Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số dạng toán của dãy số nguyên

Mục đích của Luận văn là trình bày một số dạng toán về dãy số nguyên thường gặp trong các kỳ thi Olympic toán quốc gia và quốc tế. Qua đó trình bày phương pháp tiếp cận các dạng toán nói trên.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG

TRẦN THỊ MINH HẬU

MỘT SỐ DẠNG TOÁN

CỦA DÃY SỐ NGUYÊN

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội-Năm 2018

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG

TRẦN THỊ MINH HẬU

MỘT SỐ DẠNG TOÁN

CỦA DÃY SỐ NGUYÊN

CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

MÃ SỐ: 8460113

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGUYỄN VĂN NGỌC

Hà Nội-Năm 2018

Mục lục

Trang

Chương 1 Dãy số nguyên có điều kiện và các bài toán liên quan 3

1.1 Tính chất chia hết trong tập hợp số nguyên 3

1.1.1 Tính chia hết của các số nguyên 3

1.1.2 Đồng dư 3

1.2 Nguyên lý Dirichlet 4

1.3 Dãy số nguyên có điều kiện 5

1.4 Bài toán chọn 5

1.5 Bài toán chia hết 7

Chương 2 Bất đẳng thức và cực trị 8 2.1 Các bài toán về bất đẳng thức 8

2.2 Cực trị của các biểu thức nguyên 9

2.3 Cực trị các biểu thức phân 10

Chương 3 Dãy số truy hồi 20 3.1 Dãy truy hồi tuyến tính cấp hai hệ số hằng 20

3.1.1 Công thức số hạng tổng quát của dãy số 20

3.1.2 Ví dụ 21

3.2 Dãy truy hồi phi tuyến 22

Mở đầu

Dãy số đặc biệt quan trọng trong toán học không chỉ như là những đốitượng để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như là một công cụ đắc lực của các

mô hình rời rạc của giải tích trong lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ,

lý thuyết biểu diễn, Trong nhiều kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympictoán quốc tế, thi vô địch toán các nước, các bài toán liên quan đến dãy số cũngthường hay được đề cập

Dãy số nguyên thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi và gây không

ít khó khăn cho các thí sinh Sự kết hợp giữa dãy số và tính chất số học có lẽ

là lý do mà gây ra những khó khăn đó

Mục đích của Luận văn là trình bày một số dạng toán về dãy số nguyênthường gặp trong các kỳ thi Olympic toán quốc gia và quốc tế Qua đó trìnhbày phương pháp tiếp cận các dạng toán nói trên

Luận văn gồm phần Mở đầu, ba chương, Kết luận và Tài liệu tham khảo :Chương 1: Dãy số nguyên có điều kiện và các bài toán liên quan

Chương 2: Bất đẳng thức và cực trị

Chương 3: Dãy số truy hồi

Chương 1: Trình bày một số khái niệm cơ bản và các tính chất chia hếttrong tập hợp số nguyên, các nguyên lý Dirichlet và một số bài toán về dãy sốnguyên, như bài toán về dãy số nguyên có điều kiện, dãy số chọn và bài toán

về chia hết

Chương 2: Trong chương này tác giả trình bày các bài toán về bất đẳngthức của các số nguyên, cực trị của các biểu thức nguyên và biểu thức phân,đặc biệt là các biểu thức chứa trị tuyệt đối trong tập hợp các số nguyên dương.Chương 3: Như chúng ta biết học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giảicác bài toán liên quan đến bài toán xác định công thức số hạng tổng quát củadãy số và chứng minh dãy số đó là dãy số nguyên Để giải quyết vấn đề đótrong chương này tác giả trình bày về quy luật và tính chất của một vài dãy

số thường gặp chứa dãy số truy hồi với các số hạng là tổng (hoặc hiệu) của hai

số nguyên, chứa các dãy Fibonacci, Lucas, Pell, Pell-Lucas

Ngoài ra, trong luận văn xét một số dãy truy hồi phi tuyến tuyến tính hóa

được Tác giả đã đưa ra một số bài toán minh họa cho phần lý thuyết đã trìnhbày.

Luận văn được hoàn thành dưới sự giúp đỡ của Thầy: TS Nguyễn VănNgọc Dù tác giả đã rất cố gắng nhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót.Rất mong nhận được những ý kiến góp ý quý báu của các thầy, cô và các bạnđồng nghiệp

Xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, Tháng 12, Năm 2018

Tác giảTrần Thị Minh Hậu

về chia hết.

