De Thi HSG Giai toan tren may tinh ca nhan

[r]

1

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ YÊN BÁI

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ

Năm học 2010 – 2011 Môn thi: GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY Đối tượng dự thi: Học sinh lớp 9 bậc THCS

Thời gian làm bài 150 phút, không kể giao đề

PHÁCH ĐÍNH KÈM ĐỀ THI CHÍNH THỨC

PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH Thí sinh điền đầy đủ các thông tin sau:

Số báo danh: ……….

Họ và tên: ……….……… Ngày tháng năm sinh: ………., Nam (nữ): ………… Nơi sinh: ……… Học sinh lớp 9 … Trường THCS ……… …………

PHẦN DÀNH CHO BAN COI THI Người coi thi thứ nhất

Chữ ký:

Họ tên:………

Người coi thi thứ hai

Chữ ký:

Họ tên:………

Số phách

(Do LĐ ban chấm thi ghi)

Thí sinh chú ý:

- Đọc kỹ các yêu cầu, ghi đầy đủ các thông tin trước khi làm bài và làm trực tiếp vào bản đề thi có phách đính kèm này

- Đề thi gồm có 07trang cả phách, khi viết hỏng không có từng trang thay thế

- Được sử dụng máy tính cầm tay CASIO fx 500 MS, 570 MS, 500 ES, 570 ES

và các máy tính có tính năng tương đương hiệu VINACAL Không mượn, hay đổi

máy tính của nhau trong khi làm bài

- Không viết bằng mực đỏ hay bút chì, không viết bằng hai màu mực khác nhau Phần viết hỏng chỉ dùng thước kẻ để gạch bỏ, không dùng bút xoá trắng Trái với những qui định này, bài thi sẽ bị loại

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ YÊN BÁI

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ

Năm học 2010 – 2011 Môn thi: GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY Đối tượng dự thi: Học sinh lớp 9 bậc THCS

(Thời gian làm bài 150 phút, không kể giao đề) Ngày thi: Ngày … tháng 11 năm 2010

GK1:

Bằng số: Bằng chữ:

GK2:

Số phách

(Do LĐ ban chấm thi ghi)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thí sinh bắt đầu làm bài từ đây và ghi rõ loại máy tính sử dụng: CASIO fx …….……

Nếu không nói gì thêm, hãy lấy tất cả những số hiện trong kết quả của màn hình Câu 1: ( 6 điểm) Tính giá trị của mỗi biểu thức rồi ghi kết quả vào ô vuông: a) 3 3 3 3 3 3 2001 2003 2005 2007 2009 2011 A= + + + + + (Không dùng luỹ thừa) b) 1 : 1 2 1 1 1 x x x x B x x x x x x  − +   +  = +   −  − − + +     với x = 169,78 và x = 123,45 c / C = 2 0 3 0 2 0 3 0 3 0 3 0 2 cos 55 sin 70 10cotg 50 cotg 65 3 cos 48 cotg 70 − (Riêng câu c lấy chính xác đến 5 chữ số ở phần thập phân) A = ………

x = 169,78 => B≈

x = 123,45 => B ≈

C≈ ………

3

Cõu 2: ( 3 điểm)

Tỡm nghiệm của phương trỡnh viết dưới dạng phõn số::

4

3

7

8

x

Cõu 3: (6 điểm)

Cho: x1003 + y1003 =6,102010 và x2006 + y2006 =11,112010 Hãy tính gần đúng giá trị biểu thức: M = 3009 3009

Túm tắt lời giải:

Đỏp số: M ≈

Cõu 4: ( 6 điểm)

Cho đa thức g x( )=8x3−18x2 + +x 6 a/ Tỡm cỏc nghiệm của đa thức ( )g x

x =

b/ Tìm các hệ số , ,a b c của đa thức f x( )= +x3 ax2 +bx+c, biết rằng khi chia

đa thức ( )f x cho đa thức ( ) g x thì được đa thức dư là r x( )=8x2 +4x+5 c/ Tính chính xác giá trị của (2008)f

Ghi kết quả tính được vào ô vuông dưới đây:

Câu 5: (5 điểm)

