Gọi O là giao điểm của AC với BD và I là giao điểm của AD với BC.Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.[r]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS QUẬN NGŨ HÀNH SƠN NĂM HỌC 2008-2009
MÔN THI: TOÁN - LỚP 8
Thời gian: 150 phút (không tính thời gian giao đề)
Bài 1: (1,5 điểm)
a) Cho x > y > 0 hãy so sánh A = x x y y và B = 2 2
2 2
y x
y x
b) Cho a + b = 1
Tính giá trị của biểu thức C = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2 )
Bài 2: (2,0 điểm) Giải các phương trình sau:
a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12
b)
2003
6 2004
5 2005
4 2006
3 2007
2 2008
x
Bài 3: (1,5 điểm)
Cho biểu thức : D = : 10 2525
2
2
2
2 3 2
x
x x
x y
y y
a) Rút gọn biểu thức D
b) Tính giá trị của biểu thức D với các giá trị của x và y thỏa mãn đẳng thức
x2 + x 2 + 4y2 – 4xy = 0
Bài 4: (2,0 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của M = (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)
b) Cho a,b,c,d > 0 Chứng tỏ rằng giá trị của
N = a a b c b c b d c d c a d d a b
Bài 5: (3,0 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB //CD) Gọi O là giao điểm của AC với BD và I là giao điểm của AD với BC.Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD a) Chứng minh : OC OA OB OD IC IA ID IB
b) Chứng tỏ rằng : I; M; O; N thẳng hàng
c) Giả sử 3AB = CD và diện tích hình thang ABCD bằng a Hãy tính diện tích
tứ giác IAOB theo a
HẾT
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS QUẬN NGŨ HÀNH SƠN NĂM HỌC 2008-2009
Trang 2MÔN THI: TOÁN LỚP 8 ĐÁP ÁN - BIỂU ĐIỂM
Bài 1 ( 1,5 đ)
A = x x y y = ( ) 2
) )(
(
y x
y x y x
2 2
2xy x y
y
x
< 2 2
2 2
y x
y x
Vậy A < B
b) C = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2) = 2( a+b)(a2 – ab + b2) - 3(a2 + b2 ) 0,2đ
Bài 2: ( 2,0 đ)
a) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x 0,1đ
* x2 + x = - 6 vô nghiệm vì x2 + x +6 > 0 với mọi x 0,2đ
* x2 + x = 2 x2 + x -2 = 0 x2 +2x -x -2 = 0 0,2đ
x(x + 2) – (x + 2) = 0 (x + 2)(x - 1) = 0 x = -2; x = 1 0,1đ
b) 2008x12007x22006x3 2005x42004x52003x6
) 1 2003
6 ( ) 1 2004
5 ( ) 1 2005
4 ( ) 1 2006
3 ( ) 1 2007
2 (
)
1
2008
1
(x x x x x x
0,2đ
2003
2009 2004
2009 2005
2009 2006
2009 2007
2009 2008
2003
2009 2004
2009 2005
2009 2006
2009 2007
22009 2008
2009
2003
1 2004
1 2005
1 2006
1 2007
1 2008
1 )(
2009
Vì 20081 20051 ; 20071 20041 ; 20061 20031
2003
1 2004
1 2005
1 2006
1 2007
1 2008
1
Trang 3Bài 3: ( 1,5 đ)
a) Rút gọn D =
25
25 10
: 2
2
2
2 3 2
x
x x
x y
y y
(y 2; x 0, x 5 ) 0,2đ
=
) 5 )(
5 (
) 25 10 (
: 2
2
2
x x
x x x y
y
y
y
=
) 5 )(
5 (
) 5 ( : 2
) 1 ( 2 ) 1
x x
x x y
y y
y
0,2đ
) 5 )(
5 ( 2
) 2 )(
1 (
x x
x x y
y y
0,1đ
= ( 2 )( 5 ) 2
) 5 )(
5 )(
2 )(
1
(
x y
x
x x y
y
=(y x(x1)(x5)5) 0,2đ
b) Vì x2 + x 2 + 4y2 – 4xy = 0
x2 – 4xy +4y2 + x 2 = 0 (x -2y)2 + x 2 = 0 0,2đ
(x -2y)2 = 0 và x 2 = 0
vì (x -2y)2 0 với mọi x; y và x 2 0 với mọi x 0,2đ
x -2y = 0 và x 2 = 0 x = 2y và x -2 = 0 x = 2 và y = 1 0,2đ
) 5 (
) 5 )(
1
(
x
x
x
y
3
7 3
7 )
5 2 ( 2
) 5 2 )(
1 1 (
0,2đ
Bài 4: ( 2,0 đ)
a)M = ( x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x2 + 5x + 6)( x2 + 5x - 6) 0,2đ
= (x2 + 5x)2 – 36 - 36 vì (x2 + 5x)2 0 với mọi x 0,2đ
b)Ta có a a b c a b a c d
c d c a a b c c d
Suy ra N =
b a d
d a d c
c d c b
b c b a
a
1
d c b a d c b a
d d
c b a
c d
c b a
b d
c b
a
a
0,2đ
Ta có: a a b c a a c c d c a a c c
N =a b a c b c b d c d c a d d a b
d
b
d
b
c
a
c
a
0,2đ
Do đó 1 < N < 2 Suy ra giá trị của N không phải là số nguyên 0,2đ Bài 5: ( 3,0đ)
Trang 4a) OAB ∾OCD
0,2đ
OD OC
OB OA CD
AB OD
OB
OC
OA
ID IA IC IB CD AB IC IAID IB 0,2đ
Suy ra :
OD OC
OB OA
ID IC
IB IA
0,2đ
OAM ∾OCN(c-g-c) 0,1đ
= 0,1đ
M;O;N thẳng hàng 0,1đ
DN
AM IC
IA
CD
AB
ID
IA
IAM ∾IDN ( c-g-c) 0,1đ
0,1đ I;M;N thẳng hàng 0,1đ
Vậy I;M;O;N thẳng hàng
c) 31
CD
AB
OD
OB
AOD
AOB
S
S
=31
AOB AOD
AOB
S S
S
3 1
1
ABD
AOB
S
S
= 14 S AOB S ABD
4
1
3
1
CD
AB
S
S
BDC
ABD
1 3
1
ABD
BDC
ABD
S S
S
4
1
ABCD
ABD
S
S
SABD = 4
1
SABCD 0,2đ
S AOB S ABD
16
1
9
1
ICD
IAB
S
S
1 9
1
IAB
ICD
IAB
S S
S
8
1
ABCD
IAB
S
S
SIAB 8
1
SIAOC = SIAB + SAOB = 81 SABCD + 161 SABCD= 163 SABCD = 163 a 0,2đ
Chú ý:
-Học sinh có bài giải cách khác nếu làm đúng vẫn cho điểm tối đa.
-Trong quá trình chấm các nhóm thống nhất chia nhỏ điểm đến 0,1đ.
AOM CON
AMI = DNI
O
C N
M
I
D