Nội dung cơ bản của chương này dựa trên các tài liệu [1], [4] và [5]

1.1 Tính chất chia hết trong tập hợp số nguyên

1.1.1 Tính chia hết của các số nguyên

Định nghĩa 1.1 Với hai số nguyên a và b( với b 6= 0), ta nói rằng a chia hếtcho b (hay a là bội của b, hay b là ước của a), nếu tồn tại số nguyên k sao cho

a = kb. Lúc ấy ký hiệu là a b. Trường hợp ngược lại ký hiệu là a 6 b và ta nóirằng a không chia hết cho b, hay b không chia hết a.

Các tính chất cơ bản của tính chia hết

i) Nếu a, b nguyên dương mà a b, thì a ≥ b.

ii) Nếu ai b với mọi i = 1, n thì (a 1 + a 2 + · · · + a n ) b.

iii) Với hai số nguyên không âm bất kỳ a và b, trong đó b 6= 0, luôn luôntồn tại duy nhất một cặp số nguyên q và r sao cho a = bq + r, trong đó

0 ≤ r < b.

1.1.2 Đồng dư

Định nghĩa 1.2 Nếu hai số nguyêna và b khi chia cho số tự nhiên m (m 6= 0)

có cùng số dư thì ta nói rằng a đồng dư với b theo modulo m và viết a ≡ b mod m

Các tính chất cơ bản của đồng dư.

i) Hai số nguyên a và b đồng dư với nhau theo modulo m (m là số nguyêndương) khi và chỉ khi (a − b) m.

ii) Quan hệ đồng dư là một quan hệ tương đương trên tập hợp số nguyên Z.

iii) Nếu a ≡ b (mod m) vàc ≡ d (mod m) thì

Nguyên lý 1.1 (Nguyên lý Dirichlet cơ bản) Nếu nhốt n + 1 con thỏ vào n

cái chuồng thì bao giờ cũng có một chuồng chứa ít nhất hai con thỏ

Nguyên lý 1.2 (Nguyên lý Dirichlet mở rộng) Nếu nhốtn con thỏ vào m ≥ 2

cái chuồng thì tồn tại một chuồng có ít nhất n+m−1

m

con thỏ, ở đây kí hiệu

[α] để chỉ phần nguyên của số α., ( Đk n − 1 ≥ m )

Chứng minh Giả sử trái lại mọi chuồng thỏ không có đến

hn + m − 1 m

= n − 1 con Điều này vô lý vì có

n con thỏ Vậy giả thiết phản chứng là sai Nguyên lý Dirichlet mở rộng đượcchứng minh

Nguyên lý Dirichlet tưởng chừng đơn giản như vậy, nhưng nó là một công

cụ rất hiệu quả dùng để chứng minh nhiều kết quả sâu sắc của toán học Nóđặc biệt có nhiều áp dụng trong lĩnh vực khác nhau của toán học Nguyên lýnày trong nhiều trường hợp người ta dễ dàng chứng minh được sự tồn tại màkhông đưa ra được phương pháp tìm được vật cụ thể, nhưng trong thực tếnhiều bài toán ta chỉ cần chỉ ra sự tồn tại là đủ rồi

Nguyên lý Dirichlet thực chất là một định lý về tập hữu hạn Người ta cóthể phát biểu chính xác nguyên lý này dưới dạng sau đây

Nguyên lý 1.3 (Nguyên lý Dirichlet dạng tập hợp) Cho A và B là hai tậphợp khác rỗng có số phần tử hữu hạn, mà số lượng phần tử của A lớn hơn sốlượng phần tử của B Nếu với một quy tắc nào đó, mỗi phần tử của A chotương ứng với một phần tử của B, thì tồn tại ít nhất hai phần tử khác nhaucủaA mà chúng tương ứng với một phần tử của B.