Cho đa thức P(x) = ax5 + 216x4 + bx3 + 88267x2 + cx + 10395 Biết rằng P(x)

có 2 nghiệm là 3

7

− và 5

6

− , số dư khi chia P(x) cho x + 2 là –1155

a) Tìm các hệ số a, b, c của đa thức P(x)

b) Tính giá trị của đa thức P(x) khi x = 13,32008 (làm tròn đến 2 chữ số thập phân)

c) Giải phương trình P(x) = 0 d) Phân tích đa thức P(x) thành nhân tử Điền các kết quả tìm được vào ô vuông dưới đây:

Câu 6: ( 4 điểm)

Bố bạn Thắng tặng cho bạn ấy một máy vi tính trị giá 5.000.000,00 đồng bằng cách hàng tháng cho bạn tiền với phương thức sau: Tháng đầu tiên bạn Thắng nhận được 100.000,00 đồng, các tháng từ tháng thứ hai trở đi, mỗi tháng nhận được số tiền hơn tháng trước 20.000,00 đồng

a) Nếu chọn cách gửi tiết kiệm số tiền nhận được hàng tháng với lãi suất 0,6%/tháng, thì bạn Thắng phải gửi bao nhiêu tháng mới đủ tiền mua máy vi tính?

a) Các nghiệm của đa thức g x( ) là:

x1 = ……… ; x2 = ……… ; x3 = ……… …

b) Các hệ số của đa thức f x( ): a = ……… ; b = ……… ; c = ………

c) f(2008) = ………

a) a = ; b = ; c =

b) P(13,32008) =

c) x ∈ { }

d) P(x) = ………

Số tháng cần gửi:

5

b) Nếu bạn Thắng muốn có ngay máy tính bằng cách chọn phương thức mua trả góp hàng tháng bằng số tiền bố cho với lãi suất 0,7%/tháng, thì bạn Thắng phải trả góp bao nhiêu tháng mới hết nợ ?

Câu 7: (4 điểm)

Cho hình thang ABCD (AB//CD) có AH ⊥ CD (H ∈ CD), AB = 3,22649 cm ,

CD = 12,11201 cm, độ lớn 2 góc C và D thứ tự là 25030’ và 43025’ Tính độ dài các

đoạn thẳng AH, AD, BC và diện tích S của hình thang ABCD (Lấy chính xác đến 4 chữ số ở phần thập phân)

AH ≈ ………

AD ≈ ………

BC ≈ ………

SABCD≈ ………

D C 12,11201 Cm 25°30' 43°25' H B A Câu 8: (6 điểm) 1/ Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Chúng minh rằng tổng của bình phương cạnh thứ nhất và bình phương cạnh thứ hai bằng hai lần bình phương trung tuyến thuộc cạnh thứ ba cộng với nửa bình phương cạnh thứ ba Chứng minh: 2/ Bài toán áp dụng : Tam giác ABC có cạnh AC = b = 3,85 cm ; AB = c = 3,25 cm và đường cao AH = h = 2,75cm a/ Tính các góc A, B, C và cạnh BC của tam giác

Số tháng cần trả góp:

A

H M

b/ Tớnh độ dài của trung tuyến AM (M thuộc BC) c/ Tớnh diện tớch tam giỏc AHM

(Gúc tớnh đến phỳt ; độ dài và diện tớch lấy kết quả với 2 chữ số phần thập phõn)

Điền kết quả vào ụ vuụng dưới đõy:

Cõu 9: (5 điểm)

Cho dãy số ( u n) đ-ợc xác định nh- sau:

1 11

2

u = ; 2 21

3

u = ; un+2 = 3 un+1 − 2 unvới mọi *

n∈N a/ Viết qui trỡnh ấn phớm liờn tục để tớnh Un+2 theo Un+1 và Un

b/ Dựng qui trỡnh đú tớnh U21 , U22 , U23 , U24 , U25 , U26 rồi điền kết quả vào ụ vuụng

Cõu 10: (5 điểm) Cho dóy số với số hạng tổng quỏt được cho bởi cụng thức :

n

13+ 3 - 13- 3

U =

2 3 với n = 1, 2, 3, ……, k, …

a/ Tớnh U1, U2, U3, U4, U5, U6, U7, U8 rồi ghi kết quả vào ụ vuụng dưới đõy:

7

b/ Lập công thức truy hồi tính Un+2theo Un+1 và Un

Un+2= c/ Viết quy trình ấn phím liên tục tính Un+2theo Un+1 và Un

- Hết -

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ YÊN BÁI

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ

Năm học 2010 – 2011 Môn thi: GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY Đối tượng dự thi: Học sinh lớp 9 bậc THCS

(Thời gian làm bài 150 phút, không kể giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1: ( 6 điểm) Tính giá trị của mỗi biểu thức rồi ghi kết quả vào ô vuông:

a/ A=20013 +20033 +20053 +20073 +20093 +20113 (Không dùng luỹ thừa)

c/ C =

2 cos 55 sin 70 10cotg 50 cotg 65 3

cos 48 cotg 70

−

(Lấy chính xác đến 5 chữ số ở phần thập phân)

Câu 2: ( 3 điểm)

Tìm nghiệm của phương trình viết dưới dạng phân số::

4

3

7

8

x

A = 48433718556 Cho 2 điểm

x = 169,78 => B≈ −2833,646608 Cho 1 điểm

x = 123,45 => B ≈ - 1841,479224 Cho 1 điểm

70847109 1389159

64004388 1254988

C≈ -36,82284 Cho 2 điểm

9

Cõu 3: (6 điểm)

Cho: x1003 + y1003 =6,102010 và x2006 +y2006 =11,112010 Hãy tính gần đúng giá trị biểu thức: M = 3009 3009

Đặt a = x1003 -> x2006 = a2 và x3009 = a3

b = y1003 -> y2006 = b2 và y3009 = b3 => a +b = 6,102010 và a2 + b2 = 11,112010

Ta có a3+b3 = (a+b)( a2 + b2 – ab )

a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab -> ( )2 ( 2 2)

2

Từ đó tính đ-ợcM = 3009 3009

x + y = a3+b3 ≈ - 11,89433091

2,0 điểm

2,0 điểm 2,0 điểm

Cõu 4: ( 6 điểm)

Cho đa thức g x( )=8x3−18x2 + +x 6 a/ Tỡm cỏc nghiệm của đa thức ( )g x

b/ Tỡm cỏc hệ số , ,a b c của đa thức bậc ba f x( )= +x3 ax2 +bx+c, biết rằng khi chia đa thức ( )f x cho đa thức ( ) g x thỡ được đa thức dư là r x( )=8x2 +4x+5

c/ Tớnh chớnh xỏc giỏ trị của (2008)f

a/ 1 1

2

x = − ; x2 =2 ; 3 3

4

b/ Theo giả thiết ta cú: f x( )=q g x ( ) 8+ x2 +4x+5, suy ra:

 − = − = 



 Giải hệ phương trỡnh ta được: 23; 33; 23

a= b= c=

1,0 điểm

1, 0 điểm

1,0 điểm

Câu 5: (5 điểm)

Cho đa thức P(x) = ax5 + 216x4 + bx3 + 88267x2 + cx + 10395 Biết rằng P(x)

có 2 nghiệm là 3

7

− và 5

6

− , số dư khi chia P(x) cho x + 2 là –1155

a) Tìm các hệ số a, b, c

b) Tính giá trị của đa thức P(x) khi x = 13,32008 (làm tròn đến 2 chữ số thập phân)

c) Giải phương trình P(x) = 0 d) Phân tích đa thức P(x) thành nhân tử

a = 2 520; b = 65 831; c = 51 609 2,0 điểm

; ; ; ;

1,0 điểm

P(x) = (3x + 11)(4x + 9)(5x + 7)(6x + 5)(7x + 3) 1,0 điểm

Câu 6: ( 4 điểm)

Bố bạn Thắng tặng cho bạn ấy một máy vi tính trị giá 5.000.000 đồng bằng cách hàng tháng cho bạn tiền với phương thức sau: Tháng đầu tiên bạn Thắng nhận được 100.000 đồng, các tháng từ tháng thứ hai trở đi, mỗi tháng nhận được số tiền hơn tháng trước 20.000 đồng

a/ Nếu chọn cách gửi tiết kiệm số tiền nhận được hàng tháng với lãi suất 0,6%/tháng, thì bạn Thắng phải gửi bao nhiêu tháng mới đủ tiền mua máy vi tính?

