- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn[r]
Trang 1TRƯỜNG THCS CHU VĂN AN
Đề tham khảo thi tuyển sinh vài lớp 10 – toán 9
Năm học: 2019 – 2020 Thời gian làm bài; 120 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu 1 (1,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) y = x2 và đường thẳng
(d) : y = 4x + m (m là tham số)
1/ Vẽ (P) trên hệ trục tọa độ
2/ Xác định m để (d) tiếp xúc với (P) Tìm tọa độ điểm tiếp xúc
Câu 2 (2,5 điểm)
1/ Giải hệ phương trình: 2 3 13
5 2 4
x y
x y
2/ Bác Hai sở hữu căn phòng hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng là 2m Nếu giảm chiều
dài xuống 1 đoạn là 3m, tăng chiều rộng lên gấp đôi thì diện tích của căn phòng lớn hơn so với
ban đầu là 12m2
a/ Tìm chiều dài và chiều rộng của căn phòng ban đầu
b/ Bác thuê thợ lát kín căn phòng bằng các viên gạch hình vuông nhỏ Mỗi viên gạch có chu
vi là 200cm và giá tiền của mỗi viên gạch là 30000 đồng Hỏi bác phải trả cho thợ bao nhiêu tiền
Câu 3 (1 điểm) Cho phương trình 2
x x Không giải phương trình 1/ Chứng minh: phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2
2/ Tính giá trị của biểu thức A = 1 2
Câu 4 (1 điểm) Anh A tập thể dục đi bộ quanh bờ
hồ hình tròn với vận tốc là 11,304 km/h Biết
anh xuất phát ớ vị trí A Khi anh chạy đến vị
trí B thì lúc này góc tạo bởi tâm bờ bồ đến
2 vị trí A và B là 120 * và quãng đường
O A
B
120*
Trang 2anh đi được so với vị trí ban đầu là 5, 024km
1/ Tìm diện tích của bờ hồ
2/ Anh bắt đầu tập thể dục lúc 5 giờ sáng và dự định chạy bộ quanh bờ hồ 3 vòng rồi về nhà
Biết rằng sau khi đi 1 vòng thi anh nghỉ ngơi 15 phút rồi chạy bộ tiếp Hỏi đến mấy giờ thì anh
hoàn thành việc tập thể dục
Câu 5 (1 điểm) Chị Năm là thành viên tích cực của khu mua sắm siêu thị big C Chị có thẻ thành
viên được giảm giá 10% cho tất cả mặt hàng mà chị đã mua Vào ngày cuối tuần, siêu thị giảm
giá 20% cho tất cả các sản phẩm của cửa hàng Vào ngày cuối tuần, chị ghé vào siêu thị mua 5
lốc sữa chua vinamik, 2 hộp sữa bò Long Thành không đường và 4 gói mì ăn liền Gấu Đỏ Biết
giá tiền gốc của các sản phẩm ở siêu thị là
1/
1/ Hỏi chị Năm phải trả bao nhiêu tiền cho các sản phẩm trên
2/ Biết chị Năm có 200000 đồng để chi trả cho tất cả sản phẩm của cửa hàng Sau khi mua các
sản phẩm trên chị muốn mua thêm vài hộp bánh su kem Hỏi với số tiền trên chị mua được nhiều nhất là bao nhiêu hộp bánh su kem
Tên sản phẩm Thành tiền Sữa chua VinaMilk 15000 đồng / lốc
Sữa bò Long Thành không
đường
40000 đồng / hộp
Mì ăn liền Gấu Đỏ 5000 đồng / gói Bánh su kem 22000 đồng / hộp
Trang 3Câu 6 (0,5 điểm)
Hình vẽ bên dưới diễn tả 1 cái cổng nửa hình tròn đường kính AB 2 bên
cổng có 2 cây cột AD và BC bằng nhau và vuông góc với mặt đất Trên 2
đỉnh cột C và D có dựng 1 tấm logo có hình dạng là tam giác OCD vuông
tại O Độ dài OM là đoạn nối giữa đỉnh tấm logo với cánh cổng, biết OM
tiếp xúc với cánh cổng Biết AB = 15m, AD= 20m, OD= 9m Tính diện
tích của tam giác COM (kết quả làm tròn lấy 1 chữ số thập phân)
Câu 7 (2,5 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB<AC) Đường tròn tâm (O;R) ,đường
kính BC cắt AB tại M và cắt AC tại N, BN cắt CM tại H, AH cắt BC tại D
1/ Chứng minh: Tứ giác AMDC nội tiếp và HM.HC=HB.HN
2/ MN cắt BC tại E Chứng minh: Tứ giác DMNO nội tiếp
3/ Tiếp tuyến tại B của (O) cắt AE tại I Chứng minh: IN là tiếp tuyến của đường
tròn (O)