1.3 Dãy số nguyên có điều kiện

Bài toán 1.1 Tìm các dãy gồm 2n + 1 số nguyên dương liên tiếp với n ≥ 1

sao cho tổng của n + 1 số hạng đầu bằng tổng của n số hạng cuối

Bài toán 1.2 Tìm các dãy gồm 2n + 1 số nguyên dương liên tiếp với n ≥ 1

sao cho tổng các bình phương củan + 1 số hạng đầu bằng tổng các bình phươngcủa n số hạng cuối

Bài toán 1.3 Cho dãy gồm 100 số nguyên dương khác nhau, mỗi số đều nhỏhơn1200. Chứng minh rằng giữa các hiệu của hai số trong dãy có ít nhất 5hiệu

số bằng nhau

Bài toán 1.4 Cho dãy số gồm n số nguyên dương khác nhau với n ≥ 2. Lấycác số trong dãy số đó để lập tất cả các tổng có từ 1 đến n số hạng Chứngminh rằng:

Bài toán 1.5 Cho dãy số gồm n số nguyên dươnga1, a2, a3, , an vớin ≥ 3.

Lập dãy số mới như sau:bs = 1

2(as+ as+1), 1 ≤ s ≤ n. Tiếp tục như thế Chứngminh rằng nếu dãy ban đầu có ít nhất hai số khác nhau thì đến lúc nào đó xuấthiện dãy chứa số hạng không nguyên

Bài toán 1.6 Cho dãy gồm bốn số nguyên a1, a2, a3, a4 Lập dãy số gồm bốn

số mới như sau: b1 = a 1 − a 2 , b2 = a 2 − a 3 , b3 = a 3 − a 4 , b4 = a 4 − a 1 Từ dãy số

b1, b2, b3, b4 tiếp tục lập dãy gồm bốn số mới như trên Chứng minh rằng đến lúcnào đó thì nhận được dãy số gồm bốn số hạng đều là số chẵn

1.4 Bài toán chọn

Các bài toán sau đây yêu cầu ta yêu cầu chọn từ các dãy cho trước mộtdãy con với các thuộc tính quy định (chủ yếu liên quan đến tổng các số hạngcủa nó) Để bắt đầu, ta làm rõ cụm từ “ .một số số hạng ai có thể được chọn

sao cho tổng S của chúng .” không loại trừ trường hợp mà một số hạng đơn

b) Có thể lấy nhiều nhất bao nhiêu số trong 2n số nguyên dương đầu tiên đểmột số bất kỳ được chọn không bằng tổng của hai số cũng được chọn (hai sốnày có thể bằng nhau hoặc khác nhau)

Bài toán 1.9 a) Trong2n số nguyên từ 1 đến2n chọn n + 1 số nào đó Chứngminh rằng trong các số được chọn có một cặp số mà số này chia hết cho sốkia

b) Có thể lấy nhiều nhất bao nhiêu số trong 2n số nguyên dương đầu tiên đểgiữa các số được chọn không có cặp số nào mà số này chia hết cho số kia.Bài toán 1.10 Cho n số nguyên khác nhaua1, a2, a3, , an và một số nguyên

k với k > n ≥ 2 Chứng minh rằng có thể chọn được số nguyên t để tích

(a 1 + t)(a 2 + t) (a n + t) không chia hết cho số k.

Bài toán 1.11 Chứng minh rằng trong 6 số nguyên dương liên tiếp có thểchọn được ít nhất một số mà nó nguyên tố với mỗi số còn lại

Bài toán 1.12 Chứng minh rằng trong 29 số nguyên dương liên tiếp có thểchọn được ít nhất 10 số sao cho mỗi số được chọn không bằng trung bình cộngcủa hai số khác nhau cũng được chọn

Bài toán 1.13 Giả sử tổng các số nguyên dương a1, a2, , an bằng 2n trong

đó số nguyên lớn nhất khác n + 1 Chứng minh rằng nếu n là chẵn, thì từ dãy

a1, a2, , an ta có thể chọn một số số hạng có tổng bằng n

Bài toán 1.14 Giả sử rằng các số nguyên dương x1, x2, , xn, y1, y2, , ym

thỏa mãn tổng x1+ x 2 + + x n và y1+ y 2 + + y m bằng nhau và nhỏ hơn

m · n Chứng minh rằng từ phương trình

x1+ x 2 + + x n = y 1 + y 2 + + y m (1.1)

ta có thể loại bỏ một số (nhưng không phải tất cả) số hạng sao cho phươngtrình vẫn đúng

1.5 Bài toán chia hết

Bài toán 1.15 Chứng minh rằng không tồn tại hợp số n > 4 sao cho có mộthoán vị a1, a2, , an của các số 1, 2, , n sao cho các số

Bài toán 1.17 Chứng minh rằng với mỗin > 1tồn tại một hoán vịa1, a2, , an

của các số nguyên 1, 2, , n sao cho aj+1 là ước của tổng a1+ a 2 + · · · + a j vớimọi j = 1, 2, , n − 1