Giải:

Nhập: 100000 SHIFT STO A (A: số tiền góp được ở tháng thứ D)

100000 SHIFT STO B (B: số tiền góp hàng tháng)

1 SHIFT STO D (D: biến đếm) Viết lên màn hình: D = D + 1 : B = B + 20000 : A = A × 1,006 + B Bấm “=” liên tiếp cho đến khi A vượt quá 5.000.000 thì D là số tháng phải gửi tiết kiệm

b/ Nếu bạn Thắng muốn có ngay máy tính bằng cách chọn phương thức mua trả góp hàng tháng bằng số tiền bố cho với lãi suất 0,7%/tháng, thì bạn Thắng phải trả góp bao nhiêu tháng mới hết nợ?

Số tháng cần gửi:: 18 tháng Cho 2 điểm

Số tháng cần trả góp: 20 tháng Cho 2 điểm

11

Giải:

Tháng thứ nhất, sau khi góp còn nợ: 4.900.000 đồng Nhập: 4900000 STO A

100000 STO B

1 STO D Tháng sau góp: B = B + 20.000 còn nợ: A = A.1,007 – B Viết lên màn hình:

D D + 1 : B = B + 20000 : A = A × 1,007 – B Bấm “=” liên tiếp khi D = 19 (ứng với tháng thứ 19 phải trả góp xong còn nợ: 84.798)

Bấm tiếp “=” thì D = 20 ⇔ A âm

Như vậy: chỉ cần góp trong 20 tháng thì hết nợ Tháng cuối chỉ cần góp:

84798×1,007 = 85392 (đồng)

Câu 7: ( 4 điểm)

Cho hình thang ABCD (AB//CD) có AH ⊥ CD (H ∈ CD), AB = 3,22649 cm ,

CD = 12,11201 cm, độ lớn 2 góc C và D thứ tự là 25030’ và 43025’ Tính độ dài các

đoạn thẳng AH, AD, BC và diện tích S của hình thang ABCD (Lấy chính xác đến 4 chữ số ở phần thập phân)

Mỗi ý đúng cho 1 điểm

AH ≈ 2,8178 cm (2,817760426)

AD ≈ 4,0998 cm (4,099760232)

BC ≈ 6,5452 cm (6,545151675)

SABCD≈ 21,6101 cm2 (21,61010915)

12,11201 Cm

25°30' 43°25'

H

B A

Gợi ý cách làm: Kẻ AK //BC => CK = AB = 3,22649 => DK= CD – AB từ đó

ta qui về tính độ dài AH trong ∆ADK biết cạnh DK và 2 góc kề cạnh ấy theo

cot 43 25' cot 25 30'

AH

−

=

+ sau đó ghi kết quả và ra gửi vào ô nhớ A để tính tiếp AD, BC và diện tích S

Câu 8: (6 điểm)

1/ Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Chúng minh rằng tổng của bình phương cạnh thứ nhất và bình phương cạnh thứ hai bằng hai lần bình phương trung tuyến thuộc cạnh thứ ba cộng với nửa bình phương cạnh thứ ba

HD

Chứng minh (2 điểm) :

2

2

2

c = -HM +AH 2

2

b +c = +2 HM +AH

2

a

a

b +c =2m

2

2/ Bài toán áp dụng : Tam giác ABC có cạnh AC = b = 3,85 cm ; AB = c = 3,25 cm

và đường cao AH = h = 2,75cm

a/ Tính các góc A, B, C và cạnh BC của tam giác

b/ Tính độ dài của trung tuyến AM (M thuộc BC) c/ Tính diện tích tam giác AHM

(góc tính đến phút ; độ dài và diện tích lấy kết quả với 2 chữ số phần thập phân.)

Tính toán (4 điểm)

!

!

