Điều khiển con lắc ngược sử dụng lý thuyết mờ và đại số gia tử

Bố cục của luận văn được chia làm 3 chương: Chương 1: Trình bày các vấn đề cơ bản tối thiểu về lý thuyết mờ như: khái niêm tập mờ, các phép toán trên tập mờ, biến ngôn ngữ, luật hợp thà

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN & TRUYỀN THÔNG

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn Điều khiển con lắc ngược sử dụng lý thuyết

mờ và Đại số gia tử là công trình nghiên cứu của riêng tôi được hoàn thành dưới sự chỉ bảo tận tình của thầy hướng dẫn: TS Vũ Như Lân

Các kết quả nghiên cứu trong luận văn là trung thực Mọi thông tin trích dẫn trong luận văn đều chỉ rõ nguồn gốc

Bắc Ninh, ngày tháng năm 2020 Người thực hiện luận văn

Nguyễn Thị Yến

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo TS Vũ Như Lân đã

tận tình hướng dẫn, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi thực hiện và hoàn thành

luận văn này

Tôi xin trân thành cảm ơn các thầy cô giáo ở Khoa công nghệ tự động hóa

trường đại học công nghệ thông tin và truyền thông Thái Nguyên đã đóng góp

nhiều ý kiến và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Đào Tạo, các phòng ban, Khoa sau đại học,

xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường đại học công nghệ thông tin và

truyền thông Thái Nguyên đã tạo những điều kiện thuận lợi nhất về mọi mặt để

tôi hoàn thành khóa học

Cuối cùng, Tôi cũng xin gửi lời cám ơn đến gia đình người thân đã luôn động

viên, ủng hộ và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Trân trọng cảm ơn !

Bắc Ninh, ngày tháng năm 2020 Người thực hiện luận văn

Nguyễn Thị Yến

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cam đoan Lời cảm ơn MỤC LỤC ii

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT iv

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU v

DANH MỤC CÁC HÌNH vi

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 4

1.1 Logic mờ và lập luận xấp xỉ 4

1.1.1 Khái niệm về tập mờ và logic mờ 4

1.1.2 Các phép toán logic trên tập mờ 7

1.1.3 Quan hệ mờ 10

1.1.4 Biến ngôn ngữ và Suy luận xấp xỉ 11

1.2 Lý thuyết Đại số gia tử 25

1.2.1 Giới thiệu 25

1.2.2 Định nghĩa đại số gia tử 27

1.2.3 Định lượng đại số gia tử 28

1.2.4 Tính mờ của một giá trị ngôn ngữ 29

1.2.5 Xây dựng hàm định lượng ngữ nghĩa trên cơ sở độ đo tính mờ của gia tử 30

1.3 Kết luận: 31

CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH ĐIỀU KHIỂN 33

2.1 Mô hình điều khiển dựa trên tập mờ 33

2.2 Bộ điều khiển mờ cơ bản 33

2.2.1 Phương pháp cực đại 36

2.2.2 Phương pháp trọng tâm 39

2.2.3 Nguyên tắc tổng hợp bộ điều khiển mờ 42

2.3 Mô hình điều khiển dựa trên ngữ nghĩa 45

2.3.1 Giới thiệu 45

2.3.2 Một số kiến thức quan trọng tối thiểu của Đại số gia tử 46

2.4 Chuyển điều khiển mờ sang điều khiển dùng đại số gia tử 50

2.5 Kết luận Chương 2 51

CHƯƠNG 3: ĐIỀU KHIỂN CON LẮC NGƯỢC 52

3.1 Mô hình động học đơn giản con lắc ngược 52

3.2 Điều khiển con lắc ngược sử dụng tập mờ (AND = MIN) 53

3.3 Điều khiển con lắc ngược sử dụng Đại số gia tử trường hợp phép 56

AND = PRODUCT 56

3.3.1 Mô hình điều khiển dự trên ĐSGT 56

3.4.2 Thuật toán điều khiển dựa trên ĐSGT 57

3.3.3 So sánh hai phương pháp điều khiển mờ và đại số gia tử AND = PRODUCT 65

3.4 Điều khiển con lắc ngược sử dụng Đại số gia tử trường hợp phép 65

AND = MIN 65

3.4.1 Tính toán các giá trị định lượng ngữ nghĩa 65

3.4.2 Thuật toán điều khiển dựa trên ĐSGT 67

3.4.3 So sánh hai phương pháp điều khiển mờ và đại số gia tử AND = MIN 73

3.5 Kết luận Chương 3 74

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 76

HƯỚNG PHÁT TRIỂN TRONG TƯƠNG LAI 77

TÀI LIỆU THAM KHẢO 79

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT

STT Từ viết tắt Tên đầy đủ Tiếng việt

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU

Bảng 3.1 Bảng điều khiển trên cơ sở tri thức chuyên gia 54 Bảng 3.2 Bảng giá trị định lượng ngữ nghĩa của các gia tử 59 Bảng 3.3 : Kết quả 2 phương pháp điều khiển mờ truyền thống và phương

tắc hợp thành MIN, c B’(y) xác định theo quy tắc hợp thành PROD

Hình 2.4 Giải mờ bằng phương pháp cực đại 36 Hình 2.5 Giá trị rõ y’ không phụ thuộc vào đáp ứng của luật điều khiển

Hình 2.9 a, Giá trị rõ y’ là hoành độ của điểm trọng tâm

b, Xác định giá trị rõ y’ theo phương pháp điểm trọng tâm

khi miền giá trị của tập mờ B’ không liên thông

41

Hình 3.1 Mô hình động học cơ bản con lắc ngược 54 Hình 3.2 Phân hoạch đầu vào trạng thái x1 55 Hình 3.3 Phân hoạch đầu vào trạng thái x2 56 Hình 3.4 Phân hoạch đầu ra điều khiển u 56