Bài toán 1.18 Giả sử số nguyên n có tính chất sau: Tồn tại một hoán vị củadãy 2n số 1, 1, 2, 2, , n, n sao cho với mỗi k = 1, 2, , n tồn tại đúng k phần

tử giữa hai số k Chứng minh rằng n2+ n chia hết cho 4

Chương 2

Bất đẳng thức và cực trị

Trong chương này trình bày các bài toán về bất đẳng thức của các sốnguyên, cực trị của các biểu thức nguyên và biểu thức phân, đặc biệt là cácbiểu thức chứa trị tuyệt đối trong tập hợp các số nguyên dương

Ngoài các bài toán về cực trị của các biểu thức phân, những nội dung kháctrong chương này được hình thành dựa trên các tài liệu [1], [4] và [5]

2.1 Các bài toán về bất đẳng thức

Trong phần này ta xem xét các bài toán có liên quan tới dãy bất đẳng thức:Như cho hai dãy bất đẳng thức hãy chứng minh rằng luôn tồn tại một đẳngthức hoặc bất đẳng thức giữa hai số hạng tương ứng hoặc tồn tại bao nhiêuhoán vị để các số hạng của dãy thỏa mãn một bất đẳng thức nào đó

Bài toán 2.1 Chox1, x2, , xn và y1, y2, , yn là hai hoán vị một bộ n số saocho x1 < x2 < · · · < x n và x1+ y 1 < x2+ y 2 < · · · < x n + y n Chứng minh rằnghai hoán vị phải trùng nhau, tức là xi = y i với mọi i = 1, 2, , n.

Bài toán 2.2 Giả sử 2n số thực phân biệt x1, y1, x2, y2, , xn, yn thỏa mãn

Bài toán 2.4 Choa1a2, , an và b1, b2, , bn là hai hoán vị các số1,12,13, ,1n

sao cho a1 + b 1 ≥ a 2 + b 2 ≥ · · · ≥ a n + b n Chứng minh rằng bất đẳng thức

ak+ bk ≤ k4 đúng với mọi k = 1, 2, , n.

2.2 Cực trị của các biểu thức nguyên

Bài toán 2.5 Cho các số nguyên dương khác nhau a1, a2, a3, , an với n ≥ 2..Với mỗi số tự nhiện x xét tổng Sx= |x − a 1 | + |x − a 2 | + + |x − a n |

Xác định các giá trị của x sao cho tổng Sx có giá trị nhỏ nhất

Bài toán 2.6 Cho các số nguyên dương a1, a2, a3, , an với n ≥ 2 Với mỗi số

tự nhiện x xét tổng Sx = (x − a 1 )2+ (x − a 2 )2+ + + (x − a n )2 Xác định cácgiá trị của x sao cho tổng Sx có giá trị nhỏ nhất

Bài toán 2.7 Cho n (n ≥ 2) số nguyên dương a1, a2, , an với a1 < a2 < <

an Với mỗi sự thay đổi vị trí củaa1, a2, a3, , an thành dãy b1, b2, , bn xét tổng

Sb = (b 1 − b 2 )2+ (b 2 − b 3 )2+ + (b n − b 1 )2.

a) Xác định một dãy số b1, b2, , bn sao cho tổng Sb có giá trị lớn nhất

b) Xác định một dãy số b1, b2, , bn sao cho tổng Sb có giá trị nhỏ nhất.Bài toán 2.8 Cho số nguyên k>3 Phân tích số k thành tổng k = a 1 + a 2 + + a n với n ≥ 2 và ai ≥ 1, (i = 1, 2, ,n) Xét tổng Pn = a 1 a2+ a 2 a3+ +

ai.ai+1+ + a n−1 an. Xác định một dãy số a1, a2, , an sao cho tổng Pn có giátrị lớn nhất