Lời giải chi tiết

1/ Giả sử BC = a, AC = b, AB = c, AM = ma.Ta phải chứng minh:b2 + c2 = 2

a

m +

2

2

a

Kẻ thêm đường cao AH (H thuộc BC), ta có:

AC2 = HC2 + AH2 ⇒ b2 =

2

2

a HM

2

AB2 = BH2 + AH2 ⇒ c2 =

2

2

a HM

2

A

H M

ma

A

13

Vậy b2 +c2 =

2

a

+ 2(HM2 + AH2) Nhưng HM2 + AH2 = AM2 = 2

a

m Do đú b2 + c2 =

2 2

a

m +

2

2

a

(đpcm) 2/

a) sin B = h

c = 2, 75

3, 25 ⇒ !B = 57o47’44,78”

b) sin C = h

b = 2, 75

3,85 ⇒ C! = 45o35’4,89”; !A = 180o – (!B+C! )⇒ !A= 76o37’10,33”

BH = c.cos B; CH = b.cos C ⇒ BC = BH + CH = c.cos B + b.cos C

⇒ BC = 3,25 cos 57o48’ + 3,85 cos 45o35’ = 4,426351796 ≈ 4,43cm b) AM2 =

4

b +c −BC ⇒

AM2 = 1 2 2 2

2 a +b −BC = 2,791836751 2,79cm c) SAHM =1

2AH(BM – BH) =1

2.2,75 14, 43 3.25 cos 57 48 '

2

o

2

Cõu 9: (5 điểm)

Cho dãy số ( u n) đ-ợc xác định nh- sau:

1 11

2

u = ; 2 21

3

u = ; u n+2 = 3u n+1− 2u nvới mọi *

n∈N a/ Viết qui trỡnh ấn phớm liờn tục để tớnh Un+2 theo Un+1 và Un

Nhập: 1 a b

c 1 a b c 2 SHIFT STO A 2 a b c 1 a b c 3 SHIFT STO B

3 ALPHA B - 2 ALPHA A SHIFT STO A

3 ALPHA A - 2 ALPHA B SHIFT STO B ▲ SHIFT ▲ sau đú ấn liờn tiếp dấu = để tớnh cỏc số hạng của dóy

Qui trỡnh viết đỳng cho 2 điểm

b/ Dựng qui trỡnh đú tớnh U21 , U22 , U23 , U24 , U25 , U26 rồi điền kết quả vào ụ vuụng

U21= 873814 U22= 17476271

3

U23= 3495254

U24= 69905071

3

U25=13981014 U26= 279620271

3

Mỗi giỏ trị tớnh đỳng cho 0,5 điểm (Tổng bằng 3 điểm)

Câu 10: (5 điểm) Cho dãy số với số hạng tổng quát được cho bởi công thức :

n

13+ 3 - 13- 3

U =

2 3 với n = 1, 2, 3, ……, k, …

a/ Tính U1, U2,U3,U4,U5,U6,U7,U8

U1 = 1 ; U2 = 26 ; U3 = 510 ; U4 = 8944 ; U5 = 147884

U6 = 2360280 ; U7 = 36818536 ; U8 = 565475456 1 điểm b/ Lập công thức truy hồi tính Un+2theo Un+1 và Un

Công thức : U n+2 = 26U n+1 – 166U n 2 điểm

c/ Lập quy trình ấn phím liên tục tính Un+2theo Un+1 và Un

26 SHIFT STO A x 26 - 166 x 1 SHIFT STO B Lặp lại dãy phím

x 26 - 166 x ALPHA A SHIFT STO A

x 26 - 166 x ALPHA B SHIFT STO B ▲ SHIFT ▲ sau đó ấn phím = liên tiếp để tính các số hạng của dãy

2 điểm

- Hết - Bài thi chấm theo thang điểm 50, điểm toàn bài là điểm từng phần cộng lại không làm tròn số

Giám khảo chấm điểm trực tiếp bằng mực đỏ vào bên lề của bài thi

Trong quá trình chấm, giám khảo cần căn cứ phần trình bày cụ thể của học sinh

để có cách cho điểm sát hơn, những giá trị nguyên hoặc những số đã yêu cầu làm tròn phải luôn đúng mới cho điểm, những số thập phân chép đầy đủ trên màn hình chỉ cho phép sai không quá 1 ở chữ số tận cùng

Chú ý: Một số loại máy tính mới có độ chính xác cao hơn nên dải số hiển thị

trong kết quả nhiều hơn máy fx 500 MS, vì vậy cần chú ý loại máy h/s sử dụng đã ghi

ở phần đầu