Hình 3.7 Chuyển đổi tương đương giữa ngữ nghĩa định lượng x1s

MỞ ĐẦU

Hiện nay có những quá trình phức tạp mà không thể mô tả chính xác bằng các

mô hình toán học truyền thống, và có ngày càng tăng nhu cầu tự động điều khiển đòi hỏi độ chính xác cao trong điều khiển, kỹ thuật robot và sự sống nhân tạo Cách tiếp cận cổ điển để hiểu và dự đoán hoạt động của các hệ thống nói trên dựa trên công nghệ phân tích có thể trở nên không phù hợp Sự khó khăn

đó đã dẫn đến các thách thức trong việc đưa trí tuệ của con người vào áp dụng cho máy móc, bởi vì có một khoảng cách rất lớn giữa trí thông minh của con người và trí thông minh của máy móc

Cho đến nay, ngày càng nhiều nghiên cứu và ứng dụng cho thấy logic mờ có thể là nhân tố then chốt cho việc xây dựng một hệ thống thông minh Ví dụ như trong biểu diễn tri thức, dự báo và phân loại, trong nhận dạng và điều khiển các

hệ phi tuyến, trong xử lý ảnh và xử lý tín hiệu, ,v v Đồng thời cũng có rất nhiều sản phẩm gia dụng như máy giặt, máy điều hòa được sản xuất ra có tích hợp công nghệ tính toán mềm bên trong

Một hệ thống thông minh có nghĩa là nó có những khả năng giống như của con người ví dụ như nhận dạng, dự đoán, quyết định mơ hồ, tính toán hiệu quả cao,

tự học, tự sửa chữa, chấp nhận lỗi và khả năng hoạt động độc lập cao Đó là các giá trị để có thể phân lớp các hệ thống thông minh thành các cấp khác nhau

Hệ mờ và logic mờ là một cách tiếp cận khá hiệu quả cho điều khiển các hệ thống phi tuyến nhờ khả năng xấp xỉ chung của nó Việc sử dụng phương pháp

mờ trong các hệ thống điều khiển đã được thực hiện từ rất sớm Nhưng vẫn còn một sô vấn đề khó giải quyết, ví dụ như: làm sao có thể phân hoạch hợp lý không gian đầu vào cho mỗi biến Sử dụng phép kéo theo mờ kiểu gì là đúng Chiến lược giải mờ như thế nào là tốt Cần bao nhiêu tập mờ và luật mờ là thực

sự cần thiết cho việc xấp xỉ có hiệu quả đối với một hệ phi tuyến chưa biết trước

Nhược điểm quan trọng nhất của lý thuyết điều khiển dựa trên tập mờ là không thể tối ưu hóa cùng đồng thời cả ba giai đoạn: Mờ hóa, suy luận xấp xỉ và giải

mờ Để giải quyết tồn tại này, cần thống nhất ba giai đoạn nêu trên trong cách giải quyết trên cơ sở tối ưu đồng thời nhờ bộ tham số nhúng trong cả ba giai đoạn Điều đó có nghĩa là phải xây dựng bộ điều khiển dựa trên bộ tham số cài đặt trong chính biến ngôn ngữ với các giá trị ngôn ngữ vừa định tính và vừa định lượng Việc định lượng các giá trị ngôn ngữ dựa trên ngữ nghĩa vốn tồn tại sẵn có trong từng giá trị ngôn ngữ Từ đó hình thành nên bộ điều khiển sử dụng chính ngữ nghĩa được định lượng trong các giá trị ngôn ngữ của biến ngôn ngữ Đó là lý do để lý thuyết ĐSGT ra đời cho phép xây dựng bộ điều khiển dựa trên ngữ nghĩa mà không dùng đến tập mờ Từ đó tối ưu hóa đồng thời ba giai đoạn tương ứng có trong hệ mờ Đó cũng là tính cấp thiết và ý nghĩa khoa học của đề tài

Từ đầu những năm 90, Lý thuyết đại số gia tử ( ĐSGT ) đã được đưa ra bởi GS.TS Nguyễn Cát Hồ [1, 2] Lý thuyết này tỏ ra khá hiệu quả trong việc đơn giản hóa quá trình tính toán dựa trên tập ngôn ngữ tự nhiên, đặc biệt hiệu quả trong một số bài toán điều khiển [3, 4, 5, 6] Lý thuyết đại số gia tử đã cố gắng nhúng tập ngôn ngữ vào một cấu trúc đại số thích hợp và tìm cách xem chúng như là một đại số để tiên đề hóa sao cho cấu trúc thu được mô phỏng tốt ngữ nghĩa ngôn ngữ

Mục tiêu của luận văn là nghiên cứu về lý thuyết mờ, lý thuyết đại số gia tử, trên cơ sở đó ứng dụng lý thuyết đại số gia tử vào một bài toán cụ thể là bài toán điều khiển con lắc ngược Lý thuyết đại số gia tử là một phương pháp tiếp cận còn mới trong các bài toán điều khiển

Bố cục của luận văn được chia làm 3 chương:

Chương 1: Trình bày các vấn đề cơ bản tối thiểu về lý thuyết mờ như: khái

niêm tập mờ, các phép toán trên tập mờ, biến ngôn ngữ, luật hợp thành mờ và giải mờ Luận văn cũng giới thiệu về mô hình mờ, suy luận mờ Sau đó là tóm tắt cơ sở phương pháp luận của lý thuyết Đại số gia tử với biểu diễn biến ngôn ngữ bằng ngữ nghĩa

