On thi vao 10 THPT

a) Hai tam giác IBM và ICN bằng nhau.. GV: NGUYỄN TĂNG VŨ tangvu128@yahoo.com b) Tứ giác AMIN nội tiếp trong một đường tròn. AI là đường kính, suy ra.. Tam giác IMN cân tại I có IK là đ[r]

Trang 1

GV: NGUYỄN TĂNG VŨ tangvu128@yahoo.com

Bài 1: (Thi vào 10, năm 2007 - 2008)

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB < AC) Đường tròn đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F Biết BF cắt CE tại H và AH cắt BC tại D

a)Chứng minh rằng tứ giác BEFC nội tiếp và AH vuông góc với BC

b)Chứng minh AE AB = AF AC

c)Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và K là trung điểm của BC Tính tỉ số OK

BC khi tứ giác BHOC nội tiếp

d)Cho HF = 3 cm, HB = 4 cm, CE = 8 cm và HC > HE Tính HC

Hướng dẫn giải:

a) B, E, F, C cùng thuộc đường tròn đk BC nên tứ giác BEFC nội tiếp

Trang 2

( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra

Trong tam giác ABC hai đường cao BF, CE cắt nhau tại H nên H là trực tâm của tam giác ABC, suy ra

b) Ta có tam giác AEF và tam giác ACB đồng dạng vì có:

+ Góc A chung

+ ( tứ giác BEFC nội tiếp)

Suy ra:

c) Ta chứng minh được:

Và ( góc ở tâm bằng hai lần góc nội tiếp cùng chắn cung BC)

Trang 3

a)Chứng minh AD AC = AE.AB

b)Gọi H là giao điểm của BD và CE, gọi K là giao điểm của AH và BC Chứng minh AH vuông góc với BC

c)Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (O) với M, N là các tiếp điểm

Chứng minh nANM =nAKN

d)Chứng minh 3 điểm M, H, N thẳng hàng

Hướng dẫn giải

a) Chứng minh tam giác ABD và ACE đồng dạng (g.g)

b) Chứng minh BD và CE là hai đường cao của tam giác ABC, cắt nhau tại H nên H là trực tâm Suy ra AH vuông góc BC

c) Ta có tam giác AMN cân tại A (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau), suy ra

Vì nên A, N, M, O, K cùng thuộc đường tròn đường kính AO

Trang 4

d) AN là tiếp tuyến của (O), ABE là cát tuyến cắt (O) tại E và B,ta chứng minh được

Hơn nữa ta có tam giác AEH và AKB đồng dạng (g.g), suy ra

Từ đó ta có , suy ra tam giác ANH và ANK đồng dạng(c.g.c), suy ra

Và từ câu c) ta có , suy ra tia NH và NM trùng nhau, hay N, H, M thẳng hàng

Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC), có đường cao AH Gọi D và E lần

lượt là trung điểm của AB và AC

a) Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác DBH và ECH

b) Gọi F là giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác DBH và CEH Chứng minh HF đi qua trung điểm M của DE

c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE đi qua điểm F

Trang 5

a) Gọi I và J lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác BDH và CEH

Tam giác AHB vuông tại H có HD là trung tuyến nên mà IB = IH, suy ra

DI là đường trung trực của BH Suy ra

Mặt khác ta có DE làđường trung bình của tam giác ABC nên DE // BC

Từ đó suy ra , mà D thuộc (I) nên DE là tiếp tuyến của (I)

Chứng minh tương tự ta cũng có DE là tiếp tuyến của (J)

b) Gọi M là giao điểm của HF và DE Ta chứng minh được tam giác MDF và MHD đồng dạng (g.g), suy ra

Tương tự ta có

Từ (1) và (2) suy ra M là trung điểm của DE

Trang 6

Bài 4: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O; R) Điểm M lưu động

trên cung nhỏ BC Từ M kẻ các đường thẳng MH, MK lần lượt vuông góc với AB, AC (H thuộc AB, K thuộc AC)

a) Chứng minh hai tam giác MBC và MHK đồng dạng

b) Tìm vị trí của M để đoạn HK có độ dài lớn nhất

a) Ta dễ dàng chứng minh được tứ giác AHMK nội tiếp Từ đó suy ra

và

Trang 7

Hơn nữa, tứ giác ABMC nội tiếp đường tròn (O) nên và

Từ (1) và (2) ta có , suy ra tam giác MHK đồng dạng với tam giác MBC (g.g)

b) Tam giác MHK và MBC đồng dạng, suy ra

Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi H trùng B, hay M điểm đối xứng của A qua O