4/ MI cắt AD tại K, IC cắt AD tại S Trong trường hợp tứ giác CKSN nội tiếp và S BMNC 2SAMN (S là diện tích) Chứng minh: SSMC 2SSME
Trang 4Đáp án tham khảo Câu 1
1/ Giá trị của parabol (P): y = x2
2/ Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): y = 4x + m là:
x2 = 4x + m 2
x x m (*) 2
4 4.1.m 16 4m
Để (P) tiếp xúc với (d) Phương trình (*) có nghiệm kép
0 16 4 m0 4m 16 m 4
Khi đó (P) tiếp xúc với (d) tại điểm A có hoành độ là : x A 4
1.2 2 Thế vào (P) 2 2
y x
Vậy tọa độ điểm tiếp xúc giữa (P) và (D) là A (2;4)
Câu 2
1/ 2 3 13
5 2 4
x y
x y
4 6 26
15 6 12
x y
x y
19 38
4 6 26
x
x y
2 4.2 6 26
x y
6 18
x
y
2 3
x y
Trang 52/ a
Gọi x là chiều rộng của căn phòng (x > 0 ) Đơn vị là m
Ta có bảng như sau:
Theo bài toán ta có phương trình:
2 x x 1 x x 2 12 2 2
2x 2xx 2x 12 2
4 12 0
x x
2
4 4.1.12 64 0
=> Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt
1
x 4 8
1.2
= 6 (nhận) x2 4 8
1.2
= -2 (loại)
Vậy chiều rộng căn phòng ban đầu là 6 m
Chiều dài căn phòng ban đầu là 8 m
2/b Diện tích căn phòng ban đầu là: 6.8 = 48 m2
Độ dài cạnh 1 viên gạch vuông là: 200 : 4 = 50 cm = 0,5 m
Diện tích cúa 1 viên gạch vuông là : 0,5 0,5 = 0,25 m2
Số gạch vuông cần lát căn phòng của bác Hai là: 48 : 0,25 = 192 viên
Số tiền bác Hai cần trả cho thợ là : 192 30000 = 5760000 đồng
Câu 3 Phương trình 2
x x
1/ 2
6 4.1.4 36 16 20 0
=> Phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2
2/ Theo định lý vi et ta có: 1 2
1 2
6 4
x x
x x
x x x x x x
2.4 6 4 10 5
4 2.6 4 12 6
Trang 6Câu 4
1/ Nhận thấy rằng quãng đường anh đi được chính là độ dài cung nhỏ AB Gọi L là chu vi của
bờ hồ Ta có:
120* 1
360* 3
AB
S
L => L = 3S AB = 3 5,024= 15,072 km
Bán kính của bờ hồ là L = 2 R => R = 15.072
2 2.3,14
L
2,4 km
Diện tích của bờ hồ là: S = 2 2
.R 3,14.2, 4
18,0864 km2 2/ Quãng đường anh đi được 3 vòng quanh bờ hồ là: 3 15,072= 45,216 km
Thời gian tổng cộng anh đi 3 vòng quanh hồ là: 45, 216
11,304 = 4 giờ Thời gian nghỉ ngơi tổng cộng của anh sau vòng 1 và vòng 2 là: 15.2 = 30 phút
Thời điểm anh hoàn tất việc tập thể dục là: 5 giờ + 4 giờ +30 phút = 9 giờ 30 phút sáng
Câu 5
1/ Vào ngày cuối tuần giá bản của sản phẩm chỉ còn : 100% - 20% = 80% = 0,8 so với giá ban
đầu Do chị Năm có thể thành viên cho nên giá bản chỉ còn 100% - 10% = 90% = 0,9 so với giá
ban đầu Vậy vào ngày cuối tuần chị Năm được bán với giá giảm
0,9 0,8 = 0,72 so với giá ban đầu
Giá tiền của 5 lốc sữa vinamilk là: 0,72 15000 5 = 54000 đồng
Giá tiền của 2 hộp sữa bò Long Thành là: 0,72 40000 2 = 57600 đồng
Giá tiền của 4 gói mì ăn liền Gấu Đỏ là: 0,72 5000 4= 14400 đồng
Giá tiền chị Năm cần phải trả là: 54000 + 57600 + 14400 = 126000 đồng
2/ Gọi x là số hộp bánh su kem chị Năm có thể mua với số tiền đã có
Giá tiền của 1 hộp bánh su kem được giảm giá là: 22000 0,72 = 15840 đồng
Theo yêu cầu bài toán ta có điều kiện: 126000 + 15840.x 200000
15840.x 74000 x 4,67
Vậy số lượng bánh su kem tối đa chị Năm có thể mua là 4 hộp
Câu 6
Kẻ OH _|_ CD tại H, OH cắt AB tại K Kẻ HE _|_ CD tại E, HE cắt AB
tại F
Ta có: AD = BC, AD _|_ AB, BC_|_ AB nên tứ giác ABCD là hình chữ
Trang 7nhật
nên CD // AB Lại có HK // CD( do AD và HK cùng vuông góc với CD) nên tứ giác
ADHK là hình chữ nhật Chứng minh tương tự ta có các tứ giác CEFB, HEFK là hình chữ nhật
=> AB = CD = 15cm, AD = HK = EF = BC = 20cm, DH = AK, CE = BF
CD OC OD (Định lý pitago trong tam giác vuông OCD)
15 9 12
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OCD có đường cao OH
2
.