Chương 2: Liên quan đến các vấn đề về điều khiển mờ Phần này sẽ trình bày

phương pháp điều khiển mờ truyền thống, qua đó thấy được sự cần thiết phải

áp dụng logic mờ vào bài toán điều khiển Đồng thời trong chương này cũng trình bày phương pháp điều khiển dựa trên công cụ Đại số gia tử

Chương 3: Giải quyết bài toán điều khiển con lắc ngược theo tiếp cận mờ

truyền thống và tiếp cận Đại số gia tử qua đó so sánh hai tiếp cận nêu trên để thấy rõ hiệu quả của phương pháp Đại số gia tử

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Logic mờ và lập luận xấp xỉ

1.1.1 Khái niệm về tập mờ và logic mờ

Hàm thuộc A(x) định nghĩa trên tập A, trong khái niệm tập hợp kinh điển chỉ

có hai giá trị logic là 1 nếu xA hoặc là 0 nếu xA Mô tả hàm thuộc của hàm

A(x), trong đó tập A được định nghĩa như sau:

A = {xR | 3x8}

Như vậy, trong lý thuyết tập hợp kinh điển, hàm thuộc hoàn toàn tương đương

với định nghĩa một tập hợp Từ định nghĩa về một tập hợp A bất kỳ ta có thể

xác định được hàm thuộc A(x) cho tập đó và ngược lại từ hàm thuộc A(x) của

tập hợp A cũng hoàn toàn suy ra được định nghĩa cho tập A

Cách biểu diễn hàm phụ thuộc như vậy sẽ

không phù hợp với những tập được mô tả

Lý do là với những định nghĩa “mờ” như vậy chưa đủ để xác định một số chẳng hạn như x=3.8 có thuộc B hoặc x=2.2 có thuộc C hay không

Nếu đã không khẳng định được x=3.8 có thuộc B hay không thì cũng không khẳng định được là số thực x=3.8 không thuộc B Vì vậy x=3.8 (như một mệnh đề) thuộc B bao nhiêu phần trăm? Nếu có thể trả lời được câu hỏi này thì có nghĩa là hàm thuộc B(x) = B(3.8)  [0, 1], tức là:

0 B(x) = B(3.8)  1

Nói cách khác, hàm B(x) không còn là hàm hai giá trị như đối với tập kinh

điển nữa mà là một ánh xạ liên tục (Hình 1 2 Hàm thuộc của tập mờ B

Hình 1 3 Hàm thuộc của tập mờ C):

B : X  [0, 1], trong đó X là tập nền của tập “mờ”

Như vậy, khác với tập kinh điển A, từ “định nghĩa kinh điển” của tập “mờ” B hoặc C không suy ra được hàm thuộc B(x) hoặc C(x) của chúng Hơn thế nữa hàm thuộc ở đây lại giữ một vai trò quan trọng là “làm rõ định nghĩa” cho một

tập “mờ” như ví dụ trong Hình 1 2 Hàm thuộc của tập mờ B Hình 1

3 Hàm thuộc của tập mờ C Do đó nó phải được nêu lên như là một điều kiện trong định nghĩa về tập “mờ”

Định nghĩa: Tập mờ F xác định trên tập kinh điển X là một tập mà mỗi phần

tử của nó là một cặp các giá trị (x, F(x)), trong đó xX và F là một ánh xạ:

 Tính trực tiếp (nếu F(x) cho trước dưới dạng công thức tường minh) hoặc

 Tra bảng (nếu F(x) cho dưới dạng bảng)

Các hàm thuộc F(x) có dạng trơn được gọi là hàm thuộc kiểu S Đối với hàm

thuộc kiểu S, do các công thức biểu diễn F(x) có độ phức tạp lớn nên thời gian tính toán độ phụ thuộc cho một phần tử lâu Bởi vậy trong kỹ thuật điều khiển

mờ thông thường các hàm thuộc kiểu S hay được gần đúng bằng một hàm tuyến tính từng đoạn

Một hàm thuộc có dạng tuyến tính từng đoạn được gọi là hàm thuộc có mức

chuyển đổi tuyến tính

1.1.2 Các phép toán logic trên tập mờ

Những phép toán cơ bản trên tập mờ là phép hợp, phép giao và phép bù Giống

như định nghĩa về tập mờ, các phép toán trên tập mờ cũng sẽ được định nghĩa thông qua các hàm thuộc, được xây dựng tương tự như các hàm thuộc của các phép giao, hợp, bù giữa hai tập kinh điển Nói cách khác, khái niệm xây dựng những phép toán trên tập mờ được hiểu là việc xác định các hàm thuộc cho phép hợp (tuyển) AB, giao (hội) AB và bù (phủ định) AC

, … từ những tập

mờ A và B

Một nguyên tắc cơ bản trong việc xây dựng các phép toán trên tập mờ là không được mâu thuẫn với những phép toán đã có trong lý thuyết tập hợp kinh điển Mặc dù không giống tập hợp kinh điển, hàm thuộc của các tập mờ AB, AB,

AC … được định nghĩa cùng với tập mờ, song sẽ không mâu thuẫn với các phép toán tương tự của tập hợp kinh điển nếu như chúng thoả mãn những tính chất tổng quát được phát biểu như “tiên đề” cả lý thuyết tập hợp kinh điển

Phép hợp hai tập mờ

Do trong định nghĩa về tập mờ, hàm thuộc giữ vai trò như một thành phần cấu thành tập mờ nên các tính chất của các tập AB không còn là hiển nhiên nữa Thay vào đó chúng được sử dụng như những tiên đề để xây dựng phép hợp trên tập mờ

Định nghĩa: Hợp của hai tập mờ A và B có cùng tập nền X là một tập mờ AB cũng xác định trên tập nền X có hàm thuộc A B(x) Có nhiều công thức khác nhau được dùng để tính hàm thuộc A  B(x) cho hợp hai tập mờ Chẳng hạn một

số công thức sau có thể được sử dụng để định nghĩa hàm A  B(x) của phép hợp giữa hai tập mờ

