n 2.7 Mët h¼nh chú nhªt câ ë d i c¡c c¤nh l  1 v  d ÷ñc c­t th nhbèn h¼nh chú nhªt nhä hìn bði c¡c ÷íng th¯ng vuæng gâc vîi c¡c c¤nh cõah¼nh chú nhªt Trong sè §y câ ba h¼nh chú nhªt di»n t½ch khæng nhä hìn 1,trong khi â di»n t½ch cõa h¼nh thù t÷ khæng nhä hìn 2 T¼m sè nhä nh§t d ºc¡c i·u nâi tr¶n x£y ra

l  nhä nh§t.(Ð ¥y a=BC, b=CA, c=AB)

K¸t luªn: (a) Gi¡ trà nhä nh§t x£y ra khi v  ch¿ khi X l  t¥m cõa ÷íngtrán nëi ti¸p;

(b) Gi¡ trà nhä nh§t x£y ra khi v  ch¿ khiax = by = cz.

B i to¡n 2.9 Gi£ sû X l  iºm b¶n trong h¼nh tù di»n ABCD, cánd 1 , d 2 , d 3 , d 4

l  kho£ng c¡ch tø X ¸n c¡c m°t cõa h¼nh tù di»n T¼m và tr½ cõa X ºd 1 d 2 d 3 d 4

l  lîn nh§t

K¸t luªn:d 1 d 2 d 3 d 4 lîn nh§t khi v  ch¿ khi X l  trång t¥m cõa h¼nh tù di»n

B i to¡n 2.10 Cho iºm X b¶n trong tam gi¡c ABC Qua X v³ c¡c ÷íngth¯ng song song vîi c¡c c¤nh cõa tam gi¡c C¡c ÷íng n y chia tam gi¡c th nhs¡u ph¦n nhä, trong â câ ba ph¦n l  nhúng tam gi¡c vîi di»n t½ch t÷ìng ùng

l  S 1 , S 2 v  S 3 T¼m và tr½ cõa iºm X º S 1 + S 2 + S 3 câ gi¡ trà nhä nh§t.K¸t luªn:S 1 + S 2 + S 3 câ gi¡ trà nhä nh§t khi v  ch¿ khi S 1 = S 2 = S 3 v  X

l  trång t¥m cõa tam gi¡c ABC

B i to¡n 2.11 Ba ÷íng th¯ng v³ qua iºm M b¶n trong tam gi¡c ABC nh÷sau: ÷íng th¯ng thù nh§t c­t c¤nh AB v  BC t¤i C 1 , A 2 , ÷íng th¯ng thù haic­t c¡c c¤nh BC v  CA t¤i A 1 v  B 2 , cán ÷íng th¯ng thù ba c­t c¡c c¤nh CA

v  AB t¤i B 1 v  v  C 2 T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa têng

K¸t luªn: M l  trång t¥m cõa tam gi¡c ABC.

B i to¡n 2.12 Qua iºm X b¶n trong tam gi¡c ABC v³ c¡c ÷íng th¯ng AX

BX, CX, c­t c¡c c¤nh BC, CA, v  AB t÷ìng ùng ðA 1 , B 1 v C 1 Vîi và tr½ n ocõa iºm X th¼ tam gi¡c A 1 B 1 C 1 câ di»n t½ch lîn nh§t?

K¸t luªn:Di¶n t½ch tam gi¡cA 1 B 1 C 1 lîn nh§t khi v  ch¿ khi X l  trång t¥mcõa tam gi¡c ABC

B i to¡n 2.13 P l  mët iºm b¶n trong tam gi¡c ·u ABC Chùng minh r¬ngdi»n t½ch cõa tam gi¡c câ c¡c c¤nh l  c¡c o¤n th¯ng PA, PB, PC khæng lînhìn 1

B i to¡n 2.17 Cho gâc tam di»n Oabc v  sè m T¼m tr¶n c¡c c¤nh Oa, Ob,

Oc cõa gâc tam di»n t÷ìng ùng c¡c iºm A, B, C, sao choOA + OB + OC = m

m  thº t½ch h¼nh tù di»n OABC l  lîn nh§t

K¸t luªn: Thº t½ch lîn nh§t khi v  ch¿ khiOA = OB = OC = m

3.

B i to¡n 2.18 M l  iºm tr¶n ¡y ABC cõa h¼nh tù di»n ABCD v  gi£ sû

A 1 , B 1 , C 1 l  ch¥n c¡c ÷íng vuæng gâc h¤ tø M xuèng c¡c m°tBCD, ACD v 

ABD t÷ìng ùng èi vîi và tr½ n o cõa iºm M th¼ tù di»n M A 1 B 1 C 1 câ thºt½ch lîn nh§t?

K¸t luªn: i·u n y x£y ra khi v  ch¿ khi M l  trång t¥m cõa tam gi¡c ABC

ng thực Ôi số Ngữủc lÔi, mởt số bĐt ng thực Ôi số cõ th ữủc biu diạnhẳnh hồc lỵ thú, chng hÔn bĐt ng thực AM-GM ối vợi hai... Vợi mồi bở số khổng Ơm

nh lỵ 2.3 (BĐt ng thực Cauchy - Schwarz) Xt hai bở số thỹc tũy... vuổng gõc vợi cĂc cÔnh cừahẳnh chỳ nhêt Trong số Đy cõ ba hẳnh chỳ nhêt diằn tẵch khổng nhọ hỡn 1,trong õ diằn tẵch cừa hẳnh thự tữ khổng nhọ hỡn Tẳm số nhọ nhĐt d cĂc iÃu nõi trản xÊy

l