OD DH DCDH 2 92
15
OD
DC 5,4m
15 5, 4 9, 6
HCCDHD m
2
5, 4 9, 6 7, 2
OH DH HCOH DH HC m
=> OKHKOH 20 7, 2 12,8 m , AK DH 5, 4m
Gọi I là tâm đường tròn đường kính AB => MI = AI = BI = 15
AB 7,5m
7,5 5, 4 2,1
KI AIAK m
Áp dụng định lý pitago trong tam giác vuông OKI
2,1 12,8 13
KI OK m
Áp dụng tỉ lệ lượng giác trong các tam giác vuông OIK, OMI, MIF
Cos KIO = 2,1 21
13 130
IK
IO => KIO80, 70
Cos OIM = 7,5 75
12,8 128
IM
IO => MIO54,10
180 180 80, 7 54,1 45, 2
IF = IM CosBIM = 0
7,5 cos45, 2 5,3m
MF = IM SinBIM = 0
7,5 sin45, 2 5,3m
7,5 5,3 2, 2
BFBIIF m => ECBF 2, 2m
20 2, 2 17,8
EM EFMF m
9, 6 2, 2 7, 4
EH HCEC m
Ta có : OH // ME ( cùng vuông góc với CD) nên tứ giác HOME là hình thang, do vậy
HOME
S = 7, 2 17,8 7, 4
Trang 8S . 17,8 2, 2
ME EC
19,6 m2
OHC
S . 7, 2 9, 6
OH HC
69,1 m2
S S S S S
=> SOMC S HOME SMEC SOHC 92,5 19, 6 69,1 43m2
Câu 7
1/ Chứng minh: Tứ giác AMDC nội tiếp và
HM.HC=HB.HN
Ta có :BMC=90*(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
đường kính BC)
=>AB_|_MC
BNC=90*(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường
kính BC)
=>AC_|_BN
Xét ABC có 2 đường cao MC và BN cắt nhau tại H
=>H là trực tâm của ABC =>AD là đường cao thứ ba của ABC
=>AD_|_BC=>ADC = 900
Xét tứ giác AMDC ta có :
AMC ADC = 900=>Tứ giác AMDC nội tiếp (2 góc kề cùng nhìn 1 cạnh dưới 2 góc bằng nhau) (đpcm)
Xét HMB và HNC ta có :
BMHNHC=900, MHBNHC ( 2 góc đối đỉnh )
=>HMB ~ HNC(g-g) => HM HN
HB HC => HM.HC = HB.HN (đpcm) 2/ Chứng minh: Tứ giác DMNO nội tiếp
Xét tứ giác BMHD ta có :
BMH ADC =900=>Tứ giác BMHD nội tiếp (góc ngoài bằng góc đối trong)
=>HMDHBC (1a)
Trang 9Mà HBCNMC ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung NC) (1b)
Từ (1a),(1b)=> HMDNMC =>MC là tia phân giác của NMD
=>NMD 2NMC = 2HBC (2a)
Ta có :ON = OB =>ONB cân tại O => HBCONB (3a)
Mà NOC= HBC+ONB (Tính chất góc ngoài của ONB) (3b)
Từ (3a) , (3b) => NOC =2HBC (3c)
Từ (2a) , (3c) => NMD = NOC =>Tứ giác DMNO nội tiếp (góc ngoài bằng góc đối trong)
( đpcm)
3/ Chứng minh: IN là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Ta có :NCE=EMB ( góc ngoài bằng góc đối trong do tứ giác MNBC nội tiếp trong đường tròn
(O)
Xét EMB và ECN ta có :
NEC là góc chung , NCE=EMB (cmt)
=>EMB ~ ECN (g-g)=> EM EC
EB EN =>EB.EC = EM.EN (5a)
Ta có :EDM = ENO ( Tứ giác MDON nội tiếp)
Xét EDM và ENO ta có :
NEC là góc chung , EDM = ENO (cmt)
=>EDM ~ ENO (g-g)=> EM EO
ED EN =>EM.EN = ED.EO (5b)
Từ (5a) , (5b)=>EB.EC=ED.EO=> EB EO