(1) A B(x) = max{A(x), B(x)} luật lấy max (1 2)

(2) A B(x) = max{A(x), B(x)} khi min{A(x), B(x)} = 0 (1 3)

Phép giao hai tập mờ

Như đã đề cập, phép giao AB trên tập mờ phải được định nghĩa sao cho không mâu thuẫn với phép giao của tập hợp kinh điển và yêu cầu này sẽ được thoả mãn nếu chúng có được các tính chất tổng quát của tập kinh điển AB

Giống như với phép hợp hai tập mờ, phép giao hai tập mờ trên tập nền tổng quát hoá những tính chất của tập kinh điển AB cũng thỉ được thực hiện một cách trực tiếp nêu hai tập mờ đó có cùng tập nền Trong trường hợp chúng không cùng một tập nền thì phải đưa chúng về một tập nền mới là tập tích của hai tập nền đã cho

Định nghĩa: Giao của hai tập mờ A và B có cùng tập nền X là một tập mờ cũng

được xác định trên tập nền X với hàm thuộc A B(x) Tương tự như với phép hợp giữa hai tập mờ, có nhiều công thức khác nhau để tính hàm thuộc A  B(x) của giao hai tập mờ A và B có cùng tập nền X

Các công thức thường dùng để tính hàm thuộc A  B(x) của phép giao gồm: (1) A  B(x) = min{A(x), B(x)} (1 8)

(2) A  B(x) = min{A(x), B(x)}, khi max{A(x), B(x)} = 1 (1 9)

Chú ý: Luật min AB(x) = min{A(x), B(x)} (1 8) và tích đại số là hai luật xác định hàm thuộc giao hai tập mờ được sử dụng nhiều hơn cả trong kỹ thuật điều khiển mờ

Việc có nhiều công thức xác định hàm thuộc của giao hai tập mờ đưa đến khả năng một bài toán điều khiển mờ có nhiều lời giải khác nhau Để tránh những kết quả mâu thuẫn có thể xảy ra, nhất thiết trong một bài toán điều khiển mờ,

ta chỉ nên thống nhất sử dụng một hàm thuộc cho phép giao

Phép bù (phủ định) của một tập mờ

Phép bù (còn gọi là phủ định) của một tập mờ được suy ra từ các tính chất của phép bù trong lý thuyết tập hợp kinh điển như sau:

Định nghĩa: Tập bù của tập mờ A định nghĩa trên tập nền X là một tập mờ AC

cũng xác định trên tập nền X với hàm thuộc C

(2) AB (A) (B), tức là hàm không tăng

1.1.3 Quan hệ mờ

Khái niệm quan hệ mờ

Định nghĩa: Cho X, Y là hai không gian nền, gọi R là một quan hệ mờ trên

tập nền tích XxY nếu R là một tập mờ trên nền XxY, tức là có một hàm thuộc:

R : XxY  [0, 1]

Trong đó: R(x, y) = R(x, y) là độ thuộc của (x, y) vào quan hệ R

Định nghĩa: Cho R1, R2 là hai quan hệ mờ trên XxY, ta có định nghĩa:

(1) Quan hệ R1R2 với μR 1R 2(x,y)=max{μ (x,y),μ (x,y)}R 1 R 2

, (x, y)XxY

(2) Quan hệ R1R2 với μR 1R 2(x,y)=min{μ (x,y),μ (x,y)}R 1 R 2

, (x, y)XxY

Định nghĩa: Quan hệ mờ trên những tập mờ

Cho tập mờ A có hàm thuộc là A(x) định nghĩa trên tập nền X và tập mờ B có hàm thuộc là B(y) định nghĩa trên tập nền Y Quan hệ mờ trên các tập A và B

là quan hệ mờ R trên XxY thoả mãn điều kiện:

Dạng đơn giản nhất có thể diễn đạt như sau:

Cho một hệ mờ biểu diễn dưới dạng một quan hệ mờ nhị nguyên R trên không gian tích XxY Đầu vào của hệ mờ là tập mờ A cho trên không gian nền input

X Tác động của đầu vào A với hệ R sẽ là phép hợp thành A R sẽ cho ở đầu

ra (output) một tập mờ trên không gian nền Y, ký hiệu là B Khi đó chúng ta có

1.1.4 Biến ngôn ngữ và Suy luận xấp xỉ

Nói một cách đơn giản như Zadeh đã từng nói, một biến ngôn ngữ là biến mà

“các giá trị của nó là các từ hoặc câu trong ngôn ngữ tự nhiên hoặc ngôn ngữ

nhân tạo” Ví dụ như khi nói về nhiệt độ ta có thể xem đây là biến ngôn ngữ có

tên gọi NHIỆT_ĐỘ và nó nhận các giá trị ngôn ngữ như “cao”, “rất cao”,

“trung bình”… Đối với mỗi giá trị này, chúng ta sẽ gán cho chúng một hàm

thuộc Giả sử lấy giới hạn của nhiệt độ trong đoạn [0, 230oC] và giả sử rằng các giá trị ngôn ngữ được sinh bởi một tập các quy tắc Khi đó, một cách hình thức, chúng ta có định nghĩa của biến ngôn ngữ sau đây:

Định nghĩa Biến ngôn ngữ là một bộ gồm năm thành phần (X,T(X), U, R, M),

trong đó X là tên biến, T(X) là tập các giá trị ngôn ngữ của biến X, U là không gian tham chiếu của biến cơ sở u, mỗi giá trị ngôn ngữ xem như là một biến

mờ trên U kết hợp với biến cơ sở u, R là một qui tắc cú pháp sinh các giá trị ngôn ngữ cho tập T(X), M là qui tắc ngữ nghĩa gán mỗi giá trị ngôn ngữ trong T(X) với một tập mờ trên U

