Tia phân giác của góc AMB cắt AB ở C.. Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt các đường thẳng AM và BM lần lượt tại D và H.. a Chứng minh hai đường thẳng AH và BD cắt nhau tại điểm N
Trang 1PHÒNG GD&ĐT NGHI LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2010 - 2011 - MÔN TOÁN 9 Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (4,5 điểm)
a) Tìm n N để A là số nguyên tố biết A = n3 - n2 - n - 2 b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên m, n thì mn(m2 – n2) 6
Bài 2: (3,0 điểm) Cho biểu thức P =
a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị của x để P = 43
Bài 3: (4,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình :
x y x
x y x
2 3 2
3
4 2
3 2
3
b) Giải phương trình: 3 x 2 x 1 3
Bài 4: (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
F =
1 3
6 18 1 2
2 8
x
x x
x
Bài 5: (6,5 điểm)
< MB Tia phân giác của góc AMB cắt AB ở C Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt các đường thẳng AM và BM lần lượt tại D và H.
a) Chứng minh hai đường thẳng AH và BD cắt nhau tại điểm N nằm trên đường tròn (O).
b) Chứng minh CA = CH.
c) Gọi E là hình chiếu của H trên tiếp tuyến tại A của đường tròn (O), F là hình chiếu của D trên tiếp tuyến tại B của đường tròn (O)
Chứng minh 3 điểm E; M; F thẳng hàng.
d) Gọi S1; S2là diện tích các tứ giác ACHE và BCDF Chứng minh CM <
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM TOÁN 9
KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2010-2011
Trang 2Bµi 1: (4,5 ®iÓm)
C©u a) (2,0 ®)
Ph©n tÝch A = n3 - 2n2 + n2 - 2n + n - 2
= (n - 2) (n2 + n + 1)
Do n - 2 < n2 + n + 1 n N
VËy A lµ sè nguyªn tè
tè n nguy sè lµ 1 n n 1 2 n
2
13 1 3 3 A 3 n
2
lµ sè nguyªn tè VËy víi n = 3 th× A lµ sè nguyªn tè
0,75®
0,25®
0,5®
0,5®
Câu b) (2,5 đ)
0.5 đ
Vì m(m-1) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên 2 m(m – 1)(m + 1) 2
0,5 đ
m(m – 1)(m + 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3
mà (2;3)=1 Do đó m(m – 1)(m+1) 6 nm(m – 1)(m + 1)6 (1) 0,5 đ
Tương tự n(n – 1)(n + 1) 6 mn(n – 1)(n +1)6 (2) 0,5 đ
Từ (1)(2) mn m ( 2 n2) 6 với mọi số nguyên m, n 0,5 đ
Bài 2: (3,0 điểm) ĐKXĐ của biểu thức P là: x › 0và x
9
1
0,25
2
2 3 1
0,5
P =
3 10 3
2 3 1
0,5
P =
2
3
x
x
0,75
b) P = 3 3
x x
= 3 x 2 4 x 3 0,5
324
x TMĐK 0,5
Bài 3: (4,0 điểm)
a) (2,0 điểm)Với điều kiện
2
3
2
3
y 0,25đ Trừ vế theo vế ta được phương trình 3 2y 2 ⇔3 – 2y = 4 ⇔ y =
2
1
(t/mãn) 0,5đ Cộng hai phương trình của hệ đã cho ta được phương trình
3 2x = x+2 0,25đ
Trang 3⇔ 3+2x = (x +2)2
⇔ … ⇔ x2 +2x +1 = 0 0,5đ
⇔ (x+1)2 = 0 ⇔ x =-1(thỏa mãn) 0,25đ Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x; y) = (-1 ;
2
1
) 0,25đ b)
(2,0®)
Gi¶i ph¬ng tr×nh
a 3 x 2 x 1 3 dK x: 1
§Æt 3 x 2 u, x 1 v (v 0)
=>u3 = x - 2, v2 = x+1
=> v2 - u3 = (x + 1) - (x - 2) = 3
=> v2 - u3 = 3(1)
u + v = 3 (2) Rót v = 3 - u tõ (2) thay vµo (1)
=> (3 - u)2 - u3 = 3
9 - 6u + u2 - u3 = 3
=> u3 - u2 + 6u - 6 = 0
=> u2 (u - 1) + 6 (u - 1) = 0
=> (u - 1) (u2 + 6) = 0
u - 1 = 0 do u2 + 6 > 0 u
=> u = 1; v = 2
Thay 3 x 2 u 3 x 2 1
x - 2 = 1
x = 3 (TM§K) VËy pt cã 1 nghiÖm x = 3;
0,25® 0,25® 0,25® 0,25®
0,25®
0,25® 0,25®
0,25®
Bài 4: (2,0 điểm)
Đk : x 0, 0,25đ
Ta có: F- 5= (
1 2
2 8
x
x
- 2) +(
1 3
6 18
x
x
- 3) 0,75đ =
1 2
) 1 (
x
x
+
1 3
) 1 (
x
x
0,5đ
Lí luận đi đến F – 5 0 để kết luận Fmax= 5 tại x=1 0,5đ
Trang 4Câu 5: 6,5 đ
a)Do M(O) A MˆB 90osuy ra H là trực tâm AMB (0,75 đ)
d) Hình chữ nhật ACHE có CA = CH nên ACHE là hình vuông
Tam giác ANB vuông ở N có góc NAB = 450 N Bˆ A 45 0suy ra BCDF là hình vuông
0,5 đ
Suy ra tam giác ECF vuông ở C
S1=1/2 CE2; S2= ½ CF2
0,25 đ
2 2 2
2 2
2
1 2
1 2
1
1 2 1 1
1
CB CA CF
CE CF
CE
1 2
1 2
1 2
S S S
2 2
1 2
1 1
S S CM S
S
CM ( vì MA < MB nên dấu "=" không xảy ra) 0,25 đ
Lu ý: ( Chö trªn h×nh viÕt tay)
A
O
Do đó AN BD 0
90
ˆB
N
A vậy N(O) 0,75đ b) MC là phân giác của tam giác AMB nên ta có:
MB
MA CB
CA
0,75 đ Mặt khác BCH BMA nên ta có:
CB
CH MB
MA MB
BC MA
CH
0,75 đ vậy
CB
CH CB
CA
CA =CH 0,5 đ
2
1 2
1
AH 0,75 đ
2
1 2
1
E; M; F thẳng hàng 0,75