ED EC (5c)
Ta có :BI_|_EC (BI là tiếp tuyến của (O), AD_|_BC (cmt)
=>BI//AD => EB EI
ED EA (Định lý ta lét trong ADE) (5d)
Từ (5c) , (5d)=> EO EI
EC EA=>OI//AC (Định lý ta lét đảo trong AEC)
Ta có :AC_|_BC , AC//OI (cmt)=>OI_|_BN
Ta có :OB = ON => ONB cân tại O
=>ONB cân tại O có OI là đường cao (OI_|_BN)
=>OI cũng là đường phân giác trong ONB =>BOI =NOI
Xét EOI và NOI ta có :
Trang 10OB=ON, BOI =NOI (cmt) ,OI là cạnh chung
=>EOI = NOI (c-g-c) => ONI=OBI =900=>ON_|_IN
Ta lại có N thuộc đường tròn (O), ON_|_IN (cmt)
=>IN là tiếp tuyến của đường tròn (O)
4 Trong trường hợp tứ giác CKSN nội tiếp và S BMNC 2SAMN (S là diện tích) Chứng minh:
2
S S
Xét ANS và AKC ta có :
KAC là góc chung , ANS=AKC (Tứ giác CKSN nội tiếp)
=>ANS~AKC (g-g) => AN AK
AS AC =>AS.AK=AN.AC (6a)
Xét ANM và ABC ta có :
BAC là góc chung , AMN=ACB (Tứ giác BMNC nội
tiếp đường tròn (O))
=>ANM ~ ABC (g-g) => AN AB
AM AC =>AN.AC = AM.AB (6b)
Từ (6a),(6b)=>AS.AK = AM.AB => AM AS
AK AB (6c)
Ta có :AD//BI ,Áp dụng hệ quả định lý ta lét ta có: AM BM
AK BI (6d)
Từ (6c), (6d) => AS BM
AB BI (6e) Gọi T là giao điểm của OI và BN
Theo như trên thì ta có :OT_|_BN
=>T là trung điểm của BN (quan hệ đường kính và dây cung) => BN = 2BT
Ta có: BI//AD (cmt) => IBN=BHD (2 góc ở vị trí sole trong)
Xét DHB và TBI ta có :
HDB = TBI, IBN=BHD (cmt)
=>DHB ~ TBI (g-g)=> HD BT
HB BI => HD.BI = BT.BH
Mà BN = 2BT => 2HS.BI = 2BT.BH = BN.BH (7a)
Xét BMH và BNA ta có :
ABN là góc chung , BMH =ANB =900
Trang 11=>BMH ~ BNA (g-g) => BM BN
BH AB =>BN.BH = BM.BA (7b)
Từ (7a),(7b) =>2HD.BI=BM.BA => 2HD BM
AB BI (7c)
Từ (6e),(7c) => 2HD AS
AB AB =>AS = 2HD
Ta có: OI // AC (cmt) => BOI ACD (2 góc ở vị trí đồng vị)
Xét BOI và DCA ta có :
0 90
BOI ACD , BOI ACD (cmt)
=>BOI ~ DCA (g-g) => AD DC
BI OB
Mà BC = 2OB => AD 2DC
BI BC (7d)
Ta có: AD// BI => DS DC
BI BC ( Hệ quả talet trong tam giác BIC) (7e)
Từ (7d) , (7e) => AD = 2AS => SA = SD hay AD = 2DS
Mà AS = 2HD (cmt) => SD = 2HD
Ta có: DH DA =
2
SD
2SD = SD2 (7f)
Xét DHC và DBA ta có :
0 90
ADBHDC , HCD=BAD (Tứ giác AMDC nội tiếp)
=>DHC ~ DBA (g-g)=> DH DB
DC DA => DH.DA = DB.DC (7g)
Từ (7f), (7g) => DS2
= DB.DC => DB DS
DS DA
Xét DBS và DSC ta có :
0 90
BDS SDC , DB DS
DS DA (cmt)
=>DBS ~ DSC (c –g -c) => DBS = DSC
Ta có: BSCDSCBSDDBSBSD 90* ( Tam giác DBS vuông tại S)
=> Tam giác BSC vuông tại S => Tam giác BSC nội tiếp trong đường tròn đường kính BC => S thuộc đường tròn (O)