Ví dụ 1.2 Từ định nghĩa trên ta có tên biến ngôn ngữ X chính là NHIỆT_ĐỘ,

biến cơ sở u có miền xác định là U = [0, 230] tính theo oC Tập các giá trị ngôn

ngữ tương ứng của biến ngôn ngữ là T(NHIỆT_ĐỘ) = {cao, rất cao, tương_đối

cao, thấp, rất thấp, trung bình, …} R là một qui tắc để sinh ra các giá trị này

M là quy tắc gán ngữ nghĩa sao cho mỗi một giá trị ngôn ngữ sẽ được gán với

một tập mờ Chẳng hạn, đối với giá trị nguyên thủy cao, M(cao)= {(u, cao(u) |

u  [0, 230]}, được gán như sau:

u

185,

1

185170

,15170

170,

0

Suy luận xấp xỉ

Suy luận xấp xỉ hay còn gọi là suy luận mờ: Đó là quá trình suy ra những kết luận dưới dạng các mệnh đề mờ trong điều kiện các quy tắc, các luật, các dữ liệu đầu vào cho trước cũng không hoàn toàn xác định

Chúng ta cần tìm hiểu một cách đủ đơn giản về vấn đề suy luận xấp xỉ dưới

dạng những mệnh đề với các biến ngôn ngữ như nhiệt độ cao, tốc độ chậm, …

hay những quy tắc, những luật dạng mệnh đề như “nếu tăng ga thì xe chạy

nhanh hơn”

Giả sử ta có thể mô tả trạng thái, giá trị nhiệt độ của một lò sấy một cách định

tính như sau: rất thấp, thấp, trung bình, cao và rất cao

Mỗi giá trị ngôn ngữ đó của biến nhiệt độ được xác định bằng một tập mờ định

nghĩa trên tập nền là tập các số thực dương chỉ giá trị vật lý x (đơn vị là C) của

biến nhiệt độ t như 30C, 50C, …

Hàm thuộc tương ứng của chúng được ký hiệu bằng:

rất_thấp(x), thấp(x), trung_bình(x), cao(x) và rất_cao(x)

Như vậy, biến nhiệt độ t có hai miền giá trị khác nhau:

 Miền giá trị ngôn ngữ:

N = {rất_thấp, thấp, trung_bình, cao, rất_cao}

 Miền giá trị vật lý (miền giá trị rõ):

rất_thấp thấp trung_bình cao rất_cao

Hình1.5 Mô tả giá trị ngôn ngữ bằng tập mờ

Mỗi giá trị ngôn ngữ (mỗi phần tử của N) lại được mô tả bằng một tập mờ có tập nền là miền các giá trị vật lý T

Biến nhiệt độ t, xác định trên miền giá trị ngôn ngữ N, được gọi là biến ngôn

ngữ Do tập nền các tập mờ mô tả giá trị ngôn ngữ của biến ngôn ngữ nhiệt độ

lại chính là tập T các giá trị vật lý của biến nên từ một giá trị vật lý xT có được một vector  gồm các độ phụ thuộc của x như sau:

  được gọi là quá trình mờ hoá giá trị rõ x Ví

dụ, kết quả mờ hoá giá trị vật lý x = 32.5 C (giá trị rõ) của biến nhiệt độ sẽ là:

0 0.7 32.5°C μ= 0.3

0 0

0 0 45.0°C μ= 0.5

0.5 0

 Là biến vật lý với các giá trị rõ như t=32.5C hay t=45.0C, … (miền xác định

là tập kinh điển)

 Là biến ngôn ngữ với các giá trị mờ như rất thấp, thấp, trung bình, cao và rất cao (miền xác định là các tập mờ) Hàm thuộc tương ứng của chúng là:

rất_thấp(x), thấp(x), trung_bình(x), cao(x) và rất_cao(x)

Cho hai biến ngôn ngữ  và  Nếu biến  nhận giá trị (mờ) A với hàm thuộc

là A(x) và  nhận giá trị (mờ) B có hàm thuộc là B(x) thì biểu thức:

Mệnh đề hợp thành trên là một ví dụ đơn giản về bộ điều khiển mờ Nó cho phép từ một giá trị đầu vào x0 hay cụ thể hơn là từ độ phụ thuộc A(x0) đối với tập mờ A của giá trị đầu vào x0 xác định được hệ số thoả mãn mệnh đề kết luận

q của giá trị đầu ra y Hệ số thoả mãn mệnh đề kết luận này được gọi là giá trị của mệnh đề hợp thành khi đầu vào bằng A và giá trị của mệnh đề hợp thành

pq (từ p suy ra q) (1 16) là một giá trị mờ Biểu diễn tập mờ đó là tập hợp C thì mệnh đề hợp thành mờ pq (từ p suy ra q) (1 16) chính là ánh xạ:

Trong đó A(x) là hàm thuộc của tập mờ đầu vào A định nghĩa trên tập nền X

và B(y) là hàm thuộc của B định nghĩa trên Y

Định nghĩa: Suy diễn đơn thuần:

Giá trị của mệnh đề hợp thành mờ Nếu  = A thì  = B (1 17), A(x) 

B(y), với A, B  [0, 1] (1 18) là một tập mờ định nghĩa trên nền Y (không gian nền của B) và có hàm thuộc:

(1) A  B(x, y) = max{min{A(x), B(y)}, 1-A(x)} công thức Zadeh (2) A  B(x, y) = min{1, 1-A(x)+B(y)} công thức Lukasiewizc (3) A B(x, y) = max{1-A(x), B(y)} công thức Kleene – Dienes