Vậy HK đạt giá trị lớn nhất bằng BC khi M là điểm đối xứng của A qua O

Bài 5: (THTH 06 - 07) Gọi AD là đường phân giác trong góc A của tam giác ABC ( D thuộc

cạnh BC) Trên AD lấy hai điểm M, N sao cho BM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM tại điểm thứ hai E và CN cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN tại điểm thứ hai F

a)Chứng minh tứ giác BECF nội tiếp

Trang 8

Và (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CM)

Mà (AD là phân giác góc A)

Nên ta có hay , suy ra tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp (2 đỉnh

kề cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau)

b) Vì tứ giác BFEC nội tiếp nên ta có: hay

Do đó: , suy ra F, A, E thẳng hàng

c) Ta có (BFEC nội tiếp)

Suy ra , dễ dàng suy ra

Bài 6: (NK AB - 07 - 0 Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H và góc Gọi M,

N, P lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C của tam giác ABC và I là trung điểm BC a) Chứng minh tam giác INP đều

b) Gọi E và K lần lượt là trung điểm của PB và NC Chứng minh các điểm I, M, E, K cùng thuộc một đường tròn

c) Giả sử IA là phân giác của góc Hãy tính số đo góc

Trang 9

a) Tam giác PCB vuông tại P có PI là trung tuyến nên

Từ (1) và (2) suy ra tam giác NIP đều

b) Trong tam giác CPB có I, E lần lượt là trung điểm BC và CP nên IE là đường trung bình, suy ra

Trang 10

Tương tự ta cũng có

Vậy ta có nêm 5 điểm K, H, I, E, M cùng nằm trên đường tròn đường kính AH

c) Tam giác IPN đều, nếu IA là đường phân giác thì cũng là đường trung trực, nên suy ra

AP = AN, suy ra , từ đó ta có tam giác ABC đều, suy ra

Bài 7 (LHP 04 - 05 - đề chung) Cho đường tròn tâm O Từ điểm M nằm ngoài đường tròn

vẽ các tiếp tuyến MC, MD với (O) (C, D là các tiếp điểm) Vẽ các tuyến MAB không đi qua

O, A nằm giữa A và B Tia phân giác cắt AB tại E

a) Chứng minh MC = ME

b) Chứng minh DE là phân giác của

c) Gọi I là trung điểm của AB Chứng minh O, I, C, M, D cùng thuộc một đường tròn

d) Chứng minh IM là phân giác của

Ta có (T/c góc ngoài)

Trang 11

Và

Mà (bằng 1/2 số đo cung AC)

Từ đó ta có: , suy ra tam giác MCE cân tại M, suy ra ME = MC

b) Ta có MC = MD (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)

suy ra MD = ME, tam giác MDE cân tại M Do đó ta có:

hay

mà

Suy ra

hay DE là phân giác góc ADB

c) Vì I là trung điểm AB nên ta có , từ đó ta có:

, suy ra 5 điểm M, C, D, I, O cùng nằm trên đường tròn đường kính MO

d) Ta có (MDOI nội tiếp)

và (MOIC nội tiếp)

Mà (T/c 2tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra , suy ra MI là phân giác góc CID

Bài 8: (THTH 05 -06) Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong một đường tròn tâm O Gọi I là

điểm đối xứng của A qua O Trên cạnh BA lấy điểm M và trên đường kéo dài của cạnh AC

về phía C lấy điểm N sao cho BM = CN Hai đường thẳng MN và BC cắt nhau tại K Chứng minh rằng:

a) Hai tam giác IBM và ICN bằng nhau

Trang 12

b) Tứ giác AMIN nội tiếp trong một đường tròn

c) K là trung điểm của đoạn MN

Trang 13

Ta có (cmt), suy ra tứ giác MBIK nội tiếp Mà

Tam giác IMN cân tại I có IK là đường cao nên cũng là trung tuyến, suy ra K là trung điểm

MN

Bài 9:(TĐN, 2002 - 2003) Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB cố định và đường kính