Ta có: Tứ giác DMNO nội tiếp (cmt) => NDO = OMN (7h)
Ta có : OM = ON => OMN cân tại O=>OMN=ONM (7k)
Trang 12Từ (7ha) , (7k)=> NDO= ONM
Xét ODN và ONE ta có :
NOE là góc chung , NDO=ONM (cmt)
=>ODN ~ ONE (g-g) => OD ON
ON OE
Mà ON = OS= R => OD OS
OS OE
Xét ODS và OSE ta có :
EOS là góc chung, OD OS
OS OE (cmt)
=>ODS ~ OSE (c –g -c) => ESO = 0
90
ODS => ES _|_ OS
Ta có: ES _|_ OS (cmt), S thuộc (O) (cmt) => ES là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Bài toán phụ Trong tam giác ABC ta có hệ thức:
tanA tanB tanC tanAtanB tanC
Thật vậy, áp dụng tỉ số lượng giác các tam giác vuông AMC, ABD, ACD và (7g) ta có:
AD BD CD
tanB tanC =
BD CD BD CD HD AD HD
Xét MAH và MCB ta có :
0 90
AMH BMC , MAH=BCM (Tứ giác AMDC nội tiếp)
=>MAH ~ MCB (g-g) => BC MC
AH AM = tanA
Kết hợp những hệ thức trên ta có:
BC HD AH
=tanA tanB tanC (Bài toán phụ được chứng minh)
Từ giả thiết S BMNC 2SAMN SABC S BMNC SAMN 3SAMN
=> 1
3
AMN
ABC
S
S
Xét AMN và ACB ta có :
BAC là góc chung , AMN=ACB (Góc ngoài bằng góc đối trong tứ giác BMNC nội tiếp trong
đường tròn O )
Trang 13=>AMN ~ ACB (g-g) =>
2 2
AMN ABC
=> Cos2A = 1
3
Áp dụng công thức lượng giác ta có:
2
1
Tan A 12
Cos A = 3 Tan2A = 2 TanA 2 (Do tanA > 0) Theo như trên: TanB TanC = AD 2DS 4HD
HD HD HD = 4 (8a)
Áp dụng bài toán phụ ta có:
TanA tanB tanC tanAtanB tanC
=> 2tanB tanC 4 2 => tanB tanC 3 2 (8b)
Từ (8a) , (8b) => tan B và tan C là nghiệm của phương trình:
2
3 2 4 0
x x (Điều kiện: x> 0 do tan B > 0 và tanC >0)
2
3 2 4.4 18 16 2 0
=> Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt
x1 = 3 2 2
2
2 2
(nhận) x2 = 3 2 2
2
2
(nhận)
Theo bài toán ta có: AB < AC => HB < HC => AD AD
HB HC => Tan B > Tan C
Từ đó ta nhận TanB = 2 2 , tanC = 2
=> TanA = TanC ( = 2 ) => BACBCA => Tam giác ABC cân tạo B
Tam giác ABC cân tại B có BN là đường cao
=> BN cũng là đường trung tuyến tam giác ABC => NA = NC
Xét tam giác ADC ta có: AS = DS (cmt), AN =NC (cmt)
=>a NS là đường trung bình của tam giác ADC => NS // CD
Ta có : NS // CD, AD _|_ CD => NS _|_ AD
Vì S thuộc đường tròn (O) cho nên đường tròn ngoại tiếp tam giác SNC là đường tròn (O), đường tròn ngoại tiếp tứ giác CKSN cũng là đường tròn ngoại tiếp tam giác SNC => Đường tròn ngoại
tiếp tứ giác CKSN trùng với đường tròn (O)
=> K thuộc đường tròn (O)
Ta có: NS _|_ AD (cmt) => Tam giác NSK vuông tại S => tam giác NSK nội tiếp đường tròn
đường kính NK Mà tam giác NSK nội tiếp (O) => O là trung điểm của KN và 3 điểm K, O, N
thẳng hàng