Do mệnh đề hợp thành kinh điển pq luôn có giá trị đúng (giá trị logic 1) khi

p sai nên sự chuyển đổi tương đương mệnh đề hợp thành pq kinh điển sang mệnh đề hợp thành mờ AB sẽ sinh ra một nghịch lý khi ứng dụng trong điều khiển Có thể thấy nghịch lý đó ở chỗ là mặc dù mệnh đề điều kiện:

 = A

không được thoả mãn (có độ thuộc bằng 0, A(x)=0) nhưng mệnh đề kết luận:

 = B

lại có độ thoả mãn cao nhất (B(y)=1) Điều này dẫn tới mâu thuẫn

Đã có nhiều ý kiến được đề nghị nhằm khắc phục mâu thuẫn này của định lý suy diễn, trong đó nguyên tắc Mamdani:

“Độ phụ thuộc của kết luận không được lớn hơn độ phụ thuộc của điều kiện”

là có tính thuyết phục hơn cả và hiện đang được sử dụng nhiều nhất để mô tả mệnh đề hợp thành mờ trong điều khiển

Biểu diễn nguyên tắc Mandani dưới dạng công thức, ta được:

A(x) A  B(y)

Do hàm A  B(y) của tập mờ kết quả B’=AB chỉ phụ thuộc vào A(x) và B(y)

và cũng như đã thực hiện với phép hợp, giao, … hai tập mờ, ta sẽ coi A B(y) như là một hàm hai biến A và B, tức là:

A  B(y) = (A, B)

thì theo nguyên tắc Mandani phép suy diễn mờ sẽ được phát biểu như sau:

Định nghĩa: Phép suy diễn mờ:

Giá trị của mệnh đề hợp thành mờ A(x)  B(y), với A, B  [0, 1](1 18) là một tập mờ B’ định nghĩa trên tập nền Y (không gian nền của B) và có hàm thuộc:

(A, B): [0, 1]2 [0, 1]

Hai công thức trên thường được sử dụng nhiều nhất trong kỹ thuật điều khiển

mờ để mô tả mệnh đề hợp thành AB Chúng có tên gọi là quy tắc hợp thành

Quy tắc hợp thành MIN

Giá trị mệnh đề hợp thành mờ A(x) B(y), với A, B  [0, 1] (1 18)

là một tập mờ B’ định nghĩa trên tập nền Y (không gian nền của B) và có hàm thuộc:

B’(y) = min{A, B(y)} (1 21)

Quy tắc hợp thành PROD

Giá trị mệnh đề hợp thành mờ A(x) B(y), với A, B  [0, 1] (1 18)

là một tập mờ B’ định nghĩa trên tập nền Y (không gian nền của B) và có hàm thuộc:

B’(y) = A*B(y) (2 22)

Công thức trên cho thấy tập mờ kết quả của quy tắc hợp thành B’(y) được định nghĩa trên tập nền B và B’(y) chỉ được xác định khi đã biết cụ thể một giá trị

A, tức là B’(y) phụ thuộc vào giá trị rõ x0 ở đầu vào

Giả sử rằng biến ngôn ngữ  chỉ nhiệt độ của một lò sấy và  chỉ sự tác động

bộ nguồn điện làm thay đổi điện áp cung cấp cho thiết bị gia nhiệt Luật điều khiển cho lò sấy làm việc ổn định tại giá trị trung bình sẽ tương đương với mệnh đề hợp thành mờ một điều kiện đầu vào:

Nếu  = thấp Thì  = tăng

với thấp(x), tăng(y) và kết quả của mệnh đề hợp thành trên khi sử dụng quy tắc MIN cho một giá trị rõ x0 đầu vào sẽ là một tập mờ B’ có tập nền cùng với tập nền của tăng(y) và hàm thuộc B’(y) là phần dưới của hàm tăng(y) bị cắt bởi đường H=thấp(x0) như hình vẽ dưới Hình vẽ cũng thể hiện hàm thuộc của B’ cho mệnh đề trên được xác định với quy tắc PROD

Như vậy ta có hai quy tắc hợp thành xác định giá trị mờ B’ của mệnh đề hợp thành Nếu hàm thuộc B’(y) của B’ thu được theo quy tắc MIN thì mệnh đề hợp thành có tên gọi là mệnh đề hợp thành MIN Cũng như vậy nếu B’(y) được xác định theo quy tắc PROD thì mệnh đề hợp thành sẽ được gọi là mệnh đề hợp thành PROD

Ký hiệu giá trị mờ đầu ra là B’ ứng với một giá trị rõ x0 tại đầu vào thì hàm thuộc B’ với quy tắc hợp thành MIN sẽ là:

B’(y) = min{A(x0), B(y)}

Gọi:

H = A(x0) (1 23)

là độ thoả mãn mệnh đề điều kiện hay ngắn gọn hơn là độ thoả mãn thì:

B’(y) = min{H, B(y)} (1 24)

Với quy tắc hợp thành PROD, hàm thuộc của B’ sẽ là:

B’(y) = A(x0)B(y) = H.B(y)

Trong trường hợp tín hiệu đầu và A’ là một giá trị mờ với hàm thuộc A’(x), đầu ra B’ cũng là một giá trị mờ có hàm thuộc B’(y) là phần dưới của hàm

Hình 1.6 a Hàm thuộc thấp (x) và tăng (y), b B’ (y) xác định theo quy tắc hợp thành

MIN, c B’ (y) xác định theo quy tắc hợp thành PROD

B(y) bị chặn trên bởi độ cao H được xác định theo nguyên tắc “tình huống xấu

nhất” như sau:H = maxxmin{A’(x), A(x)} ( hình 1.6 )