CD thay đổi (CD không trùng AB) Vẽ tiếp tuyến (d) của đường tròn (O) tại B Các đường thẳng AC, AD cắt (d) lần lượt tại P và Q

a) Chứng minh tứ giác CPQD là một tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh trung tuyến AI của tam giác APQ vuông góc với CD

a) Ta có ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

Vì PB là tiếp tuyến của (O) nên ta có

Suy ra: (cùng phụ với

Ta lại có: (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Từ đó suy ra: tứ giác PCDQ nội tiếp (Góc ngoài bằng góc trong đỉnh đối diện)

b) Ta có (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

Tam giác APQ vuông tại A có AI là trung tuyến nên ta có: , suy ra tam giác IAQ cân tại I

Trang 14

Hơn nữa ta có: (cmt)

Suy ra:

Bài 10: (TĐN 2003 - 2004) Cho hai điểm A, B thuộc đường tròn (O) (AB không đi qua O),

hai điểm C, D lưu động trên cung lớn AB sao cho AD//BC (AD > BC) Gọi M là giao điểm của DB và AC Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và D cắt nhau tại I

a) Chứng minh ba điểm I, O, M thẳng hàng

b) Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD không đổi

a) Ta có: IA = AD (1)(t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)

OA = OD (2)(A, D thuộc đường tròn (O))

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên :

Vì AD //BC nên

Suy ra:

Tứ giác ABCD có AD//BC và nên là hình thang cân, suy ra: AC = BD và DC

= AB Suy ra (c.c.c)

Trang 15

, suy ra tam giác MAD cân tại M, suy ra MA = MD (3)

Từ (1), (2) và (3) Ta có 3 điểm I, O, M cùng nằm trên đường trung trực của AD nên thẳng hàng

b) Ta có (c.c.c) suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MDC bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB

Ta có ( góc ở tâm bằng 2 lần góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)

Tam giác MCD cân tại M nên ta có:

Từ (4) và (5) ta có: , suy ra tứ giác AOMB nội tiếp (hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau) Từ đó ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB cũng là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AOB Vì A, O, B cố định nên bán kính đó không đổi

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CMD bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AOB nên không đổ

Bài 11: (LHP 2002 - 2003) Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB cố định và đường

kính CD thay đổi Vẽ tiếp tuyến (d) của (O) tại B Các đường thẳng AC, AD cắt (d) lần lượt tại P và Q

a) Chứng minh tứ giác CPQD là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh trung tuyến AI của tam giác APQ vuông góc với CD

c) Gọi E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CDP Chứng minh E luôn di chuyển trên một đường thẳng cố định khi CD thay đổi

Trang 16

Câu a và b xem bài 9

c) Vì CDQP là tứ giác nội tiếp nên tâm E của đường tròn ngoại tiếp cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDQP

Ta có I là trung điểm PQ, suy ra

O là trung điểm của CD, suy ra

Mà ta có (PQ là tiếp tuyến của B tại B)

và (câu b)

Từ đó ta có: , suy ra tứ giác AOEI là hình bình hành Suy ra EI = AO = R

Ta có , suy ra E nằm trên đường thẳng song song với PQ và cách PQ một khoảng R (đường thẳng này khác phía với A đối với đường thẳng PQ)

Bài 12: (LHP 2003 - 2004) Cho đường tròn tâm O đường kính AB Gọi K là trung điểm

cung AB M là điểm lưu động trên cung nhỏ AK (M khác A và K) Lấy điểm N trên đoạn BM sao cho: BN = AM

a) Chứng minh rằng:

b) Chứng minh tam giác MNK vuông cân

c) Hai đường thẳng AM và OK cắt nhau tại D Chứng minh MK là đường phân giác của góc

Trang 17

d) Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với BM tại N luôn đi qua một điểm cố định

a)Ta có (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Và KA = KB (K là trung điểm cung AB)

Suy ra tam giác KAB là vuông cân tại K

Trang 18

Suy ra tam giác KMN vuông cân tại K

c)Ta có $latex\ widehat{AMB} = 90^o$(góc nội tiếp chắn nửađường tròn), suy ra

Vì tam giác vuông cân tại K nên

Từ đó

Suy ra MK là phân giác của

d) Gọi I là giao điểm của AK và đường thẳng qua N vuông góc với MB

Tứ giác KIBN có , suy ra KIBN là tứ giác nội tiếp

Khi đó ta có:

Tam giác ABI có

và Vì A, B cố định, I cùng nửa mp bờ AB chứa K nên I cố định

Vậy đường thẳng qua N vuông góc với BM luôn đi qua điểm cố định I

Bài 13:(LHP 2004 - 2005)

Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O; R) Về phía ngoài tam giác dựng tam giác đều ACD BD cắt đường tròn tại E và cắt đường cao AH của tam giác ABC tại M

Trang 19

a) Chứng minh tứ giác ADCM nội tiếp

b) Tính DE theo R

a) Ta có AB = AC, OB = OC nên AO là đường trung trực của BC nên cũng là đường cao

và là đường phân giác góc A

Xét tam giác AOC và tam giác DEC có:

+ (ADCM là tứ giác nội tiếp)

Trang 20

a) Chứng minh tam giác ABC cân

b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD Tính độ dài đoạn MN

c) Gọi P là giao điểm của IO và MN Tính độ dài đoạn PN

Trang 21

Tam giác IAB vuông tại I, theo định lý Pytagore ta có:

Tam giác ABC có AB = AC (=10cm) nên là tam giác cân tại A

b) Gọi E là trung điểm của BC

Vì M, E lần lượt là trung điểm của AB, BC nên ME là đường trung bình của tam giác ABC

Vì N, E lần lượt là trung điểm của CD, BC nên NE là đường trung bình của tam giác BCD

Ta có:

Và

Tam giác MEN vuông tại E, theo định lý Pytagore ta có:

c) IN cắt AB tại S

Trang 22

Tam giác ICD vuông tại I, IN là đường trung tuyến nên IN = DN, cân tại N

Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC)

Chứng minh tương tự ta cũng có NO // IM

Tứ giác IMON có NO // IM, MO // IN nên là hình bình hành P là trung điểm của MN

Do đó

Bài 15 (LHP 2002 - 2003 đề chung) Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng (d) không qua

O cắt đường tròn tại A và B Từ một điểm M di động trên đường thằng (d) và nằm ngoài (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MN, MP với (O) (N, P là hai tiếp điểm)

Hướng dẫn giài

Trang 23

a) Ta có (MN là tiếp tuyến của (O))

Và (MP là tiếp tuyến của (O))

Suy ra tứ giác ONMP nội tiếp, khi đó ta có

b) Vì tứ giác ONMP nội tiếp nên O thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP Vậy khi M thay đổi thì đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP luôn đi qua O cố định

c) Ta có MN = MP (t/ tiếp tuyến) và ON = OP (1) suy ra OM là đường trung trực của NP, do

đó Tứ giác ONMP có hai đường chéo vuông góc nhau nên để là hình vuông khi

và chỉ khi nó là hình thôi, do (1) nên điều này tương đương với MN = OM tam giác MON vuông cân tại N

d) Gọi I là giao điểm của OM và (O) Ta có MI là phân giác của (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)

Vì I thuộc OM đường trung trực của NP nên ta có IN = IP, suy ra tam giác INP cân tại I

Mặt khác (góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung đó)

Do đó NI là phân giác góc MNP

Vậy I là giao điểm hai đường phân giác của tam giác NMP nên là tâm đường tròn nội tiếp tam giác và I thuộc (O) cố định

Bài 16 (LHP 04 - 05 Đề chung) Cho tam giác ABC cân tại B nội tiếp trong đường tròn tâm

O Trên cung AC không chứa B lấy hai điểm M và K theo thứ tự A, K, M, C Các đoạn

Trang 24

thẳng AM và BK cắt nhau tại E, các đoạn thẳng KC và BM cắt nhau tại D Chứng minh ED song song với AC

Ta có (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

và (góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

Mà (tam giác ABC cân tại B)

Do đó suy ra tứ giác DEMK nội tiếp

Mặt khác (góc nội tiếp cùng chắn cung AK)

Nên ta có mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên

Bài 17: (TĐN 2003 - 2004 Chuyên toán) Cho tam giác đều ABC có cạnh a Hai điểm M, N

lưu động trên hai đoạn AB và AC sao cho Đặt

a) Chứng minh rằng

b) Chứng minh

Trang 25

c) Chứng tỏ rằng MN luôn tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC

a) Trong hai góc có ít nhất một góc nhọn, do đó ta có thể giả sử

nhọn Vẽ , khi đó O nằm giữa AN

Trang 26

M trùng M’ và N trùng N’ Vậy MN là tiếp tuyến của (O)

Bài 18: (TĐN 2003 - 2004 Chuyên toán) Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD

với D thuộc đoạn BC sao cho Tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng BC tại E Tính AE theo a, b

Đặt

Ta có

Định dạng
Số trang	29
Dung lượng	1,15 MB