Bài toán 2.9 Cho số nguyên k > 3 Phân tích số k thành tổng k = a1+ a2+ + a n với n ≥ 2 và ai ≥ 2, (i=1,2, ,n) Xét tích Tn = a 1 a2 an

a) Xác định một dãy số a1, a2, , an sao cho tích Tn có giá trị nhỏ nhất.b) Xác định một dãy số a1, a2, , an sao cho tích Tn có giá trị lớm nhất.Bài toán 2.10 Cho hợp số k Phân tích số k thành tích k = a 1 a2 an với

n ≥ 2 và ai≥ 2, (i=1,2, ,n) Xét tổng Sn = a 1 + a 2 + + a n

a) Xác định dãy số a1, a2, , an sao cho tổng Sn có giá trị nhỏ nhất

b) Xác định dãy số a1, a2, , an sao cho tổng Sn có giá trị lớn nhất

Bài toán 2.11 Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của tổng

S = |x 2 − x 1 | + |x 3 − x 2 | + · · · + |x n − x n−1 | + |x 1 − x n |,

trong đó x1, x2, , xn là một hoán vị tùy ý các số nguyên 1, 2, , n

2.3 Cực trị các biểu thức phân

Trong mục này xét hai bài toán cực trị nguyên của phân thức hữu tỷ bậcnhất trên bậc nhất chứa trị tuyệt đối và bậc hai trên bậc hai chứa bình phươngcủa các nhị thức Các bài toán này là do người hướng dẫn khoa học của tácgiả luận văn đề xuất và lần đầu tiên được đề cập

Bài toán 2.12 Tìm số nguyên dương x làm cực trị biểu thức

Vìn ∈N, n ≥ 2, nên rõ ràng là An(x) > 1. Từ đây tìm được

x = (3n + 1)An(x) − (n + 1)

2(A n (x) − 1) .

Vìx ≥ 2n nên ta có bất đẳng thức

(3n + 1)A n (x) − (n + 1) 2(A n (x) − 1) ≥ 2n.

n − 1 = 3 +

2

n − 1 ⇔ x = 2n.

2 Vớix = k, k = 1, 2, , n. Trong trường hợp này ta có

Vì x = k là số nguyên dương lớn hơn 1, nên chúng ta cần phải đánh giá số

K(n) đối với các số nguyên gần nó nhất

Giả sử p là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện n ≥ p + 1. Xét hệ bấtphương trình

Vìn ≥ p + 1, nên 3n − 1 − 2p ≥ 0, nên hệ cuối cùng tương đương với

M1 < N2 ⇔ 3 −p20p 2 + 20p + 1 < −3 +p20p 2 − 20p + 1

⇔ 6 <p20p 2 + 20p + 1 +p20p 2 − 20p + 1

⇔ 36 < 40p2+ 2 + 2p(20p 2 + 20p + 1)(20p 2 − 20p + 1). (2.11)Bất đẳng thức (2.11) đúng với mọi p ≥ 1. Do đó nghiệm n của hệ bất phươngtrình (2.10) được xác định bởi bất đẳng thức kép

Chúng ta có kết quả sau đây

Mệnh đề 2.1 Giả sử các số nguyên dương n và p thỏa mãn bất đẳng thứckép (2.12) Khi đó trên đoạn [1, n] hàm An(x) sẽ đạt giá trị nhỏ nhất tại x = p

hoặc p + 1 và giá trị lớn nhất tại x = n.

3 Vớix = n + k, k = 1, 2, , n. Trong trường hợp này ta có

An(n + k) = |n + k − 1| + |n + k − 2| + + |n + k − n|

|n + k − n − 1| + |n + k − n − 2| + + |n + k − 2n|

= n(n − 1) + 2nk

Xét các giá trị của An(n + k) tại n+1 và 2n Ta có

An(n + 1) = n+ 1

n − 1, An(2n) =

3n − 1

n − 1. (2.14)Đạo hàm theo k của An(n + k) :

Từ đây ta có

1 ≤ k ≤ −(n − 1) +

√ 5n 2 − 1

√ 5n 2 − 1 ≥ 2q − n + 1

√ 5n 2 − 1 ≤ 2q − n + 3.

Vì2q + 1 ≥ n, nên hệ cuối cùng tương đương với

x = q hoặc x = q + 1 và giá trị nhỏ nhất tại x = n + 1.

• Từ các mệnh đề 2.1 và 2.2 chúng ta có kết quả sau đây

Định lý 2.1 Giả sử các số nguyên n, p, q lớn hơn 1 thỏa mãn các bất thức(2.12) và (2.20) Khi đó

min [1, 2n]A n (x) = min{A n (p), A n (p + 1)}, (2.21)

max [1, 2n]A n (x) = max{A n (q), A n (q + 1)}. (2.22)Như vậy trong trường hợp này với mọi n>1 ta chỉ cần tính An(x) tại cácgiá trị x ∈ {p, p + 1, q, q + 1}.