Luật hợp thành mờ

Hàm thuộc B’(y) trong ví dụ trên với một giá trị vật lý rõ x=x0 có cùng tập nền với tăng(y) Tổng quát, khi hàm thuộc A B(y) của mệnh đề hợp thành AB,

ký hiệu ngắn gọn là R, tại một giá trị rõ x=x0 là một hàm thuộc cho một giá trị

mờ nào đó của biến ngôn ngữ 

Luật hợp thành là tên chung gọi mô hình R biểu diễn một hay nhiều hàm thuộc

cho một hay nhiều mệnh đề hợp thành, nói cách khác luật hợp thành được hiểu

là một tập hợp của nhiều mệnh đề hợp thành Một luật hợp thành chỉ có một

mệnh đề hợp thành được gọi là luật hợp thành đơn Ngược lại, nếu nó có nhiều hơn một mệnh đề hợp thành, ta sẽ gọi nó là luật hợp thành kép Phần lớn các

hệ mờ trong thực tế đều có mô hình luật hợp thành kép

Xét ví dụ về luật hợp thành R biểu diễn mô hình điều khiển nhiệt độ của một

lò xấy gồm 3 mệnh đề R1, R2 và R3 cho biến nhiệt độ  và biến điều khiển điện

áp  như sau:

R1: Nếu  = thấp Thì  = tăng hoặc

R2: Nếu  = trung bình Thì  = giữ nguyên hoặc

R3: Nếu  = cao Thì  = giảm

Với mỗi giá trị vật lý x0 của biến nhiệt độ đầu vào thì thông qua phép suy diễn

mờ ta có 3 tập mờ

' 1

B , B'2 và B'3 từ 3 mệnh đề hợp thành R

1, R2 và R3 của luật hợp thành R Lần lượt ta gọi các hàm thuộc của 3 tập mờ kết quả đó là μ (y)B 1'

 Luật hợp thành max-PROD, nếu μ (y)B 1'

“If” được gọi là mệnh đề điều kiện hay tiền đề còn phần “then” được gọi là phần kết luận

Mô hình mờ dạng đơn giản hay còn gọi là mô hình SISO (Single Input Single Output) là tập các luật mà trong đó mỗi luật chỉ chứa một điều kiện và một kết luận được cho như sau:

If X1 = A11 and and Xm = A1m then Y = B1

If X1 = A21 and and Xm = A2m then Y = B2

(1.27)

If X1 = An1 and and Xm = Anm then Y = Bn

ở đây X1, X2, …, Xm và Y là các biến ngôn ngữ, Aij, Bi (i = 1,…, n; j = 1,…, m) là các giá trị ngôn ngữ tương ứng

Hầu hết các ứng dụng trong hệ chuyên gia mờ, phân cụm mờ, điều khiển mờ,… liên quan đến việc suy diễn thì mô hình mờ là một phần không thể thiếu và do vậy các ứng dụng này luôn gắn liền với các phương pháp giải quyết bài toán lập luận xấp xỉ đa điều kiện Bài toán lập luận xấp xỉ mờ đa điều kiện được phát biểu như dưới đây:

Cho mô hình mờ (1.27) và các giá trị ngôn ngữ A01, A02, …, A0m tương ứng với các biến ngôn ngữ X1, X2, …, Xm Hãy tính giá trị của Y

1.2 Lý thuyết Đại số gia tử

1.2.1 Giới thiệu

Để xây dựng phương pháp luận tính toán nhằm giải quyết vấn đề mô phỏng các quá trình tư duy, suy luận của con người chúng ta phải thiết lập ánh xạ: gán mỗi khái niệm mờ một tập mờ trong không gian tất cả các hàm F(U, [0, 1]) Nghĩa

là ta mượn cấu trúc tính toán rất phong phú của tập để mô phỏng phương pháp lập luận của con người thường vẫn được thực hiện trên nền ngôn ngữ tự nhiên Vậy một vấn đề đặt ra là liệu bản thân ngôn ngữ có cấu trúc tính toán không? Nếu có thì các phương pháp lập luận xây dựng trên đó đem lại những lợi ích gì? Thông qua lý thuyết về đại số gia tử ta có thể thấy rằng tập các giá trị của một biến ngôn ngữ (biến mà giá trị của nó được lấy trong miền ngôn ngữ) là một cấu trúc đại số đủ mạnh để tính toán

Lý thuyết đại số gia tử đã cố gắng nhúng tập ngôn ngữ vào một cấu trúc đại số thích hợp và tìm cách xem chúng như là một đại số để tiên đề hóa sao cho cấu trúc thu được mô phỏng tốt ngữ nghĩa ngôn ngữ

Xét một tập giá trị ngôn ngữ là miền của biến ngôn ngữ (linguistic domain) của biến chân lý TRUTH gồm các từ sau:

T = dom(TRUTH) = {true, false, very true, very false, more true, more false, approximately true, approximately false, little true, little false, less true, less false, very more true, very more false, very possible true, very possition false, very more true, very more false, …}

Khi đó miền ngôn ngữ T = dom(TRUTH) có thể biểu thị như là một cấu trúc đại số AT = (T, G, H, ), trong đó:

 T: là tập cơ sở của AT

 G: là tập các từ nguyên thủy (tập các phần tử sinh: true, false)

 H: là tập các toán tử một ngôi, gọi là các gia tử (các trạng từ nhấn)

 : là biểu thị quan hệ thứ tự trên các từ (các khái niệm mờ), nó được “cảm sinh” từ ngữ nghĩa tự nhiên Ví dụ: dựa trên ngữ nghĩa, các quan hệ thứ tự sau

là đúng: false  true, more true  very true, very false  more false, possible true  true, false  possible false, …

Ta luôn giả thiết rằng các gia tử trong H là các toán tử thứ tự, nghĩa là (h 

H, h: T  T), (x  T) {hx  x hoặc hx  x}

Hai gia tử h, k  H được gọi là ngược nhau nếu (x  T) {hx  x khi và chỉ khi kx  x} và chúng được gọi là tương thích nhau nếu (x  T) {hx  x khi

và chỉ khi kx  x}

Ta ký hiệu h  k nếu h, k tương thích nhau và (x  T) {hx  kx  x hoặc hx

 kx  x}

Ngoài ra, tập H còn có thể được phân hoặch thành hai tập H+ và H- với các gia

tử trong tập H+ hay H- là tương thích nhau, mỗi phần tử trong H+ cũng ngược với bất kỳ phần tử nào trong H- và ngược lại

Giả sử trong tập H+ có phần tử V (ngầm định là very – rất) và trong tập H- có phần tử L (ngầm định là less – ít) là phần tử lớn nhất thì phần tử sinh g  G là dương nếu g  Vg và là âm nếu g  Vg

Một toán tử h dương (hoặc âm) đối với một toán tử k nếu (x  T) {hkx  kx

 x hoặc hkx  kx  x} hoặc (x  T) { kx  hkx  x hoặc kx  hkx  x}

ký hiệu là t, một được gọi là phần tử sinh âm ký hiệu là f và ta có f<t (Trong ví

dụ trên, t tương ứng với true là dương, còn f tương ứng với false là âm)

1.2.2 Định nghĩa đại số gia tử

Một cấu trúc đại số AT = (T, G, H, ) với H được phân hoặch thành H+ và H- các toán tử ngược nhau được gọi là một đại số gia tử nếu nó thỏa mãn các tiên

đề sau:

(1) Mỗi gia tử hoặc là dương hoặc là âm đối với bất kỳ một gia tử nào khác,

kể cả với chính nó

(2) Nếu hai khái niệm u và v là độc lập nhau, nghĩa là u  H(v) và v  H(u), thì (x  H(u)) {x  H(v)} Ngoài ra nếu u và v là không sánh được thì bất kỳ

x  H(u) cũng không sánh được với bất kỳ y  H(v) (H(u) là tập các giá trị được sinh ra do tác động của các gia tử của H vào u)

(3) Nếu x  hx thì x  H(hx) và nếu h  k và hx  kx thì h’hx  k’kx, với mọi gia tử h, k, h’ và k’ Hơn nữa nếu hx  kx thì hx và kx là độc lập

(4) Nếu u  H(v) và u  v (hoặc u  v) thì u  hv (hoặc u  hv) đối với mọi gia tử h

Định nghĩa trên mới chỉ dựa vào các tính chất ngữ nghĩa và di truyền ngữ nghĩa của ngôn ngữ nhưng đã tạo ra cấu trúc đủ mạnh làm cơ sở logic cho lập luận xấp xỉ

Xét đại số gia tử AT có đúng 3 phần tử sinh:dương, âm và một phần tử trung hòa w nằm giữa hai phần tử sinh kia và có tính chất hw = w, với mọi h  H Một phần tử y được gọi là phần tử đối nghịch của phần tử x nếu có tồn tại một biểu diễn của x có dạng x = hn…h1g, w  g  G, sao cho y = hn…h1g’, với w

 g’ G và g’  g Đặc biệt phần đối nghịch của w được định nghĩa chính là w Phần tử đối nghịch của x được ký hiệu là –x với chỉ số nếu cần thiết Nhìn chung một phần ử có thể có nhiều phần tử đối nghịch Nếu mỗi phần tử của T chỉ có duy nhất một phần tử đối nghịch thì AT được gọi là đại số gia tử đối xứng

1.2.3 Định lượng đại số gia tử

Như vậy ta có thể định nghĩa hàm ngữ nghĩa định lượng như sau:

Định nghĩa: Cho đại số gia tử mở rộng đối xứng AT = (T, G, H, ), f: T[0, 1] là một hàm ngữ nghĩa định lượng của AT nếu h, k  H+ hoặc h, k H-

và x, y T, ta có:

( x)- (x) ( )- ( ) ( x)- (x) ( )- ( )

f h f f hy f y

f k f  f ky f y

Với đại số gia tử và hàm ngữ nghĩa định lượng, chúng ta có thể định nghĩa một khái niệm rất trừu tượng và khó định nghĩa một cách thoả đáng trong lý thuyết

tập mờ là tính mờ của một khái niệm mờ hay của tập mờ biểu diễn nó

1.2.4 Tính mờ của một giá trị ngôn ngữ

Xét các giá trị: True, Very False, … Làm thế nào để định nghĩa tính mờ (fuzziness) cho các giá trị ngôn ngữ này? Trên quan điểm đại số gia tử, ta có một cách định nghĩa tính mờ khá trực quan dựa trên kích cỡ của tập H(x) như sau:

Cho trước một hàm định lượng ngữ nghĩa f của X Xét bất kỳ xX, tính mờ

của x khi đó được đo bằng đường kính tập f(H(x))  [0, 1] (Hình 1.7)

True More True Very True

Diameter of f(H(More True))

Diameter of f(H(Very True))

(1) fm(c - )=>0 và fm(c + )=1->0, trong đó c - và c + là các phần tử sinh âm và dương

(2) Giả sử tập các gia tử H=H+H-, H- = {h 1 , h 2 , …, h p } với h 1 >h 2 > … >h p,

, đẳng thức này không phụ thuộc

vào các phần tử x, y và do đó ta có thể ký hiệu là (h) và gọi là độ đo tính mờ

(fuzziness measure) của gia tử h

sgn( )

c hc